δῆλον δʼ ἂν γένοιτο τὸ λεγόμενον ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν. εἰ γὰρ τὸ τοῦ κανόνος μέγεθος ιβ΄ μέτρων ὁποιωνοῦν, ἔσται μὲν μέση δίχα διαιρεθείσης 〈τῆς ὅλης χορδῆς, καὶ ἀφέξει〉 Ϛ΄ ἑκατέρωθεν [διαιρουμένη]· ἡ δὲ ὑπάτη τῶν μέσων ἀπὸ τῆς ἀρχῆς δ΄· ἡ δὲ νήτη διεζευγμένων ἀπὸ τῆς τελευτῆς δ΄· καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν δ΄. ἡ δὲ ὑπερυπάτη ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τρία ἀφέξει μεγέθη, ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης ἓν· ἡ δὲ ὑπερβολαία ἀπὸ μὲν τῆς τελευτῆς γ΄, ἀπὸ δὲ τῆς διεζευγμένης ἓν. μεταξὺ δὲ αὐτῶν ϛ΄, ὥστε ἀπὸ τῆς μέσης ἑκατέρα γ΄, καὶ γίνεται ἡ ὅλη διαίρε- σις ἀπὸ μὲν τῆς ἀρχῆς ἐπὶ ὑπερυπάτην γ΄, ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ ὑπάτην ἕν, ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ μέσην δύο, εἶτʼ ἀπὸ μέσης ἐπὶ τὴν διεζευγμένην β΄, ἐντεῦθεν δὲ εἰς τὴν ὑπερβολαίαν ἓν, ἀπὸ δὲ ταύτης εἰς τὴν τελευτὴν γ΄. γίνεται πάντα ιβ΄. ἔσται οὖν πρὸς μὲν τὴν ὑπερβολαίαν 〈ὁ λόγος〉 τῆς μὲν νήτης διεζευγμένων δ΄ πρὸς γ΄ ἐπί- [*](1 τὸν add. A 2 τὸ A2] τῶ A 3 τόνῳ Hull.] τόνον A 4 ὑπερυπατῆς A1, παρυπάτης A 6 ὑπερβολεῶν A) [*](10 εἰ] ἐν A τὸ A1] τῶ A μεγέθει A 11 post μέση duae litt. er. A τῆς ὅλης χορδῆς: cf. p. 87, 13 12 Ϛ΄] ἐξʼ A, em. apogr. 15 ὑπερυπατὴ A1, παρυπάτη A2, atque ita semper αφέξει] ἕξει A. 16 ὑπερβολαία etiam in mg. A 17 ἔν A 18 ἑκάτερα A, em. apogr 23 πρὸς: π ante initium vs. om. A1, add. A 24 διεζευγμένου A1)
90
τριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων, τῆς δὲ μέσης ϛ΄ πρὸς γ΄ διπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν, 〈τῆς δὲ ὑπάτης η΄ πρὸς γ΄ διπλασιεπιδίτριτος ὁ τοῦ διὰ πασῶν〉 καὶ διὰ τεσσά- ρων, τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ΄ πρὸς γ΄ τριπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβα- νομένου ιβ΄ πρὸς γ΄ τετραπλάσιος ὁ τοῦ δὶς διὰ πασῶν· πρὸς δὲ τὴν νήτην διεζευγμένων ὁ λόγος ἐστὶ τῆς μὲν μέσης Ϛ΄ πρὸς δ΄ ἡμιόλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὑπά- της η΄ πρὸς δ΄ διπλάσιος ὁ τοῦ διὰ πασῶν, τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ΄ πρὸς δ΄ 〈διπλασιεπιτέταρτος〉 ὁ τοῦ δὶς διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανομένου ιβ΄ πρὸς δ΄ 〈τριπλάσιος〉 ὁ τοῦ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε· πρὸς δὲ τὴν μέσην τῆς μὲν ὑπάτης η΄ πρὸς ϛ΄ ἐπίτριτος ὁ τοῦ διὰ τεσσάρων, τῆς δὲ ὑπερυπάτης θ΄ πρὸς Ϛ΄ ἡμι- όλιος ὁ τοῦ διὰ πέντε, τῆς δὲ ὅλης τοῦ προσλαμβανο- μένου ιβ΄ πρὸς ϛ΄ διπλάσιος ὁ τοῦ [δὶς] διὰ πασῶν· πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐστὶν ἡ μὲν ὑπερυπάτη θ΄ πρὸς η΄ ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ τῷ τοῦ τόνου, ἡ δὲ ὅλη τοῦ προσλαμι- βανομένου ιβ΄ πρὸς η΄ ἐν ἡμιολίῳ 〈τῷ τοῦ διὰ πέντε〉· πρὸς 〈δὲ〉 τὴν ὑπερυπάτην ἡ ὅλη τοῦ προσλαμβανομέ- νου ιβ΄ πρὸς θ΄ ἐν ἐπιτρίτῳ 〈τῷ〉 τοῦ διὰ τεσσάρων.
ἀντιπεπόνθασι δʼ αἱ λοιπαὶ τῶν κινήσεων κατὰ πυκνοῦ τοῦ ἐπογδόου τόνου καὶ ἐπιτρίτου διὰ τεσσά- [*](2 lacunam suppl. apogr. 5 προσλαμβάνου A Ϛ ιβ, (Ϛ atr) A γ΄ Bull.] Ϛ (δ atr) A 10 θ΄ apogr.) ε A. 16 θὲς del. Bull. 18 τῷ] ὁ A. 20 δὲ add. apogr. ὑπάτην A 22 inscr. περὶ καταπυκνώσεως A. cf. Boeckh kl. Schr. IIl p. 151. de metris Pind. p. 208 αἱ λοιπαὶ] οἱ ἀριθμοὶ? cf. p. 88, 16. 89, 7 23 τοῦ A2] τὸ A1, scr. vid. καταπυκνουμένων vel καταπυκνουμένου ἐπογδόου κτλ.)
91
ρων καὶ ἡμιολίου διὰ πέντε τοῦ κανόνος. ἐπεὶ τὸ ἡμιό- λιον μὲν διὰ πέντε τοῦ ἐπιτρίτου διὰ τεσσάρων ἐπογ- δόῳ τόνῳ ὑπερέχει — οἷον ληφθέντος ἀριθμοῦ ὃς ἔχει καὶ ἣμισυ καὶ τρίτον τοῦ Ϛ΄, τούτου ἐπίτριτος μὲν ὁ η΄, ἡμιόλιος δὲ ὁ θ΄ τὰ δὲ θ΄ τῶν η΄ ἐπόγδοα· Ϛ΄η΄ θ΄· γίνεται ἡ ὑπεροχὴ τοῦ [η΄] ἡμιολίου πρὸς τὸ ἐπίτριτον ἐν λόγῳ ἐπογδόῳ —, τὸ δʼ ἐπίτριτον διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν ἐπογδόων καὶ τοῦ διεσιαίου λείμματος· καταπυ- κνωτέον αὐτὰ τοῖς ἐπογδόοις τόνοις καὶ τοῖς διεσιαίοις λείμμασι. καταπυκνωθείη δʼ ἂν ἀρχομένων ἡμῶν 〈ἀπὸ τῆς〉 νήτης ὑπερβολαίων. τὸ γὰρ ὄγδοον τοῦ μέχρι τῆς τελευτῆς διαστήματος ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν διάτο- νον τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ βαρυτέραν αὐτῆς. τοῦ δὲ ἀπὸ ταύτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαν- τες ἕζομεν τὴν τρίτην τῶν ὑπερβολαίων τόνῳ τῆς δια- τόνου βαρυτέραν. καὶ τὸ λοιπὸν εἰς τὴν νήτην τῶν διεζευγμένων ἔσται τὸ διεσιαῖον λεῖμμα πρὸς συμπλή- ρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν νήτην ὑπερβολαίων. πάλιν δὲ τοῦ ἀπὸ τῆς νήτης διεζευγμένων ἕως τῆς τε- λευτῆς διαστήματος τὸ μὲν ἔνατον λαβόντες καὶ ὑπο- βιβάσαντες ἕξομεν τόνῳ ὀξυτέραν τῆς νήτης διεζευγμέ- νων τὴν χρωματικὴν ὑπερβολαίων. τὸ δὲ ὄγδοον ὑπερ- βιβάσαντες ἕξομεν τὴν παρανήτην διεζευγμένων· ἡ αὐτὴ δὲ καὶ διάτονος καὶ νήτη συνημμένων, τόνῳ βαρυτέρα τῆς νήτης διεζευγμένων. τοῦ δʼ ἀπὸ τῆς νήτης ἕως τῆς τελευτῆς τὸ ὄγδοον λαβόντες καὶ ὑπερβιβάσαντες
[*](1 ἐπεὶ apogr. ἐπὶ A 3 ὃς ἔχει A2] ὡς ἔχοι A 6 η΄ om. apogr. 10 ἀπὸ add. apogr. 11 ὑπερβολαίας A, em. Bull. 15 διατόνων A1 18 ὑπερβολαίαν A 19 διεζευγ- μένης A. 20 διαστήματος Bull.] διάστημα A ἀποβιβασαν- τες A 21 διεζευγμένου A 25 τοῦ] τὸ A) 92
ἕξομεν τὴν τρίτην τῶν διεζευγμένων τόνῳ βαρυτέραν· ἡ δὲ αὐτὴ καὶ διάτονος συνημμένων ἐστίν. ὁμοίως δὲ τοῦ ἀπὸ ταύτης ἔως τῆς τελευτῆς διαστήματος τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τρίτην συνημμένων τόνῳ βαρυτέραν. τὸ δὲ λοιπὸν εἰς τὴν μέσην ἔσται τὸ διε- σιαῖον λεῖμμα εἰς τὴν τοῦ διὰ πασῶν συντέλειαν. ἀπὸ. δὲ τῆς μέσης τὸν αὐτὸν τρόπον 〈τὸ ἔνατον〉 ὑποβιβά- σαντες ἕξομεν τὴν παραμέσην ἢ τὴν χρωματικὴν συνημ- μένων, τόνῳ ὀξυτέραν τῆς μέσης. ταύτης δὲ τὸ ἔνατον ὑποβιβάσαντες ἕξομεν τὴν χρωματικὴν διεζευγμένων. τὸ ὄγδοον δὲ τῆς μέσης ὑπερβιβάσαντες ἕξομεν τὴν τῶν μέσων διάτονον τόνῳ βαρυτέραν τῆς μέσης, εἶτα τὸ ἀπὸ ταύτης ὄγδοον ὑπερβιβάσαντες τὴν παρυπάτην 〈τῶν μέσων〉 ταύτης τόνῳ βαρυτέραν. καὶ ἔστι τὸ λοι- πὸν εἰς τὴν ὑπάτην τῶν μέσων τὸ διεσιαῖον λεῖμμα πρὸς συμπλήρωσιν τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὴν μέσην. ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης τὸ μὲν ἔνατον ὑποβιβάσασιν—ἡ χρω- ματικὴ τῶν μέσων ἔσται τόνῳ ὀξυτέρα. τὸ ὄγδοον δὲ ὑπερβιβάσασιν ἔχειν τὴν ὑπερυπάτην συμβήσεται. ταύ- της δὲ τὸ ὄγδοον ὑπερβιβάσασι παρυπάτη ὑπατῶν γενή- σεται. ἐξ ἀναστροφῆς δὲ ἀπὸ τοῦ προσλαμβανομένου τέμνουσι τὸ ὅλον διάστημα εἰς θ΄ καὶ ἓν ὑπολείπουσι κατὰ τὸ ἐναντίον 〈τῶν〉 νητῶν, ὑπατῶν ὑπάτη γενήσε- ται τόνῳ τῆς ὅλης ὀξυτέρα, συγκλείουσα τὸ τῶν ὑπα- τῶν τετράχορδον τῷ πρὸς τὴν παρυαπάτην λείμματι. καὶ οὕτως συμπληρωθήσεται τὸ πᾶν ἀμετάβολον σύ- στημα κατὰ τὸ διάτονον καὶ χρωματικὸν γένος. τὸ δὲ
[*](8 συνημμένων] συνημμένου τόνου A 9 ἔνναιον A2 19 ὑπερβιβασαμενον A συμβεβηκέναι A. 22 καὶ ἐνυπο- λείπουσι A, em. apogr. 23 κατὰ τὸ ἐν αὐτῷ νητῶν A, em. Bull.) 93
ἐναρμόνιον ἐζαιρουμένων τῶν διατόνων καθʼ ἕκαστον τετράχορδον διπλῳδουμένων γίνεται. εὕροιμεν δʼ ἂν ταῦτα καὶ ἐν ἀριθμοῖς ἀπὸ τῆς νήτης τῶν ὑπερβολαίων ὡρχόμενοι, ὑποτεθείσης αὐτῆς μυρίων τξη΄· οἱ ἐφεξῆς ἐπόγδοοί τε καὶ οἱ λοιποὶ κατὰ τοὺς προειρημένους λό- γους λαμβάνονται, οὓς περίεργον ἐκτιθέναι· ῥᾴδιον δὲ τῷ παρηκολουθηκότι τοῖς προειρημένοις.