Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. gr. 2448)

Diophantus Alexandrinus

Diophantus Alexandrinus, Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. gr. 2448), Diophanti Alexandrini opera omnia, vol. 2, Tannery, Teubner, 1895

Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν ποίει ἑξάκις, ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἔστω ἡ διάμετρος τοῦ ἑξαγώνου.

Ἔστω ἑπτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε παρὰ τὴν πολύγωνον, τουτέστι παρὰ τὸν ζ, γίνονται η U+2220΄ ιδʹ. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τοῦ ἑπταγώνου.

Ἐὰν θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν ἑπτάκις, ἐπειδὴ ἑπτάγωνός ἐστι, γίνονται ξ· ἄρτι μέριζε καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος.

Ἔστω ὀκτάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον πεντάκις, γίνονται ρ· ἄρτι μερίζω· ὧν ιβʹ, γίνονται η U+2220΄.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, [*](25 ═ Geep.148. — 26 ═ Geep. 149. — 27 ═ Geep.150. — 28 ═ Geep. 151. — 29 ═ Geep. 152 De diametro circuli in- scripti hÎc agitur. — 30 ═ Geep. 153.) [*](14 πολύγωνον] πολυγώνου ὀνομασίαν coni. Hultsch. 18 ξ] μθ A. 19 κ] ιϚ A (ac si latus datum foret 7).)

26
ποίει τὸ ἀνάπαλιν· πάντοτε τὴν πλευρὰν δωοδεκάκις, γίνονται ρ· καὶ μερίζω καθολικῶς, ὡς προεῖπον· ὧν εʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἡ διάμετρος τοῦ ὀκταγώνου. Ἔστωο ἐννάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν θʹ, γίνονται Ϛ ??. τοσοῦτον ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ, ποίει τὸ ἀνάπαλιν· τὴν πλευρὰν ἐννάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολικῶς· ὧν τρίτον, κ. τοσοῦτον ἔστω ἡ διάμετρος.

Ἔστω δεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. πάντοτε τὴν διάμετρον τριπλασίαζε, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω· ὧν δέκατον, γίνονται ϛ. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς τοῦ αὐτοῦ, ποίει οὕτως τὸ ἀνάπαλιν· τὴν πλευρὰν δεκάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολικῶς τρισσάκις, γίνονται κ. τοσοῦτον ἡ διάμετρος.

Ἔστω ἑνδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κβ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· καθολικῶς τὴν διάμετρον τριπλασιάζω, γίνονται ξϚ· ἄρτι μερίζω· ὧν ἑνδέκατον, Ϛ. τοσοῦτον ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· τὴν πλευρὰν ἑνδεκάκις, γίνονται ξϚ· καὶ μέριζε καθολικῶς· ὧν τρίτον, κβ. ἔστω ἡ διάμετρος τοσοῦτον.

[*](31 ═ Geep.154 — 32 ═ Geep. 155. — 33 ═ Geep. 156. — 34 Geep. 157. — 35 ═ Geep. 158. — 36 ═ Geep. 159.)[*](6 τριπλασίαζε] ultima litera in rasura. 18 τρισσἀκις] oportebat ὧν γʹ.)
27

Ἔστω δωδεκάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποιῶ οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον τρισσάκις, γίνονται ξ· ἄρτι καθολικῶς μερίζω· ὧν δωδέκατον, ε. τοσοῦτον ἡ πλευρά.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· τὴν πλευρὰν δωδεκάκις, γίνονται ξ· καὶ μερίζω καθολικῶς· ὧν τρίτον, κ. ἔστω τοσοῦτον ἡ διάμετρος.

Ὁμοίως καὶ ἐπὶ οἱουδήποτε πολυγώνου, ἐὰν δοθῇ σοι ἡ διάμετρος, πάντοτε καθολικῶς τριπλασίαζε τὴν διάμετρον, καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε παρὰ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγώνων, καὶ ἕξεις τὴν πλευρὰν τοσοῦτον ἀποφήνασθαι.

Ἐὰν δὲ ἀπὸ τῆς πλευρᾶς εὑρεῖν τὴν διάμετρον, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὴν πλευρὰν πολυπλασίαζε ἐπὶ τὴν ὀνομασίαν τῶν πολυγώνων· οἷον ἐὰν τρισκαιδεκάγωνον, ποίει τρισκαιδεκάκις τὴν πλευράν, καὶ τὰ συναχθέντα μέριζε καθολικῶς, ὧν γʹ, καὶ ἕξεις τὴν διάμετρον.

Ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων τῇ αὐτῇ μεθόδῳ χρῶ.

Περὶ κυλίνδρου.

[*](a)

Ἀπέδειξε καὶ ἐνταῦθα Ἀρχιμήδης ὅτι ὅνπερ ἔχει λόγον ὁ κύκλος πρὸς τὸ τετράγωνον τὸ περὶ αὐτὸν περιγραφόμενον, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει καὶ ὁ κύλινδρος πρὸς τὸν κύβον τὸν περιέχοντα αὐτὸν καὶ ἴσας πλευρὰς [*](37 Geep.160. — 38 ═ Geep. 161. — 39 ═ Geep.162. — 40 Geep 163. — 41. Cf Geep. 163.) [*](17 τρισκαιδεκάγωηνον, ποίει supplevi ex Geep. 17—18 τὴν πλευρὰν . . . ὧν γʹ om. Geep.)

28
ἔχοντα τῇ διαμέτρῳ τοῦ κυλίνδρου καὶ τὸ ὕψος ἴσον, καὶ ὡς ἐπὶ τῶν κύκλων εἰπεῖν ὅτι τὰ ἕνδεκα τετράγωνα, τὰ ἐκτὸς περιγραφόμενα τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστὶ δεκατέτρασι κύκλοις τοῖς τὴν αὐτὴν διάμετρον ἔχουσιν, οὕτως καὶ οἱ ἕνδεκα κύβοι ἴσοι εἰσὶ δεκατέτρασι κυλίνδροις, ὧν αἱ πλευραὶ ἴσαι εἰσὶ τῇ διαμέτρῳ καὶ τῷ ὕψει, καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῶν κύκλων λαμβάνομεν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ τετραγώνου καὶ ποιοῦμεν ἑνδεκάκις καὶ μερίζομεν παρὰ ιδ, καὶ ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κυλίνδρου.

Ἔστω κύλινδρος οὗ ἡ διάμετρος ζ καὶ τὸ ὕψος ζ· [*](b) εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. τὰ ζ κύβισον, γίνονται τ γ ταῦτα πολυπλασίασον ἐπὶ τὰ ια, γίνονται γψογ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ ιδ, γίνονται σξθ U+2220΄.

Τινὲς δὲ πρῶτον τὸ ἐμβαδὸν λαμβάνουσιν ὡς ἐπὶ [*](c) τοῦ κύκλου, καὶ τότε ποιοῦσιν ἐπὶ τὸ ὕψος.

Περὶ δὲ τῆς σφαίρας καὶ κυλίνδρου ὁ αὐτὸς Ἀρχιμήδης ἀπέδειξεν ὅτι ἡ σφαῖρα δίμοιρον μέρος ἐστὶ [*](a) τοῦ περιλαμβάνοντος αὐτὴν κυλίνδρου, καὶ πᾶς κῶνος τρίτον μέρος ἐστὶ κυλίνδρου τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον.