De utilitate mathematicae

πολλαπλασιεπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἢ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι μέρος [*](1 οἱ μείζονες] ἐπὶ μείζονος? cf. v. 5 4 Ϛδ(?) ante ὁ A, ἑξῆς apogr. 6 inser. περὶ ἐπιμεροῦς λόγου A, κῆ in mg. μείζων; ω ex ο A. 7 ἔχη ex ἔχει A μέρει A, em. apogr. cf. vs. 24. p. 79, 17 13 δὲ primo om. tum add. A ἔχη corr. ex ἔχει A 16 νὴ δία A2] ἡ διἀ A 20 άνομίοις A ὑπομερὴς A 21 τὸ μεῖζον A. 23 inscr. περὶ πολλᾳyλασιε ῷιμορίων A. μείζων corr. ex μεῖζον A 24 ἔχη corr. ex ἔχει A.)

πολλαπλασιεπιμερὴς 〈δέ〉 ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος δὶς ἤ πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ δύο ἢ πλείω τινὰ μέρη αὐτοῦ εἴτε ὅμοια εἴτε διάφορα· οἷον ὁ μὲν τῶν ηʹ δὶς ἔχει τὸν τῶν γʹ καὶ δύο τρίτα αὐτοῦ, λέγεται δὲ διπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν γʹτριπλάσιος καὶ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ιαʹ τοῦ τῶν δʹ διπλάσιός τε καὶ ἡμιόλιος καὶ ἐπιτέταρτος ἢ διπλά- σιός τε καὶ τρὶς ἐπιτέταρτος. καὶ τοὺς ἄλλους δὲ πολλα- πλασιεπιμερεῖς πολλοὺς καὶ ποικίλους ὄντας προχειρί- ζεσθαι ῥᾴιον. τοῦτο δὲ γίνεται, ὅταν ὁ ἐλάττων ἀρ θμὸς καταμετρήσας τὸν μείζονα μὴ ἰσχύσῃ ἀπαρτί- σαι, ἀλλʼ ἀπολείπῃ ἀριθμόν τινα, ἅ ἐστι μέρη αὐτοῦ, [*](3 〈τὸν〉 τῶν] τὸν apogr. 9 καταταμετρῆσαι A, em. apogr. 12 το κϚ A, em. in ed. Bull. 13 ἀπέλειπεν A, em. apogr. 15 inscr. περὶ πολλαπλασιεπιμερῶν A. 16 ἔχῃ apogr.] ἔχει A 18 ἔχων A. 24 ἐλάττων: ων corr. ex ον A. 26 ἅ] ὅ A.)

ἀριθμοῦ δὲ πρὸς ἀριθμὸν λόγος ἐστίν, ὅταν ὁ μεί- ζων πρὸς τὸν ἐλάττονα ἐν μηδενὶ τῶν προειρημένων λόγων, κάθὰ δειχθήσεται καὶ ὁ τὸ λεῖμμα περιέχων [φθόγγος] λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἔχων τοὺς ὅρους ἐν ἐλαχίστοις ὡς ὁ σνςʹ πρὸς σμγ. φανεροὶ δὲ καὶ οἱ τῶν ἐλαττόνων ὅρων πρὸς τοὺς μείζονας λόγοι ἀντεστραμμένως ὑπʼ ἐκείνων προσαγορευόμενοι, καθὰ ἐδείχθη.

πάντων δὲ τῶν κατʼ εἶδος εἰρημένων λόγων οἱ ἐν ἐλαχίστοις καὶ πρώτοις πρὸς ἀλλήλους ἀριθμοῖς ὄντες καθʼ ἕκαστον πρῶτοι λέγονται τῶν τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων καὶ πυθμένες τῶν ὁμοειδῶν. οἷον διπλασίων μὲν λόγων πρῶτος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν βʹ πρὸς ἔν· μετὰ γὰρ τοῦτον ἐν μείζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς λόγοι εἰσὶ διπλάσιοι ὁ τῶν δʹ πρὸς τὰ βʹ καὶ τῶν ϛʹ πρὸς τὰ γʹ καὶ ὁμοίως ἐπʼ ἄπειρον. τριπλασίων δὲ λόγων πρῶ- τος καὶ πυθμὴν ὁ τῶν γʹ πρὸς τὸ ἕν· οἱ δὲ αἰεὶ ἐν μεί- ζοσι καὶ συνθέτοις ἀριθμοῖς ἐπʼ ἄπειρον προάγουσιν. ὡσαύτως δὲ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ὁμοίως δὲ [*](3 ἀπέλειπε A, em. apogr. 7 inscr. τί ἐ στι λόγος ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμόν (corr. ex ἀριθμῶν) A, κδ in mg. μείζων corr. ex μεῖζον A. 8 ᾖ] εἶη A 9 δειχθήσεται; p. 86, 15 13 ἀντεστραμμένως] ἀντεστραμμένοι (ἀπεστραμμέ- νοι A1) ὡς A 14 ἐδεέχθη: p. 74 sq. 15 inser. περὶ πυθμένων λόγων A. 18 διπλάσιον A)

διαφέρει δὲ διάστημα καὶ λόγος, ἐπειδὴ διάστημα μέν ἐστι τὸ μεταξὺ τῶν ὁμογενῶν τε καὶ ἀνίσων ὅρων, λόγος δὲ ἀπλῶς ἡ τῶν ὁμογενῶν ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσις. διὸ καὶ τῶν ἴσων ὅρων διάστημα μὲν οὐδέν ἐστι μεταξύ, λόγος δὲ πρὸς ἀλλήλους εἶς καὶ ὁ αὐτὸς ὁ τῆς ἰσότητος· τῶν δὲ ἀνίσων διάστημα μὲν ἕν καὶ τὸ αὐτὸ ἀφʼ ἑκατέρου 〈πρὸς〉 ἑκάτερον, λόγος δὲ Κίερος καὶ ἐναντίος ἑκατέρου πρὸς ἑκάτερον· οἷον ἀπὸ τῶν βʹ πρὸς τὸ ἕν καὶ ἀπὸ τοῦ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ διάστημα ἕν καὶ τὸ αὐτό, λόγος δὲ ἕτερος, τῶν μὲν δύο πρὸς τὸ ἕν διπλάσιος, τοῦ δὲ ἑνὸς πρὸς τὰ βʹ ἥμισυς.

Ἐρατοσθένης δὲ ἐν τῷ Πλατωνικῷ φησι, μὴ ταὐ- τὸν εἶναι διάστημα καὶ λόγον, ἐπειδὴ λόγος μέν ἐστι δύο μεγεθῶν ἡ πρὸς ἄλληλα ποιὰ σχέσις· γίνεται δʼ αὕτη καὶ ἐν διαφόροις 〈καὶ ἐν ἀδιαφόροις〉. οἷον ἐν φ λόγῳ ἐστὶ τὸ αἰσθητὸν πρὸς τὸ νοητόν, ἐν τούτῳ δόξα πρὸς ἐπιστήμην, καὶ διαφέρει καὶ τὸ νοητὸν τοῦ ἐπιστητοῦ ᾧ καὶ ἡ δόξα τοῦ αἰσθητοῦ. διάστημα δὲ [*](6 inscr. τίνι διαφέρει διάστημα καὶ λό γος A. 12 ἀφʼ apogr.] ἐφʼ A. πρὸς add. apogr. 17 cf. Philol. XXX p. 60 sqq. Bernhardy Eratosth. p. 168 19 μεγεθῶν A) [*](προσάλληλα A. 20 αὐτὴ A: cf. Philol. XXX p. 72 Porph. ad Ptol. Herm. p. 268 ὅτι μὲν τοίνυν ὁ λόγος ἐν δια- φόροις γίνεται ὅροις, ὁμογενέσι δὲ πάντως, καὶ ἐν άδια- φύροις, ὡς Eύκλείδει δοκεῖ, δειχθήσεται· διάστημα δʹ 〈ὅτι〉 ἐν τοῖς διαφέρουσι μεόνον, φανερόν 21 τὸ αἰσθητὸν πρὸς τὸ νοητόν apogr.] τὸ νοητὸν πρὸς τὸ αἰσθητόν A.)

ἀναλογία δʼ ἐστὶ πλειόνων λόγων ὁμοιότης ἢ ταὐτό- της, τουτέστιν ἐν πλείοσιν ὅροις λόγων ὁμοιότης, ὅταν ὃν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, τοῦτον ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον ἢ ἄλλος τις πρὸς ἄλλον. λέγεται δὲ ἡ μὲν συνεχὴς ἀναλογία, ἡ δὲ διῃρημένη, συνεχὴς μὲν ἡ ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις, διῃρημένη δὲ ἡ ἐν ἐλαχίστοις τέσσαρσιν. οἷον μετὰ τὴν ἐν ἴσοις ὅροις ἀναλογίαν συνεχὴς ἐν ἐλαχίστοις ὅροις κατὰ μὲν τὸ διαπλάσιον δʹ βʹ αʹ ἔστι γὰρ ὡς δʹ πρὸς β, οὕτως βʹ πρὸς ἕν. διρρημένη δὲ ϛʹ γ δʹ βʹ ἔστι γὰρ ὡς Ϛʹ πρὸς τὰ γ΄, οὕτως δʹ πρὸς τὰ β΄. τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ἔστι δὲ τρόπον τινὰ καὶ ἡ συνεχὴς ἐν τέτταρσιν ὅροις, δὶς λαμβανομένου τοῦ μέσου. καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων δὲ ὁ αὐτὸς λόγος· συν- εχὴς μὲν ἀναλογία ἐν λόγῳ ἡμιολίῳ θʹ Ϛʹ δʹ, διῃρημένη δὲ θʹ Ϛʹ ιέ ί. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγος.

ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησίν, ὅτι τῆς ἀναλογίας [φύσις] ἀρχὴ λόγος ἐστὶ καὶ. . . . . . . . . . . . . πρώτη [*](1 ἐν corr. ex ἕν A 6 inscr. περὶ ἀναλογίας καὶ ἰσότητος ὁ, κζ in mg. δʼ ἔστι corr. ex δὲ ἐστὶ A. 15 ου συνάπτονται γαρ ἐνὶ μέσῳ ὅρῳ κοινῷ οὐ (scr. οἱ) δύο λόγοι, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δ β ᾶ ὁ β μέσος ὅρος ἐστὶ καὶ κοινός· ὡς γὰρ δ πρὸς β οὕτω β πρὸς ᾶ mg. A 18 οἷον ὡς δ πρὸς β, οὕτω β πρὸς ᾱ· ὁ γὰρ μέσος ὁ β θὲς εἴληπται, μετὰ τοῦ δ ὡς ὑποδιπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦ ἄ ὡς διπλάσιος mg. A. 22 τρα- τοσθένης A 23 καὶ ante ἀρχὴ add. A2. in iis quae ex- ciderunt aequalitatis commemoratmio fuisse videtur; cf. p. 107, 10 sqq. 111, 12 1 ἀρχή post πρώτη add. A2, πρώτη τῆς γενέ- σεως αἰτία Bull. καὶ ante πᾶσι add. A 4 post καὶ una lit. er. A. 11 μικτοῦ corr. ex μικτὸν A τί ἑκάστου γένους στοιχεῖον καὶ ἀρχὴ καὶ πῶς ἐκ τούτων τοῖς ἐξ αὐτῶν ἡ γένεσις mg. A. 20 ὁ ἐστιν ἕν ante κατὰ del. A)

ἔοικε δὲ ὁ Πλάτων μίαν οἴεσθαι συνοχὴν εἶναι μαθημάτων τὴν ἐκ τῆς ἀναλογίας. ἔν τε γὰρ τῷ Ἐπι- νομίῳ φησίν· ἅπαν διάγραμμα ἀριθμοῦ τε σύστημα καὶ ἁρμονίας σύστασιν ἂπεασαν τῆς τε τῶν ἄστρων περι- φορᾶς τὴν ἀναλογίαν οὖσαν μίαν ἀπάντων ἀναφανὴναι δεῖ τῷ κατὰ τρόπον μανθάνοντι· φανήσεται δέ, ἂν ἃ λέγομεν ὀρθῶς τις ἐμβλέπων μανθάνῃ· δεσμὸς γὰρ πεφυκὼς ἀπάντων εἶς ἀναφανήσεται.

διαφέρει δὲ ἀναλογίας μεσότης, ἐπειδὴ εἰ μέν τι ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, εἰ δέ τι μεσότης, οὐκ εὐ- θὺς ἀναλογία. ἐγχωρεῖ γάρ τι κατὰ τάξιν μέσον ὅν μὴ ἔχειν ἀναλόγως πρὸς τὰ ἄκρα· ὡς τὰ δύο μέσα ἐστὶ τῇ τάξει 〈τοῦ ἑνὸς καὶ〉 τῶν γʹ, καὶ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈τῶν ιʹ〉 τὰ γʹ καὶ τὰ δʹ καὶ τὰ εʹ· ἀπὸ γὰρ τοῦ ἑνὸς οὐχ οἷόν [*](3 αὕτη corr. ex αὐτὴ ut vid. A 8 ἔν τε γὰρ τῷ] ἐν τετάρτῳ A, ἐν τῷ γὰρ Hul., cf. p. 2, 15 9 Paeudο Plat. Fpin. p. 991 E ἅπαν praeter Theonem Nicom, introd. arithm. l 3, 5] πᾶν Plato, τα post ἅπαν del. A 11 ἀναλογίαν etiam Nicomachi codices mdliores et lamblichus in Villois. anecd. Gr. lI p. 193] ὁμολογίαν Plato et Nicom. codices deteriores) [*](12 φανήσεται etmiam Nicom. lamtbl. Platonis codor Vatica- nus 5 pr. mn. (aec. Bekk.)] ἀναφανήσεται ceteri ut videtur codices Platonis ᾶ] ὅ Plato 13 ἐμβλέπων etiam lambl.] εἰς ἓν βλέπων Plato 14 ἀπάντων etiam Nicomm.]πάντων Plato) [*](τούτων ante εἴς Plato, sed om. pr. 5 ἀναφανήσεται] διανοουμένοις add. Plato, om. etnam icon. 15 incr. δια- φέρει δὲ ἀναλογία καὶ μιεσότης A. cf.Nessslmann p. 210 sq.) [*](19 τῶν ιʹ add. in ed. Bull.)

ἀναλογίας δὲ ὁ μὲν Θράσυλλός φησιν εἶναι προ- ηγουμένας τρεῖς, ἀριθμιητικὴν γεωμετρικὴν ἁρμονικήν· ἀριθμητικὴν μὲν τὴν ταὐτῷ ἀριθμῷ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, 〈οἷον . . . . . . . . . . .· γεωμετρικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην,〉 οἷον δι- πλασίῳ ἢ τριπλασίῳ, ὡς γ΄ ς΄ ιβ΄· ἁρμονικὴν δὲ τὴν ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην, οἷον τρίτῳ ἢ τετάρτῳ, οἷον ϛ΄ η΄ ιβ΄. . . . . . . . . . . .

τούτων δʼ Κκαστον ἐν ἀριθμοῖς καὶ ἄλλως οὕτως ὁρᾶται· τῶν Ϛ΄ διπλάσιος ὁ ιβ΄, τριπλάσιος δὲ ὁ ιη΄, τε- τρακλάσιος δὲ ὁ κδ΄, ἡμιόλιος δὲ ὁ θ΄, ἐπίτριτος δὲ ὁ η΄· τὰ δὲ θ΄ τῶν η΄ ἐπόγδοα· τὰ δὲ ιβ΄ πρὸς μὲν θ΄ ἐπίτριτα, πρὸς δὲ η΄ ἡμιόλια, πρὸς δὲ Ϛ΄ διπλάσια· τὰ δὲ ιη΄ τῶν θ΄ διπλάσια· τούτων δὲ τὰ κζ΄ ἡμιόλια. καὶ γίνεται μὲν η΄ ἐν τῷ διὰ τεσσάρων πρὸς ϛ΄, τὰ δὲ θ΄ ἐν τῷ διὰ πέντε, τὰ δὲ ιβ΄ ἐν τῷ διὰ πασῶν, τὰ δὲ ιη΄ ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε· τῶν μὲν γὰρ Ϛ΄ διπλά- σια τὰ ιβ΄ ἐστιν ἐν τῷ διὰ πασῶν, τῶν δὲ ιβ΄ τὰ ιη΄ [*](4 καὶ ἐπὶ τῶν β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄] καὶ δ΄ καὶ ἐπὶ τῶν β΄ καὶ γ΄ A 7 μέσα apogr.] μετὰ A 8 inscr. περὶ ἀναλογιῶν A, κθ in mg. θρασύλλος A, em. apogr. 11 οἷον α΄ γ΄ ε΄ ζ΄ θ΄· γεωμετρικὴν δὲ κτλ. suppl. Bull., ζ mg. A, ζη λει γάρ add. A2 14 τουτῶ μέρει A2] ταυτομερεῖ A1 καὶ ὑπερεχο- μένην — ιβ΄ in mg. A 16 sqq. cf. p. 62.)

τὸ δὲ λεῖμμα γίνεται ἐν λιγῶ ὅν ἔχει τὰ σνςʹ πρὸς σμγ΄. εὑρίσκεται δʼ οὕτω· δυεῖν ἐπογδόων ληφθέντων καὶ τούτων τρὶς πολλαπλασιασθέντων καὶ τῷ δὶς ἐπ- ογδόῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου. οἷον εἶς μὲν ἐπόγδοος λόγος ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ η. ἐκι δὲ τούτων γίνονται δύο ἐπόγδοοι οὕτω· τὰ θʹ ἐφʼ ἑαυτὰ γίνεται πα, εἶτα τὰ θʹ ἐπὶ τὰ ηʹ γίνεται οβʹ, ἔπειτα τὰ ηʹ ἐφʼ ἑαυτὰ γίνεται ξδ΄, καὶ ἔστι τὰ μὲν παʹ τῶν οβʹ ἐπόγδοα, τὰ δὲ οβʹ τῶν ξδ΄ ἐπόγδοα. ἂν δὴ τρὶς ταῦτα λάβωμεν, τὰ μὲν παʹ γίνεται τρὶς σμγʹ, τὰ δὲ οβʹ γίνεται σιςʹ, τὰ δὲ ξδ΄ [*](5 συνέστικε A 7 〈ἐκ τοῦ〉 ἡμιολίου? 8 τὰ ιηʹ πρὸς θ΄ 〈διὰ πασῶν〉? 9 διὰ πασῶν συνέστηκεν] διπλασίου ἡμίσεος καὶ A, διπλασίου ἠμισυ καὶ Βull. 13 ἡμιόλιον] διὰ πέντε?) [*](15 inscr. περὶ λείμμιατος ὅ ἐστιν ἐν λόγῳ τῶν σνς πρὸς σμγ A, λ in mg. cf. p. 67 sq. τὸ ἔλιμμα A 16 οὕτω fort. del. 19 γίνωνται A, em. apogr. 21 ἔπειτα; ϊ supra ει del. A 24 τὰ δὲ οβʹ 〈τρὶς〉?)

σνςʹ σμγ΄ σιϚ΄ ρ??β΄ λεῖμμα ἐπόγδοος ἐπόγδοος διὰ τεσσάρων

ἡ δὲ τοῦ κανόνος κατατομιὴ γίνεται δια τῆς ἐν τῇ δεκάδι τετρακτύος, ἣ σύγκειται ἐκ μονάδος δυάδος τριάδος τετράδος, α΄ β΄ γ΄ δ΄· ἔχει γὰρ ἐπίτριτον, ἡμιό- λιον, διπλάσιον, τριπλάσιον, τετραπλάσιον λόγον. διαι- ρεῖ δὲ αὐτὸν ὁ Θράσυλλος οὕτως.

δίχα μὲν διελοῦσι τὸ μέγεθος μέσην ποιεῖ τὸ διὰ πασῶν ἐν τῷ διπλασίῳ λόγῳ, ἀντιπεπονθότως ἐν ταῖς κινήσεσι διπλασίαν ἔχουσαν τάσιν ἐπὶ τὸ ὀξύ. τὸ δὲ ἀντιπεπονθότως ἐστὶ τοιοῦτον· ὅσον ἂν τοῦ μεγέθους ἀφέλῃς τῆς ὅλης ἐν τῷ κανόνι χορδῆς, τοσοῦτον τῷ τόνῳ προστίθεται, καὶ ὅσον ἂν τῷ μεγέθει τῆς χορδῆς προσθῇς, τοσοῦτον τοῦ τόνου ὑφαιρεῖται. τὸ μὲν γὰρ ἥμισυ [προσλαμβανομένη μέση πρὸς τὰ δύο μέρη] μέγε- θος διπλασίαν τάσιν ἔχει ἐπὶ τὸ ὀξύ· τὸ δὲ διπλάσιον μέγεθος ἡμίσειαν τάσιν ἔχει 〈ἐπὶ〉 τὸ βαρύ.

τρίχα δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης ἥ τε ὑπάτη τῶν μέσων καὶ ἡ νήτη διεζευγμένων γίνεται. ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη διεζευγμένων πρὸς μὲν τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πέντε· δύο γάρ ἐστι διαστήματα πρὸς τρία· πρὸς δὲ τὴν ὑπά- την ἐν τῷ διὰ πασῶν· ἓν γάρ ἐστι διάστημα πρὸς τὰ δύο· πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον 〈ἐν τῷ〉 διὰ πα- σῶν καὶ διὰ πέντε· τοῦ γὰρ 〈προσλαμβανομένου ἐν τῷ〉 διὰ πασῶν ὄντος πρὸς τὴν μέσην προσείληπται τὸ μέχρι τῆς νήτης διάστημα, ὅ ἐστι διὰ πέντε πρὸς τὴν μέσην. ἡ 〈δὲ〉 μέση πρὸς τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ τεσσά- ρων, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πασῶν.

ἡ δὲ ὑπάτη πρὸς τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ διὰ πέντε. γίνεται δὲ ἴσον τὸ μέγεθος τὸ ἀπὸ τῆς ὑπάτης ἕως μέσης τοῦ διὰ τεσσάρων πρὸς τὸ ἀπὸ μέσης ἕως νήτης τοῦ διὰ πέντε. καὶ ὁμοίως ἀντιπεπόνθασιν οἱ ἀριθμοὶ τῶν κινήσεων τῇ διαιρέσει τῶν μεγεθῶν. τετραχῇ δὲ τῆς διαιρέσεως γενομένης συνίσταται ἥ τε ὑπερυπάτη καλουμένη, ἡ καὶ διάτονος ὑπατῶν, καὶ ἡ νήτη τῶν ὑπερβολαίων. 〈ἔστι δὲ ἡ μὲν νήτη τῶν ὑπερβολαίων〉 πρὸς μὲν τὴν νήτην τῶν διεζευγμένων ἐν τῷ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν μέσην ἐν τῷ διὰ πασῶν, πρὸς δὲ τὴν ὑπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, πρὸς δὲ τὴν ὑπερυπάτην ἐν τῷ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν προσλαμβανόμενον ἐν τῷ δὶς διὰ πασῶν ἐπὶ τὸ βαρύ. τῇ δὲ ὑπερυπάτῃ λόγος [*](6 τὸν προσλαμβανόμενον corr. ex τῶν προσλαμβανομένων A. 8 πρὸς] κατὰ A 16 πρὸς ante τῶν del. A 28 ὑπὲρ- υπατὴ A1, παρυπάτη A ἡ corr. ex ἢ A 19 τὸ ὑπερβόλεον A καὶ ἔστιν ἡ μὲν νητη τῶν ὑπερβολαίων add. apogr. 20 προσλαμβανόμενος ὑπατη μέσων νητὴ διεζευγμένη mg. A.) [*](23 ὑπερὑπατὴν A1, παρυπάτην A 25 τὸ corr. ex τῶ A.) [*](ὑπερυπατῆ A1, παρυπάτη A2)

δῆλον δʼ ἂν γένοιτο τὸ λεγόμενον ἐπὶ τῶν ἀριθμῶν. εἰ γὰρ τὸ τοῦ κανόνος μέγεθος ιβ΄ μέτρων ὁποιωνοῦν, ἔσται μὲν μέση δίχα διαιρεθείσης 〈τῆς ὅλης χορδῆς, καὶ ἀφέξει〉 Ϛ΄ ἑκατέρωθεν [διαιρουμένη]· ἡ δὲ ὑπάτη τῶν μέσων ἀπὸ τῆς ἀρχῆς δ΄· ἡ δὲ νήτη διεζευγμένων ἀπὸ τῆς τελευτῆς δ΄· καὶ τὸ μεταξὺ αὐτῶν δ΄. ἡ δὲ ὑπερυπάτη ἀπὸ τῆς ἀρχῆς τρία ἀφέξει μεγέθη, ἀπὸ δὲ τῆς ὑπάτης ἓν· ἡ δὲ ὑπερβολαία ἀπὸ μὲν τῆς τελευτῆς γ΄, ἀπὸ δὲ τῆς διεζευγμένης ἓν. μεταξὺ δὲ αὐτῶν ϛ΄, ὥστε ἀπὸ τῆς μέσης ἑκατέρα γ΄, καὶ γίνεται ἡ ὅλη διαίρε- σις ἀπὸ μὲν τῆς ἀρχῆς ἐπὶ ὑπερυπάτην γ΄, ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ ὑπάτην ἕν, ἐντεῦθεν δὲ ἐπὶ μέσην δύο, εἶτʼ ἀπὸ μέσης ἐπὶ τὴν διεζευγμένην β΄, ἐντεῦθεν δὲ εἰς τὴν ὑπερβολαίαν ἓν, ἀπὸ δὲ ταύτης εἰς τὴν τελευτὴν γ΄. γίνεται πάντα ιβ΄. ἔσται οὖν πρὸς μὲν τὴν ὑπερβολαίαν 〈ὁ λόγος〉 τῆς μὲν νήτης διεζευγμένων δ΄ πρὸς γ΄ ἐπί- [*](1 τὸν add. A 2 τὸ A2] τῶ A 3 τόνῳ Hull.] τόνον A 4 ὑπερυπατῆς A1, παρυπάτης A 6 ὑπερβολεῶν A) [*](10 εἰ] ἐν A τὸ A1] τῶ A μεγέθει A 11 post μέση duae litt. er. A τῆς ὅλης χορδῆς: cf. p. 87, 13 12 Ϛ΄] ἐξʼ A, em. apogr. 15 ὑπερυπατὴ A1, παρυπάτη A2, atque ita semper αφέξει] ἕξει A. 16 ὑπερβολαία etiam in mg. A 17 ἔν A 18 ἑκάτερα A, em. apogr 23 πρὸς: π ante initium vs. om. A1, add. A 24 διεζευγμένου A1)

ἀντιπεπόνθασι δʼ αἱ λοιπαὶ τῶν κινήσεων κατὰ πυκνοῦ τοῦ ἐπογδόου τόνου καὶ ἐπιτρίτου διὰ τεσσά- [*](2 lacunam suppl. apogr. 5 προσλαμβάνου A Ϛ ιβ, (Ϛ atr) A γ΄ Bull.] Ϛ (δ atr) A 10 θ΄ apogr.) ε A. 16 θὲς del. Bull. 18 τῷ] ὁ A. 20 δὲ add. apogr. ὑπάτην A 22 inscr. περὶ καταπυκνώσεως A. cf. Boeckh kl. Schr. IIl p. 151. de metris Pind. p. 208 αἱ λοιπαὶ] οἱ ἀριθμοὶ? cf. p. 88, 16. 89, 7 23 τοῦ A2] τὸ A1, scr. vid. καταπυκνουμένων vel καταπυκνουμένου ἐπογδόου κτλ.)