Scholia in opticorum recensionem Theonis (scholia vetera)

61. Διήχθω γάρ p. 204, 17 μὴ πρὸς ὀρθὰς οὖσα δηλονότι τῇ ΓΑ.

62. Ἡ ΓΖ p. 204, 19 οὖσα δηλονότι τοῦ κύκλου.

63. Αῆμμα.

πῶς δὲ χρὴ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγεῖν τῇ κεκλιμένῃ εὐθείᾳ πρὸς τὸ ἐπίπεδον μίαν εὐθεῖαν ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ; οὐ γὰρ καὶ ἑτέραν δυνατόν· ὑποκείσθω γὰρ τὸ σχῆμα, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ἐπὶ τὸ ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω ἡ ΒΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΛ. φανερόν, ὅτι ἡ ΑΛ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ ἐστίν. ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Α τῇ ΑΛ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΜ· ἥξει δὴ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ ΑΛ, τουτέστιν ἐν τῷ κύκλῳ. ἐπεὶ οὖν ἡ Β Λ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΒΛ ἐπίπεδα ὀρθά [*](61. RFM1. 62. Rt. 63. VR(Vat.MFqrstu): ad p. 204, 1: ἤχθω γὰρ ἡ μὲν κτλ.) [*](2. τῆς] p, corr. m. rec. ex τήν V. 9. λῆμμα] V q, om. cett. 10. δέ ] om. Mt. κεκλημένῃ V, sed corr. 20. δή] e corr. V. 22. ΒΛ] Β e corr. V. ὀρθή] ἴση R. 23. ὀρθαὶ ἐστι] comp. V, ἴσα εἰσί R.)

64. Καὶ αὕτη μὲν ἡ ἀπόδειξις, εἰ μήτε πρὸς ὁρθὰζ ἡ Ε∠ τῇ ΓΑ διαχθῇ· τότε γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν δυνάμεθα κάθετον ἀγαγεῖν τὴν Γ Ζ, καὶ οὕτως ἡ ἀπόδειξις προχωρεῖ. εἰ δὲ ἡ Ε∠ κάθετος ἐπὶ τὴν ΓΑ διαχθῇ, δειχθήσεται πάλιν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῆς ὑπὸ ΒΑΕ ἐλάττων τοῦτον τὸν τρόπον· ἐπεὶ ἡ Βγ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διʼ αὐτῆς ἐπίπεδα τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ὥστε καὶ τὸ ΒΓΑ τρίγωνον τῷ Ε∠ κύκλῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται. ἐπεὶ οὖν τὸ ΓΑΒ τρίγωνον τῷ κύκλῳ πρὸς ὀρθάς ἐστι καὶ τῇ κοινῇ αὐτῶν τομῇ ἡ Ε Α ἐν ἐνὶ τῶν ἐπιπέδων, ἡ ΕΑ ἄρα καὶ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ πρὸς ὀρθὰς ἔσται· καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ τῷ ΑΒΓ ὀρθὰς ποιήσει γωνίας. ἅπτεται δὲ αὐτῆς καὶ ἡ ΒΑ· καὶ πρὸς ἄρα τὴν ΒΑ ὀρθὴν ποιήσει γωνίαν. ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ ὀξεῖα [*](64. R(Mtu); ad p. 204, 11: ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α κτλ.) [*](1. τῶν ] corr. ex τῷ m. rec. V. ἐπιπέδῳ , corr. m. rec. 3. ὀρθόν] ἴσον R. 4 ὀρθάς] ἴσας R. 7. δέ] om. R. ὀρθή] ἴση R. 8. ἐστι R. 12 εἰ] ἡ Ru. ἡ (alt.)] om u.) [*](13. διδαχθῇ u. 19. τῷ] τῷ Ε∠ u. 23. τῷ ΑΒΓ ] supra scr. R.)

65. Ἀνάπαλιν ἄρα p. 206, 26 ἐπειδὴ εἶπεν· ἀνάπαλιν ἄρα ἡ Ζ Α πρὸς τὴν ΑΒ ἐλάσσονα λόγον ἔχει, οὗ ἔχει ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἰστέον τοῦτο, ὅτι ἐπὶ μὲν τῆς ταυτότητος τῶν λόγων πάντα σώζεται καὶ τὸ ἐναλλὰξ καὶ τὸ συνθέντι καὶ τὸ διελόντι καὶ τὸ ἀναστρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν, οἷον ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· ἐναλλὰξ ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· πάλιν ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· συνθέντι ὡς τόδε πρὸς τόδε, οὕτως τόδε πρὸς τόδε· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων. ἐπὶ δὲ τῆς ἑτερότητος τῶν λόγων πάντα μὲν τὰ ἄλλα σώζεται, τὸ δὲ ἀναστρέψαντι καὶ τὸ ἀνάπαλιν οὐκέτι, οἷον ἐπεὶ. τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε, ἐναλλὰξ τόδε ἄρα πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε· ὁμοίως καὶ ἐπὶ τοῦ συνθέντι καὶ διελόντι. ἐπὶ δὲ τοῦ ἀντιστρέψαντι καὶ τοῦ ἀνάπαλιν οὐκέτι, ἀλλὰ τὸ ἐναντίον γίνεται οὕτως· τόδε πρὸς τόδε μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε· ἀνάπαλιν τόδε ἄρα πρὸς τόδε ἐλάττονα λόγον ἔχει ἤπερ τόδε πρὸς τόδε, ὡς ὧδε εἶπεν· ταῦτα δὲ ὁ Ἤρων διαρθροῖ.

66. Τὸ γὰρ αὐτὸ ἡ ΖΑ πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ μεῖζον τὸ ΑΒ.

67. Πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχοῦσαν p. 208, 14 καὶ πρὸς αὐτὴν γὰρ ὀρθὰς ποιεῖν οὐ δύναται, ἐπειδή, ἐὰν εὐθεῖα δύο εὐθείαις τεμνούσαις ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς ἐπισταθῇ, καὶ τῷ διʼ αὐτῶν ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν· ὑπόκειται δὲ αὐτῷ μὴ οὖσα πρὸς ὀρθὰς ἐν τῷ λϚ΄.

68. Καὶ πάντα ἄρα κτλ. p. 208, 17 διὰ τὸ δ΄ καὶ τὸ ιηʹ τῶν Στερεῶν τοῦ αʹ βιβλίου.

69. Ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα p. 208, 21 ἔχομεν γὰρ ἐν τοῖς Στερεοῖς θεώρημα· ἐὰν ἐπίπεδον πρὸς ἐπίπεδον ὀρθὸν ᾖ, καὶ ἀπό τινος σημείου αὐτῶν ἐν ἑνὶ τῶν ἐπιπέδων ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐπίπεδον κάθετος ἀχθῇ, ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς πεσεῖται τῶν ἐπιπέδων.

70. Ἡ ΝΞ μείζων p. 210, 4 διότι ἴση ὑπετέθη τῇ ΕΖ τῇ ὑποτεθείσῃ μείζονι τῶν ἐκ τοῦ κέντρου, καὶ ἐὰν ἡ ΕΖ μείζων, καὶ αὕτη ὡς ἴση ταύτῃ.

71. Ἡ ΝΟ p. 21Ο, 11 ἡ ΝΟ γὰρ ἐκτὸς πεσεῖται τοῦ ΛΣΜ τμήματος· ἡ γὰρ ΝΞ τῆς ΝΡ μείζων ἐστίν· ἐπὶ γὰρ τῆς ΝΞ ἐστι τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τοῦ ΛΣ· μείζων γάρ ἐστι τῆς ΛΝ. ἐπεὶ γὰρ ἐν κύκλῳ τῷ ΛΞΜ εὐθεῖά τις ἡ ΝΞ εὐθεῖάν τινα τὴν ΛΜ δίχα καὶ πρὸς ὀρθὰς τέμνει, ἐπὶ τῆς ΝΞ ἄρα ἐστὶ τὸ κέντρον τοῦ ΛΞΜ κύκλου. ὑπόκειται δὲ ἡ ΝΞ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἐπειδὴ καὶ ἡ ΕΖ, καὶ ἀεὶ ἡ ἔγγιον τοῦ κέντρου τῆς ἀπώτερον μείζων.

72. Ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ p. 210, 14 ἡ γὰρ ὑπὸ τῶν ΕΖΚ ἐδείχθη ἐλάττων πασῶν τῶν διὰ τοῦ Ζ διαγομένων καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ γωνίας.

73. Μείζων δὲ ἡ Ο p. 212, τριγώνου γὰρ τοῦ ΛΡΠ ἐκτός ἐστι, καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο ἄρα μείζων ἐστὶ τῆς πρὸς τῷ Π. καί ἐστι ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο ἴση τῇ ὑπὸ ΗΕΘ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Π ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ.

Ad prop. XXXVIII.

74. Τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου κειμένου.

75. Ὁμοίως δέ, κἂν ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, καὶ μετακινῆται τὸ ὁρώμενον μέγεθος κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας παράλληλον ὄν τῇ εὐθείᾳ, ἐφʼ ἧς τὸ ὄμμα, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.

Ad prop. XL.

|76. Λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ κτλ. p. 220, 2 τουτέστιν· ὅταν ἡ ∠Ζ τὴν θέσιν ἐν τῷ κύκλῳ ταύτην σχοίη, ἐλάττων ὀφθήσεται ἤπερ, ὅτε ἦν ἀναστᾶσα μὴ πρὸς ὀρθάς.

77. Δῆλον, ὅτι πρότερον δεῖ δεῖξαι p. 220, 12 εἰ γὰρ τοῦτο δειχθῇ, ὅτι ἐλάσσων ἡ ὑπὸ ΒΕΑ γωνία τῆς ὑπὸ ΖΕ∠ γωνίας, γνώριμον τὸ ζητούμενον ὡς διὰ τῶν ὅρων.

78. Ἀλλὰ δὴ ἔστω p.222, 21 ἐπεὶ εἶπεν, ὅτι· ἤτοι δὲ ἡ ∠Ζ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἴση ἢ ἐλάσσων, ὑπέθετο δὲ αὐτὴν μείζονα καὶ ἔδειξε τὸ ΑΒ μέγεθος τοῦ ∠Ζ ἔλασσον, νῦν ὑποτίθεται τὴν ∠Ζ ἴσην τῇ ἐκ τοῦ κέντρου καὶ δείκνυσι πάλιν τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ∠Ζ μεγέθους, ἐν δὲ τῷ ἐφεξῆς ὑποτίθεται τῆν ∠Ζ ἐλάσσονα τῆς ἐκ τοῦ κέντρου καὶ πάλιν δείκνυσί τὸ ΑΒ μέγεθος ἔλασσον τοῦ ∠Ζ μεγέθους.

79. Ἀπὸ τῆς ΘΝ p. 224, 20 ἐπεὶ γὰρ ἐλάσσων ὑπετέθη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ ΘΝ ἐκ τοῦ κέντρου, μείζων θέλει εἶναι τῆς Ζ∠ τῆς ἐλάσσονος.

Ad prop. XLI.

80. Ὡς ἐπὶ τῶν ἄστρων.

81. Τὸ αὐτὸ δὲ συμβήσεται, καὶ εἰ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μένει, τὸ δὲ ὁρώμενον ἐπὶ τῆς περιφερείας μεταβαίνει.