De utilitate mathematicae

ἑπτάγωνοι δέ εἰσιν οἱ ἀπὸ μονάδος πεντάδι ἀλλή- λων ὑπερεχόντων συνιστάμενοι· ὧν γνώμονες μὲν α΄ Ϛ΄ ια΄ ις΄ κα΄ κς΄· οἱ δὲ ἐκ τούτων συντιθέμενοι α΄ ζ΄ ιη΄ λδ΄ νε΄ πα΄. ὁμοίως δὲ καὶ ὀκτάγωνοι 〈οἱ〉 ἀπὸ μονάδος ἑξάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι, ἐν- νεάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ἑβδομάδι ἀλλήλων ὑπερ- εχόντων συνιστάμενοι, δεκάγωνοι δὲ οἱ ἀπὸ μονάδος ὀγδοάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων συντιθέμενοι. ἐπὶ πάν- των δὲ τῶν πολυγώνων καθόλου ὁσάγωνος ἂν λέγηται ἀριθμός, δυεῖν δεούσαιν μονάδων τοῦ πλήθους τῶν [*](1 inscr. περὶ ἑξαγώνων ἀριθμῶν A 6 inscr. ὁμοία δὲ ἡ σύνθεσις καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν πολυγώνων A ἐκ τῶν hic et in is quae sequuntur neglegenter omissum 11 μονάδος A2] νάδος A1 13 καὶ ante ἐπὶ add. A2 15 δυεῖν δεούσαιν μονάδων corr. ex δύο δὲ οὔσαις μόνας ut vid. A)

ἐκ δύο τριγώνων ἀποτελεῖται τετράγωνον· α΄ καὶ γ΄ δ΄, γ΄ καὶ ϛ΄ θ΄, ϛ΄ καὶ ι΄ ιϛ΄, ι΄ καὶ ιε΄ κε΄, ιε΄καὶ κα΄ λϚ΄, κα΄ καὶ κη΄ μθ΄, κη΄ καὶ λϚ΄ ξδ΄, λϛ΄ καὶ με΄ πα΄, καὶ οἱ ἐξῆς ὁμοίως συνδυαζόμενοι τρίγωνοι τετραγώνους ἀποτελοῦ- σιν, ὡς καὶ ἐπὶ τῶν γραμμικῶν τριγώνων σύνθεσις τε- τράγωνον σχῆμα ποιεῖ.

ἔτι τῶν στερεῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἴσας πλευρὰς ἔχουσιν, [ὡς ἀριθμοὺς τρεῖς ἴσους ἐπὶ ἴσους πολλαπλα- σιάζεσθαι,] οἱ δὲ ἀνίσους. τούτων δʼ οἱ μὲν πάσας ἀν- ίσους ἔχουσιν, οἱ δὲ τὰς δύο ἴσας καὶ τὴν μίαν ἥττονα. πάλιν τε τῶν τὰς δύο ἴσας ἐχόντων οἱ μὲν μείζονα τὴν τρίτην ἔχουσιν, οἱ δὲ ἐλάττονα. οἱ μὲν οὖν ἴσας ἔχον- τες πλευράς, ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις ὄντες, κύβοι καλοῦνται· οἱ δὲ πάσας ἀνίσους τὰς πλευράς, ἀνισάκις ἄνισοι ἀν- ισάκις, βωμίσκοι καλοῦνται· οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας, τὴν δὲ τρίτην ἑκατέρας τῶν δυεῖν ἐλάσσονα, ἰσάκις ἴσοι ἐλαττονάκις, πλινθίδες ἐκλήθησαν· οἱ δὲ δύο μὲν ἴσας, [*](1 γωνιῶν Bull.] ἀριθμῶν in ras. A ἀριθμῶν] γωνιῶν in ras. vocis ἀριθμῶν A 2 πολύγωνοι: ι post ν er. A 3 inscr. ὅτι ἐκ δύο τριγώνων τὸ τετράγωνον A, κϚ in mg. ἐκ: inter E et κ complures literae erasae in A δὲ post δύο add. A2 7 ἐπὶ] ἡ ? 8 inscr. περὶ στερεῶν ἀριθμῶν A, κζ in mg. 11 aut delenda sunt verba καὶ τὴν μίαν ἥττονα (sic Bullialdus) aut scribendum καὶ τὴν μίαν ἄνι- σον 16 τὰς post δὲ add, A2 ἴσας corr. ex ἴσοι A 18 πλινθίδες corr. ex πληνθίδες A τὰς post δὲ add. A2)

εἰσὶ δὲ καὶ πυραμοειδεῖς ἀριθμοὶ πυραμίδας κατα- μετροῦντες καὶ κολουροπυραμίδας. κόλουρος δὲ πυρα- μίς ἐστιν ἡ τὴν κορυφὴν ἀποτετμημένη. τινὲς δὲ [κόλουρον] τὸ τοιοῦτον τραπέζιον προσηγόρευσαν ἀπὸ τῶν ἐπιπέδων τραπεζίων· τραπέζιον γὰρ λέγεται, ὅταν τριγώνου ἡ κορυφὴ ὑπὸ παραλλήλου τῇ βάσει εὐθείας ἀποτμηθῇ.

ὥσπερ δὲ τριγωνικοὺς καὶ τετραγωνικοὺς καὶ πεν- [*](2 ad figuras, quae satis neglegenter descriptae sunt, perti- net haec adnotatio marginis A: τὸ ἐπάνω σημεῖόν ἐστιν ἶσον, τὸ ὑποκάτω μεῖζον 3 inscr. περὶ πυραμοειδῶν ἀριθμῶν A, κη in mg. πυραμίδα A 4 κολουροπυραμίδας: ας corr. ex ες A 10 inscr. περὶ πλευρικῶν καὶ διαμετρικῶν ἀριθμῶν A, κθ in mg. cf. Nesselmann p. 228 sqq.)

δ π β γ δ θ κε μθ αἱ δὲ διάμετροι τῶν πλευρῶν ἐναλλὰξ παρὰ μίαν ποτὲ [*](1 δυάδος in ras. A 2 διαμέτρου] δύ A υ΄ τὸ θ΄ ἄρα τὸ et nota vocis ἄρα supra vs., θ τὸ in ras. A 4 β΄] δύο A διά- μετρον] δ΄ν A 5 ἔσται A1] μονάδων ἄρα A διαμέτρῳ] δυνάμει A 6 ἔσται ζ΄: μδ΄ supra notam vocis ἔσται add. A2 ἔσται τὸ: nota voc. ἔσται mut. in ἄρα A 8 τοῦ κε ἄρα τὸ μθ apogr.] τὸ κε ἄρα τοῦ μθ A 9 διάμετρον] δυνάμει A 10 nota vocis ἔσται mut. in μ, ο A 11 nota vocis ἔσται mut. in μονάδων A ἄρα post καὶ add. A2 17 duo quadrata cum numeris ρμθ et σπθ add. A2 18 αἱ δὲ corr. ex ἡ δ.αι A)

ἔτι τε τῶν ἀριθμῶν οἱ μέν τινες τέλειοι λέγονται, οἱ δʼ ὑπερτέλειοι, οἱ δʼ ἐλλιπεῖς. καὶ τέλειοι μέν εἰσιν οἱ τοῖς αὑτῶν μέρεσιν ἴσοι, ὡς ὁ τῶν Ϛ΄· μέρη γὰρ αὐτοῦ ἥμισυ γ΄, τρίτον β΄, ἕκτον α΄, ἅτινα συντιθέμενα ποιεῖ τὸν Ϛ΄. γεννῶνται δὲ οἱ τέλειοι τοῦτον τὸν τρό- κον. ἐὰν ἐκθώμεθα τοὺς ἀπὸ μονάδος διπλασίους καὶ συντιθῶμεν αὐτούς, μέχρις οὗ ἂν γένηται πρῶτος καὶ ἀσύνθετος ἀριθμός, καὶ τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν συντιθεμένων πολλαπλασιάσωμεν, ὁ ἀπο- γεννηθεὶς ἔσται τέλειος. οἷον ἐκκείσθωσαν διπλάσιοι α΄ β΄ δ΄ η΄ ιϛ΄. συνθῶμεν οὖν α΄ καὶ β΄· γίνεται γ΄· καὶ τὸν γ΄ ἐπὶ τὸν ὕστερον τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως πολλα- κλασιάσωμεν, τουτέστιν ἐπὶ τὸν β΄· γίνεται Ϛ΄, ὅς ἐστι πρῶτος τέλειος. ἂν πάλιν τρεῖς τοὺς ἐφεξῆς διπλασίους συνθῶμεν, α΄ καὶ β΄ καὶ δ΄, ἔσται ζ΄· καὶ τοῦτον ἐπὶ τὸν ἔσχατον τῶν τῆς συνθέσεως πολλαπλασιάσωμεν, τὸν ζ΄ [*](1 τῶν πλευρῶν post δυνάμει er. A 6 ἐλλείπειν: λει corr. ex λι A 9 inscr. περὶ τελείων καὶ ὑπερτελείων καὶ ἐλλιπῶν (corr. ex ἐλλιπόντων) ἀριθμῶν A, λ in mg. 15 μέχρι A, em. apogr. 19 οὖν add. fort. A2 γίνεται corr. ex nota vocis ἔσται ut vid. A 20 τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως: immo τῶν συντεθέντων 22 τρεῖς: ει ex ι A 23 et p. 41, 1 ἔσται A1] γίνεται ut vid. A2 fort. recte 24 τῶν ex τὸν A τῆς συνθέσεως: immo συντεθέντων πολαπλασιάσωμεν A, em. apogr.)

ἐλλιπεῖς δέ εἰσιν ὧν τὰ μέρη συντεθέντα ἐλάττονα τὸν ἀριθμὸν ποιεῖ τοῦ ἐξ ἀρχῆς προτεθέντος ἀριθμοῦ, οἷον ὁ τῶν η΄· τούτου γὰρ ἥμισυ δ΄, τετάρτον β΄, ὄγδοον ἕν. τὸ αὐτὸ δὲ καὶ τῷ ι΄ συμβέβηκεν, ὃν καθʼ ἕτερον λόγον τέλειον ἔφασαν οἱ Πυθαγορικοί, περὶ οὗ κατὰ τὴν οἰκείαν χώραν ἀποδώσομεν. λέγεται δὲ καὶ ὁ γ΄ τέλειος, ἐπειδὴ πρῶτος ἀρχὴν καὶ μέσα καὶ πέρας ἔχει· ὁ δʼ αὐτὸς καὶ γραμμή ἐστι καὶ ἐπίπεδον, τρίγωνον γὰρ ἰσόπλευρον ἑκάστην πλευρὰν δυεῖν μονάδων ἔχον, καὶ πρῶτος δεσμὸς καὶ στερεοῦ δύναμις· ἐν γὰρ τρισὶ δια- στάσεσι τὸ στερεὸν νοεῖσθαι.

ἐπεὶ δὲ καὶ συμφώνους τινάς φασιν ἀριθμούς, καὶ ὁ περὶ συμφωνίας λόγος οὐκ ἂν εὑρεθείη ἄνευ ἀρι- [*](1 δεύτερος] β A σύγκειται — τοῦ α΄ in mg. A (fort. haec e contextu verborum removenda), γὰρ post σύγκειται apogr.) [*](2 ἑβδόμου] ζ A 3 τεσσαρακαιδεκάτου] ιδ A εἰκοστοῦ ὀγδοου] κη A 4 συντεθέντα: τε corr. ex τι A 5 τῶν ιβ A2] τὸν ιβ A1 7 ὅς (?) A1] καὶ A2 8 τῶν corr. ex τὸν A 12 τῶ corr. ex τὸ A 14 ἀποδώσομεν: p. 99, 18. 106, 7 γ΄: τρία corr. ex τρίτος A 15 μέσον apogr. 16 γάρ 〈ἐστιν〉? 18 δύναμις corr. ex δυνάμεις A 19 νοεῖται apogr.; fort. excidit φασίν vel tale quid 20 inscr. Θέωνος Πλατωνικοῦ συγκεφαλαίωσις καὶ σύνοψις τῆς ὅλης μουσικῆς Z, περὶ μουσικῆς A2 α A)

Θράσυλλος τοίνυν περὶ τῆς ἐν ὀργάνῳ αἰσθητῆς λέγων ἁρμονίας φθόγγον φησὶν εἶναι φωνῆς ἐναρμονίου τάσιν. ἐναρμόνιος δὲ λέγεται, ἐπὰν δύνηται καὶ τοῦ ὀξέος ὀξύτερος εὑρεθῆναι καὶ τοῦ βαρέος βαρύτερος· καὶ ὁ αὐτὸς καὶ μέσος ἐστίν. ὡς εἴγε τινὰ τοιαύτην φωνὴν νοήσαιμεν ἥτις ὑπεραίρει πᾶσαν ὀξύτητα, οὐκ ἄν εἴη ἐναρμόνιος· οὐδὲ γὰρ τὸν τῆς ὑπερμεγέθους [*](2 μὲν οὖσα] μένουσα A1 4 πρώτερον A1 5 cf. Boeckh kl. Schr. IlI p. 138 sqq. 7 τῆς τʼ αἰσθητῆς ἐν ὀργά- νοις Z] τῆς τε αἰσθητῶν ὀργάνοις A1, τῆς τε ἐν αἰσθητοῖς ὀργάνοις A2 17 ἐποιησάμεθα Z] πεποιήμεθα A 18 inscr. β τί ἐστι φθόγγος καὶ τί φωνὴ ἐναρμόνιος mg. A. cf. C. Fr. Hermann de Thrasyllo p. 9. Marquard ad Aristox. p. 226 θράσυλλος Z] Θρασυλλὸς A1, Θρασύλλος A2 22 καὶ ὁ αὐτὸς καὶ μέσος ἐστίν del. vid.)

πολλοὺς δὲ βροντῆς τραῦμʼ ἄναιμον ὤλεσε. καὶ μὴν εἴ τις οὕτως βαρὺς εἴη φθόγγος, ὡς μὴ ἔχειν αὑτοῦ βαρύτερον, οὐκ ἂν οὐδὲ φθόγγος εἴη τὸ ἐναρ- μόνιον οὐκ ἔχων. διὰ τοῦτʼ οὖν φθόγγος εἶναι λέγεται οὐ πᾶσα φωνὴ οὐδὲ πάσης φωνῆς τάσις, ἀλλʼ ἡ ἐναρ- μόνιος, οἷον μέσης, νεάτης, ὑπάτης. διάστημα δέ φησιν εἶναι φθόγγων τὴν πρὸς ἀλλήλους ποιὰν σχέσιν, οἷον διὰ τεσσάρων, διὰ πέντε, διὰ πασῶν, σύστημα δὲ διαστημάτων ποιὰν περιοχήν, οἷον τετράχορδον, πεντά- χορδον, ὀκτάχορδον. ἁρμονία δέ ἐστι συστημάτων σύνταξις, οἷον Λύδιος, Φρύγιος, Δώριος. καὶ τῶν φθόγγων οἱ μὲν ὀξεῖς, οἱ δὲ βαρεῖς, οἱ δὲ μέσοι· ὀξεῖς μὲν οἱ τῶν νητῶν, βαρεῖς δὲ οἱ τῶν ὑπατῶν, μέσοι δὲ οἱ τῶν μεταξύ. τῶν δὲ διαστημάτων τὰ μὲν σύμφωνα, τὰ δὲ διάφωνα. σύμφωνα μὲν τά τε κατʼ ἀντίφωνον, οἷόν ἐστι τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν, καὶ τὰ 〈κατὰ〉 παράφωνον, οἷον τὸ διὰ πέντε, τὸ διὰ τεσσάρων. σύμφωνα δὲ κατὰ συνέχειαν οἷον τόνος, δίεσις. τά τε γὰρ κατʼ ἀντίφωνον σύμφωνά ἐστιν, ἐπειδὰν τὸ ἀντικείμενον τῇ ὀξύτητι βάρος συμ- φωνῇ, τά τε κατὰ παράφωνόν ἐστι σύμφωνα, ἐπειδὰν [*](3 Eurip. f. 972 4 εἴ] ἥ A1 6 τοῦτʼ A] τοῦτο Z 8 inscr. τί ἐστι διάστημα A, δ in mg. cf. Marquard p. 231 10 ε mg. A. cf. Boeckh kl. Schr. IIl p. 147 sqq. 157. de metris Pind. p. 204 sqq. 12 inscr. τί ἐστιν ἁρμονία καὶ περὶ διαφορᾶς φθόγγων A, ϛ ζ in mg. cf. Marquard p. 212 16 τῶν Z] om. A inscr. περὶ διαστημάτων A, ζ η in mg. 17 cf. Westpha Metrik der Griechen l p. 289. Marquard p. 252 19 τὰ] τὸ AZ, cf. vs. 23 τὸ om. A1 20 σύμ- φωνα — δίεσις fort. del. cf. Marquard p. 235)

ὁ δὲ περιπατητικὸς Ἄδραστος, γνωριμώτερον περί τε ἁρμονίας καὶ συμφωνίας διεξιών, φησί· καθάπερ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ λόγου ὁλοσχερῆ μὲν καὶ πρῶτα μέρη τά τε ῥήματα καὶ ὀνόματα, τούτων δὲ αἱ συλλαβαί, αὗται δʼ ἐκ γραμμάτων, τὰ δὲ ματα φωναὶ πρῶταί εἰσι καὶ στοιχειώδεις καὶ ἀδιαίρετοι καὶ ἐλάχισται — καὶ γὰρ συνίσταται ὁ λόγος ἐκ πρώ- των γραμμάτων καὶ εἰς ἔσχατα ταῦτα ἀναλύεται —, οὕτως καὶ τῆς ἐμμελοῦς καὶ ἡρμοσμένης φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ μέλους ὁλοσχερῆ μὲν μέρη τὰ λεγόμενα συστήματα, τετράχορδα καὶ πεντάχορδα καὶ ὀκτάχορδα· ταύτα δέ ἐστιν ἐκ διαστημάτων, τὰ δὲ διαστήματα ἐκ φθόγγων, οἵτινες πάλιν φωναί εἰσι πρῶται καὶ ἀδι- αίρετοι καὶ στοιχειώδεις, ἐξ ὧν πρώτων συνίσταται τὸ πᾶν μέλος καὶ εἰς ἃ ἔσχατα ἀναλύεται. διαφέρουσι δὲ [*](1 ὁμότονον: το in ras. A (fort. corr. ex ὁμόφωνον), cf. Vetter additam. ad. Steph. Thes. (Zwickau 1867) p. 16 3 οὐ] οἱ AZ ἐστὶ Z] ἐπὶ A 6 inscr. περὶ ἁρμονίας καὶ συμ- φωνίας A. cf. Chalcid. 44 10 αὗται δ΄] ἅτινα AZ, αἵτινες Manuel Bryenmius p. 393 11 ἀδιαίρετοι Z] διαιρεταὶ corr. ex διαιρετοὶ A, quae sunt primae voces individuae atque ele- mentariae Chalcid. 15 ὥστε ἀναλογεῖν ταῦτα ταῖς λέξεσιν, οἷον ῥήμασι καὶ ὀνόμασι, τὰ δὲ διαστήματα ταῖς συλλαβαῖς, τοῖς δὲ φθόγγοις τοῖς στοιχείοις (τὰ στοιχεῖα corr. A2, scr. τοὺς δὲ φθόγγους τοῖς στοιχείοις) mg. A 18 φθόγγων Z] τῶν φθόγγων A ἀδιαίρετοι] διαιρεταὶ corr. ex διαιρετοὶ A 19 πρώτων A] πρῶτον Z 20 ἃ Z] om. A, cf. Nicom. introd. arithm. p. 73, 6 H.)

φησὶ δὲ καὶ τοὺς Πυθαγορικους περὶ αὐτῶν οὕτω τεχνολογεῖν· ἐπεὶ μέλος μὲν πᾶν καὶ πᾶς φθόγγος φωνή τίς ἐστιν, ἅπασα δὲ φωνὴ ψόφος, ψόφος δὲ πλῆξις ἀέρος κεκωλυμένου θρύπτεσθαι, φανερὸν ὡς ἠρεμίας μὲν οὔσης περὶ τὸν ἀέρα οὐκ ἂν γένοιτο οὔτε ψόφος οὔτε φωνή, διὸ οὐδὲ φθόγγος, πλήξεως δὲ καὶ κινήσεως γενομένης περὶ τὸν ἀέρα, ταχείας μὲν ὀξὺς ἀποτελεῖται ὁ φθόγγος, βραδείας δὲ βαρύς, καὶ σφοδρᾶς μὲν μείζων ἦχος, ἠρέμου δὲ μικρός. τὰ δὲ τάχη τῶν κινήσεων καὶ αἱ σφοδρότητες ἢ ἐν λόγοις τισὶν ἀποτελοῦνται ἢ καὶ ἀλόγως πρὸς ἄλληλα. ὑπὸ μὲν οὖν τῶν ἀλόγων ἄλογοι καὶ ἐκμελεῖς γίνονται ψόφοι, οὓς οὐδὲ φθόγγους χρὴ καλεῖν κυρίως, ἤχους δὲ μόνον, ὑπὸ δὲ τῶν ἐν λόγοις τισὶ πρὸς ἀλλήλους πολλαπλασίοις ἢ ἐπιμορίοις ἢ ἁπλῶς ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐμμελεῖς καὶ κυρίως καὶ ἰδίως φθόγγοι· ὧν οἱ μὲν ἄλλοι μόνον ἡρμοσμένοι, οἱ δὲ κατὰ τοὺς πρώτους καὶ γνωριμωτάτους καὶ κυριωτάτους λό- γους πολλαπλασίους τε καὶ ἐπιμορίους ἤδη καὶ σύμφωνοι.

συμφωνοῦσι δὲ φθόγγοι πρὸς ἀλλήλους, ὧν θατέ- [*](1 ἀλλήλων A] ἄλλων Z 3 λόγους ante λόγους er. A 4 φησὶ A] φασὶ Z 5 Porph. comm. in Ptol. Harm. p. 193 ὁ γοῦν περιπατητικὸς Ἄδραστος τὰ κατὰ τοὺς Πυθαγορείους ἐκτιθέμενος γράφει· ἐπεὶ μέλος — δὲ μικρός (vs. 12) 6 ψόφος δὲ Z] om. A, ὁ δὲ add. A2, ὁ δὲ ψόφος Porph. 7 φανερὸν Porph.] φανερὸν δὲ AZ 11 μεῖζον A1 12 ἠρέμου A] ἠρέμα Z, ἠρεμαίας Porph. 18 ἀριθμοῦ A] καὶ Z 21 πολλαπλασίους A] πολλαπλάσιοί Z ἐπιμορίους A] ἐπιμόριοι Z σύμφωνοι corr. ex. συμφώνους ut vid. A 22 Porph. comm. in Ptol. Harm. p. 270 Ἄδραστος δὲ ὁ περιπατητικὸς ἐν τοῖς εἰς τὸν Τίμαιον λέγει οὕτως· συμφωνοῦσι δὲ — ἐξακούεται φωνή (p. 51, 4). cf. Marquard p. 237. C. Lang Ueberblick über die altgriech. Harmonik p. 27 1 ἐντατῶν A] ἐν τού- τοις Z 2 συνηχῇ Porph. 3 ταὐτὸ AZ] τὸ αὐτὸ Porph. ἡδεῖα Z] ἠδία A1, ἠδεῖα A2, λεία Porph. 6 τέτταρες A2 συμφωνία ἡ διὰ δ ἐν ἐπιτρίτῳ, ἡ διὰ ε συμφωνία ἐν ἡμιολίῳ, ἡ διὰ πασῶν συμφωνία A2 vel recentior manus in mg. sup., adiectis lineis inutilibus 8 πέμπτοι Z] ε A 10 δʼ Z] om. A 11 ὅτι τὸ πρῶτον μέχρις ὁκταχορδων (tum καὶ del.) ἡ μουσικὴ ὑπῆρχεν, ὁ ᾱ ὑπάτη βαρύτατος, ὁ ἔσχατος κήτη ὀξύτατος: ἐπεὶ ὁ (μὲν add. A2) ὀξύτατος φθόγγος ὁ δ (ὁ δ corr. in ὁ δὲ βαρύτατος A2)· οὗτοι δὲ ἀντίφωνοι mg. A βαρύτατος ὁ ᾱ φθόγγος ὑπάτη, η ὀξύτατος νήτη A2 vel rec. m. in mg. inf., adiectis lineis 14 εὑρέθη] εὑρεθήσεται AZ)

προσανηύρηνται δὲ ταύταις ἕτεραι πλείους. τῇ γὰρ διὰ πασῶν πάσης ἄλλης προστιθεμένης, καὶ ἐλάττονος καὶ μείζονος καὶ ἴσης, ἐξ ἀμφοῖν ἑτέρα γίνεται συμ- φωνία, οἷον ἥ τε διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, καὶ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ δὶς διὰ πασῶν, ἔτι δὲ πάλιν τῇ διὰ πασῶν εἰ προστεθείη τούτων τις, οἷον ἡ δὶς διὰ πασῶν καὶ διὰ τεσσάρων, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως μέχρι τοῦ δύνασθαι φθέγγεσθαι ἢ κρίνειν ἀκούοντας. τόπος γάρ τις καλεῖται τῆς φωνῆς ὃν διεξέρχεται ἀπὸ βαρυτάτου τινὸς ἀρξαμένη φθόγγου καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς ἐπὶ τὸ ὀξὺ προϊοῦσα, ἢ ἀνάπαλιν. τούτων δὲ οἱ μὲν ἐπὶ πλεῖον, οἱ δὲ ἐπʼ ἔλαττον διιστᾶσιν. τὸ μέντοι ἑξῆς καὶ ἐμμελῶς ἐν τούτῳ προκόπτειν οὔτε ὡς ἔτυχε γίνεται οὔτε μὴν ἁπλῶς καὶ μοναχῶς, ἀλλὰ κατά τινας τρόπους ἀφωρισμένους, καθʼ οὓς αἱ τῶν λεγομένων γενῶν τῆς μελῳδίας θεωροῦνται διαφοραί. καθάπερ γὰρ ἐπὶ τοῦ λόγου καὶ τῆς ἐγγραμμάτου φωνῆς οὐ πᾶν γράμμα παντὶ συμπλεκόμενον συλλαβὴν ἢ λόγον ἀποτελεῖ, οὕτως οὐδὲ ἐν τῷ μέλει κατὰ τὴν ἡρμοσμένην φωνὴν οὐδʼ ἐν τῷ ταύτης τόπῳ πᾶς φθόγγος μετὰ παντὸς τιθέμενος ἐμμελὲς ποιεῖ διάστημα, ἀλλʼ ὥς φαμεν κατὰ τρόπους τινὰς ἀφωρισμένους.

τοῦ δὲ λεγομένου τόπου τῆς φωνῆς καὶ παντὸς τοῦ ἐν τούτῳ διαστήματος γνωριμώτατον μέρος τε καὶ μέτρον ἐστὶ τὸ καλούμενον τονιαῖον διάστημα, καθάπερ ὁ πῆχυς τοῦ κυρίως τοπικοῦ διαστήματος ὃ φερόμενα τὰ σώματα διέξεισιν. ἔστι δὲ γνωριμώτατον τὸ τονιαῖον διάστημα, ἐπειδὴ τῶν πρώτων καὶ γνωριμωτάτων συμφωνιῶν ἐστι διαφορά· τὸ γὰρ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων ὑπερέχει τόνῳ. τὸ μέντοι ἡμιτόνιον οὐχ ὡς ἥμισυ τόνου λέγεται, ὥσπερ Ἀριστόξενος ἡγεῖται, καθὸ καὶ τὸ ἡμιπήχιον ἥμισυ πήχεως, ἀλλʼ ὡς ἔλαττον τοῦ τόνου μελῳδητὸν διάστημα· καθὰ καὶ τὸ ἡμίφωνον γράμμα οὐχ ὡς ἥμισυ φωνῆς καλοῦμεν, ἀλλʼ ὡς μὴ αὐτοτελῆ καθʼ αὑτὸ φωνήν. δείκνυται γὰρ ὁ τόνος μηδʼ ὅλως εἰς δύο ἴσα διαιρεῖσθαι δυνάμενος, ἐν λόγῳ θεωρούμενος ἐπογδόῳ, καθάπερ οὐδʼ ἄλλο τι ἐπιμόριον διάστημα. τὰ γὰρ θ΄ οὐχ οἷόν τε διαιρεθῆναι εἰς ἴσα.

ὅταν μὲν οὖν ἡ φωνὴ μελῳδοῦσα ἐν τῷ λεγομένῳ τόπῳ αὐτῆς ἀπό τινος βαρυτέρου φθόγγου ἐπὶ τὸν ἑξῆς ὀξύτερον μεταβῇ τὸ λεγόμενον ἡμιτονιαῖον διάστημα ποιησαμένη κἄπειτʼ ἀπʼ αὐτοῦτόνον διαστήσασα πρῶτον [*](1 inscr. περὶ τόνου A, ῑ in mg. 5 διέξεισιν: ει corr. ex. ι A γνωριώτατον Bryenn. p. 395] γνωριμώτερον AZ) [*](6 cf. Marquard p. 258 sq. 8 inscr. περὶ ἡμιτονίου A cf. Procl. ad Plat. Tim. p. 196 B 9 Ἀριστόξενος: Harm. p. 30, 7 Marq. 12 αὐτοτελῆ καθʼ αὑτὸ φωνήν Z] τὸ αὐτὸ τελεῖ κατ᾿ αὐτὸ φωνὴν A1, τῷ αὐτοτελεῖ κατὰ ταυτὸ φωνεῖν A2 14 ὅτι ὁ τόνος ἐν ἐπογδόῳ λόγῳ θεωρεῖται mg. A 17 inscr. τί τὸ διάτονον μέλος (γένος Bull.) τῆς μελῳ- δίας A, ια in mg. 18 βαρυτέρου A2] βραχυτέρου A1Z 19 ἡμιτονιαῖον Z] ἡμιτόνιον A 20 ἰστέον ὡς οὐ πάντως (πάντος A1) οὕτως ἔχει τὸ διάτονον, ἀλλʼ ἐνδέχεται καὶ μετὰ τὸ ἡμιτόνιον (τὸ ἡμιτόνιον A2 corr. ut vid. ex τῶν) δύο τόνους (τόνων A1) εἷναι καὶ ἑκατέρωθεν (ἑκατέροθεν A1)· ἐκ δὲ δια- φόρου τάξεως διάφορον γίνεται μέλος mg. A)

ἐὰν μέντοι ἡ φωνὴ, τὸν ἐξ ἀρχῆς πρῶτον ὁρίσασα φθόγγον καὶ ἡμιτόνιον ἐπὶ τὸ ὀξὺ μεταβᾶσα, ἐπὶ τὸν αὐτὸν ἔλθῃ δεύτερον φθόγγον, εἶτα πάλιν ἀπὸ τοῦδε ἡμιτόνιον διαστήσασα τρίτον ὁρίσῃ φθόγγον ἄλλον, ἀπὸ τούτου κατὰ συνέχειαν πειρωμένη προκόπτειν ἐμμε- λῶς οὔτε διάστημα δύναται ποιήσασθαι ἄλλο πλὴν τὸ λειπόμενον τοῦ πρώτου γενομένου τετραχόρδου, τὸ τριημιτονιαῖον ἀσύνθετον, οὔτε φθόγγον ἕτερον ὁρίσαι [*](2 εἶναι] ποιήσασθαι? cf. p. 53, 20. 54, 21 5 τοῦτον A2 10 καὶ om. A1 τίς ἡ διὰ δ καὶ πῶς γίνεται: τί τὸ διάτονον γένος τῆς μελῳδίας καὶ πῶς γίνεται: mg. A οὖν post εὐθὺς add. A2 ἣν corr. ex ἣ A 11 ἔφαμεν A] φαμὲν Z. cf. p. 51, 7 12 γίνεται post ἡμιτονίου A2 14 τι Z] τε A 16 inscr. τί τὸ χρωματικόν A, ιβ in mg. καὶ τοῦτο τῆς διὰ δ mg. A τὸν] τῶν A1 18 ἔλθῃ apogr.] ἔλθοι AZ ut vid. 19 ὀρίσει A1)

λέγεται δέ τι καὶ τρίτον γένος μελῳδίας ἐναρμόνιον, ἐπειδὰν ἀπὸ τοῦ βαρυτάτου φθόγγου κατὰ δίεσιν καὶ δίεσιν καὶ δίτονον ἡ φωνὴ προελθοῦσα μελῳδήσῃ τὸ τετράχορδον. δίεσιν δὲ καλοῦσιν ἐλαχίστην οἱ περὶ Ἀριστόξενον τὸ τεταρτημόριον τοῦ τόνου, ἥμισυ δὲ ἡμιτονίου, ὡς ἐλάχιστον μελῳδητὸν διάστημα, τῶν Πυθαγορείων διέσιν καλούντων τὸ νῦν λεγόμενον ἡμιτόνιον. καλεῖσθαι δέ φησιν Ἀριστόξενος τοῦτο τὸ προειρημένον γένος ἁρμονίαν διὰ τὸ εἶναι ἄριστον, ἀπενεγκάμενον τοῦ παντὸς ἡρμοσμένου τὴν προσ- [*](1 τὸ ὀξὺ A] τὸν ὀξὺ Z 2 κατὰ τὸν διὰ δ΄ Z (κατὰ τὴν διὰ τεσσάρων συμφωνίαν duo codd. et Bryenn. p. 397), κατὰ τῶν διὰ ε A 4 τὸ τριημιτόνιον (τρημητόνιον A1) τριῶν ἐστὶν ἡμιτονίων, τόνου ας· εἶτα τὰ β ἡμιτόνια· γίνεται ἡ πᾶσα τόνων βς mg. A 6 καὶ ante γοερώτερόν add. A2 ut vid. 8 inscr. τί τὸ ἐναρμόνιον A, ιγ in mg. 9 ἐπεὶ γὰρ τὸ (ῦ, add. A2) διὰ δ δίατονον (scr. δύο τόνων καὶ ἡμιτονίου) ἐστίν, ἀνάγκη τῶν (τῶν A1, τὸ A2) β διαστημάτων διεσιαῖον τῶν (scr. διεσιαίων ὄντων) ἅτινά ἐστιν ἡμιτονίου τὸ γ΄ θύο εἶναι τόνων mg. A (in postremis complura ex corr. A2) ἔτι τῆς διὰ δ mg. A καὶ δίεσιν Z] om. A 10 δίτονον Z] διὰ τόνον A μελωδήση A] μελῳδήσει Z 11 inscr. τί ἐστι δίεσις A οἱ περὶ Ἀριστόξενον: Harm. p. 30, 5 sq. 66, 9 14 πυθαγορίων A1Z 15 Ἀριστ. A] ὁ Ἀριστ. Z. cf. Mahne diatr. de Arist. p. 163 17 ἀπενεγκάμενον Z] ἐπενεγ- κάμενον A)

ἡμιτόνιον τόνος τόνος διάτονον ἡμιτόνιον τόνος τόνος διάτονον ἡμιτόνιον ἡμιτόνιον τριημιτόνιον χρωματικόν δίεσις δίεσις δίτονον ἁρμονικόν