De utilitate mathematicae

καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Θρασύλλου παραδεδομένη κατατομὴ τοῦ κανόνος ὧδε ἔχει. ὃν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῆς τῶν ὅλων ἐφαρμόζεται σφαίρας, ἐπτειδὰν καὶ τοὺς ἀστρονο- μίας ἐκθώμεθα λόγους, παραδείξομεν. νυνὶ δʼ ἐπανέλ- θωμεν ἐπεὶ τὸν τῶν λοιπῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτήτων λόγον, ἐπειδὴ ὡς ἔφαμεν ἡ ἀναλογία καὶ μεσότης, οὐ μέντοι ἡ μεσότης καὶ ἀναλογία. καθὸ δὴ 〈ἡ〉 ἀναλο- γία καὶ μεσότης ἐστίν, ἀκόλουθος ἄν εἴη ὁ περὶ τῶν ἀναλογιῶν καὶ περὶ τῶν μεσοτήτων λόγος.

ἐπειδὴ πάντες οἱ τῶν συμφωνιῶν εὑρέθησαν λόγοι, καθὰ δέδεικται, ἐν τῇ τῆς δεκάδος τετρακτύι, καὶ περὶ τούτων πρότερον λεκτέον. τὴν μὲν γὰρ τετρακτὺν συνέστησεν ἡ δεκάς. ἓν γὰρ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ ι΄· α΄ β΄ γ΄ δ΄. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμφωνία ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ καὶ ἡ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ καὶ ἡ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ καὶ 〈ἡ〉 δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ· ἐξ ὧν συμπληροῦται τὸ ἀμετάβολον διάγραμμα. τοιαύτη μὲν 〈ἡ〉 ἐν μουσικῇ [*](1 καὶ post τῶν del. A 4 μυρίων] μ A, μύρια ap. 9 β mg. A. 10 ἐπιδὰν A, em. ap. 12 τὸν corr. ex τῶν A. 13 ὡς ἔφαμεν: p. 84, 15 15 εἴη ὁ A2] εἷ ἡ A περὶ τῶν] τῶν περὶ A 17 inscr. περὶ τετρακτύος καὶ δεκάδος A. cf. Boeckh kl. Scr. IIl p. 142 ἐπειδὴ 〈δὲ〉? 18 18 δέδεικται: p. 58, 13. 87, 4 τετρακτύη A1 25 inscr. ποσαι τετρακτύες A.)