Scholia in opticorum recensionem Theonis (scholia vetera)

41. Καὶ ἐπεὶ ἑκάστη κτλ. p. 182, 5 ἑκάστην τῶν πρὸς τῷ Θ γωνιῶν ὀρθὴν συνάξουσιν εἶναι ἄλλοι μὲν ἴσως ἄλλως, ἐγὼ δὲ τοῦτον τὸν τρόπον. ἐπεὶ ἕκαστον τῶν ΚΖΒ, ΚΛΒ ἡμικύκλιόν ἐστιν, ἡ ΚΖΒ περιφέρεια ἴση ἐστὶ τῇ ΚΛΒ περιφερείᾳ, ὧν ἡ ΚΖ ἴση τῇ ΚΛ· ἴσαι γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΚΖ, ΚΛ ἐκ τοῦ κέντρου οὖσαι τοῦ ΖΓ∠ κύκλου ὑποτείνουσιν αὐτάς· λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ περιφέρεια τῇ ΛΒ περιφερείᾳ ἴση ἐστίν. ὥστε καὶ εὐθεῖα ἡ ΖΒ τῇ ΒΛ ἴση ἐστίν. ἐπεὶ οὖν δύο τρίγωνά ἐστι τὰ ΚΖΒ, ΚΛΒ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΒ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΒ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΒ τῇ βάσει τῇ ΛΒ ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τὴν ὑπὸ ΖΚΒ τῇ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΛΚΒ ἴσην ἕξει. πάλιν ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΖΚΘ, ΛΚΘ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΖΚ, ΚΘ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΛΚ, ΚΘ ἴσας ἔχοντα καὶ τὴν γωνίαν τῇ γωνίᾳ, καὶ τὴν βάσιν τὴν ΖΘ βάσει τῇ ΘΛ ἴσην ἕξει. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἡ ΚΒ εὐθεῖάν τινα μὴ διὰ τοῦ κέντρου τὴν Ζ Λ δίχα τέμνει, καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτὴν τεμεῖ.

42. Διὰ τὸ παράλληλον p. 182, 6 παράλληλος διὰ τοῦ κηʹ τοῦ αʹ τῶν Στοιχείων.

43. Ἅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς ἐπὶ τῶν ὁρωμένων γίνεται, ταῦτα καὶ διʼ ἀποδείξεων πιστώσασθαι βουλόμενος ὁ γεωμέτρης τῶν θεωρημάτων παραμυθίας ἀπὸ τῶν γραμμῶν κομίζει κύκλους ἀναγράφων ἐν ταῖς ἀπὸ τῶν ὀμμάτων ἀποπεμπομέναις ἀκτῖσιν καὶ ἐπίπεδα διὰ τῶν ὄψεων ἐκβάλλων καὶ ἕτερα τοιαῦτα ποιῶν, οὐχ ὅτι, ταῦτα μὲν ἐὰν γένηται, ἔσται ἀληθὴς ἡ τοιάδε αὐτοῦ πρότασις, καὶ καθʼ ὄν αὐτός φησι τρόπον θεωρήσουσι τὸ τοιόνδε σχῆμα αἱ ὄψεις, ἐὰν δὲ μὴ γένηται, ψευδής· ἡ γὰρ ἄν, εἰ τοῦτο οὕτως εἶχεν, ἐν τῇ πιθανότητι τῶν ἀποδείξεων ἔκειτο ἂν ἡ τούτων εὕρεσις μόνον, ἀλλʼ οὐκ ἐν τῇ φύσει τῶν ὁρωμένων, καὶ γραφομένων μὲν τῶν κύκλων ἢ τῶν ἐπιπέδων ἐκβαλλομένων ἑωρᾶτο ἂν τὸ ὁρώμενον, ὡς ὁ Εὐκλείδης φησίν, μὴ γινομένων δὲ τούτων οὐκ ἂν ἐθεωρεῖτο τοιοῦτον, ὡς εἶναι μᾶλλον αὐτὸ διὰ τὴν ἀπόδειξιν οὕτως ἔχον ἢ διὰ τὴν φύσιν. τὸ δὲ οὐχ οὕτως ἔχει, ἀλλὰ ὅπερ ἐξ ἀνάγκης φυσικῆς συμβαίνει πάσχειν ταῖς ὄψεσι προσβαλλούσαις τῷ τοιῷδε σχήματι οἷον κυλινδροειδεῖ ἢ κωνοειδεῖ ἢ σφαιροειδεῖ ἐπὶ πλέον ἀφισταμέναις ἢ προσεγγιζούσαις αὐτῷ, τοῦτο δὴ βουλόμενος ἀποδεικνύειν ὁ γεωμέτρης παραμυθεῖται τὴν ἀπόδειξιν διὰ [*](42. F Vat. 43. V2 ad prop. 24, p in textu inter propp 23 et 24.) [*](1. παράλληλος ] om. F. 2. κηʹ — Στοιχείων] καʹ τῶν Εὐκλείδου F. 4. γίνωνται p. βουλόμενος] βούλεται p 5. τῶν θεωρημάτων] supra scr. V. 6. κομίζων p 7. ἀκτῖσι p.) [*](13. τούτων] τῶν τοιούτων p. 20. προσβαλούσαις p.)

χρὴ δὲ εἰδέναι, ὡς τοὺς κύκλους καὶ τὰ ἐπίπεδα, ὅταν μὲν ὁρῶμεν αὐτὰ τὰ σώματα οἷον σφαῖραν ἢ κύλινδρον, νοητῶς δεῖ ἀναγράφειν ἢ ἐκβάλλειν, ὅταν δὲ ἐν ἐπιπέδῳ, αἰσθητῶς ὡς ἐνταῦθα.

Ad prop. XXIV.

44. Αἱ ΡΖ, ΡΣ καθʼ ἓν ἐφάπτονται p. 184, 5 ἐφάπτονται ἄρα διὰ τὸ ἐν τῷ ιϚʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων πόρισμα.

Ad prop. XXVI.

45. Ὀμμάτων διάστημα τὸ ΒΓ p. 186, 7 χρὴ δὲ νοεῖν, ὅτι ἡ διάστασις τῶν ὀμμάτων παράλληλός ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου.

46. Τουτέστιν ἐπιζευχθεισῶν ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα εὐθειῶν.

47. Ἔλασσον ἂν εἴη p. 186, 16 εἰ γὰρ τεθείη τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ Θ, διὰ τὸ κγʹ τῶν Ὀπτικῶν ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος.

48. Τὸ ΖΝ∠ p. 186, 16 τουτέστιν τὸ ὑπὸ τοῦ κύκλου διοριζόμενον τοῦ περὶ τὴν ∠ΝΖ.

Ad prop. XXVIII.

49. Ὃν τρόπον ἐπὶ τοῦ κγʹ καὶ κδ΄ ἔδειξεν, οὕτως καὶ ἐπὶ τῶν δύο τούτων τοῦ κηʹ καὶ κθʹ, πλὴν ἐκεῖ μὲν ἐπὶ σφαίρας, ὧδε δὲ ἐπὶ κυλίνδρου.

Ad prop. XXX.

50. Κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν p. 192, 2 οὐχί, διότι ἔστι τις κῶνος μὴ ἔχων κύκλον τὴν βάσιν, τοῦτό φησιν, ἀλλὰ τὴν φύσιν τοῦ κώνου παραστῆσαι βουλόμενος.

51. Καὶ ἐπὶ τούτου καὶ τοῦ μετὰ τοῦτο ὁμοία ἡ δεῖξις πλὴν ἐπὶ κώνου.

Ad prop. XXXII.

52. Τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ p. 194, 19 τουτέστι τῇ βάσει τοῦ κώνου.

53. Οὐκοῦν συμπεσεῖται p. 196, 2 ἐπειδὴ κατὰ τὸ αὐτὸ ἄκρον ἄνω μὲν κατὰ τὸ Β, κάτω δὲ κατὰ τὸ Κ συνάπτονται.

Ad prop. XXXIII.

54. Ἔλασσον φαίνεται p. 196, 22 γρ. μεῖζον μὲν ἔσται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, ἔλαττον δὲ φαίνεται, ταπεινοτέρου δὲ ἔλασσον μὲν ἔσται, δόξει δὲ μεῖζον φαίνεσθαι.

55. Τουτέστιν ἵνα ἐπί τινος εὐθείας τὸ ὄμμα ᾖ, ἥτις παράλληλός ἐστι τῇ ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου πρὸς τὴν περιφέρειαν αὐτοῦ ἀγομένῃ εὐθείᾳ.

56. Ἴσὸν δὲ τὸ μὲν πρὸς τῷ Ν κτλ. p. 198, 9 ἐὰν γάρ, καθὼς εἴρηται ἐν τῷ λαʹ θεωρήματι, ἀπὸ τοῦ Ν ὄμματος προσπέσωσιν ἀκτῖνες πρὸς τὴν τοῦ κώνου περιφέρειαν ὡς αἱ ΝΤ, ΝΦ, καὶ ἀπὸ τῶν Τ, Φ ἐπὶ τὴν κορυφὴν τὴν ∠ ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι ὡς αἱ Τ∠, Φ∠, τὸ διὰ τῶν ΝΤ, Τ∠ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν ΝΦ, Φ∠ κοινὴν τομὴν ἕξει τὴν ∠Ν, ἐφʼ ἧς ἐὰν τεθῇ τὸ ὄμμα ὡς κατὰ τὸ Ν καὶ τὸ Θ, ἴσον ἀεὶ τοῦ [*](51. V1. 52. VR Vat. u. 53. VRVat. M1qtu. 54. Vat. RM1st. 55. VR(Vat.qrstu). 56. Vat.MAqrstu). ειερον Vat. s. δέ (pr.)] om. Vat. 14. ᾖ ] om. V. 15. παράλληλός] = R, ὀρθή s. 16. εὐθείᾳ] om. Rt.) [*](18. γάρ] om. Mt. λαʹ] V, λγ΄ m. rec. 20. τῶν] τοῦ R.)

Ad prop. XXXV.

57. Ὀρθὴ ἄν εἴη p. 20Ο, 23 ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Κ∠Β γωνία τῇ ΚΒ∠, ἡ δὲ ΚΖΒ τῇ ΖΒΚ, δύο ἄρα αἱ Β∠Κ, ∠ΖΒ δύο ταῖς ΖΒΚ, ΚΒ∠ ἴσαι εἰσίν. ὥστε αἱ τέσσαρες αἱ ΒΖΚ, Ζ∠Β, ∠ΒΚ, ΚΒΖ δύο τῶν ∠ΒΚ, ΚΒΖ, τουτέστι τῆς ∠ΒΖ, διπλασίονές εἰσιν. ἀλλὰ αἱ τέσσαρες δύο ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν· ἐν τῷ τριγώνῳ γάρ εἰσι τῷ ∠ΖΒ. ὥστε ἡ ∠ΒΖ γωνία ὀρθή ἐστιν.

58. Ἐπεὶ γὰρ αἱ τρεῖς ἴσαι εἰσὶν αἱ ∠Κ, ΚΖ, ΚΒ, ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Κ, διαστήματι δὲ τῷ Κ∠ κύκλος γραφόμενος ἥξει καὶ διὰ τῶν Β, Ζ. ὥστε ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ· ἐν ἡμικυκλίῳ γάρ.

59. . δ γάρ εἰσιν ὡς τῆς ὑπὸ ∠ΒΖ διαιρουμένης ἐπεὶ ὡς ἐν τριγώνῳ τρεῖς εἰσιν. διὰ τοῦτο καὶ δύο ὀρθαῖς ἴσαι· ὥστε ἡ ὑπὸ ∠ΒΖ ὀρθή ἐστι, διότι δ ἐφάνησαν ἐν τῷ τριγώνῳ, καὶ αὕτη ὡς δὶς λαμβανομένη ὀρθή ἐστιν.

60. Αἱ διάμετροι ἴσαι p. 202, 5 δῆλον δέ, ὅτι οὐ πᾶσαι πάσαις αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται, ἀλλὰ [*](57. VR(Vat. MFAqrstu). 58. VR(Vat. MFqrtu). eodem pertinet, quo nr. 57. 59, V 1 (ad τέσσαρες lin. 7) 60. V ( Vat. pqr).) [*](1. διά — θεώρημα] om. A. λαʹ] mut. in λβʹ m. rec. V. 2. ὁμοίως — ΛΣ] om. s 5. ΚΒ∠] ΚΒΓ V, Κ∠Β R. 6. ∠ΖΒ] ∠ supra scr. V. ΚΒ∠ — 11. ἐστιν] om. A. 12 γάρ ] om. t. Post ἴσαι ras. 2 litt V. 14. τῶν] τοῦ R.) [*](15. ∠ΒΖ ] ∠Μ dirempt. spat. 1 litt. R. 22. πάσαις αἱ] in ras. V.)

Ad prop. XXXVI.