De utilitate mathematicae

οἱ μὲν οὖν τετράγωνοι πάντες τοὺς ἐτερομιήκεις περιλαμβάνουσι κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν καὶ μέσους αὐτοὺς ποιοῦσι [τουτέστι τοὺς μονάδι μείζονας τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ὑπερέχοντας]· οἱ δὲ ἑτερομήκεις οὐκ ἔτι τοὺς τετραγώνους περιλαμβάνουσιν ὡς μέσους εἶναι κατὰ ἀναλογίαν. οἷον αʹ βʹ γʹ δʹ εʹ, οὖτοι τῷ μὲν ἰδίῳ πλήθει πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τετραγώνους· ἅπαξ τε γὰρ αʹ αʹ καὶ δὶς βʹ δʹ καὶ τρὶς γʹ θʹ καὶ τετράκις δʹ ιϛʹ καὶ πεντάκις εʹ κε· καὶ οὐκ ἐκβαίνουσι τῶν ἰδίων ??ρων· ἣ τε γὰρ δυὰς ἑαυτὴν [*](3 inscr. περὶ τετραγώνων ἀριθμῶν Α, ις in mg. τε- τράγωνοι 〈δέ〉 εἰσιν?? 5 δ θ ιϛ κε λϛ supra numerorum se- rien add. Α. ὅς apogr.] ὅ Α. 16 inscr. ὅτι οἱ τετράγω- νοι μιέσους τοὺς ἑτερομήκεις λαμβάνουσιν Α, ιζ in mg.) [*](18 μείζονα Gelder 19 ὑπερέχοντας] ἔχοντας apogr. 22 οὗτοι] οὕτως οἱ Α 25 τὸν ἴθιον ὅρον Α)

ἐδύασε καὶ ἡ τριὰς ἑαυτὴν ἐτρίασεν, ὥστε εἶεν ἂν τε- τράγωνοι οἱ ἑξῆς αʹ δʹ θʹ ιςʹ κε΄. μέσους δὲ ἔχουσι τοὺς ἑτερομήκεις οὕτως. τετράγωνοι δύο ἐφεξῆς ὅ τε αʹ καὶ δʹ· τούτων μέσος ἑτερομήκης ὁ β΄· κείσθωσαν δὴ αʹ βʹ δ΄· μέσος γίνεται ὁ βʹ, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχων, ὑφʼ οὐ δὲ ὑπερεχόμενος· τοῦ μὲν γὰρ ἑνὸς τὰ βʹ διπλάσια, τῶν δὲ βʹ τὰ δʹ. πάλιν τετράγω- νοι μὲν ὁ δʹ κἰαὶ θʹ· μέσος δὲ αὐτῶν ἑτερομήκης ὁ ϛʹ· κείσθωσαν δὴ δʹ ϛʹ θʹ· μέσος ὁ ϛʹ, τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν [γὰρ] ὑπερέχων, ὑφʼ οὗ δὲ ὑπερεχόμε- νος· τῶν μὲν γὰρ δʹ τὰ ϛʹ ἡμιόλια, τῶν δὲ ϛʹ τὰ θ΄. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς. οἱ δὲ ἑτερομήκεις, ὑπὸ τῶν τ μονάδι ὑπερεχόντων πολλαπλασιαζόμενοι, οὔτε μένουσιν ἐν τοῖς ἰδίοις ὅροις οὔτε περιέχουσι τοὺς τετραγώνους. οἷον τὰ δὶς γʹ γεννᾷ τὸν ϛʹ καὶ τὰ τρὶς δʼ γεννᾷ τὸν ιβʹ καὶ τὰ τετράκις εʹ γεννᾷ τὸν κ΄, καὶ οὐδεὶς αὐτῶν μένει ἐν τῷ ἑαυτοῦ ὅρῳ, ἀλλὰ μεταπίπτει ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ, οἷον δυὰς ἐπὶ τριάδα καὶ τριὰς ἐπὶ τετράδα καὶ τετρὰς ἐπὶ πεντάδα· οἵ τε γεννώμενοι ὑπὸ τῶν ἑτερομηκῶν οὐ περιλαμβάνουσι τοὺς τετραγώ- νους ἀριθμούς· οἷον ἐφεξῆς ἑτερομήκεις βʹ ϛʹ, μεταξὺ δὲ αὐτῶν ἐστι τῇ τάξει τετράγωνος ὁ δʹ· ἀλλὰ κατʼ οὐδεμίαν ἀναλογίαν περιλαμβάνεται ὑπʼ αὐτῶν ὥστε ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα εἶναι. ἐκκείσθω γὰρ βʹ δʹ ϛʹ· ἡ τετρὰς ἐν διαφόροις λόγοις πρὸς τὰ ἄκρα γενήσεται· τῶν μὲν γὰρ βʹ τὰ δʹ διπλάσια, τῶν δὲ δ΄ [*](9 μέσος ὁ] μέσα τὰ Α. 10 γὰρ om. apogr. 20 ὑπὸ τῶν ἑτερομήκῶν del. vid. 23 οὐδὲ μίαν Α, em. apogr.) [*](24 αὐτῶ supra vs. add. Α ἐκκείσθω γὰρ] ἐκκείσθωσαν apogr. 26 τὰ δ πλάσια Α, em. apogr.) τὰ ϛʹ ἡμιόλια. ἵνα δὲ ἀναλόγως μέσον ᾖ, δεῖ αὐτ?? οὕτως μέσον εἶναι, ὥστε ὃν ἔχει λόγον τὸ πρῶτον πρὸς τὸ μέσον, τοῦτον τὸ μέσον πρὸς τὸ τρίτον. πάλιν τῶν ϛʹ καὶ ιβʹ ἑτερομηκων μέσος τῇ τάξει τετράγωνος ?? θʹ, ἀλλʼ οὐχ εὑρεθήσεται ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ πρὸς τὰ ἄκρα· ϛʹ θʹ ιβʹ·· τῶν μὲν γὰρ ϛʹ τὰ θʹ ἡμιόλια, τῶν δὲ θʹ τὰ ιβʹ ἐπίτριτα. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς λόγος.

προμήκης δέ ἐστιν ἀριθμὸς ὁ ὑπὸ δύο ἀνίσων ἀριθμῶν ἀποτελούμενος ὡντινωνοῦν, ἢ μονάδι ἢ δυάδι ἢ καὶ πλείονι τοῦ ἑτέρου τὸν ἕτερον ὑπερέχοντος, ὡς ὁ κδʹ, ἔστι γὰρ ἑξάκις δʹ, καὶ οἱ τοιοῦτοι. ἔστι δὲ τρία μέρη τῶν προμηκων. καὶ γὰρ πᾶς ἑτερομήκης προμή- κης, καθὸ μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν τῆς ἑτέρας ἔχει. ὥστε εἰ μέν τις ἑτερομήκης, οὗτος καὶ προμήκης· οὐ μὴν ἀνάπαλιν· ὁ γὰρ μείζονα πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ- ραν ἔχων πλευρὰν προμήκης μέν, οὐ μὴν ἑτερομήκης· ἦν γὰρ ἑτερομήκης ὁ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν, ὡς ὁ ϛʹ· ἔστι γὰρ δὶς γʹ ϛʹ. ἔτι προμήκης καὶ ὁ κατὰ διαφορὰν πολλαπλασιασμοῦ ποτὲ μὲν μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν πλευρὰν 〈ἔχων〉, ποτὲ δὲ πλεῖον ἢ μονάδι· ὡς ὁ ιβ΄· ἔστι γὰρ καὶ τρὶς δʹ καὶ δὶς ϛʹ, ὥστε κατὰ μὲν τὸ τρὶς δʹ εἴη ἂν ἑτερομήκης, κατὰ δὲ τὸ δὶς ϛ΄ προμήκης. ἔτι προμήκης ἐστὶν ὁ κατὰ πάσας τὰς σχέσεις τῶν πολλαπλασιασμῶν πλέον ἢ μονάδι μείζονα τὴν ἑτέραν ἔχων πλευράν· ὡς ὁ μʹ· καὶ γὰρ τετράκις ιʹ [*](3 τὸ τρίτον apogr.] τὸν τρίτον Α. 6 ϛʹ θʹ ιβʹ fort. del. 8 inser. περὶ προμηκῶν (corr. ex προμήκῶν) ἀριθμιῶν Α, ιη in mg. 9 δυάδι apogr.) δια΄ Α 12 μέρη] γένη 14. οὗτος corr. ex οὕτως Α 19 πολλαπλασιασμός Α, κατὰ διάφορον πολλαπλασιασμὸν Bull. 20 ἔχων add. apogr. 25 τετράκι Α, em. apogr.)

καὶ πεντάκις η΄ καὶ δὶς κʹ· ὅστις καὶ μόνος ἂν εἴη προ- μήκης. ἑτερομήκης γάρ ἐστιν ὁ ἐκ τῶν ἴσων ἀριθμῶν τὴν πρώτην λαμβάνων ἑτερότητα· ἡ δὲ τῆς μονάδος τῷ ἑτέρᾳ ἀριθμῷ προσθήκη πρώτην ποιεῖ ἑτερότητα· διὸ οἱ ἐκ τούτων κυρίως ἀπὸ τῆς πρώτης τῶν πλευρῶν ἑτερότητος ἑτερομήκεις. οἱ δὲ πλέον ἢ μονάδι τὴν ἑτέ- ραν πλευρὰν μείζονα ἔχοντες διὰ τὸν ἐπὶ πλέον προ- βιβασμὸν τοῦ μήκους προμήκεις κέκληνται.