De utilitate mathematicae

καὶ ἡ μὲν ὑπὸ Θρασύλλου παραδεδομένη κατατομὴ τοῦ κανόνος ὧδε ἔχει. ὃν δὲ τρόπον καὶ ἐπὶ τῆς τῶν ὅλων ἐφαρμόζεται σφαίρας, ἐπτειδὰν καὶ τοὺς ἀστρονο- μίας ἐκθώμεθα λόγους, παραδείξομεν. νυνὶ δʼ ἐπανέλ- θωμεν ἐπεὶ τὸν τῶν λοιπῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτήτων λόγον, ἐπειδὴ ὡς ἔφαμεν ἡ ἀναλογία καὶ μεσότης, οὐ μέντοι ἡ μεσότης καὶ ἀναλογία. καθὸ δὴ 〈ἡ〉 ἀναλο- γία καὶ μεσότης ἐστίν, ἀκόλουθος ἄν εἴη ὁ περὶ τῶν ἀναλογιῶν καὶ περὶ τῶν μεσοτήτων λόγος.

ἐπειδὴ πάντες οἱ τῶν συμφωνιῶν εὑρέθησαν λόγοι, καθὰ δέδεικται, ἐν τῇ τῆς δεκάδος τετρακτύι, καὶ περὶ τούτων πρότερον λεκτέον. τὴν μὲν γὰρ τετρακτὺν συνέστησεν ἡ δεκάς. ἓν γὰρ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ ι΄· α΄ β΄ γ΄ δ΄. ἐν δὲ τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς ἔστιν ἥ τε διὰ τεσσάρων συμφωνία ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ καὶ ἡ διὰ πέντε ἐν ἡμιολίῳ καὶ ἡ διὰ πασῶν ἐν διπλασίῳ καὶ 〈ἡ〉 δὶς διὰ πασῶν ἐν τετραπλασίῳ· ἐξ ὧν συμπληροῦται τὸ ἀμετάβολον διάγραμμα. τοιαύτη μὲν 〈ἡ〉 ἐν μουσικῇ [*](1 καὶ post τῶν del. A 4 μυρίων] μ A, μύρια ap. 9 β mg. A. 10 ἐπιδὰν A, em. ap. 12 τὸν corr. ex τῶν A. 13 ὡς ἔφαμεν: p. 84, 15 15 εἴη ὁ A2] εἷ ἡ A περὶ τῶν] τῶν περὶ A 17 inscr. περὶ τετρακτύος καὶ δεκάδος A. cf. Boeckh kl. Scr. IIl p. 142 ἐπειδὴ 〈δὲ〉? 18 18 δέδεικται: p. 58, 13. 87, 4 τετρακτύη A1 25 inscr. ποσαι τετρακτύες A.)

ἡ μὲν οὖν προειρημένη τετρακτὺς 〈αὕτη〉, κατʼ ἐπισύνθεσιν τῶν πρώτων ἀποτελουμένη ἀριθμῶν. δευ- τέρα δʼ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἐπηυξημένων ἀπὸ μονάδος κατά τε τὸ ἄρτιον καὶ πε- ριττόν. ὧν πρῶτος μὲν [κατὰ τὸ ἄρτιον] λαμβάνεται ἡ μονάς, ἐπειδὴ αὕτη ἀρχὴ πάντων ἀρτίων καὶ περιτ- τῶν καὶ ἀρτιοπερίττων, ὡς προείρηται, καὶ ἁπλοῦς ὁ ταύτης λόγος· οἱ δʼ ἐφεξῆς τρεῖς ἀριθμοὶ κατὰ τὸ ἄρ- τιον καὶ περιττόν. τὴν δὲ σύνθεσιν λαμβάνουσιν, ἐπειδὴ [*](5 cf. Pyth. carm. aur. vs. 47 sq. Sext. emp. adv. math. IV 2. 3. 9. VII 94. 100. Macr. comm. in Somn. Scip. l 6, 41. Theol. arithm. p. 18. Porph. vita Pyth. 20. lambl. de Pyth. vita 150. 162. Stob. ecl. l 10, 12. Pseudo-Plut. de plac. Phil. I 3. Procl. in Plat. Tim. p. 155 D. Zeller die Philos. der Gr. l p. 368 6 κεφαλά post ψυχᾶ del. A (κεφαλᾷ Sext. VII 97 κιφαλᾷ et Stob.; in eo libro unde A descriptus est fuisse videtur)) [*](7 πηγὴν A1 (sicut Sextus) ἀεννάου A. ceterorumque quos commemoravi scriptorum codices ut videtur longe plurimi apud eosdem partim φύσεως partim φύσιος legitur ῥίζωμα τ A, ῥιζώματ alii: cf. Bekker ad Sext. p. 722, 5 10 αὕτη] cf. p. 96, 9. 97, 1 κατʼ ἐπισύνθεσιν] καὶ ἐπὶ σύνθεσιν A: cf. p. 96, 9, 98, 15 11 ἀποτελουμ i. e. ἀποτελουμένων A. 15 αὕτη corr. ex αὐτὴ A 16 προείρηται: cf. p. 19, 20 17 τρὶς A1)

δύο μιὲν οὖν αὗται τετρακτύες, ἥ τε κατʼ ἐπισύν- θεσιν καὶ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμόν, τούς τε μουσικοὺς καὶ γεωμετρικοὺς καὶ ἀριθμητικοὺς λόγους περιέχου- σαι, ἐξ ὧν καὶ ἡ τοῦ παντὸς ἁρμονία συνέστη. τρίτη δέ ἐστι τετρακτὺς ἡ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν παντὸς μεγέθους φύσιν περιέχουσα· ὅπερ γὰρ ἐν τῇ προτέρᾳ τετρακτύι μονάς, τοῦτο ἐν ταύτῃ στιγμή. ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ πλευρὰν δυνάμενοι ἀριθμοὶ τὰ β΄ καὶ γ΄, τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος τῆς γραμμῆς ἥ τε περιφερὴς καὶ ἡ εὐθεῖα, κατὰ μὲν ἄρτιον ἡ εὐθεῖα, ἐπειδὴ δυσὶ σημείοις περατοῦται, κατὰ δὲ τὸ περιττὸν ἡ περιφερής, ἐπειδὴ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς πέρας οὐκ ἐχούσης περιέχε- ται· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ τετράγωνον δυνάμενοι ὁ δ΄ καὶ ὁ θ΄, τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος ἐπιπέδων, εὐθύ- γραμμον καὶ περιφερόγραμμον· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ κύβον δυνάμενοι ὁ η΄ καὶ ὁ κζ΄ δύο ὄντες ὁ μὲν ἐκ περιττοῦ, ὁ δὲ ἐξ ἀρτίου, τοῦτο ἐν ταύτῃ στερεόν, διτ- τὸν ὄν, 〈τὸ μὲν〉 ἐκ κοίλης ἐπιφανείας ὡς σφαῖρα καὶ [*](5 ἐν τῷ Τιμαίῳ: p. 35 B 6 ἕσχατος ex αἴσχατος A.) [*](8 γίνωνται A, em. apogr. 12 γ mg. A. 14 sqq. cf. Ζeller l p. 375, 5 15 τετρακτύη A 17 διττὸν] διάτονον A 18 εὐθία A 19 περιττοῦται A. 20 ἐπειδὴ 〈ὁ κύ- κλος〉? 23 περιφορόγραμμον A, em. apogr.)

τετάρτη δὲ τετρακτύς ἐστι τῶν ἁπλῶν 〈σωμάτων〉, πυρὸς ἀέρος ὕδατος γῆς, ἀναλογίαν ἔχουσα τὴν κατὰ τοὺς ἀριθμούς. ὅπερ γὰρ ἐν ἐκείνῃ μονάς, ἐν ταύτῃ πῦρ· ὃ δὲ δυάς, ἀήρ· δὲ τριάς, ὕδωρ· ὃ δὲ τετράς, γῆ. τοιαύτη γὰρ ἡ φύσις τῶν στοιχείων κατὰ λεπτο- μέρειαν καὶ παχυμέρειαν, ὥστε τοῦτον ἔχειν τὸν λόγον πῦρ πρὸς ἀέρα, ὅν ἓν πρὸς β΄, πρὸς δὲ ὕδωρ, ὃν ἓν πρὸς γ΄, πρὸς δὲ γῆν, ὃν ἓν πρὸς δ΄· καὶ τἆλλα ἀνάλο- γον πρὸς ἄλληλα.

πέμπτη δʼ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν σχημάτων τῶν ἁπλῶν σωμάτων. ἡ μὲν γὰρ πυραμὶς σχῆμα πυρός, τὸ δὲ ὀκτάεδρον ἀέρος, τὸ δὲ εἰκοσάεδρον ὕδατος, κύβος δὲ γῆς.

ἕκτη δὲ τῶν φυομένων. τὸ μὲν σπέρμα ἀνάλογον μονάδι καὶ σημείῳ, ἡ δὲ εἰς μῆκος αὔξη δυάδι καὶ γραμμῇ, ἡ δὲ εἰς πλάτος τριάδι καὶ ἐπιφανείᾳ, ἡ δὲ εἰς πάχος τετράδι καὶ στερεῷ.

ἑβδόμη δὲ τετρακτὺς ἡ τῶν κοινωνιῶν. ἀρχὴ μὲν καὶ οἷον μονὰς ἄνθρωπος, δυὰς δὲ οἶκος, τριὰς δὲ κώμη, τετρὰς δὲ πόλις. τὸ γὰρ ἔθνος ἐκ τούτων σύγκειται.

καὶ αὗται μὲν ὑλικαί τε καὶ αἰσθηταὶ τετρακτύες. ὀγδόη δὲ τετρακτὺς ἥδε, τούτων κριτικὴ καὶ νοητή τις [*](4 〈σωμάτων〉: cf. vs. 14. p 98, 17 8 λεπτομερίαν A 9 παχυμερίαν A 13 ε mg. A 17 ϛ mg. A 18 19 ἡ] ἡ εἰ A 19 ἐπιφανία A 21 ζ mg. A 22 δνυὰς A2] δευτέρα A τριὰς A2] τρίτη A 23 τετρὰς A2] τετάρτῃ A σύγκειτ- ται: post ει una lit. er. A 25 ῆ mg. A. ἥδε] αἱ δὲ A1, αἵδε αἱ A κριτικαὶ καὶ νοηταί τινες οὗσαι A: cf. p. 98, 19)

ἐνάτη δὲ τετρακτύς, ἐξ ἧς συνέστηκε τὸ ζῷον, ψυχή τε καὶ σῶμα. ψυχῆς μὲν γὰρ μέρη λογιστικὸν θυμικὸν ἐπιθυμητικόν, καὶ τέταρτον σῶμα, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ψυχή. δεκάτη δὲ τετρακτὺς ὡρῶν διʼ ἃς γίνεται πάντα, ἔαρ θέρος μετόπωρον χειμών.

ἑνδεκάτη δὲ ἡλικιῶν, νηπίου μειρακίου ἀνδρὸς γέ- ροντος.

ὥστε τετρακτύες ἕνδεκα· πρώτη ἡ κατὰ σύνθεσιν ἀριθμῶν, δευτέρα δὲ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἀριθμῶν, τρίτη κατὰ μέγεθος, τετάρτη τῶν ἁπλῶν σωμάτων, πέμ- πτη τῶν σχημάτων, ἕκτη τῶν φυομένων, ἑβδόμη τῶν κοινωνιῶν, ὀγδόη κριτική, ἐνάτη τῶν μερῶν τοῦ ζῴου, δεκάτη τῶν ὡρῶν, ἑνδεκάτη ἡλικιῶν. ἔχουσι δὲ πᾶσαι ἀναλογίαν· ὃ γὰρ ἐν τῇ πρώτῃ καὶ δευτέρᾳ μονάς, τοῦτο ἐν τῇ τρίτῃ στιγμή, ἐν δὲ τῇ τετάρτῃ πῦρ, ἐν δὲ τῇ πέμπτῃ πυραμίς, ἐν δὲ τῇ ἕκτῃ σπέρμα, 〈καὶ〉 ἐν τῇ ἑβδόμῃ ἄνθρωπος, καὶ ἐν τῇ ὀγδόῃ νοῦς, καὶ τὰ λοιπὰ ἀνάλογον· οἷον πρώτη μονὰς δυὰς τριὰς τετράς, δευ- [*](4 ἐπιστήμην ut vid. A ἐστὶ om. apogr. 5 κοινὴ A1, cf. Theol. arithm. p. 20 καὶ ἐν τοῖς ζῴοις δὲ αἰσθήσεις τέσσα- ρες ὡρισμέναι καταλαμβάνονται τῆς ἁρῆς ὑποβεβλημένης ἁπά- σμις 8 θ mg. A ἐξ ἧς apogr.] ἑξῆς A. 11 ῑ mg. A) [*](13 ια mg. A. 16 in. ἀριθμοί A δύο ante δευτέρα del. A λαπλασιασμῶν A 21 μονάς Bull.] ἀριθμὸς A. 23 〈καὶ〉 ἐν τῇ] ἐν δὲ τῇ apogr.)

ἡ μὲν γὰρ μονας ἀρχὴ πάντων καὶ κυριωτάτη πα- [*](1 τετραγωνον corr. ex τετραγώνων A. 6 θυμηκὸν A1) [*](7 μετ᾿ ὅπορον A 8 ante ἐκ una lit. er. A 10 δύνα- μιν A. 13 τῶ supra vs. add A 14 χρῆσθαι post ἐλέγοντο probabiliter add. A2, sed exciderunt plura cf. Chalcid. 35. Sext. Emp. adv. math. IV 3. VII 94. Ζeller l p. 317, 2 17 inscr. περὶ δεκά δος A 18 δεκάδα corr. ex δεκάδος A. 24 inscr. περὶ μονάδος A, ᾱ in mg.)

πρώτη δὲ αὔξη καὶ μεταβολὴ ἐκ μονάδος εἰς δυάδα κατὰ διπλασιασμὸν τῆς μονάδος, καθʼ ἣν ὕλη καὶ πᾶν τὸ αἰσθητὸν καὶ ἡ γένεσις καὶ ἡ κίνησις καὶ ἡ αὔξησις καὶ ἡ σύνθεσις καὶ κοινωνία καὶ τὸ πρός τι.

ἡ δὲ δυὰς συνελθοῦσα τῇ μονάδι γίνεται τριάς, ἥτις πρώτη ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ τελευτὴν ἔχει. διὸ καὶ πρώτη λέγεται πάντα εἶναι· ἐπὶ γὰρ ἐλαττόνων αὐτῆς οὐ λέγεται πάντα εἶναι, ἀλλὰ ἓν καὶ ἀμφότερα, ἐπὶ δὲ τῶν τριῶν πάντα. καὶ τρεῖς σπονδὰς ποιούμεθα δη- λοῦντες ὅτι πάντα ἀγαθὰ αἰτούμεθα, καὶ τοὺς κατὰ πάντα ἀθλίους τρισαθλίους καλοῦμεν καὶ τοὺς κατὰ πάντα μακαρίους τρισμακαρίους. πρώτη δὲ καὶ ἡ τοῦ ἐπιπέδου φύσις ἐκ τούτου. ἡ γὰρ τριὰς οἷον εἰκὼν ἐπι- πέδου, καὶ πρώτη αὐτοῦ ὑπόστασις ἐν τριγώνῳ, καὶ διὰ τοῦτο τρία αὐτῶν γένη, ἰσόπλευρον ἰ σκα- [*](3 τῆς supra vs. add. A. 5 ἰδεῶν; ε ante ἰ er. A. 7 τὸ om. apogr 8 inscr. περὶ δυάδος A, β in mg. 13 περὶ τριάδος A, γ in mg. cf. Chalcid. 38 14 μέσον? μεσότητα Roether ad lo. Lyd. de mens. p. 52 15 ἐπὶ corr. ex ἐπεὶ A 16 ἀμφότερα corr. ex δἰ ἀμφοτέρας A ἐπὶ corr. ex ἐπεὶ A. 17 τρεῖς] τὰς A. 21 εἰκὼν ἐπνπέδου] ἡ κατεπιπέδου, ο post τ er. et supra ε ras. A: cf. p. 101, 11 22 πρώτη apogr.] πρώτου A ⧅ (signum quadrati) supra ∇ω (i. e. τριγώνῳ) er. A.)

ἡ δὲ τετρὰς στερεοῦ ἐστιν εἰκὼν πρῶτός τε ἀριθμὸς [καὶ] τετράγωνός ἐστιν ἐν ἀρτίοις· καὶ αἱ συμφωνίαι δὲ πᾶσαι κατʼ αὐτὸν συμπληροῦνται, ὡς ἐδείχθη.

ἡ δὲ πεντὰς μέση ἐστι τῆς δεκάδος. ἐὰν γὰρ καθʼ ὁποιανοῦν σύνθεσιν ἐκ δύο ἀριθμῶν τὸν ι΄ συνθῇς, μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλο- γίαν· οἷον θ΄ καὶ α΄, καὶ η΄ καὶ β΄, καὶ ζ΄ καὶ γ΄, καὶ ϛ΄ καὶ δ΄· αἰεί τε ι΄ ποιήσεις καὶ μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν, ὡς δηλοῖ τὸ διά- γραμμα, κατὰ πᾶσαν σύνθεσιν τῶν συμπληρούντων τὰ ι΄ δυεῖν ἀριθμῶν [μέσος εὑρεθήσεται ὁ ε΄ κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν] τῷ ἴσῳ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχων τε καὶ ὑπερεχόμενος.

πρῶτον δὲ καὶ περιέλαβε τὸ τοῦ παντὸς ἀριθμοῦ εἶδος ὁ ε΄, τὸν ἄρτιόν τε καὶ περιττόν, λέγω τὴν δυάδα τε καὶ τριάδα· ἡ γὰρ μονὰς οὐκ ἦν ἀριθμός.

ὁ δὲ Ϛ΄ τέλειος, ἐπειδὴ τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσίν ἐστιν ἴσος, ὡς δέδεικται· διὸ καὶ γάμον αὐτὸν ἐκάλουν, ἐπεὶ γάμου ἔργον ὅμοια ποιεῖ τὰ ἔκγονα τοῖς γονεῦσι. καὶ κατὰ τοῦτον δὲ πρῶτον συνέστη ἡ ἁρμονικὴ μεσότης ληφθέντος [μὲν] τοῦ Ϛ΄ ἐπιτρίτου 〈μὲν〉 λόγου τῶν η΄, διπλασίου δὲ τῶν ιβ΄· ϛ΄ η΄ ιβ΄· τῷ γὰρ αὐτῷ μέρει ὁ η΄ τῶν ἄκρων ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται, ϛ΄ η΄ ιβ΄, τουτέστι τῷ τρίτῳ· καὶ ἀριθμητικὴ δὲ μεσότης ληφθέντος τοῦ ϛ΄ ἡμιολίου μὲν λόγου τῶν θ΄, διπλασίου δὲ τῶν ιβ΄· τῷ γὰρ αὐτῷ ἀριθμῷ τὰ θ΄ ὑπερέχει τῶν ἄκρων καὶ ὑπερ- ἐχεται· ποιεῖ δὲ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν μέσος λη- φθείς· ἂν γὰρ ἥμισυ αὐτοῦ λάβωμεν τὸν γ΄ καὶ διπλά- σιον τὸν ιβ΄, ἔσται ἡμῖν ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία γ΄ Ϛ΄ ιβ΄· τῷ γὰρ αὐτῷ λόγῳ τὰ ϛ΄ τῶν ἄκρων ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται, γ΄ ϛ΄ ιβ΄, τουτέστι τῷ διπλασίῳ.

καὶ ἡ ἑβδομὰς δὲ τῆς δεκάδος οὖσα θαυμαστὴν ἔχει δύναμιν. μόνος γὰρ τῶν ἐντὸς τῆς δεκάδος οὔτε γεννᾷ ἕτερον οὔτε γεννᾶται ὑφʼ ἑτέρου· διὸ καὶ Ἀθηνᾶ ὑπὸ τῶν Πυθαγορικῶν ἐκαλεῖτο, οὔτε μητρός τινος οὖσα οὔτε μήτηρ. οὔτε γὰρ γίνεται ἐκ συνδυασμρῦ οὔτε συνδυάζεταί τινι. τῶν γὰρ ἀριθμῶν τῶν ἐν τῇ δεκάδι οἱ μὲν γεννῶσί τε καὶ γεννῶνται, ὡς ὁ δ΄ γεννᾷ μὲν μετὰ δυάδος τὸν η΄, γεννᾶται δὲ ὑπὸ δυάδος· οἱ δὲ. γεννῶνται μέν, οὐ γεννῶσι δέ, ὡς ὁ Ϛ΄ γεννᾶται μὲν ὑπὸ β΄ καὶ γ΄, οὐ γεννᾷ δὲ οὐδένα τῶν ἐν τῇ δεκάδι· οἱ δὲ γεννῶσι μέν, οὐ γεννῶνται δέ, ὡς ὁ γ΄ καὶ ὁ ε΄ γεννῶνται μὲν ἐξ οὐδενὸς ἀριθμοῦ] συνδυασμοῦ, γεν- νῶσι δὲ ὁ μὲν γ΄ τὸν θ΄ καὶ τὸν Ϛ΄ μετὰ δυάδος, ὁ δὲ ε΄ γεννᾷ μετὰ δυάδος αὐτὸν τὸν ι΄. μόνος δὲ ὁ ζ΄ οὔτε συνδυασθείς τινι γεννᾷ τινα τῶν ἐν τῇ δεκάδι οὔτε ἐκ συνδυασμοῦ γεννᾶται. ἑπόμενος δὲ τῇ φύσει καὶ ὁ Πλάτων ἐξ ἑπτὰ ἀριθμῶν συνίστησι τὴν ψυχὴν ἐν τῷ Τιμαίῳ. ἡμέρα μὲν γὰρ καὶ νύξ, ὥς φησι Ποσειδώνιος, ἀρτίου καὶ περιττοῦ φύσιν ἔχουσι· μὴν δὲ καθʼ ἑβδο- μάδας τέσσαρας συμπληροῦται, τῇ μὲν πρώτῃ ἑβδομάδι διχοτόμου τῆς σελήνης ὁρωμένης, τῇ δὲ δευτέρᾳ πλη- σισελήνου, τῇ δὲ τρίτῃ διχοτόμον, πάλιν δὲ τῇ τετάρτῃ σύνοδον ποιουμένης πρὸς ἥλιον καὶ ἀρχὴν ἑτέρου μη- [*](1 inscr. περὶ ἑβδομάδος A, ζ in mg. cf. Chalcid. 36 〈κατὰ τὴν ἀριθμητικὴν μεσότητα μέση τῆς τετράδος καὶ〉 τῆς δεκάδος? cf. Theol. arithm. p. 44, 10. an verba τῆς δεκάδος οὖσα pro dittographia eorum quae sequuntur τῆς δεκάδος οὔτε habenda sunt? 2 μόνος γὰρ 〈ὁ ζ〉? 7 γεννῶσι; post ω una vel duae litt. er. A. 10. 15 δεκάδι apogr.] ῑ A. 12 cf. vs. 5. 15 17 ἐν τῷ Τιμαίῳ: p. 35 B 18 καὶ add. A πωσιδόνιος A1, ποσιδώνιος A2, em. apogr. cf. Beke Posid. reliq. p. 240 23 ποιουμένη A)