De utilitate mathematicae

τρίχα δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης ἥ τε ὑπάτη τῶν μέσων καὶ ἡ νήτη διεζευγμένων γίνεται. ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη διεζευγμένων πρὸς μὲν τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε· δύο γάρ ἐστι διαστήματα πρὸς τρία· πρὸς δὲ τὴν ὑπά- την ἐν τῷ διὰ πασῶν· ἓν γάρ ἐστι διάστημα πρὸς τὰ δύο· πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον 〈ἐν τῷ〉 διὰ πα- σῶν καὶ διὰ πέντε· τοῦ γὰρ 〈προσλαμβανομένου ἐν τῷ〉 διὰ πασῶν ὄντος πρὸς τὴν μέσην προσείληπται τὸ μέχρι τῆς νήτης διάστημα, ὅ ἐστι διὰ πέντε πρὸς τὴν μέσην. ἡ 〈δὲ〉 μέση πρὸς τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ τεσσά- ρων, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πασῶν.

ἡ δὲ ὑπάτη πρὸς τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πέντε. γίνεται δὲ ἴσον τὸ μέγεθος τὸ ἀπὸ τῆς ὑπάτης ἕως μέσης τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὸ ἀπὸ μέσης ἕως νήτης τοῦ διὰ πέντε. καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνθασιν οἱ ἀριθμοὶ τῶν κινήσεων τῇ διαιρέσει τῶν μεγεθῶν. τετραχῇ δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης συνίσταται ἥ τε ὑπερυπάτη καλουμένη, ἡ καὶ διάτονος ὑπατῶν, καὶ ἡ νήτη τῶν ὑπερβολαίων. 〈ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη τῶν ὑπερβολαίων〉 πρὸς μὲν τὴν νήτην τῶν διεζευγμένων ἐν τῷ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πασῶν, πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν ὑπερυπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν ἐπὶ τὸ βαρύ. τῇ δὲ ὑπερυπάτῃ λόγος [*](6 τὸν προσλαμβανόμενον corr. ex τῶν προσλαμβανομένων A. 8 πρὸς] κατὰ A 16 πρὸς ante τῶν del. A 28 ὑπὲρ- υπατὴ A1, παρυπάτη A ἡ corr. ex ἢ A 19 τὸ ὑπερβόλεον A καὶ ἔστιν ἡ μὲν νητη τῶν ὑπερβολαίων add. apogr. 20 προσλαμβανόμενος ὑπατη μέσων νητὴ διεζευγμένη mg. A.) [*](23 ὑπερὑπατὴν A1, παρυπάτην A 25 τὸ corr. ex τῶ A.) [*](ὑπερυπατῆ A1, παρυπάτη A2)