Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. gr. 2448)

ἔχουσι τὰ ιγ τετράγωνα ε ἑξάγωνα.

ἔχουσι τὰ μγ τετράγωνα ιβ ἑπτάγωνα.

ἔχουσι τὰ κθ τετράγωνα Ϛ ὀκτάγωνα.

ἔχουσι τὰ να τετράγωνα η ἐννάγωνα.

ἔχουσι τὰ ιε τετράγωνα β δεκάγωνα.

ἄλλως δὲ πάλιν ἔχουσι τὰ λη τετράγωνα ε δεκάγωνα. αὕτη καὶ ἀκριβεστάτη.

ἔχουσι τὰ ξς τετράγωνα ζ ἑνδεκάγωνα.

ἔχουσι τὰ με τετράγωνα δ δωδεκάγωνα.

Ἀπέδειξεν Ἀρχιμήδης ὅτι τὰ λ τρίγωνα ἰσόπλευρα [*](20a) ἴσα ἐστὶν ιγ τετραγώνοις, ἃ τῶν λ ἐστὶ μέρος τρίτον καὶ δέκατον· ποίει οὖν τὴν πλευρὰν ἐφʼ ἑαυτήν, καὶ τῶν γινομένων τὸ τρίτον καὶ δέκατον ἔσται τὸ ἐμβαδόν· τουτέστι λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται ??· ὧν τρίτον καὶ δέκατον, γίνονται τ??῾· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Ἄλίως τὸ αὐτὸ κάλλιον. τὰ λ ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται [*](b) ??· ταῦτα ἐπὶ τὰ ιγ τετράγωνα, γίνονται α. αψ· ταῦτα μέριζε παρὰ τὰ λ τρίγωνα, γίνονται τ??.

Ἄλλως. εὑρεῖν πρῶτον τὴν κάθετον. τὰ λ ἐφʼ [*](c) ἑαυτά, γίνονται ??· τούτων ἆρον τὸ δʹ, γίνονται σκε· [*](20a, b, c, d. Geom. 17, 1, 3, 4, 5.) [*](5 καὶ addidi( item infra lin. 18 et 19). 10 η]ζA. 17 τρίτον) τρίγωνον A.)

Ἄλλως. τὰ λ τῆς μιᾶς πλευρᾶς ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται καὶ τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως, τουτέστι τὰ ιε, ἐφʼ ἑαυτά, γίνονται σκϚ· ταῦτα ἀπὸ τῶν ??, λοιπὸν χοε· ὧν πλευρὰ τετραγωνικὴ κϚ· τοσοῦτον ἡ κάθετος· ταῦτα ἐπὶ τὸ U+2220ʹ τῆς μιᾶς πλευρᾶς, τουτέστι τῆς βάσεως, ἐπὶ τὰ ιε, γίνονται τ??· τοσοῦτον τὸ ἐμβαδόν.

Τμῆμα ἧττον ἡμισφαιρίου μετρῆσαι, οὗ ἡ διάμετρος ιβ καὶ ἡ κάθετος δ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. τῆς βάσεως U+2220ʹ ἐφʼ ἑαυτό, γίνονται λϚ· ταῦτα τρισσάκις, γίνονται ρη· καὶ τὴν κάθετον ἐφʼ ἑαυτήν, γίνονται ιϚ· σύνθες ὁμοῦ, γίνονται ρκδ· ταῦτα πάλιν ἐπὶ τὴν κάθετον, γίνονταιυ ??Ϛ· ταῦτα ἑνδεκάκις, γίνονται ευνϚ τούτων τὸ καʹ, γίνονται σνθ ??ζ΄· τοσοῦτον τὸ στερεόν.

Eὑρεῖν δὲ ἀπὸ τῆς διαμέτρου καὶ τῆς καθέτου τὴν διάμετρον ὅλης τῆς σφαίρας. τῆς βάσεως τὸ U+2220ʹ ἐφʼ ἑαυτό, γίνονται λῶ· ταύτην μέριζε παρὰ τὴν κάθετον, παρὰ τὰ δ, γίνονται θ· μῖξον ὁμοῦ μετὰ τὰ δ, γίνονται ιγ· τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας.

Ἔστω κῶνος ἀτέλεστος, οὗ ἡ περίμετρος τῆς βάσεως ξ, a ἡ δὲ τῆς κορυφῆς Ϛ, τὰ δὲ κλίματα ἀνὰ ιε· εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. λαμβάνω τὸ γʹ τῆς βάσεως τῶν ξ, γίνονται κ, ἥτις ἐστὶν ἡ διάμετρος· καὶ τῶν Ϛ τῆς κορυφῆς τὸ γʹ, γίνονται β· καὶ ποιῶ ὡς τραπέζιον ἰσοσκελές, καὶ ἀφαιρῶ τὰ β ἀπὸ τῶν κ, λοιπὸν ιη· τούτων τὸ U+2220, θ· ἐπὶ ταῦτα πεσεῖται ἡ κάθετος· ταῦτα [*](22a. Diaemetri et inde altitudo crassius computantur.) [*](11 τρισάκις A.)

Εὑρεῖν αὐτοῦ τὸ στερεόν. σύνθες τὰ ϛ τῆς κορυφῆς [*](b) καὶ τὰ ξ τῆς βάσεως, γίνονται ξϚ· τούτων τὸ ἥμισυ, λγ· ἀναγεγράφθω κύκλος οὗ ἡ περίμετρος λγ· γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν πϚ U+2220 η΄. καὶ ὁμοίως ἀφαιρῶ τὰ ϛ τῆς κορυφῆς ἀπὸ τῶν ξ τῆς βάσεως, λοιπὸν νδ τούτων τὸ ἥμισυ, κζ. ἀναγεγράφθω ἕτερος κύκλος, οὗ ἡ περίμετρος κζ· γίνεται αὐτοῦ τὸ ἐμβαδὸν νη· τούτων τὸ γʹ, ιθ γ΄· ταῦτα προστιθῶ τοῖς ῆϚ U+2220΄η΄· γίνονται ὁμοῦ ρε U+2220 γʹ η΄· ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, ἐπὶ τὰ ιβ, γίνονται ασοα U+2220΄· τοσοῦτον ἔσται τὸ στερεὸν τοῦ κώνου.

Μέθοδος καθολικὴ ἐπὶ τῶν πολυγώνων. οὕτως·

Ἔστω πεντάγωνον οὗ ἡ διάμετρος κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν· οὕτως· πάντοτε τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασιάζεις· τρισσάκις, γίνονται ξ· καὶ μερίζω παρὰ τὸν ε, γίνονται ιβ· τοσοῦτόν ἐστιν ἡ πλευρὰ τοῦ πενταγώνου.

Ἐὰν δὲ θέλῃς τὴν διάμετρον εὑρεῖν τοῦ αὐτοῦ πενταγώνου ἀπὸ τῆς πλευρᾶς, ποίει τὸ ἀνάπαλιν οὕτως· πάντοτε τὸ πεντάκις, γίνονται ξ· ἄρτι μερίζω καθολικῶς· ὧν γʹ, γίνονται κ. τοσοῦτον ἔσται ἡ διάμετρος τοῦ πενταγώνου.

Ἔστω ἑξάγωνον καὶ ἐχέτω τὴν διάμετρον κ· εὑρεῖν αὐτοῦ τὴν πλευράν. ποίει οὕτως· πάντοτε, καθὼς προεῖπον, τὴν διάμετρον καθολικῶς τριπλασίαζε, γίνονται ξ· καὶ μέριζε· ὡν Ϛʹ, ἐπειδὴ ἑξάγωνόν ἐστι, γίνεται ἡ πλευρὰ ι. τοσοῦτον ἔσται ἡ πλευρὰ τούτου.