τοὺς δὲ συμφωνοῦντας φθόγγους ἐν λόγοις τοῖς πρὸς ἀλλήλους πρῶτος ἀνευρηκέναι δοκεῖ Πυθαγόρας, τοὺς μὲν διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ, τοὺς δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ, τοὺς δὲ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ, καὶ τοὺς μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων ἐν λόγῳ τῶν η΄ πρὸς γ΄ ὅς ἐστι πολλαπλασιεπιμερής, διπλάσιος γὰρ καὶ δισ- επίτριτός ἐστι, τοὺς δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίῳ, τοὺς δὲ δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ, καὶ τῶν ἄλλων ἡρμοσμένων τοὺς μὲν τὸν τόνον περι- έχοντας ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ, τοὺς δὲ τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον, τότε δὲ δίεσιν, ἐν ἀριθμοῦ λόγῳ πρὸς ἀριθ- [*](1 ἐκεῖνος: Harm. p. 26, 18. cf Westphal l p. 420. Mar- quard p. 267 5 cf. Macrob. in Somn. Scip. lI 4, 13. Procl. ad Plat. Tim. p. 191 E 6 τόνος διάτονον apogr.] διάτονος διατόνου AZ (utrumque intra figurae lineas scriptum, sicut etiam sequentia) 7 τριημιτόνιον χρῶμα apogr. χρωματικοῦ τριημιτονίου AZ 8 δίτονον ἁρμονικόν] ἁρμονικὸν διατόνιον AZ, δίτονον ἐναρμόνιον apogr. 9 sqq. cf. Chalcid. Zeller I p. 371. Westphal l p. 62 10 ἀνευρικέναι A1 11 κεῖται τὸ ὑπόδειγμα ἐπὶ καταγραφῆς ἐν τῷ τέλει mg. A 19 ἀριθμοῦ A] ς΄ Z ἀριθμὸν A] ς΄ Z)
57
μὸν τῷ τῶν σνϚ΄ πρὸς σμγ΄, ἐξετάσας τοὺς λόγους διά τε τοῦ μήκους καὶ πάχους τῶν χορδῶν, ἔτι δὲ τῆς τάσεως γινομένης κατὰ τὴν στροφὴν τῶν κολλάβων ἢ γνωριμώτερον κατα τὴν ἐξάρτησιν τῶν βαρῶν, ἐπὶ δὲ τῶν ἐμπνευστῶν καὶ διὰ τῆς εὐρύτητος τῶν κοιλιῶν ἢ διὰ τῆς ἐπιτάσεως καὶ ἀνέσεως τοῦ πνεύματος, ἢ δι᾿ ὄγκων καὶ σταθμῶν οἷον δίσκων ἢ ἀγγείων. ὅ τι γὰρ ἂν ληφθῇ τούτων κατά τινα τῶν εἰρημένων λόγων, τῶν ἄλλων 〈ἴσων〉 ὄντων, τὴν κατὰ τὸν λόγον ἀπεργάσεται συμφωνίαν.
η΄ δ΄ γ΄ Ϛ΄ γ΄ β΄ διὰ πασῶν διά δ΄ διὰ πασῶν διά ε΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ δ΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ ε΄ η΄ δ΄ β΄ διὰ πασῶν διὰ πασῶν δὶρ διὰ πασῶν
ἀρκείτω δʼ ἡμῖν ἐν τῷ παρόντι διὰ τοῦ μήκους τῶν χορδῶν δηλῶσαι ἐπὶ τοῦ λεγομένου κανόνος. τῆς γὰρ ἐν τούτῳ μιᾶς χορδῆς καταμετρηθείσης εἰς τέσσαρα ἴσα ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος τῷ μὲν ἀπὸ τῶν τριῶν [*](1 τῷ Z] τῶν ut vid. eras. A γὰρ post ἐξετάσας A2 ut vid. 5 κοιλιῶν: οι corr. ex ω A 9 〈ἴσων〉: cf. p. 59, 12. 60, 19. 65, 13. 12 excidit fort. τοῦτο)
58
μερῶν ἐν λόγῳ γενόμενος ἐπιτρίτῳ συμφωνήσει διὰ τεσσάρων, τῷ δὲ ἀπὸ τῶν δύο, τουτέστι τῷ ἀπὸ τῆς β΄ γ΄ Ϛ΄ η΄ διὰ ε΄ διὰ πασῶν διὰ δ΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ ε΄ διὰ πασῶν καὶ διὰ δ΄ δὶς διὰ πασῶν ἡμισείας, ἐν λόγῳ γενόμενος διπλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν, τῷ δὲ ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ συμφωνήσει δὶς διὰ πασῶν. ὁ δὲ ἀπὸ τῶν τριῶν μερῶν φθόγγος πρὸς τὸν ἀπὸ τῶν δύο γενόμενος ἐν ἡμιολίῳ συμφωνήσει διὰ πέντε, πρὸς δὲ τὸν ἀπὸ τοῦ τετάρτου μέρους γενόμενος ἐν λόγῳ τρι- πλασίῳ συμφωνήσει διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε. ἐὰν δὲ εἰς ἐννέα διαμετρηθῇ ἡ χορδή, ὁ ἀπὸ τῆς ὅλης φθόγγος προς τὸν ἀπὸ τῶν ὀκτὼ μερῶν ἐν λόγῳ ἐπογδόῳ τὸ τονιαῖον περιέξει διάστημα.
πάσας δὲ τὰς συμφωνίας περιέχει ἡ τετρακτύς. συνέστησε μὲν γὰρ αὐτὴν α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμ- [*](1 μερῶν Bull.] μέτρων A 11 excidit fort. γενόμενος) [*](13 cf. p. 93, 19 14 συνέστησαν Bull. 15 ἣ διὰ δ ὡς ἔχει ὁ δ πρὸς τὰ γ· η διὰ ε ὡς ὁ γ πρὸς τὸν β ἢ διὰ πασῶν ὡς β πρὸς ᾱ· διὰ πασῶν καὶ διὰ ε ὡς γ πρὸς ᾱ· δὶς δία πασῶν ὡς δ πρὸς ᾱ· τὴν δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ δ οὐκ ἔστιν εὑρεῖν ἐν τῇ τετρακτύι· ἔστι γὰρ ὡς η πρὸς γ mg. A 5 μηκῶν Bull.)
59
φωνία καὶ ἡ διὰ πέντε καὶ ἡ διὰ πασῶν, καὶ ὁ ἐπίτρι- τος λόγος καὶ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος καὶ τριπλάσιος καὶ τετραπλάσιος.
ταύτας δὲ τὰς συμφωνίας οἱ μὲν ἀπὸ βαρῶν ἠξίουν λαμβάνειν, οἱ δὲ ἀπὸ μεγεθῶν, οἱ δὲ ἀπὸ κινήσεων [καὶ ἀριθμῶν], οἱ δὲ ἀπὸ ἀγγείων [καὶ μεγεθῶν]. Λᾶσος δὲ ὁ Ἑρμιονεύς, ὥς φασι, καὶ οἱ περὶ τὸν Μετα- ποντῖνον Ἵππασον Πυθαγορικὸν ἄνδρα συνέπεσθαι τῶν κινήσεων τὰ τάχη καὶ τὰς βραδυτῆτας, διʼ ὧν αἱ συμφωνίαι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ἐν ἀριθμοῖς ἡγούμενος λόγους τοιούτους ἐλάμβανεν ἐπʼ ἀγγείων. ἴσων γὰρ ὄντων καὶ ὁμοίων πάντων τῶν ἀγγείων τὸ μὲν κενὸν ἐάσας, τὸ δὲ ἥμισυ ὑγροῦ 〈πλη- ρώσας〉 ἐψόφει ἑκατέρῳ, καὶ αὐτῷ ἡ διὰ πασῶν ἀπεδί- δοτο συμφωσνία· θάτερον δὲ πάλιν τῶν ἀγγείων κενὸν ἐῶν εἰς θάτερον τῶν τεσσάρων μερῶν τὸ ἓν ἐνέχεε, καὶ κρούσαντι αὐτῷ ἡ διὰ τεσσάρων συμφωνία ἀπεδίδοτο, ἡ δὲ διὰ πέντε, 〈ὅτε〉 ἓν μέρος τῶν τριῶν συνεπλήρου, οὔσης τῆς κενώσεως πρὸς τὴν ἑτέραν ἐν μὲν τῇ διὰ πασῶν ὡς β΄ πρὸς ἕν, ἐν δὲ τῷ διὰ πέντε ὡς γ΄ πρὸς β΄, ἐν δὲ τῷ διὰ τεσσάρων ὡς δ΄ πρὸς γ΄. οἷς ὁμοίως καὶ κατὰ τὰς διαλήψεις τῶν χορδῶν θεωρεῖται, ὡς κροείρηται, ἀλλʼ οὐκ ἐπὶ μιᾶς χορδῆς, ὡς ἐπὶ τοῦ κα- νόνος, ἀλλʼ ἐπὶ δυεῖν· δύο γὰρ ποιήσας ὁμοτόνους ὅτε μὲν τὴν μίαν αὐτῶν διαλάβοι μέσην πιέσας, τὸ ἥμισυ [*](7 λάσος A. cf. Schneidewin de Laso p. 16 οἱ περὶ τὸν A2] οἱ τῶν A μετὰ ποντῖνον A, em. apogr. 8 Ἵππασον: cf. Zeller l p. 457 11 γὰρ post ἐλάμβανεν A2 14 ἐν ante ἑκατέρῳ add. A2 19 κινήσεως A 23 προείρηται: p. 57, 11) [*](24 δυεῖν] om. A1, δύο A2)
60
πρὸς τὴν ἑτέραν συμφωνίαν τὴν διὰ πασῶν ἐποίει· ὅτε δὲ τὸ τρίτον μέρος ἀπολαμβάνοι, τὰ λοιπὰ μέρη πρὸς τὴν ἑτέραν τὴν διὰ πέντε συμφωνίαν ἐποίει· ὁμοίως δὲ καὶ ἐπὶ τῆς διὰ τεσσάρων· καὶ γὰρ ἐπὶ ταύτης μιᾶς τῶν χορδῶν ἀπολαβὼν τὸ τέταρτον μέρος τὰ λοιπὰ μέρη πρὸς τὴν ἑτέραν συνῆπτεν. ὃ δὴ καὶ ἐπὶ τῆς σύριγγος ἐποίει κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον. οἱ δʼ ἀπὸ τῶν βαρῶν τὰς συμφωνίας ἐλάμβανον, ἀπὸ δυεῖν χορδῶν ἐξαρτῶντες βάρη κατὰ τοὺς εἰρημένους λόγους, οἱ δʼ ἀπὸ τῶν μηκῶν, καὶ τῶν χορδῶν . . . . . . . . . ἐπίεσαν, τὰς συμφωνίας ἐν ταῖς χορδαῖς ἀποφαινόμενοι.
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . φθόγγον δὲ εἶναι φωνῆς πτῶσιν ἐπὶ μίαν τάσιν. ὅμοιον γάρ φασιν αὐτὸν αὑτῷ δεῖν εἶναι τὸν φθόγγον καὶ ἐλάχιστον κατὰ διαφοράν, οὐκ ἐκ διαφόρων τάσεων οἷον βαρύτητος καὶ ὀξύτητος. τῶν δὲ φωνῶν αἱ μὲν ὀξεῖαι, αἱ δὲ βαρεῖαι, διὸ καὶ τῶν φθόγγων, 〈ὧν〉 ὁ μὲν ὀξὺς ταχύς ἐστιν, ὁ δὲ βαρὺς βραδύς. εἰ γοῦν εἰς δύο ἰσοπαχεῖς καὶ ἰσοκοίλους 〈αὐλοὺς〉 τετρημένους εἰς σύριγγος τρόπον, ὧν τοῦ ἑτέρου διπλάσιόν ἐστι τὸ μῆκος τοῦ ἑτέρου, ἐμφυσήσαι τις, ἀνακλᾶται τὸ πνεῦμα τὸ ἐκ τοῦ ἡμίσεος μήκους διπλασίῳ τάχει χρώμενον, καὶ 〈γίνεται〉 συμφωνία ἡ διὰ πασῶν βαρέος μὲν φθόγγου τοῦ διὰ τοῦ μείζονος, ὀξέος δὲ τοῦ διὰ τοῦ [*](4 τῆς] τοῦ A 9 οἱ δʼ ἀπὸ τῶν μηκῶν — ἀποφαινόμενοι fort. del. 10 post χορδῶν excidisse videntur verba διάφορα μέρη ἀπολαβόντες vel similia ἐπήεσαν A, em. Bull. cf. p. 59, 25 11 ὒ post τὰς erasum A τοῖς χορδοῖς A 13 inscr. τί ἐστι φθόγγος A φθόγγον κτλ.: Aristox. p. 20, 22. cf. Marquard p. 225 18 εἴγουν A, εἰγοὖν A 19 〈αὐλοὺς〉 cf. p. 61, 2 sqq. 20 ὧν A²] ὃν A 21 ἐμφυσῆσαι τίς A1, ἐμφυοήσαί τις A 22 ἥμισυ A 24 ὄντος addendum vid.)
61
ἐλάττονος. αἴτιον δὲ τάχος τε καὶ βραδυτὴς τῆς φορᾶς. καὶ κατὰ τὰ ἀποστήματα δὲ τῶν ἐν τοῖς αὐλοῖς τρη- μάτων τὰς συμφωνίας ἀπεδίδοσαν καὶ ἐπὶ ἑνός. διχῆ μὲν γὰρ διῃρημένου καὶ τοῦ αὐλοῦ ὅλου ἐμφυσηθέντος ἐκ τοῦ κατὰ τὸ ἢμισυ τρήματος τὸ διὰ πασῶν σύμφωνον ἀποτελεῖται. τριχὴ δὲ διαιρεθέντος καὶ τῶν μὲν δυεῖν μερῶν ὄντων πρὸς τῇ γλωσσίδι, κάτω δὲ τοῦ ἑνός, καὶ τοῦ ὅλου συμφυσηθέντος τοῖς δυσί, τὴν διὰ πέντε γε- νέσθαι συμφωνίαν. τεσσάρων δὲ διαιρέσεων γενο- μένων, τριῶν μὲν ἄνω, κάτω δὲ μιᾶς, καὶ τῷ ὅλῳ συμ- φυσηθέντων τῶν τριῶν γίνεται ἡ διὰ τεσσάρων. οἱ δὲ περὶ Κὔδοξον καὶ Ἀρχύταν τὸν λόγον τῶν συμφωνιῶν ἐν ἀριθμοῖς ῷοντο εἶναι, ὁμολογοῦντες καὶ αὐτοὶ ἐν κινήσεσιν εἶναι τοὺς λόγους καὶ τὴν μὲν ταχεῖαν κίνη- σιν ὄξεῖαν εἶναι ἅτε πλήττουσαν συνεχὲς καὶ ὠκύτερον κεντοῦσαν τὸν ἀέρα, τὴν δὲ βραδεῖαν βαρεῖαν ἅτε νω- θεστέραν οὖσαν.
ταυτὶ μὲν περὶ τῆς εὑρέσεως τῶν συμφωνιῶν· ἐπαν- ἐλθωμεν δὲ ἐπὶ τὰ ὑπὸ τοῦ Ἀδράστου παραδεδομένα. φησὶ γὰρ ὅτι τούτοις τοῖς εἰς τὴν ἀνεύρεσιν τῶν συμ- φωνιῶν ὀργάνοις κατὰ μὲν τοὺς λόγους προπαρασκευα- σθεῖσιν ἡ αἴσθησις ἐπιμαρτυρεῖ, τῇ δὲ αἰσθήσει προσ- ληφθείσῃ ὁ λόγος ἐφαρμόζει. πῶς δὲ καὶ οἱ τὸ λεγό- μενον ἡμιτόνιον περιέχοντες φθόγγοι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ἐν λόγῳ τῷ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ, μικρὸν ὕστερον [*](9 συμφωνίαν] scr. aut συμβαίνει aut συμφωνίαν 〈συμβαίνει〉) [*](12 Εὔδοξον: cf. ldeler, Abh d. Berl. Ak. a. d. J. 1828 p. 200 Ἀρχύταν: cf. Mullach fragm philos. Gr. I p. 564 b. ll p. 118 fr. 6 τὸν λόγον τῶν A2] τῶν λεγόντων A 13 αὐτοὶ; ι corr. ex ει A. 15 πλήττουσαν η corr. ex ει A. 16 βαρεῖαν βραδεῖαν A 18 εὑρήσεως A 25 ὕστερον; p. 67,16)
62
ἔσται φανερόν. δῆλον δὲ ὅτι καὶ αἱ συνθέσεις καὶ αἱ διαιρέσεις τῶν συμφωνιῶν ὁμόλογοι καὶ συνῳδοὶ θεω- ροῦνται ταῖς τῶν κατὰ ταύτας λόγων συνθέσεσί τε καὶ διαιρέσεσιν ἃς πρόσθεν ἐμηνύσαμεν. οἷον ἐπεὶ τὸ διὰ πασῶν ἔκι τε τοῦ δᾶ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων συν- τίθεται καὶ εἰς ταῦτα διαιρεῖται, λόγος δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν διπλάσιος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος, τοῦ δὲ διὰ πέντε ἡμιόλιος, φαίνεται [ὅτι] καὶ ὁ διπλάσιος λόγος συντίθεσθαί τε ἐκ τοῦ ἐπιτρίτου τε καὶ ἡμιολίου καὶ εἰς τούτους διαιρεῖσθαι· τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ τὰ ηʹ ἐπί- τριτα, τῶν δὲ ηʹ τὰ ιβʹ ἡμιόλια· καὶ γίνεται τὰ ιβʹ τῶν ϛʹ διπλάσια· ϛʹ ηʹ ιβʹ. πάλιν δὲ ὁ τῶν ιβʹ πρὸς τὸν ϛʹ λόγος διπλάσιος διαιρεῖται εἰς τε τὸν ἐπίτριτον λόγον τῶν ιβʹ πρὸς τὰ θʹ καὶ εἰς τὸν ἡμιόλιον τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ. ἐπεὶ δὲ καὶ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ, τὸ μὲν γὰρ διὰ πέντε τριῶν τόνων ἐστὶ καὶ ἡμιτονίου, ὁ δὲ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ, φαίνεται καὶ τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου ὑπερέχειν [ἐν] ἐπογδόῳ· ἀπὸ γὰρ ἡμιολίου λόγου οἷον τοῦ τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ ἀφαιρεθέντος τοῦ 〈ἐπιτρίτου〉 λόγου τῶν ηʹ πρὸς τὰ Ϛʹ λείπεται λόγος ἐπόγδοος ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ· καὶ πάλιν τούτῳ τῷ λόγῳ προστεθέντος ἐπιτρίτου λόγου τοῦ τῶν
[*](1 περὶ τῶν ἐν λόγοις συμιφονιῶν συνθέσεων τε καὶ διαιρέ- σεων mg. A. 3 συνθέσεσί τε καὶ διαιρέσεσιν corr. ex σύν- θεσίς τε καὶ διαίρεσις A 4 ἐπεὶ A2] ἐπὶ A 14 τῶν — τῶν] τὸν — τὸν A 16 τὸ μὲν — ἡμιτονίου del. vid., nisi ex- qiderumnt verba τὸ δὲ διὰ τεσσάρων δυεῖν τόνων καὶ ἡμιτονίου) [*](18 ἡμιόλιον Bull.] ἡμιτόνιον A ἐὰν μειωθείη ὁ τῶν θ πρὴς τὰ ϛ λόγος τῷ λόγῳ τῶν ῆ πρὸς τὰ Ϛ· ἔστι δὲ τὸ τρίτον τῶν Ϛ, τουτέστι τὰ β· μειοὔται οὗν αὐξομένου τοῦ ἐλάττοονος ὅρου τῇ δυάδι, καὶ γενήσεται λόγος ἐπόγδοος τῶν θ πρὸς τὰ ῆ mg. A. 22 τούτῳ] οὕτω A.) 63
ιβʹ προς τὰ θʹ συμπληροῦται λόγος ἡμιόλιος τῶν ιβʹ πρὸς τὰ ή. καὶ μὴν ἐπεὶ τὸ μὲν διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ λόγῳ, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ, τὸ ἐξ ἀμφοῖν ἐν λόγῳ τῶν ηʹ πρὸς τὰ γʹ· τῶν μὲν γὰρ γʹ ἐπίτριτα τὰ δʹ, τούτων δὲ διπλάσια τὰ ή. τὸ δὲ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε ἐν λόγῳ τριπλασίονι· ὁ γὰρ ἡμιόλιος καὶ διπλάσιος συντιθέμενοι τοῦτον ποιοῦσιν· ἡμιόλιος μὲν γὰρ ὁ τῶν θʹ πρὸς τὰ Ϛʹ, διπλάσιος δὲ ὁ τῶν ιηʹ πρὸς τὰ θʹ· καὶ γίνεται τριπλάσιος ὁ λόγος τῶν ιηʹ πρὸς τὰ ϛ΄. ὁμοίως δὲ τὸ δὶς διὰ πασῶν ἐν λόγῳ τετραπλασίῴ· οὗτος γὰρ σύγκειται ἐκ δύο διπλασίων· τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ διπλάσια τὰ ιβʹ, τούτων δὲ τὰ κδʹ, ταῦτα δὲ [τὰ] τετραπλάσια τῶν Ϛ΄. ἢμᾶλλον, ὡς κατʼ ἀρχὰς ἐδείξαμεν, ἐπισυντεθεὶς ὁ τριπλάσιος ἐπιτρίτῳ ποιεῖ τετραπλάσιον· ἔστι δὲ τοῦ μὲν διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε τριπλάσιος ὁ λόγος, τοῦ δὲ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτος· ἐξ ἀμφοῖν δὲ τούτοιν τὸ δίς ἐστι διὰ πασῶν· εἰκότως οὖν τοῦτο ἐν λόγῳ φαίνεται τετραπλασίῳ· τῶν μὲν γὰρ Ϛʹ τριπλάσια τὰ ιηʹ, τούτων δὲ ἐπίτριτα τὰ κδʹ, ἅτινά ἐστι τετρα- πλάσια τῶν ϛ΄. καὶ πάλιν τῶν μὲν Ϛʹ ἐπίτριτα τὰ ή, τούτων δὲ τριπλάσια τὰ κδʹ, ἅ ἐστι τετραπλάσια τῶν Ϛ΄. καὶ τὰ ἐκ τούτωον δὲ συντιθέμενα ἐν τούτοις εὑρε- θήσεται οῖς λόγοις, ἐφʼ ὅσον ἂν προαγάγωμεν τὰ συστήματα.
ὁ δὲ Πλάτων καὶ γένος διάτονον καὶ συστήματος μέγεθος ἐπὶ τὸ τετράκις διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε καὶ [*](1 ὅ ἐστι τὰ γ, οἷς ὑπερέχει ὁ ιβ τοῦ θ εἰ προστεθείη (προστεθὴ A1) τοῖς θ, γνεται ιβ, ὅπερ ἐστὶν ἡμιόλιος mg. A.) [*](11 οὑτος corr. ex οὕτως A 25 Πλάτων: Tim. p. 35 sq. cf. Procl. in Tim. p. 192 A 26 ἐπὶ] εἶναι A τετράκι A, em. apogr.)
64
ἡ διὰ δʹ ἡ διά δʹ διὰ πασῶν διά δʹ ἡμιόλιος ἐπίτριτοϚ ἡ διὰ πασῶν διὰ πασῶν καὶ διὰ δʹ διπλάσιος διπλάσιος καὶ δισεπίτριτος διὰ παεῶν διά εʹ διὰ πασῶν διὰ πασῶν διὰ πασῶν καὶ διὰ εʹ θὲς διὰ πασῶν τριπλασιος τετραπλάσιος τόνον προαγήοχεν. εἰ δὲ λέγοι τις, φησὶν ὁ Ἄδραστος, ὡς οὐ δέον ἐπὶ τοσοῦτον ἐκτεῖναι, Ἀριστόξενος μὲν γὰρ ἐπὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων τὸ τοῦ καθʼ αὐτὸν πολυτρόπου διαγράμματος πεποίηται μέγεθος, οἱ δὲ νεώτεροι τὸ πεντεκαιδεκάχορδον τρόπον μέγιστον ἐπὶ τὸ τρὶς διὰ πασῶν καὶ τόνον διεστηκός, ῥητέον, φησίν, ὡς ἐκεῖνοι μὲν πρὸς τὴν ἡμετέραν χρὴσιν ὁρῶν- τες οὕτως ἐποίουν, ἡγούμενοι μὴ πλεῖόν τι τούτων δύνασθαι μήτε τοὺς ἀγωνιζομένους φθέγγεσθαι μήτε
[*](primam fig. levibus diferentiis bis repet. A vel recentior manus 1 cf. Merquard p. 223. 253. Boeckh kl. Sehr. III p. 158 sqq. de metris Pind. p. 213 2 ἐκτείναϚ ut Vid. A1 4 πεποίηται η corr. ex ει A 5 τὸ ε καὶ ι τρόπον μέγιστον A 6 ἐπὶ τὸ θὲς διὰ πασῶν διεστηκός Bull. sed cf. Procl. p. 192 8 ἐποίουν; ουν ex corr. A.) 65
τοὺς ἀκούοντας εὐγνώστως κρίνειν, Πλάτων δὲ πρὸς τὴν φύσιν ὁρῶν, ἐπειδὴ τὴν υχὴν ἀνάγκη συνιστα- μένην καθʼ ἁρμονίαν μέχρι τῶν στερεῶν προάγειν ἀριθμῶν καὶ δυσὶ συναρμόζεσθαι μεσότησιν, ὅπως διὰ παντὸς ἐλθοῦσα τοῦ τελείου στερεοῦ κοσμικοῦ σώμα- τος πάντων ἀντιληπτικὴ γενήσεται τῶν ὄντων, καὶ τὴν ἁρμονίαν αὐτῆς μέχρι τούτου προαγήοχε, τρόπον τινὰ καὶ κατὰ τὴν αὐτῆς φύσιν ἐπʼ ἄπειρον δυναμένην προιέναι.
φησὶ δʼ ὅτι καὶ τοὺς μείζονας ἀριθμοὺς τοῖς ροις φθόγγοις οἰκεῖον ἀποδιδόναι, κeἂν ἐπʼ ἐνίων δόξῃ τάσεων διαφωνεῖν, οἷον ἐπὶ τῆς τάσεως τὴς γινομένης διὰ τῆς ἐξαρτήσεως τῶν βαρῶν. δύο γὰρ ἴσων τό τε μῆκος καὶ πάχος χορδῶν καὶ τἄλλα ὁμοίων τὸ πλεῖον βάρος διὰ τὴν πλείω τάσιν τὸν ὀξύτερον ποιήσει φθόγγον. ἐπεὶ γὰρ τὸ πλεῖον βάρος πλείω τάσιν ποιεῖ, πλείονα τὴν ἔξωθεν προσδίδωσι δύναμιν τῷ κατʼ αὐτὸν ὀξυτέρῳ φθόγγῳ, ἐλάττονα διὰ τοῦτʼ ἔχοντι τὴν ἰδίαν ἰσχὺν τοῦ ἐξαρτήματος. δῆλον ὡς ἀντεστραμμένως ὁ βαρύτερος, τὴν οἰκείαν αὐτοῦ δύναμιν πλείω κεκτημένος τοῦ ἐξαρτήματος, ἐπαρκεῖ πρὸς τὸ σώζειν τὴν οἰκείαν ἁρμονίαν τε καὶ συμφωνίαν. ὥστε τὸν μείζω ἀριθμὸν τῇ πλείονι νεμητέον δυνάμει. ὁμολογεῖ δὲ τούτοις καὶ τὰ ἄλλα. πάλιν γὰρ τὰ μήκη καὶ τὰ πάχη δυσκινησίαν [*](4 cf. Tim. p. 32 B. Westphal p. 66 5 παντὸς] πάντων A: cf. Tim. p. 34 B. 36 D 7 προαγείοχε A 9 προιέναι ex προσιέναι A 13 〈ἐπὶ〉 δύο? 14 πλείω A 16 πλεῖον A2] πλείω A 17 προσδίδωσι corr. ex προδίδωσι A. κατʼ αὐτὸν del. vid. (fort. ad ἰδίαν adscripum fuit) 18 δὲ post ἐλάττονα add. A ἔχοντι: ἔ corr. ex ἔλ. A 19 〈καὶ〉 δῆλον? ἀντεστραμμένος A1)
66
προσάπτοντα ταῖς χορδαῖς ἀσθένειαν παρασκευάζει, ὡς μὴ ῥᾳδίως κινεῖσθαι μηδὲ θᾶττον πλήττειν τε καὶ εἰδο- ποιεῖν πλείονα ὄντα τὸν πέριξ ἀέρα. δῆλον οὖν [ὅτι] ὡς οἱ βαρύτεροι φθόγγοι τὴν αὐτῶν οἰκείαν δύναμιν κατὰτὸν πλείω κέκτηνται ἀριθμόν. ὅμοια δὲ ἔστιν εὑρεῖν καὶ ἐπὶ τῶν ἐμπνευστῶν ὀργάνων. καὶ γὰρ τῶν ἐν τούτοις φθόγγων οἱ βαρύτεροι, διὰ τὸ μῆκος καὶ τὴν εὐρύτητα τῶν τρημάτων πλέον εἰδοποιοῦντες τὸν ἀέρα ἢ νὴ Δία τὴν ἄνεσιν τοῦ πνεύματος ὡς ἐπὶ σάλπιγγος ἢ τῆς ἀρτηρίας, ἀτονώτεροι καὶ ἀσθενέστεροι γινόμενοι τὴν αὐτῶν οἰκείαν δύναμιν ἔχουσι φύσει πλείονα.
κυριωτάτη δὲ πασῶν, φησίν, ἡ διὰ τεσσάρων συμ- φωνία· ἐκ γὰρ ταύτης καὶ αἱ λοιπαὶ εὑρίσκονται. ἡ δὲ διὰ πέντε τόνῳ τοῦ διὰ τεσσάρων διενήνοχεν. ἀμέλει τὸν τόνον οὕτως ὁρίζονται· τὸ ἀπὸ τοῦ διὰ πέντε ἐπὶ τὸ διὰ τεσσάρων διάστημα. εὑρίσκεται δὲ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε τὸ διὰ πασῶν· σύγκειται γὰρ ἐκ τοῦ διὰ τεσσάρων καὶ διὰ πέντε.
οἱ δὲ παλαιοὶ πρῶτον διάστημα τῆς φωνῆς ἔλαβον τὸν τόνον, ἡμιτόνιον δὲ καὶ δίεσιν οὐχ ἡγοῦντο. ὁ δὲ τόνος εὑρίσκετο ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ ἔν τε δίσκων κατα- σκευαῖς καὶ ἀγγείων καὶ χορδῶν καὶ αὐλῶν καὶ ἐξαρ- τήσεων καὶ ἄλλων πλειόνων· τὰ γὰρ ηʹ πρὸς τὰ θʼ ἐποίει τονιαίου ἀκούειν διαστήματος. διὰ τοῦτο δὲ [*](1 ἀσθένιαν A 3 cf. δῆλον ὡς p 65, 19 5 κέκτην- ται Bull.] κέκτηται A. 6 τῶν ἐν A2] τὸν ἐν A 7 φθόγ- γον A 8 τρημάτων corr. ex τρημάτων A 9 νὴ δία apogr.) ἣν ἢ διὰ A1, ἢ νὴ διὰ A2, cf. ad p. 78, 16 10 ἀτο- νώτερος καὶ ἀσθενέστερος γινόμενος τὴν αυτοῦ δύναμιν οἰκείαν (cf. p. 65, 20. 66, 4) ἔχει κτλ. A 14 γὰρ post τόνῳ eras. A.) [*](inscr. τί ἐστι τόνος A ἀμελὲς A)
67
πρῶτον διάστημα ὁ τόνος, ὅτι μέχρι τούτου καταβαί- νουσα ἡ φωνὴ τοῦ διαστήματος ἀπλανῆ τὴν ἀκοὴν φυ- λάσσει. τὸ δὲ μετὰ τοῦτο οὐκέτι οἵα τε ἡ ἀκοὴ πρὸς ἀκρίβειαν λαβεῖν τὸ διάστημα. ἀμέλει περὶ τοῦ ἐφεξῆς διαστήμιατος καλουμένου ἡμιτονίου διαφέρονται, τῶν μὲν τέλειον ἡμιτόνιον αὐτὸ λεγόντων, τῶν δὲ λεῖμμα. συμπληροῦται δὲ τὸ διὰ τεσσάρων, ὅ ἐστιν ἐπίτριτον, τῷ τόνῳ, τουτέστι τῷ ἐπογδόῳ διαστήματι, οὕτω. συμι- φωνεῖται γὰρ παρὰ πᾶσι τὸ διὰ τεσσάρων μεῖζον μὲν εἶναι διτόνου, ἔλαττον δὲ τριτόνου. ἀλλʼ Ἀριστόξενος μέν φησιν ἐκ δύο ἡμίσους τόνων αὐτὸ συγκεῖσθαι τελείων, Πλάτων δὲ ἐκ δύο τόνων καὶ τοῦ καλουμένου λείμματος. τὸ δὲ λεῖμμα τοῦτό φησιν ἀκατονόμαστον εἶναι, ἐν λόγῳ δὲ εἶναι ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ὅν ἔχει τὰ σνςʹ πρὸς σμγ. τὸ δὲ διάστημα τοῦτό ἐστι, καὶ ἡ ὑπεροχὴ ιγ΄. εὑρεθήσεται δὲ οὕτως. τὰ μὲν Ϛʹ οὐκ ἂν εἴη πρῶτος ὅρος, ἐπειδὴ οὐκ ἔχει ὄγδοον, ἵνα ὑπʼ αὐτοῦ γένηται ἐπόγδοος. οὐδὲ μὴν ἱ ηʹ· καὶ γὰρ εἰ ἔχει ἐπόγ- δοον τὸν θʹ, πάλιν ὁ θʹ οὐκ ἔχει ἐπόγδοον. δεῖ δὲ ἐπογδόου ἐπόγδοον λαβεῖν, ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων ἐπίτριτον μεῖζόν ἐστι διτόνου. λαμβάνομεν οὖν τὸν πυθμένα τὸν ἐπόγδοον τὸν ηʹ καὶ θʹ, καὶ τὰ ηʹ ἐφʼ
[*](5 διάφοροι δόξαι περὶ τῆς διὰ δ πόσων ἐστὶ τόνων mg. A.) [*](8 cf. Aristox. Herm. p. 82, 32 10 Ἀριστόξενος; p. 34, 2 11 καὶ post δύο add. A2, ἐκ δύο καὶ δύο ἡμίσεων τόνων perverse cj. Bull. 12 Πλάτων] τοῦτον A: cf. p. 68, 11. Flat. Tim. p. 36 B. Plat. de an. procr. p. 1017 F. 1022 E. Macrob. in Somn. Scip. II 1, 23. Procl. p. 195 D 13 τί ἐστι λεῖμμα mg. A. 16 πῶς εὑρίσκεται τὸ λείμμα mg. A. 18 οὕτως γὰρ ἐν τῇ διὰ δ ἔχει. ὁ γὰρ δεύτερος φθόγγος ἐπόγ- δοος ἐστι τοὺ α· καὶ ὁ τρίτος πάλιν τοῦ β ἐπόγδοος mg. A 22 τὸν ηʹ] ὁ ῆ A1. an scr. 〈ὅς ἐστιν〉 ὁ ηʹ καὶ θ΄? ὁ ante τὰ del. A) 68
ἑαυτά, εὑρίσκομεν ξδʹ, εἶτα τὰ ηʹ ἐπὶ τὰ θʹ, καὶ γίνεται οβʹ, εἴτα τὰ θʹ ἐφʼ ἑαυτά, καὶ γίνεται πα· ηʹ θʹ ἔδʹ οβʹ παʹ· εἶτα πάλιν τούτων ἕκαστον ληφθήτω τρίς, καὶ ἔσται τὰ μὲν ξδʹ τρὶς ρ??βʹ, τὰ δὲ οβʹ τρὶς σιςʹ, τὰ δὲ παʹ τρὶς σμγʹ· ηʹ θʹ ξδʹ οβʼ παʹ ρ??βʹ σιςʹ σμγ· εἶτα προστίθεμεν τοῖς σμγʹ ἀπὸ τῶν ρ??βʹ ἐπίτριτον τὸν σνςʹ· ὥστε εἶναι τὴν ἔκθεσιν τοιαύτην· ἐπίγδοος πυθ- μὴν θʹ ηʹ, δεύτεροι ἐπόγδοοι ξδʹ οβʹ παʹ, τρίτοι ἐπόγ- δοοι ἀλλήλων δύο ρ??βʹ σιςʹ σμγʹ, κείσθω καὶ ὁ τοῦ ρ??βʹ ἐπίτριτος ὁ σνςʹ, ἔσται τοῦτο τὸ ἐπίτριτον συμ- πεπληρωμένον ὑπὸ δύο τόνων καὶ τοῦ εἰρημένου λείμ- ματος. ἔνιοι δὲ πρῶτον ὅρον λαμβάνουσι τὸν τπδ΄. ??βʹ σιςʹ σμγʹ σνϚ΄ ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ ἵνα γὰρ δύο λάβωσιν ἐπογδόους, τὸν πρῶτον ὅρον τὸν Ϛʹ ὀκταπλασιάσαντες ποιοὺσι μή, καὶ ταῦτα πάλιν
[*](6 τουτέστι μετὰ τὸν σμγ· ἄλλον δὲ προστίθεμεν τὸν ἄλϛ ὅς ἔστι τοῦ ρ??β ἐπίτριτος mg. A. 8 δύο ἐφεξῆς ἐπογδόων ὄντων τοῦ ξ οβ πα, ἐπεὶ μὴ ἔχει ἐπίτριτον ὁ ξδ ὅν ἔδει μετὰ πα τεθὴναι ὥστε γενέσθαι τὸν διὰ δ, εἰκότως τούτοις (scr. τού- τουή μὲν ὑπερέβημεν, τοῖς (scr. τοὺς) δὲ ἑξῆς παρειλήφαμεν τὸν ρ??β ῖς θμγ ἔστι γὰρ τοῦ ρ??β ἐπίτριτος ὁ σιϚ, ὁ δὲ ξδ τρίτον οὐκ ἔχει mg A 12 ef. Procl. p. 194 D τὸν] τῶν A 13 πρῶτον] ἕνα A.) 69
ὀκτάκις τπδ΄, οὗ ἐπίτριτος ὁ φιβ΄, μεταξύ δὲ τούτων δύο ἐπόγδοα, τοῦ μὲν τπδ΄ υλβ΄, τούτου δὲ υπϚ΄, ἀφʼ ὧν ἐπὶ τὰ φιβ΄ ὁ λειμματιαῖος γίνεται λόγος. τινὲς δέ τπδ΄ υλβ΄ υπϚ΄ φιβ΄ τόνος τόνος ἐπόγδοος ἐπόγδοος λεῖμμα ἐπίτριτος διὰ δ΄ φασι μὴ ὀρθῶς εἰλὴφθαι τούτους τοὺς ἀριθμούς· τὴν γαρ ὑπεροχὴν τοῦ τετάρτου ὅρου πρὸς τὸν τρίτον μὴ γίνεσθαι ιγ΄, ὅσα Πλάτων εἴρηκε δεῖν ἔχειν τὸ λεῖμμα. οὐδὲν δὲ κωλύεικαὶ ἐφʼ ἑτέρων ἀριθμῶν τὸν αὐτὸν εὑρί- σκειν λόγον ὡς ἔχει τὰ σνϚ΄ πρὸς τὰ σμγ΄. οὐ γὰρ ἀριθ- μὸν ὡρισμένον ἔλαβεν ὁ Πλάτων, ἀλλὰ λόγον ἀριθμοῦ. ὃν δὲ ἔχει λόγον τὰ σνϚ΄ πρὸς σμγ΄, τοῦτον καὶ τὰ φιβ΄ πρὸς τὰ υπϚ΄· τὰ γὰρ φιβ΄ τῶν σνϚ΄ διπλάσια καὶ τὰ υπϚ΄ τῶν σμγ΄. ὅτι δὲ τοῦτο τὸ διάστημα τὸ τῶν σνϚ΄ πρὸς σμγ΄, τουτέστι τὰ ιγ΄, ἔλαττόν ἐστιν ἡμιτονίου, δῆλον. τοῦ γὰρ τόνου ἐπογδόου ὄντος τὸ ἡμιτόνιον δὶς ἐπόγδοον ἔσται, τουτέστιν ἐφεκκαιδέκατον. τὰ δὲ ιγ΄ τῶν σμγ΄ ἐστιν ἐν λόγῳ πλείονι ὀκτωκαιδεκάτου, ὅ ἐστι μέρος ἔλαττον ἑκκαιδεκάτου. οὐδὲ γὰρ οἷόν τε τὸ ἐπόγδοον διαίρεσιν ἐπιδέξασθαι, εἰ καὶ οἱ μὴ λόγῳ
[*](1 οὑ] οὓς A1, ὧν A2 16 ὀκτω post πλείονι del. et ἢ supra vs, add., tum ἐποκτοκαιδεκάτω, π corr. ex φ, supra πο ras. A, ὀκτωκαιδεκάτφ Bull.) 70
ἀλλὰ τῇ ἀκοῇ ταῦτα κρίνοντες νομίζουσιν. ἀμέλει τοῦ ἐπογδόου πυθμένος τὸ διάστημα τουτέστι τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ ἡ μονὰς οὐ τέμνεται. τὸ δὲ λεγόμενον λεῖμμα εἰ τις ἐρωτῴη τίνος ἐστὶ λεῖμμα, δεῖ εἰδέναι ὅτι ἐστὶ τοῦ διὰ τεσσάρων· τῷ γὰρ διὰ τεσσάρων λείπει πρὸς τὸ γενέσθαι δύο ἢμισυ τόνων τελείων.
εὑρέθη δὲ ὁ τόνος οὕτως. ἐπειδὴ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ ἐφάνη ὄν, τὸ δὲ διὰ πέντε ἐν ἡμιο- λίῳ, ἐλήφθη ἀριθμὸς ὁ πρῶτος ἔχων ἢμισυ καὶ τρίτον· ἔστι δὲ οὐτος ὁ ς. τούτου ἐπίτριτος μέν ἐστιν ὁ η΄, ἡμιόλιος δὲ ὁ θ΄. Ϛʹ ηʹ θ΄. τὸ δὴ διάστημα τὸ ἀπὸ τοῦ ἡμιολίου ἐπὶ τὸ ἐπίτριτον εὑρέθη ἐν λόγῳ μὲν ἐπογδόῳ· τὰ γὰρ θʹ τῶν ηʹ ἐπόγδοα· ἡ δὲ τάσις ἐλέχθη τόνος. ὅτι δὲ ὁ τόνος δίχα οὐ διαιρεῖται δῆλον οὕτω. πρῶτον μὲν ὁ ἐπόγδοος πυθμὴν τὸ διάστημα ἔχει μονάδα, ἥτις ἀδιαίρετος. εἶτα ἐν μὲν ἀριθμῷ οὐκ ἀεὶ εἰς ἴσα τέμνε- ται τὸ ἐπόγδοον διάστημα. καὶ γὰρ ἐπὶ τῶν σιϚʹ πρὸς σμγʹ ἡ ὑπεροχὴ κζʹ οὐ τέμνεται εἰς ἴσα, ἀλλὰ εἰς ιγʹ καὶ εἰς ιδ· μονὰς γὰρ οὐ διαιρεῖται. ἐπεὶ δὲ ὁ [*](1 τοῦ ἐπογδόου πυθμένος τῶν θʹ πρὸς τὰ ηʹ τὸ διάστημα τουτέστιν ἠ μονὰς? 3 inscr. τί ἐστι λεῖμμα A 4 ἐρω- τῴη corr. ex ἐρωτῶ ἡ A 6 δύο καὶ ῆμισυ Bull. cf. Strab. VIII p. 379 τριῶν ἥμισυ σταδίων. Didymus apud Prisc. de fig. num. 17 τούς τέσσαρας ἥμισυ πήχεις. Plut. Cat. min, 44 δεκα- δύο ῆμισυ μυριάδας 7 πῶς ηὑρέθη (κυρεθὴ A1) ὁ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λογφ mg. A 10 οὑτος corr. ex οὕτως A. 14 inscr. ὅτι ὁ τόνος δίχα οὐ τέμνεται A. οὕτω eras. A. 15 ὅτι post μὲν A 16 καλῶς δὲ οὐκ ἀ〈εί·〉 ποτὲ γὰρ (γὰρ A2, μὲν A1) τέμνε〈ται·〉 ὁ γοῦν οβ τοῦ ξδ ἐπόγδοος καὶ ἡ 〈ὑ〉περοχή ἐστιν ῆ ἥ〈τις〉 διαιρεῖται δίχ〈α·〉 ἀλλὰ καὶ ὁ πα ἐπόγδοος τοῦ οβ οὗ (corr. ex ὧ) ἡ ὑπεροχὴ θ οὐ διαιρεῖται εἰς ἴσα mg. A. (quae hic et ad p. 71, 14 uncis inclusi, folio circumciso ab- sumpta sunt))
71
τόνος ὁ μέν τις νοήσει λαμβάνεται, ὁ δὲ ἐν ἀριθμοῖς, ὁ δὲ ἐν διαστήμασιν, ὁ δὲ διʼ ἀκοῆς ἐν φωναῖς, οὕτε 〈ὁ〉 ἐν ἀριθμοῖς εἰς ἴσα ἀεὶ τέμνεται, ὡς δέδεικται, οὕτε ὁ ἐν αἰσθητοῖς καὶ ὁρατοῖς διαστήμασιν. ἐπὶ γὰρ τοῦ κανόνος αἰσθητὸς ὢν ὁ ὑποβολεὺς πάντως ἔξει τι πλάτος καὶ οὐκ ἔσται οὕτως ἀπλατής, ὡς μὴ πάντως τι ἐπιλαβεῖν ἐν τῇ διαιρέσει τοῦ τόνου καὶ τοῦ πέρατος τοῦ πρώήτου μέρους καὶ τῆς πρώτης ἀρχῆς τοῦ δευτέρου, καὶ διὰ τοῦτο ἀπαναλωθήσεταί τι τοῦ τόνου. ἔτι ἐν ταῖς διαιρέσεσι τρία ἐστί, δύο μὲν τὰ διαιρούμενα, τρίτον δὲ τὸ ἐξαιρούμενον. τῶν δὲ διαι- ρουμένων ἀπʼ αὐτῆς τῆς διαιρέσεως ὡς ἐπὶ πρίονος ἐν τῇ τομιῇ ἀναλοῦταί τι τὸ ἐξαιρούμενον ὑπʼ αὐτῆς τῆς τομῆς. ὡς οὖν ἐπʼ ἐνίων αἰσθητῶν ἐξαιρεῖταί τι, οὕτω καὶ ἐπὶ πάντων κἂν ἐκφεύγῃ τὴν αἴσθησιν πάν- τως ἀναλωθήσεταί τι ἐν τῇ τομῇ. δόρυ γοῦν ἢ κάλαμον ἢ ἄλλο ὁτιοῦν αἰσθητὸν μὴκος ἂν πρὶν ἢ διελεῖν μετρήσῃς, ἔπειτα διέλῃς εἰς πολλὰ μέρη, εὑρήσεις τὸ τῶν διαιρουμένων πάντων κοινὸν μέτρον ἔλαττον ὄν τοῦ ὅλου πρὶν ἢ διῃρῆσθαι. ἔτι χορδὴν ἂν διέλῃς, εἶτα διακόψῃς, ἡ ἔκτασις μετὰ τὴν διακοπὴν ἀνέδραμε, κἄν πάλιν τὰ διακοπέντα τείνῃς, ἀνάγκη ἀφῃρῆσθαί τι τοῦ
[*](3 ὁ add. A 10 ἐν corr. ut vid. ex ἔτι A. 11 τῶν δὲ] τῶν γὰρ ? 14 τὸῦτο ἐναντ〈ίον〉 τῷ τὴν δοθεῖσαν 〈εὐ〉θεῖαν δίχα τέμν〈νεσθαι〉. εἰ γὰρ καταν〈α〉λίσκεταί τι π〈άντως〉 παν- τὸς διαιρουμένου, οὐ δίχα τέμνε〈ται〉, ἀλλʼ οὐδὲ τὸ δοθὲν μέ- ρος ἀποτέμ〈εται〉. καὶ ἐκ τῆς ἐνεργείας δ〈ῆλον〉 τὸ ψεῦδος. εἰ γὰρ δ〈ι〉αρρξω τρίχα δηλ〈αδή〉, μηδενὸς ἐκ πρη ..(?) γενο- μένου, οὐδὲν αύ〈τῆς〉 παρανάλωται. καὶ ἐπὶ τῶν παραπλ〈η〉σίων ταὐτό mg. A ἐπενίων, ν corr. ex μ A. 16 τι corr. ex τῆ A 18 διέλεις corr. er διελεῖς A. 19 διῃρημένων? ὂν corr. ex ὢν A. 21 ἡ corr. ex ἢ A. 22 τι corr. ex τῆ A.) 72
μεγέθους εἰς τὰς ἐξάψεις τῶν ἑκατέρωθεν ἁφῶν τοῦ τεινομένου. καὶ διὰ τοὔτο οὐκί ἔσται τέλεια δύο ἡμι- τόνια. οὐ μὴν οὐδʼ ἐπὶ τῶν φωνῶν εὑρίσκεται εἰς ἴσα ἡ τομὴ τοῦ τόνου. μελῳδήσας γὰρ τόνον καὶ τόνον μελῳδῶ πάλιν τοῦ ἑνὸς τόνου τὰ δύο ἡμιτόνια ἐν τρισὶ φθόγγοις, δυσὶ δὲ διαστήμασιν ἀναβαίνων τ τάσει. ὁ δὴ τρίτος φθόγγος τοῦ δευτέρου ὀξύτερος ἔσται, καὶ διέστηκεν ἀπὸ μὲν τοῦ πρῶίου τόνον, ἀπὸ δὲ τοῦ δευ- τέρου δοκεῖ μὲν ἡμιτόνιον, οὐ μὴν ὅμοιον ἡμιτόνιον οὐδὲ οἷον ὁ δεύτερος ἀπὸ τοῦ πρώτου· οὐ γὰρ δύναται ὅμοιον εἶναι τὸ βαρύτερον τῷ ὀξυτέρῳ. οὐδὲ γὰρ ἐπὶ τοῦ αὐτοῦ φθόγγου ἂν δὶς μελῳδῆσαι θέλωμεν ιακό- ψαντες τὴν φωνήν, τὸν αὐτὸν ἦχον ἀποδώσομεν, ἀλλʼ ἀνάγκη γενέσθαι τινὰ διαφοράν, ἥτις λήσει τὴν ἀκοήν. οὐδὲ γὰρ κεντῆσαι ταὐτὸν καὶ ὅμοιον δὶς οἷόν τε, οὐδὲ πλῆξαι τὴν αὐτὴν χορδὴν δὶς ὁμοίως, ἀλλὰ ἢ λαγαρώ- τερον ἢ σφοδρότερον, οὐδὲ βάψαι δὶς εἰς τὸ αὐτὸ ὑγρὸν ὁμοίως, οὐδὲ βάψαντα τὸ αὐτὸ ἀνενεγκεῖν διὰ δακτύ- λου ἢ μέλανος ἢ μέλιτος ἢ πίττης. ὁ δὲ νοήσει ληπτὸς τόνος δύναται νοεῖσθαι καὶ εἰς ἴσα διαιρούμενος.
περὶ δὲ τῆς ἐν ἀριθμοῖς ἁρμονίας λεκτέον ἑξῆς, ὅτι [ὁ] ὅρος ἐστὶν ὁ τὸ καθʼ ἕκιαστον ἀποφαίνων ἰδίωμα τῶν λεγομένων, οἷον ἀριθμός, μέγεθος, δύναμις, ὄγκος, βάρος. λόγος δὲ κατὰ μὲν τοὺς περιπατητικοὺς λέγεται πολλαχῶς, ὅ τε μετὰ φωνῆς προφορικὸς ὑπὸ τῶν νεω- [*](1 ἁφῶν: ἀφ corr. ex ἀρκ.. A. 5 μελωδῷ A. 8 διέστη- κεν; η corr. ex ι A . 9 ὅμιοιον] τέλειον? 15 οἷόν τε corr. ex οἴονται A 18 βάψαντα; β corr. ex ψ A. 19 ληπτὸς Bull.] λεπτὸς A. 20 cf. deser. post finen libri 21 inser. τί ἐστιν ὅρος A 22 ὁ om. apogr. 24 inser. ποσαχῶς λέγεται λόγος A. 25 cf. Plut. cum princ. philos. diss. p. 777 C)
73
τερῶν λεγόμενος καὶ ὁ ἐνδιάθετος καὶ ὁ ἐν διανοίᾳ κείμιενος ἄνευ φθόγγου καὶ φωνῆς καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας, καθʼ ὅν λέγεται ἔχειν λόγον τόδε πρὸς τόδε, καὶ ἡ τῶν τοῦ λόγου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῶν τιμώντων καὶ τιμωμένων, καθʼ ὅν φαμεν λόγον τινὸς ἔχειν ἢ μὴ ἔχειν, καὶ ὁ τραπεζιτικὸς λόγος καὶ ὁ ἐν τῷ βιβλίῳ Δημοσθενι- κὸς ἢ Αυσιακὸς καὶ ὁ ὅρος ὁ τὸ τί ἦν εἶναι καὶ τὴν οὐσίαν σημαίνων, ὁριστικὸς ὤν, καὶ ὁ συλλογισμὸς δὲ καὶ ἡ ἐπαγωγὴ καὶ ὁ Αιβυκὸς καὶ ὁ μῦθος καὶ ὁ αἶνος λόγος λέγεται καὶ ἡ παροιμία, ἔτι δὲ καὶ ὁ τοῦ εἴδους καὶ ὁ σπερματικὸς καὶ ἄλλοι πλείονες. κατὰ δὲ Πλά- τωνα τετραχῶς λέγεται λόγος, ἥ τε διάνοια ἄνευ φθόγ- γου καὶ τὸ μετὰ φωνῆς ῥεῦμα ἀπὸ διανοίας καὶ ἡ τῶν τοῦ ὅλου στοιχείων ἀπόδοσις καὶ ὁ τῆς ἀναλογίας. νῦν δὲ πρόκειται περὶ τοῦ τῆς ἀναλογίας λόγου ζητεῖν.
λόγος δέ ἐστιν ὁ κατʼ ἀνάλογον δυοῖν ὅρων ὁμογε- νῶν ἡ πρὸς ἀλλήλους αὐτῶν] ποιὰ σχέσις, οἷον διπλά- σιος, τριπλάσιος. τὰ μὲν γὰρ ἀνομογενῆ πῶς ἔχει πρὸς ἄλληλά φησιν Ἄδραστος εἰδέναι ἀδύνατον· οἷον πῆχυς πρὸς μνᾶν ἢ χοίνιξ πρὸς κοτύλην ἢ τὸ λευκὸν πρὸς τὸ γλυκὺ ἢ θερμόν ἀσύγκριτα καὶ ἀσύμβλητα· τὰ δὲ ὁμο- [*](1 [ὁ] ἐν διανοίᾳ2 2 ἀλογίας A 6 τραπεζητικὸς A.) [*](7 λυσικός A 8 σημαίνων: αι corr. ex ε A ὁριστικὸς Bull.] ὁριστικῶς A 10 τὸ βιβλίον ἔχει παρο (singo lineolae haec verba ad παροιμία relata erant) in mg. del. A. 11 cf. Plat. Soph. p. 263 E. Theaet. p. 206 D 14 ὁ] ἡ A. 16 inscr. τί ἐστι λόγος ἀναλογίας A. ἀναλογίαν Ast ad Nicom. arithm. p. 304 17 cf. p. 81, 8. 18 20 χοῖ- νιξ Bull. cf. Herod. dichr. p. 285. Lebeck paralip. gramnm. Gr. p. 411 κοτύλην: cf. tamen Hultsch griech. u. röm. Metrol. p. 83 21 ante καὶ rasura trium fere litt., γὰρ add. apogr.)
74
γενῆ δυνατόν, οἷον μήκη πρὸς μήκη 〈καὶ〉 ἐπίπεδα πρὸς ἐπίπεδα καὶ στερεὰ πρὸς στερεὰ καὶ βάρη πρὸς βάρη καὶ ὑγρὰ πρὸς ὑγρὰ καὶ χυτὰ πρὸς χυτὰ καὶ ξηρὰ πρὸς ξηρὰ καὶ ἀριθμοὺς πρὸς ἀριθμοὺς καὶ χρόνον πρὸς χρόνον καὶ κίνησιν πρὸς κίνησιν καὶ φωνὴν πρὸς φωνὴν καὶ χυμὸν πρὸς χυμὸν καὶ χρῶμα πρὸς χρῶμα καὶ ὅσα τοῦ αὐτοῦ γένους ἢ εἴδους ὄντα πως ἔχει πρὸς ἄλληλα. ὅρους δὲ λέγομεν τὰ ὁμογενῆ ἢ ὁμοειδῆ λαμβανόμενα εἰς σύγκρισιν, οἷον ὅταν σκεπτώμεθα τίνα λόγον ἔχει τάλαντον πρὸς μνᾶν, ὁμογενεῖς ὅρους φαμὲν τὸ τάλαν- τον καὶ τὴν μνᾶν, ὅτι ἀμφοῖν γένος τὸ βαρν. καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἐ αὐτὸς λόγος. ἀναλογία δέ ἐστι λόγων ἡ πρὸς ἀλλήλους ποιὰ σχέσις, οἷον ὡς βʹ πρὸς ἕν, οὕτως ηʹ πρὸς δ.
τῶν δὲ λόγων οἱ μέν εἰσι μείζονες, οἱ δὲ ἐλάττονες, οἱ δʼ ἔσσι. ὁ μὲν οὖν ἴσος εἶς καὶ ὁ αὐτὸς λόγος καὶ προηγεῖται πάντων τῶν λόγων καὶ ἔστι στοιχειώδης. ἴσοι δέ εἰσιν οἱ κατὰ τὴν αὐτὴν ποσότητα ἐξεαζόμενοι πρὸς ἀλλήλους, οἷον ἕν πρὸς ἕν καὶ βʹ πρὸς βʹ καὶ ιʹ πρὸς ιʹ καὶ ρʹ πρὸς ρ. τῶν δὲ μειζόνων οἱ μὲν πολλα- πλάσιοι, οἱ δὲ ἐπιμόριοι, οἱ δὲ οὐδέτεροι. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, οἱ δὲ ὑπε- πιμόριοι, οἱ δʼ οὐδέτεροι. τούτων δὲ οἱ μὲν ἐν συμ- φωνίᾳ εἰσίν, οἱ δʼ οὔ. αἰ μὲν οὑν συμφωνίαι τῶν [*](4 καὶ χρόνον; ον corr. ex ου A. 7 πῶς A. 8 inscr. τί ἐστιν ὅρος A, ιζ in mg., praeterea quaedam in ng. er.) [*](ὁμοειδῆ corr. ex ὁμοιοειδῆ A. 12 inscr. περὶ ἀναλογίας A, ιη in mg. 15 inscr. περὶ ἰσότητος A, ιθ in mg. ἐλλάττονες A, em. apogr. 18 ποσότητα] ἰσότητα A. 22 ὑπεπιμόριοι corr. ex ὑποέπιμόριοι A. 24 αἱ συμφ. negle- genter dictum (cf. p. 75, 11): nisi scr. ἐν μὲν οὖν συμφωνίᾳ)
75
πολλαπλασίων ὅ τε διπλάσιος καὶ ὁ τριπλάσιος καὶ ὁ τετραπλάσιος, ἐν δὲ ἐπιμορίοις ἡμιόλιος ἐπίτριτος, ἐν οὐδετέρῳ δὲ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ΄, καὶ οἱ τούτοις ὑπεναντίοι ὅ τε ὑποδιπλάσιος καὶ ὁ ὑπο- τριπλάσιος καὶ ὁ ὑποτετραπλάσιος καὶ ὁ ὑφημιόλιος καὶ ὁ ὑπεπίτριτος καὶ ὁ ὑπεπόγδοος καὶ ὁ τῶν σμγʹ πρὸς σνς. καὶ ὁ μὲν διπλάσιος ἐν τῇ διὰ πασῶν εὑρίσκεται συμφωνίᾳ, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται, ὁ δὲ τρίπλασιος ἐν τῇ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, ὁ δὲ τετραπλάσιος ἐν τῇ δὶς διὰ πασῶν, ὁ δʼ ἡμιόλιος ἐν τῇ διὰ πέντε, ὁ δʼ ἐπίτριτος ἐν τῇ διὰτεσσάρων, ὁ δʼ ἐπόγδοος τόνος ἐστίν, ὁ δὲ τῶν σνςʹ πρὸς σμγʹ ἐν λείμματι. ὁμοίως δὲ καὶ οἱ τούτων ὑπεναντίοι. ἐν οὐδετέρῳ δέ εἰσι λόγῳ ὅ τε ἐπόγδοος καὶ ὁ τῶν σνςʹ πρὸς σμγ, ὅτι οὕτε ἐν συμι- φωνίαις εἰσὶν οὕτε ἔξω συμφωνίας· ὁ γὰρ τόνος καὶ τὸ λεῖμμα ἀρχαὶ μέν εἰσι συμφωνίας καὶ συμπληρωτικαὶ συμφωνίας, οὔπω δὲ συμφωνίαι. λέγονται δέ τινες ἐν ἀριθμητικῇ λόγοι ἀριθμῶν οὐ μόνον πολλαπλάσιοι καὶ ἐπιμόριοι, ἀλλὰ καὶ ἐπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς καὶ ἔτι πλείους, περὶ ὧν ἐφεξῆς σαφέστερον παραδώσο- μεν. συνέστηκε δὲ τὸ μὲν διὰ τεσσάρων ἐκ δυεῖν τόνων καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πέντε ἐκ τριῶν τόνων καὶ λείμματος, τὸ δὲ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ διὰ τεσσάρων. ἐκ δὲ τούτων εἰσὶν αἱ προηγούμεναι τῶν ἀναλογιῶν.
[*](3 οὐδετέροις apogr. 6 ὑποεπίτριτος A. ὑπὸγδοος A)[*](7 ἐκ πόσων τόνων ἢ τε διὰ δ καὶ αἱ λοιπαὶ συνεστήκασιν ῶg. A 8 ἐπάνω; p. 56, 12. 62, 6 11 τόνος: immo ἐν τόνῳ 13 ἐν οὐδετέρῳ κτλ. — 25: haec plane supervacanea sunt, quaedam etian inepta 15 sqq. cf. p. 49, 4)[*](18 πολαπλάσιοι A, em. apogr. 20 ἔτι] ἐπὶ A. ἐφεξῆς: p. 78, 6 sqq 21 συνέστηκε corr. ex συνέστικε A.)76
πάλιν δὲ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν παράδοσιν λέγον- ται 〈λόγοι〉 τῶν ἀριθμῶν, ὡς καὶ ὁ Ἄδραστος παρα- δίδωσιν, οἴ μὲν πολλαπλάσιοι, σἱ δὲ ἐπιμόριοι, οἱ δʼ ἐπιμερεῖς, οἱ δὲ πολλαπλασιεπιμόριοι, οἱ δὲ πολλαπλα- σιεπιμερεῖς, οἱ δʼ οὐδέτεροι, τῶν δὲ ἐλαττόνων οἱ μὲν ὑποπολλαπλάσιοι, οἱ δʼ ὑπεπιμόριοι, καὶ οἱ λοιποὶ ἀντι- στρέφοντες τοῖς μείζοσι.
πολλαπλάσιος μὲν οὖν ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος πλεονάκις ἔχῃ τὸν ἐλάττονα, τουτέστιν ὅταν ὁ μείζων ὅρος καταμετρῆται ὑπὸ τοῦ ἐλάττονος ἀπαρτι- ζόντως, ὡς μηδὲν ἔτι λείπεσθαι ἀπʼ αὐτοῦ, καὶ κατʼ εἶδος τοσαυταπλασίων ἕκαστος πολλαπλάσιος δʼ] ὁ μείζων ὅρος λέγεται τοῦ ἐλάττονος, ὁσάκις ἂν καταμε- τρῆται ὑπʼ αὐτοῦ· οἷον ἂν μὲν δίς, διπλάσιος, ἂν δὲ τρίς, τριπλάσιος, ἂν δὲ τετράκις, τετραπλάσιος, καὶ κατὰ τὸ ἐξῆς οὕτως. ἀνάπαλιν δὲ ὁ ἐλάττων τοῦ μείζονος μέρος ὁμώύνυμον τῷ λόγῳ, κατὰ μὲν τὸν διπλάσιον ἥμισυ, κατὰ δὲ τὸν τριπλάσιον τριτημόριον, καὶ λόγος ὁ μὲν ἥμισυς, ὁ δὲ τριτημόριος· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως.
ἐπιμόριος δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ μόριον ἕν τι τοῦ ἐλάττονος, τουτ- [*](3 sqq. οἵδʼ ἐπιμερεῖς, οἱ δὲ πολλαπλάσιεπιμερεῖς (corr. ex πολλαπλάσιοι ἐπιμερεῖς), οἱ δὲ πολλαπλάσιεππιμόριοι (corr. ex πολλαπλάσιοι ἐπιμόριοι), signicato literis β et α vero ordine, A 5 οὐδέτεροι hoc loco inepte dictum, cf. p. 80, 8) [*](6 ὑπομόριοι A, ema. apogr. 8 inscr. τί ἐστιν ὁ πολλα- πλάσιος λόγος A, in mg. 9 ἔχη corr. ex ἔχει A. 10 ἀπαρτιζόντως corr. ex ἀπαρτίζοντος A. 11 κατʼ εἶδος; cf. p. 80, 15 13 μεῖζον (ον in ras.) A, em. apogr. 17 ὁμώνυ- μον corr. ex ὁμονυμον A 21 inscr. τί ἐστιν ἐπιμεόριος λόγος A, χα in mg. μεῖζον A, em. apogr. 22 ἔχη corr. ex ἔχει A.)
77
έστιν ὅταν ὁ μείζων τοῦ ἐλάττονος ταύτην ἔχῃ τὴν ὑπεροχήν, ἥτις τοῦ ἐλάττονος ἀριθμοῦ μέρος ἐστίν. ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος· ὑπερέχει γὰρ αὐτῆς μονάδι, ἥτις ἐδτὶ τῆς τριάδος τὸ τρίτον· καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος ὑπερέχει δυεῖν, ἅτινα τῶν τεσσάρων ἦμισύ ἐστι. διὸ καὶ ἀπὸ τῆς τῶν μερῶν ὀνομασίας ἕκαστος τῶν ἐπιμο- ρίων ἰδίας ἔτυχε προσηγορίας. ὁ μὲν γὰρ τῷ ἡμίσει τοῦ ἐλάττονος μέρει ὑπερέχων ἡμιόλιος ὠνόμασται, ὡς ἡ τριὰς τῆς δυάδος καὶ ἡ ἑξὰς τῆς τετράδος. αὐτήν τε γὰρ ὅλην ἔχει τὴν ἐλάττονα καὶ τὸ μισυ αὐτῆς· ἐν μὲν γὰρ τῇ τριάδι ἔνεστιν ἡ δυὰς καὶ τὸ μισν αὐτῆς ἡ μονάς, ἐν δὲ τῇ ἑξάδι ἡ τετρὰς καὶ τὸ ἥμισυ αὐτῆς ἡ δυάς. πάλιν οἱ τῷ τρίτῳ μέρει τοὺ ἐλάττονος ὑπερ- εχοντες ἐπίτριτοι καλοῦνται, ὡς ἡ τετρὰς τῆς τριάδος, οἱ δὲ τῷ τετάρτῳ ὑπερέχοντες ἐπιτέταρτοι, ὡς ὁ εʹ τῶν δʹ καὶ ὁ ιʹτῶν ηʹ, καὶ ὁμοίως προκόπτοντες ἐπίπεμπτοί τε καὶ ἔφεκτοι καὶ ἐφέβδομοι ἐκλήθησαν πάντες οὐτοι ἔπιμόριοι ὄντες. διὸ καὶ οἱ ἀντικείμενοι τούτοις οἱ ἐλάττονες τῶν μειζόνων ὑπεπιμόριοι ἐκλήθησαν· ὡς γὰρ ἡ τριὰς 〈τῆς〉 δυάδος ἐλέγετο ἡμιόλιος, οὕτως καὶ ἡ δυὰς τῆς τριάδος κατὰ τὸ ἀνάλογον ὑφημιόλιος λε- χθήσεται, καὶ ὁμοίως ἡ τριὰς τῆς τετράδος ὑπεπίτριτος.
ἔστι δὲ τῶν πολλαπλασίων λόγων πρῶτος καὶ ἐλάχιστος ὁ διπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ τριπλάσιος, εἶτα ὁ τετραπλάσιος, καὶ οὕτως οἱ ἑξῆς ἐπʼ ἄπειρον αἰεὶ [*](1 μείζων corr. ex μεῖζον A. 7 τῶ A2] τὸ A 8 ἐφʼ ante ἡμιόλιος A1. cf. Votter additam. ad Steph. Thes. p, 13) [*](13 οἱ A] ἡ A 16 δέκα corr. ex δεκὰς A. 19 ὑπεπι- μόριοι corr. ex ὑποέπιμόριοι A. 20 τῆς add. in ed. Bull.) [*](22 ὑποεπίτριτος A. 23 ἐν post τῶν, et πολλαπλασίων mut. in πολλαπλασίονι A)
78
οἱ μείζονες. τῶν δʼ ἐπιμορίων λόγων πρῶτος καὶ μέ- γιστος ὁ ἡμιόλιος, ὅτι δὴ καὶ τὸ ἥμισυ μέρος πρῶτον καὶ μέγιστον καὶ ἐγγυτάτω τῷ ὅλῳ, μετὰ δὲ τοῦτον ὁ ἐπίτριτος, καὶ ὁ ἐπιτέταρτος, καὶ οὕτω πάλιν ἐπʼ ἄπει- ρον ἡ πρόοδος ἀεὶ ἐπʼ ἐλάττονος.
ἐπιμερὴς δέ ἐστι λόγος, ὅταν ὁ μείζων ὅρος ἅπαξ ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι πλείω μέρη αὐτοῦ τοῦ ἐλάτ- τονος], εἴπε ταὐτὰ καὶ ὅμοια εἴτε ἕτερα καὶ διάφορα· ταὐτὰ μὲν οἷον δύο τρίτα ἢ δύο πέμπτα καὶ εἴ τινα ἄλλα οὕτως· ὁ μὲν γὰρ τῶν εʹ ἀριθμὸς τοῦ τῶν γʹ δὶς ἐπίτριτος, ὁ δὲ τῶν ζ τοῦ τῶν εʹ δὶς ἐπίπεμπτος, ὁ δὲ τῶν ηʹ τοῦ τῶν εʹ τρὶς ἐπίπεμπτος, καὶ οἱ ἑξῆς ὁμοίως· ἕτερα δὲ καὶ διάφορα οἷον ὅταν ὁ μείζων αὐτόν τε ἔχῃ τὸν ἐλάττονα καὶ ἔτι ἢμισυ αὐτοῦ καὶ τρίτον, οἷον ἔχει λόγον ὁ τῶν ιαʹ πρὸς τὸν τῶν Ϛʹ, ἢ πάλιν ἥμισυ καὶ τέταρτον, ὅς ἐστι λόγος τῶν ζ πρὸς δʹ, ἢ νὴ Δία τρί- τον καὶ τέταρτον, ὅν ἔχει λόγον τὰ ιθʹ πρὸς τὰ ιβ΄. παραπλησίως δὲ θεωρείσθωσαν καὶ οἱ λοιποὶ ἐπιμερεῖς δυσὶν ὑπερέχοντες μέρεσιν ἢτρισὶν ἢπλείοσι, καὶ ὁμοίοις ἢ ἀνομοίοις. ὑπεπιμερὴς δέ ἐστιν [ὁ] ἀνάπαλιν ὁ ἐν τῷ προειρημένῳ λόγῳ ἐλάσσων πρὸς τὸν μείζονα ἐξετα- ζόμενος.