De utilitate mathematicae

ἔτι τῶν συνθέτων ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι εἰσὶ καὶ τετράγωνοι καὶ ἐπίπεδοι, ἐπειδὰν ἴσος ἐπὶ ἴσον πολλαπλασιασθεὶς γεννήσῃ τινὰ ἀριθμόν, [ὁ γεννηθεὶς ἰσάκις τε ἴσος καὶ τετράγωνός ἐστιν] ὡς ὁ δ΄, ἔστι γὰρ δὶς β΄, καὶ ὁ θ΄, ἔστι γὰρ τρὶς γ΄· οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνι- σοι, ἐπειδὰν ἄνισοι ἀριθμιοὶ ἐπʼ ἀλλήλους πολλαπλα- σιασθῶσιν, ὡς ὁ ϛ΄· ἔστι γὰρ δὶς γ΄ ϛ΄.

τούτων δὲ ἑτερομήκεις μέν εἰσιν οἱ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας μονάδι μείζονα ἔχοντες. ἔστι δὲ ὁ τοῦ περισσοῦ ἀριθμοῦ μονάδι πλεονάζων καὶ ἄρτιος· [*](5 inscr. περὶ περισσάκις ἀρτίων Α, ια in mg. 14 inscr. περὶ ἰσάκις ἴσων A, ιβ in mg. 15 καὶ ἐπίπεδοι fort. del γὰρ post ἐπειδὰν add. A 16 γεννήση: ση corr. ex σ?? A) [*](18 inscr. περὶ τῶν ἀνισάκις ἀνίσων A ιγ in mg. 21 sqq. cf. Cantor mathemat. Beitr. zum Culturleben der Völker p. 105 sqq. inser. περὶ ἑτερομηκῶν (corr. ex ἑτε- ρομμιήκων) A 23 τοῦ περισσοῦ ἀριθμοῦ mut. in τῶ περισσῷ ἀριθμῶ A.)

παραλληλόγραμμοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ δυάδι ἢ καὶ μείζονι ἀριθμῷ τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας [*](1 διὸ corr. ut vid. ex δύο Α 3 ἑτερομήκη: ο corr. ex ω Α.) [*](5 ἑτερομήκης: ομήκη in ras., ερο corr. ut vid. ex έρα Α. 6 τῶν περισσῶν mut. in τῷ περισσῷ Α 9 ἀπογεννωμένους: ω corr. ex ο Α 11 ϛ ιβ κ λ μβ νς οβ supra numerorum seriem add. A. 13 γεγενημένοι Α, em. Bull. 16 τὸν apogr.] τῶν Α 18 δὲ add. Bull. 20 πρώτην corr. ex πρῶτον Α.) [*](23 inser. περὶ παραλληλογράμμων ἁριθμῶν Α, ιε in mg. figuras inutiles add.. Α)

τετράγωνοί εἰσιν οἱ ἐκ τῶν κατὰ τὸ ἑξῆς περισσῶν ἐπισυντιθεμένων ἀλλήλοις γεννώμενοι. οἷον ἐκκείσθω- σαν ἐφεξῆς περισσοὶ αʹ γʹ εʹ ζ θʹ ια ἓν καὶ γʹ δʹ, ὅς ἐστι τετράγωνος, ἰσάκις γάρ ἐστιν ἴσος, τουτέστι δὶς βʹ δʹ δʹ καὶ εʹ θʹ, ὸς καὶ αὐτὸς τετράγωνος· ἔστι γὰρ τρὶς γʹ θʹ· θʹκαὶ ζ ιϛ΄, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι· τετράκις γὰρ δ ιςʹ ιςʹ καὶ θʹ κε΄, ὃς καὶ αὐτὸς τετράγωνός ἐστι καὶ ἰσάκις ἴσος· ἔστι γὰρ πεντάκις εʹ κε΄· καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. κατὰ μὲν οὖν ἐπισύνθεσιν οὕτως γεννῶν- ται οἱ τετράγωνοι, τῶν ἐφεξῆς περισσῶν τῷ γεννωμένῳ ἀπὸ μονάδος τετραγώνῳ προστιθεμένων· κατὰ πολλαπλα- σιασμιὸν δέ, ἐπειδὰν ὁστισοῦν ἀριθμὸς ἐφʼ ἑαυτὸνπολλα- πλασιασθῇ, οἷον δὶς βʹ δʹ, τρὶς γʹ θʹ, τετράκις δʹ ιϛ΄.

οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἐτερομιήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι [τουτέστι τοὺς μονάδι μείζονας τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχοντας]· οἱ δὲ ἑτερομήκεις οὐκ ἔτι τοὺς τετραγώνους περιλαμβάνουσιν ὡς μέσους εἶναι κατὰ ἀναλογίαν. οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ, οὖτοι τῷ μὲν ἰδίῳ πλήθει πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τετραγώνους· ἅπαξ τε γὰρ αʹ αʹ καὶ δὶς βʹ δʹ καὶ τρὶς γʹ θʹ καὶ τετράκις δʹ ιϛʹ καὶ πεντάκις εʹ κε· καὶ οὐκ ἐκβαίνουσι τῶν ἰδίων ??ρων· ἣ τε γὰρ δυὰς ἑαυτὴν [*](3 inscr. περὶ τετραγώνων ἀριθμῶν Α, ις in mg. τε- τράγωνοι 〈δέ〉 εἰσιν?? 5 δ θ ιϛ κε λϛ supra numerorum se- rien add. Α. ὅς apogr.] ὅ Α. 16 inscr. ὅτι οἱ τετράγω- νοι μιέσους τοὺς ἑτερομήκεις λαμβάνουσιν Α, ιζ in mg.) [*](18 μείζονα Gelder 19 ὑπερέχοντας] ἔχοντας apogr. 22 οὗτοι] οὕτως οἱ Α 25 τὸν ἴθιον ὅρον Α)

προμήκης δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὡντινωνοῦν, ἢ μονάδι ἢ δυάδι ἢ καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος, ὡς ὁ κδʹ, ἔστι γὰρ ἑξάκις δʹ, καὶ οἱ τοιοῦτοι. ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμηκων. καὶ γὰρ πᾶς ἑτερομήκης προμή- κης, καθὸ μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει. ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης, οὗτος καὶ προμήκης· οὐ μὴν ἀνάπαλιν· ὁ γὰρ μείζονα πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ- ραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν, οὐ μὴν ἑτερομήκης· ἦν γὰρ ἑτερομήκης ὁ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν, ὡς ὁ ϛʹ· ἔστι γὰρ δὶς γʹ ϛʹ. ἔτι προμήκης καὶ ὁ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν 〈ἔχων〉, ποτὲ δὲ πλεῖον ἢ μονάδι· ὡς ὁ ιβ΄· ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δʹ καὶ δὶς ϛʹ, ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς δʹ εἴη ἂν ἑτερομήκης, κατὰ δὲ τὸ δὶς ϛ΄ προμήκης. ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον ἢ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν· ὡς ὁ μʹ· καὶ γὰρ τετράκις ιʹ [*](3 τὸ τρίτον apogr.] τὸν τρίτον Α. 6 ϛʹ θʹ ιβʹ fort. del. 8 inser. περὶ προμηκῶν (corr. ex προμήκῶν) ἀριθμιῶν Α, ιη in mg. 9 δυάδι apogr.) δια΄ Α 12 μέρη] γένη 14. οὗτος corr. ex οὕτως Α 19 πολλαπλασιασμός Α, κατὰ διάφορον πολλαπλασιασμὸν Bull. 20 ἔχων add. apogr. 25 τετράκι Α, em. apogr.)

εἰσὶ δὲ τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἐπίπεδοι, ὅσοι ὑπὸ δύο ἀριθμῶν πολλαπλασιάζονται, οἷον μήκους καὶ πλά- τους, τούτων δὲ οἱ μὲν τρίγωνοι, οἱ δὲ τετράγωνοι, οἱ δὲ πεντάγωνοι καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς πολύγωνοι.

γεννῶνται δὲ οἱ τρίγωνοι τὸν τρόπον τοῦτον. ὥσπερ] οἱ ἐφεξῆς ἄρτιοι ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι κατὰ τὸ ἑξῆς ἑτερομήκεις ἀριθμοὺς ποιοῦσιν. οἷον ὁ βʹ πρῶτος ἄρτιος· καὶ ἔστιν ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ ἅπαξ β΄. εἶτα τοῖς βʹ ἂν προσθῇς δʹ, γίνεται ϛʹ, ὃς καὶ αὐτὸς ἑτερομήκης· ἔστι γὰρ δὶς γ΄. καὶ μέχρις ἀπείρου ὁ αὐτὸς λόγος. ἐναργέστερον δέ, ὥστε πᾶσιν εὐσύνοπτον εἶναι τὸ λεγόμενον, δείκνυται καὶ τῇδε. πρώτη δυὰς ἔστω ἄλφα ἐκκείμενα δύο τάδε· α α τὸ σχῆμα αὐτῶν ἔσται ἑτερόμκες· κατὰ μὲν γὰρ τὸ μῆκός ἐστιν ἐπὶ δύο, κατὰ δὲ τὸ πλάτος ἐφʼ ἕν. μετὰ τὰ δύο ἐστὶν ἄρτιος ὁ δʹ ἃ ἐὰν προσθῶμεν τοῖς πρώτοις [*](1 μόνον? 3 λαμβάνον Α., em. apogr. 4 πρώτην corr. ex πρῶτον ut vid., antea una litt. erasa Α 9 inscr. περὶ ἐπιπέδων ἀριθμῶν Α, ιθ in mg 13 inscr. περὶ τρι- γώ νων ἀριθμῶν π ῶς γεννῶνται καὶ περὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων Α, κ in mg. 23 post ἔσται compendium eius- dem voculae erasum in Α 24 ἐφ᾿] ὑφʼ Α 25 ἢν Α.)

ααα αααα ααα αααα αααα

πάλιν δὲ οἱ ἑξῆς περισσοὶ ἀλλήλοις ἐπισυντιθέμενοι τετραγώνους ποιοῦσιν ἀριθμούς. εἰσὶ δὲ οἱ ἐφεξῆς περισσοὶ α΄ γ΄ ε΄ ζ θ΄ ια΄. ταῦτα δὲ ἐφεξῆς συντιθεὶς ποιήσεις τετραγώνους ἀριθμούς. οἷον τὸ ἓν πρῶτον τετράγωνον· ἔστι γὰρ ἅπαξ ἓν ἕν. εἶτα περισσὸς ὁ γ΄· τοῦτον ἂν προσθῇς τὸν γνώμονα τῷ ἑνί, ποιήσεις τετράγωνον ἰσάκις ἴσον· ἔσται γὰρ κατὰ μῆκος β΄ καὶ κατὰ πλάτος β΄. ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ε΄· τοῦτον ἂν περι- θῇς τὸν γνώμονα τῷ δ΄ τετραγώνῳ, γενήσεται πάλιν τετράγωνος ὁ θ΄, καὶ κατὰ μῆκος ἔχων γ΄ καὶ κατὰ πλάτος γ΄. ἐφεξῆς περισσὸς ὁ ζ΄· τοῦτον ἂν προσθῇς τῷ θ΄, ποιεῖς τὸν ιϛ΄, καὶ κατὰ μῆκος δ΄ καὶ κατὰ πλά- τος δ΄. ὁ δὲ αὐτὸς λογος μέχρις ἀπείρου.

αα ααα αααα αα ααα αααα ααα αααα

κατὰ ταὐτὰ δὲ ἂν μὴ μόνον τοὺς ἐφεξῆς ἀρτίους [*](2 γὰρ suppra vs. A. 5 περιθῇς Bull.] προσθῆς A τοῖς πρώτοις] τοῖς ϛ΄ ? cf. vs. 1 6 ταῦτα del. vid. 8 fig. semper lineis circumscr. A. 14 περιθῇς Gelder 22 ταυτὰ corr. ex ταῦτα A)

οἱ δὲ τετράγωνοι γεννῶνται μέν, ὡς προείρηται, ἐκ τῶν ἐφεξῆς ἀπὸ μονάδος περιττῶν ἀλλήλοις ἐπισυντι- θεμένων· συμβέβηκε δὲ αὐτοῖς ὥστε ἐναλλὰξ παῤ ἕνα ἀρτίοις εἶναι καὶ περιττοῖς, ὥσπερ ὁ πᾶς ἀριθμὸς παῤ ἕνα ἄρτιός ἐστιν ἢ περιττός· οἷον α΄ δ΄ θ΄ ις΄ κε΄ λϚ΄ μθ΄ ξδ΄ πα΄ ρ΄. τῇ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τὸ ἐξῆς ἐκθέσει τῶν ἀρτίων τε καὶ περιττῶν ἀριθμῶν συμβέβηκε, τοὺς γνώμονας τοὺς δυάδι ἀλλήλων ὑπερέχοντας ἐν τῇ συν- θέσει τετραγώνους ἀποτελεῖν, ὡς ἐπάνω ἀποδέδεικται· ὑπερέχουσι γὰρ δυάδι ἀλλήλων ἀπὸ μονάδος ἀρχόμενοι 〈οἱ〉 περιττοί. ὁμοίως δὲ οἱ τριάδι ἀλλήλων ὑπερέχον- τες ἐν τῇ συνθέσει ἀπὸ μονάδος πενταγώνους ἀποτε- λοῦσιν, ἑξαγώνους δὲ οἱ τετράδι, αἰεί τε ἡ ὑπεροχὴ τῶν γνωμόνων ἐξ ὧν ἀποτελοῦνται οἱ πολύγωνοι δυάδι λείπεται τοῦ πλήθους τῶν ἀποτελουμένων γωνιῶν.

ἑτέρα δὲ πάλιν ἐστὶ τάξις ἐν τοῖς πολυγώνοις τῶν ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων ἀριθμῶν. τῶν γὰρ ἀπὸ μονάδος πολλαπλασίων, λέγω δὲ διπλασίων τριπλασίων καὶ τῶν ἑξῆς, οἱ μὲν ἕνα παῤ ἕνα διαλείποντες ἀριθμοὶ τετράγωνοι πάντες εἰσίν, οἱ δὲ δύο διαλείποντες κύβοι πάντες, οἱ δὲ πέντε διαλείποντες κύβοι ἅμα καὶ τετρά- γωνοί εἰσι καὶ τὰς μὲν πλευρὰς ἔχουσι τετραγώνους [*](1 inscr. κερὶ τῶν ἑξῆς πολυγώνων A, κα in mg.) [*](α γ ε ζ θ in mg. A προείρηται: p. 28, 3. 32, 9 5 in mg. sup. cod. A haec scripta sunt: α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι. δ θ ιϚ κε τετράγωνοι α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι ιβ ιγ ε ιβ κβ λε πεντάγωνοι α β γ δ ε Ϛ ζ η θ ι ια ιβ ιγ ιδ ιε ιϚ ιζ Ϛ ιε κη με ἑξάγωνοι 12 πενταγώνους corr. ex τετραγώνους A. 13 ἡ supra vs. A.)

ἔτι τῶν ἀριθμῶν οἱ μὲν ἰσάκις ἴσοι τετράγωνοί εἰσιν, οἱ δὲ ἀνισάκις ἄνισοι ἑτερομήκεις καὶ προμήκεις, καὶ ἁπλῶς οἱ διχῶς πολλαπλασιαζόμενοι ἐπίπεδοι, οἱ δὲ τριχῶς στερεοί. λέγονται δὲ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ καὶ τρίγωνοι καὶ τετράγωνοι καὶ στερεοὶ καὶ τἆλλα οὐ κυ- ρίως ἀλλὰ καθʼ ὁμοιότητα τῶν χωρίων ἃ καταμετροῦ- σιν· ὁ γὰρ δ΄, ἐπεὶ τετράγωνον χωρίον καταμετρεῖ, ἀπʼ αὐτοῦ καλεῖται τετράγωνος, καὶ ὁ Ϛ΄ διὰ τὰ αὐτὰ ἑτερο- μήκης.

ὅμοιοι δʼ εἰσὶν ἀριθμοὶ ἐν μὲν ἐπιπέδοις τετράγω- νοι οἱ πάντες πᾶσιν, ἑτερομήκεις δὲ ὅσων αἱ πλευραί, τουτέστιν οἱ περιέχοντες αὐτοὺς ἀριθμοί, ἀνάλογόν εἰσιν. οἷον ἑτερομήκη ἦν τὰ ϛ΄· πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆ- κος γ΄, πλάτος β΄· ἕτερος πάλιν ἐπίπεδος ὁ κδ΄· πλευραὶ δὲ αὐτοῦ μῆκος μὲν ϛ΄, πλάτος δὲ δ΄. καὶ ἔστιν ὡς τι μὴκος πρὸς τὸ μῆκος, οὕτως τὸ πλάτος πρὸς τὸ πλάτος· ὡς γὰρ Ϛ΄ πρὸς γ΄, οὕτως δ΄ πρὸς β΄. ὅμοιοι οὖν ἀριθ- μοὶ ἐπίπεδοι ὅ τε Ϛ΄ καὶ ὁ κδ΄. σχηματίζονται δὲ οἱ αὐτοὶ ἀριθμοὶ ὁτὲ μὲν εἰς πλευρὰς ὡς μήκη καὶ πρὸς ἑτέρων σύστασιν λαμβανόμενοι, ὁτὲ δὲ εἰς ἐπιπέδους, ὅταν ἐκ πολλαπλασιασμοῦ δύο ἀριθμῶν γεννηθῶσιν, ὁτὲ [*](1 ἢ supra vs. A 3 inscr. περὶ ἰσάκις ἴσων καὶ ἀνι- σάκις ἀνίσων A, κβ in mg. 7 στερεοὶ corr. ex στερεοὶ A 9 τετράγωνον apogr.] ?? (i. e. τετραγώνων) A 12 inser. περὶ ὁμοίων ἀριθμῶν A, κγ in mg., figuras add. Aa) [*](14 αὐτοὺς] αὐτὰς A, cf. p. 24, 26 19 δ πρὸς β apogr β πρὸς δ A 21 ὡς μήκη καὶ 〈πλάτη καὶ ὕψη〉 ? 23 δύο apogr.] β δύο A.)

τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριθμῶν πρῶτος ὁ τρίγωνος, ὡς καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχη- μάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον. πῶς δὲ γεννῶνται προείρηται, ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ ἐξῆς ἀρτίου καὶ περιττοῦ προστιθεμένου. πάντες δὲ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί, ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους, γνώμονες καλοῦνται. τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως, ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν ὁ προσλαμβανόμενος γνώμων. οἷον ἔστω πρῶτον ἡ μονάς, λεγομένη τρίγωνον οὐ κατʼ ἐντελέχειαν, ὡς προειρήκαμεν, ἀλλὰ κατὰ δύναμιν· ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον σπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριθμῶν, ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τρι- γωνοειδῆ δύναμιν. προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα ἀποτελεῖ τρίγωνον, ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων, ὅσων ἐστὶν ὁ προσληφθεὶς γνώμων τῆς δυάδος. τὸ δὲ ὅλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων, ὅσων καὶ οἱ συντεθέντες γνώμονες. ὅ τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈ὁ〉 τῶν δυεῖν γνώμων τὰ γ΄ ἐποιήσαν, ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον [*](7 inscr. περὶ τριγώνων ἀριθμῶν A, κδ in mg. 10 προείρηται: p. 33, 1 11 cf. Nesselmann p. 203 14 τὰς ante πλευρὰς add. A2 πάντως corr. ex πάντων A 17 προ- ειρήκαμεν; p. 33, 6 24 τοσούτων, φησί, μονάδων ἐστὶν ἡ πλευρὰ τοῦ τριγώνου, ὅσων μονάδων ἐστὶν ὁ προστεθεὶς γνώ- μων· τοσαται δέ εἰσιν αἱ τοῦ γνώμονος μονάδες, ὅσοι εἰσὶν οἱ γνώμονες οἱ εἰς τὸ τρίγωνον συνελθόντες mg. A)

λέγονται δέ τινες καὶ κυκλοειδεῖς καὶ σφαιροειδεῖς καὶ ἀποκαταστατικοὶ ἀριθμοί· οὗτοι δʼ εἰσὶν οἵτινες ἐν τῷ πολλαπλασιάζεσθαι ἢ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, τουτ- έστι κατὰ δύο διαστάσεις ἢ κατὰ τρεῖς, ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξωνται ἀριθμοῦ ἐπὶ τοῦτον ἀποκαθιστάμενοι. τοιοῦ- τον δέ ἐστι καὶ ὁ κύκλος· ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξηται σημείου, [*](2 γνώμονες: ο corr. ex ω A εἶτα corr. ex εἰς A γ΄] τρίτον A, om. apogr. 3 ὃς corr. ex οἳ A 4 τῆς δυάδος corr. ex τὴν δυάδα A 5 τὰς ante πλευρὰς add. A2) [*](9 ἔχον corr. ex ἔχων A 10 γνώμων A2] γνώμω A1 12 τὸ τοῦ ιε΄ add. apogr. 13 γνωμόνω A1 14 ἓξ] ἑξῆς apogr. 16 inscr. περὶ κυκλοειδῶν καὶ σφαιροειδῶν καὶ ἀποκαταστατικῶν ἀριθμῶν A, κδ in mg. 17 οἵ- τινες — ἀποκαθιστάμενοι] scr. οἱ — ἀποκαθισταμενοι aut οἵ- τινες — ἀποκαθίστανται 21 κύκλος 〈ὅς〉?)

τῶν δὲ τετραγώνων ἡ μὲν γένεσις, ὡς εἶπον, ἐκ τῶν περισσῶν ἀλλήλοις ἐπισυντιθεμένων, τουτέστι τῶν ἀπὸ μονάδος δυάδι ἀλλήλων ὑπερεχόντων· ἓν γὰρ καὶ γ΄ δ΄, καὶ δ΄ καὶ ε΄ θ΄, καὶ θ΄ καὶ ζ΄ ιϛ΄, καὶ ιϛ΄ καὶ θ΄ κε΄.

πεντάγωνοι δέ εἰσιν ἀριθμοὶ οἱ ἐκ τῶν ἀπὸ μονά- δος κατὰ τὸ ἑξῆς τριάδι 〈ἀλλήλων〉 ὑπερεχόντων συν- τιθέμενοι. ὧν εἰσιν οἱ μὲν γνώμονες α΄ δ΄ ζ΄ ι΄ ιγ΄ ιϚ΄ ιθ΄· αὐτοὶ δὲ οἱ πεντάγωνοι α΄ ε΄ ιβ΄ κβ΄ λε΄ να΄ καὶ ἑξῆς ὁμοίως. σχηματίζονται δὲ πενταγωνικῶς οὕτως· [*](10 inscr. περὶ τετραγώνων ἀριθμῶν A. εἶπον: p. 28, 3. 32, 9. 34, 1 14 inscr. περὶ πενταγώνων ἀριθμῶν A, κε in mg.)