De utilitate mathematicae

Theon Smyrnaeus

Theon Smyrnaeus. Theonis Smyrnaei philosophi platonici Expositio rerum mathematicarum ad legendum Platonem utilium. Hiller, Eduard, editor. Leipzig: Teubner, 1878.

ἡ δὲ ὀγδοάς, ἥτις ἐστὶ πρῶτος κύβος, συντίθεται. ἔκ τε μονάδος 〈καὶ ἑπτάδος〉. ἔνιοι δέ φασιν ὀκτὼ τούς [*](1 sqq. cf. Chalcid. 37 2 Ἐμπεδοκλῆς: cf. Karsten Em- ped. reliq. p. 475 3 αἰνίττεται: αἰ in ras. A 4 γίνεται A 5 γεννώμενα A 6 cf. Bergk Poetae lyr. Gr. p. 431) [*](7 ἐν τρίτῃ] τὶ τρίτη A1, τῆ τρίτη A 8 ἐν ᾗ ante καὶ excidisse videtur, cf. Macr. in Somn. Scip. l 6, 72 post te septenos annos genas flore vestit iuventa, idemque annus finem in longum crescendi facit 9 εὐδομάδι A, em. apogr. 11 ἑβρό- μην] ἑπτὰ A, ζ supra scr. A ἁπαντᾶ A2, ἅπαντα A1 13 πλανομένων A 14 ἡσημερίαν A 15 γλῶσσα del. A, cf. Chalc. et Macrob. 16 ηρόφιλος; η in ras. A. cf. Haeser Lehrbuch der Gesch. der Medicin l p. 236 18 ἑπτάκι A1) [*](21 καὶ ἑπτάδος add. Bull.)

105

πάντων κρατοῦντας εἶναι θεούς, ὡς καὶ ἐν τοῖς Ὀρφι- κοῖς ὅρκοις ἔστιν εὑρεῖν·

ναὶ μὴν ἀθανάτων γεννήτορας αἰὲν ἐόντων

πῦρ καὶ ὕδωρ γαῖάν τε καὶ οὐρανὸν ἠδὲ σελήνην

ἠέλιόν τε Φανῆ τε μέγαν καὶ νύκτα μέλαιναν.

ἐν δὲ Αἰγυπτιακῇ στήλῃ φησὶν Κὔανδρος εὑρίσκεσθαι γραφὴν βασιλέως Κρόνου καὶ βασιλίσσης Ῥέας· „πρε- σβύτατος βασιλεὺς πάντων Ὄσιρις θεοῖςἀθανάτοις πνεύ- ματι καὶ οὐρανῷ καὶ γῇ καὶ νυκτὶ καὶ ἡμέρῳ καὶ πατρὶ τῶν ὄντων καὶ ἐσομένων Ἔρωτι μνημεῖα τῆς αὐτοῦ ἀρετῆς 〈καὶ〉 βίου συντάξεως. Τιμόθεός φησι καὶ παροιμίαν εἶναι τὴν ,,πάντα ὀκτὼ“ διὰ τὸ τοῦ κόσμου τὰς πάσας ὀκτὼ σφαίρας περὶ γῆν κυκλεῖσθαι, καθά φησι καὶ Ἐρατοσθένης·

ὀκτὼ δὴ τάδε πάντα σὺν ἁρμονίῃσιν ἀρήρει,

[*](3 Lobeck Agl. p. 742 sqq. αἰἐννεόντων A 4 γαῖαν A2, γέαν A ἠδὲ Bull.] ἡ δὲ A 5 φανῆ τε A1] φάνητα A recte (cf. Ζeller p. 87, 4); sed is quem Theo exscripsit aut pra- vam lectionem Φανῆ τε vel Φάνη τε secutus est aut Φάνητα μέγαν a sole diversum esse falso putavit: nam oeto deos his versibus enumerari aperte indicat. Cf. Ζenob. 78 Εὔανδρος ἔφη ὀκτὼ τοὺς πάντων εἶναι κρατοῦντας θεούς, πῦρ, ὕδωρ, γῆν, οὐρανόν, σελήνην, ἥλιον, Μίθραν, νύκτα. (Porph. de antro nymph. 24 δημιουργὸς ὢν ὁ Μίθρας. Proclus in Plat. Tim. p. 93 E ὁ μάλιστα παῤ αὐτῷ δημιουργὸς ὁ Φάνης ἐστίν). Schoe- mann opusc. ll p. 15. Schuster de veteris Orph. Theog. indole atque origine p. 29 6 cf. de hoc mendaciorum genere Freudenthal Alex. Polyh. p. 151. Plew, Jahrb. f. Philol. 1868 p. 839 sq. Εὔανδρος: cf. Zenob. l. c. (Jambl. de Pyth. vita. 267?) 7 βασιλίσης A, em. Bull. 9 ἡλίῳ καὶ σελήνῃ post οὐρανῷ add. Bull. an 〈καὶ πυρὶ καὶ ὕδατι〉? cf. Lobeck p. 524 fr. VIII vs. 10 sq. 10 ἐρῶτί A1, ί mut. in ὲ A2, em. Reine- sius μνημία A 11 Τιμόθεος 〈δέ〉 φησι 14 Ἐρατοσθέ- νης: cf. Erat. carm. rel. p. 50 sqq. Bernhardy Eratosth. p. 165) [*](15 συναρμονίησιν A, em. apogr.)

106

ὀκτὼ δʼ ἐν σφαίρῃσι κυλίνδετο κύκλῳ ἰόντα

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ἐνάτην περὶ γαῖαν.

ὁ δὲ τῶν ἐννέα πρῶτός ἐστι τετράγωνος ἐν περιτ- τοῖς. πρῶτοι γάρ εἰσιν ἀριθμοὶ δυὰς καὶ τριάς, ἡ μὲν ἀρτίων, ἡ δὲ περιττῶν· διὸ καὶ πρώτους τετραγώνους ποιοῦσιν, ὁ μὲν δ΄, ὁ δὲ θ΄.

ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμόν, ἐμ- περιέχουσα πᾶσαν φύσιν ἐντὸς αὑτῆς, ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ κινουμένου τε καὶ ἀκινήτου ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ· περὶ ἧς καὶ Ἀρχύτας ἐν τῷ περὶ τῆς δεκάδος καὶ Φιλόλαος ἐν τῷ περὶ φύσιος πολλὰ διεξίασιν.

ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὸν τῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτή- των λόγον. μεσότητές εἰσι πλείονες, γεωμετρικὴ ἀριθ- μητικὴ ἁρμονικὴ ὑπεναντία πέμπτη ἕκτη. λέγονται δὲ καὶ ἄλλαι πάλιν ἓξ ταύταις ὑπεναντίαι. τούτων δέ φη- σιν ὁ Ἄδραστος μίαν τὴν γεωμετρικὴν κυρίως λέγεσθαι καὶ ἀναλογίαν καὶ πρώτην· ταύτης μὲν γὰρ αἱ ἄλλαι προσδέονται, αὐτὴ δʼ ἐκείνων οὐχί, ὡς ὑποδείκνυσιν ἐν τοῖς ἐφεξῆς. κοινότερον δέ φησι καὶ τὰς ἄλλας μεσότη- τας ὑπʼ ἐνίων καλεῖσθαι ἀναλογίας. τῶν δὲ κυρίως λεγομένων ἀναλογιῶν, τουτέστι τῶν γεωμετρικῶν, αἱ μέν εἰσιν ἐν ῥητοῖς ὅροις τε καὶ λόγοις, ὡς ιβ΄ ϛ΄ γ΄, [*](1 σφαίρεσι A1, σφαίραισι A2, em. apogr. ἰόντα; ν supra vs. A. 2 ἐννέα τῶν περὶ γαῖαν A quae verba del. A2, ταῦτʼ ἐνάτην περὶ γαῖαν Bergk, Ztschr. f. d. AW. 1850 p. 177. cf Theol. arithm. p. 56 σὺν οκτὼ δὴ σφαίρῃσι κυλίνδεται ὁ κυ- κλώων ἐνάτην περιγαίην, Ἐρατοσθένης φησίν 3 θ mg. A.) [*](7 ῑ mg. A ἐνπεριέχουσα A, em. apogr. 11 Φιλόλαος: fr. 13 Mullach. cf. Boeckh Philolaos Lehren p. 27. 146. Schaar- schmidt die angebliche Schriftstellerei des Philolaos p. Zeller l p. 368, 1 φύσεως A 17 ἀνάλογον ut vid. A1. cf. Procl. in Tim. p. 145 C)

107

εἰσὶ γὰρ ἐν λόγοις διπλασίοις, καὶ ὅσαι τοιαῦται [αἵτι- νές εἰσιν ἐν ἀριθμοῖς], αἱ δὲ ἐν ἀρρήτοις τε καὶ ἀλό- γοις [ἤτοι μεγέθεσιν ἢ βάρεσιν ἢ χρόνοις ἤ τισιν ἄλλοις διπλασίοις ἢ τριπλασίοις ἤ τισι τοιούτοις πολλαπλα- σίοις ἢ ἐπιμορίοις]. γεωμετρικὴ μὲν γάρ, ὡς ἔφαμεν, μεσότης ἡ τῷ αὐτῷ λόγῳ τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη· ἀριθμητικὴ δὲ ἡ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη, ἁρμονικὴ δὲ ἡ τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη. δείκνυσι δὲ ὅτι ὁ τῆς ἰσότητος λόγος ἀρχηγὸς καὶ πρῶ- τός ἐστι καὶ στοιχεῖον πάντων τῶν εἰρημένων λόγων καὶ τῶν κατʼ αὐτοὺς ἀναλογιῶν· ἐκ πρώτου γὰρ τούτου πάντα συνίσταται καὶ εἰς τοῦτον ἀναλύεται τά τε τῶν λόγων καὶ τὰ τῶν ἀναλογιῶν.

ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησὶν ὅτι πᾶς μὲν λόγος ἢ κατὰ διάστημα ἢ κατὰ τοὺς ὅρους αὔξεται· τῇ δὲ ἰσότητι συμ- βέβηκε διαστήματος μὴ μετέχειν· εὔδηλον δὲ ὅτι κατὰ τοὺς ὅρους μόνους αὐξηθήσεται. λαβόντες δὴ τρία με- γέθη καὶ τὴν ἐν τούτοις ἀναλογίαν κινήσομεν τοὺς ὅρους. καὶ δείξομεν ὅτι πάντα τὰ ἐν τοῖς μαθήμασιν ἐξ ἀναλογίας ποσῶν τινων σύγκειται καὶ ἔστιν αὐτῶν ἀρχὴ καὶ στοιχεῖον ἡ τῆς ἀναλογίας φύσις.

τὰς δὲ ἀποδείξεις ὁ μὲν Ἐρατοσθένης φησὶ παρα- λείψειν. ὁ δὲ Ἄδραστος γνωριμώτερον δείκνυσιν, ὅτι τριῶν ἐκτεθέντων ὅρων ἐν ᾗ δήποτε ἀναλογίᾳ, ἐὰν [*](2 pr. ἐν supra vs. A, fort. A ἀρήτοις A 4 διπλα- σίοις — ἐπιμορίοις del. Bull. 5 ἔφαμεν; p. 85, 11 10 inscr. περὶ ἰσότητος ὅτι ἀρχὴ ἀναλογιῶν καὶ πῶς γίνεται πολλαπλασία A 15 Ἐρατοσθένης: cf. Philol. XXX p. 66. Bernhardy p. 170 22 ἀναλογίας] ἰσότητος? 25 ἡδήποτε A1, οἱαδήποτε A2)

108

τρεῖς ἕτεροι ληφθῶσιν ἐκ. τούτων πεπλασμένοι ὁ μὲν τῷ πρώτῳ ἴσος, ὁ δὲ σύνθετος ἐκ πρώτου καὶ δευτέρου, ὁ δʼ ἑνὸς πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου, οἱ ληφθέντες οὕτως πάλιν ἔσονται ἀνάλογον. καὶ ἐκ τῆς ἐν ἴσοις ὅροιρ ἀναλογίας γεννᾶται ἡ ἐν διπλασίοις ἀνα- λογία, ἐκ δὲ τῆς ἐν διπλασίοις ἡ ἐν τριπλασίοις, ἐκ δὲ ταύτης ἡ ἐν τετραπλασίοις, καὶ ἑξῆς οὕτως αἱ ἐν τοῖς ἄλλοις πολλαπλασίοις οἷον ἐκκείσθω ἐν τρισὶν ὅροις ἴσοις ἐλαχίστοις ἀναλογία ἡ τῆς ἰσότητος, τουτέστιν ἐν μονάσι τρισίν. ἀλλὰ καὶ εἰλήφθωσαν ἄλλοι τρεῖς ὅροι τὸν εἰρημένον τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώ- του καὶ δευτέρου, 〈ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων〉 καὶ τρίτου· γενήσεται α β΄ δ΄, ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ διπλα- σίῳ. πάλιν ἐκ τούτων συνεστάτωσατ ἕτεροι κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον, ὁ μὲν ἐκ πρώτου, ὁ δὲ ἐκ πρώπου καὶ δευτέρου, ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ δύο δευτέρων καὶ τρίτου· ἔσται α΄ γ΄ θ΄, ἅ ἐστιν ἐν λόγῳ τριπλασίῳ. ἐκ δὲ τού- των ὁμοίως συστήσονται α΄ δ΄ ιϚ΄ ἐν λόγῳ τετραπλασίῳ, καὶ ἐκ τούτων α΄ ε΄ πε΄ ἐν λόγῳ πενταπλασίῳ, καὶ ἑξῆς οὕτως ἐπʼ ἄπειρον ἐν τοῖς ἐχομένοις πολλαπλασίοις.

α α α α β δ α γ θ α δ ις α ε κε α ς λς α ζ μθ α η ξδ α θ πα α ι ρ

[*](3 ἐκ ante δύο supra vs. A θὶς δευτέρου cj. Bull. 4 τῆς] τῶν A, sed ῶν in ras. 7 ἡ ap.) ἢ A. αἱ] ἡ A)[*](12 ὁ δὲ ἐκ πρώτου καὶ θὶς δευτέρου add. Bull. 14 συν- ἐστωσαν A, em. apogr. 16 θὶς δευτέρου cj. Bull. 17 θ corr. ex δ A)

109

ἐκ δὲ τῶν πολλαπλασίων ἀνάπαλιν τεθέντων [α΄ α΄ α΄] καὶ ὁμοίως πλαττομένων οἱ ἐπιμόριοι λόγοι 〈καὶ αἱ〉 ἐν τούτοις συστήσονται ἀναλογίαι, ἐκ μὲν τῶν διπλασίων ἡμιόλιοι, ἐκ δὲ τῶν τριπλασίων οἱ ἐπίτριτοι, ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων ἐπιτέταρτοι, καὶ ἀεὶ ἑξῆς οὕτως. οἷον ἔστω ἀναλογία κατὰ τὸν διπλάσιον λόγον ἐν τρισὶν ὅροις, τοῦ μείζονος κειμένου πρώτου, καὶ πεπλάσθωσαν ἕτεροι τρεῖς ἐκ τούτων τὸν εἰρημένον τρόπον· δ΄ β΄ α΄ οἱ δὲ ἐξ αὐτῶν γενήσονται δʹ Ϛʹ θ΄· γίνεται ἀνάλογον ἐν ἡμιολίοις. πάλιν ἔστωσαν τρεῖς ὅροι ἀνάλογον ἐν τριπλασίοις θ΄ γ΄ α΄· συστήσονται τὸν αὐτὸν τρόπεον ἐκ τούτων ὅροι τρεῖς ἀνάλογον ἐν ἐπιτρίτοις θ΄ ιβ΄ ιϛ΄. ἐκ δὲ τῶν τετραπλασίων συστήσονται ἐν ἐπιτετάρτοις ιϚ΄ κ΄ κε΄, καὶ οὕτως ἀεὶ ἐκ τῶν ἐχομένων οἱ ἑξῆς ὁμώνυμοι.

δ β α δ ς θ θ γ α θ ιβ ις ις κ κε κε λ λς λς μβ μθ μθ νς ζδ ξδ οβ πα πα ?? ρ

ἐκ δὲ τῶν ἐπιμορίων οἵ τʼ ἐπιμερεῖς καὶ οἱ πολλα- πλασιεπνμόριοι, πάλιν δʼ ἐκ τῶν ἐπιμερῶν ἕτεροί τε ἀπιμερεῖς καὶ πολλαπλασιεπιμερεῖς· ὧν τὰ μὲν πλεῖστα παραλειπτέον οὐκ ἀναγκαῖα ὄντα, μικρὰ δὲ θεωρητέον. ἐκ μὲν γὰρ τῆς ἐν ἡμιολίοις ἀνκλογίας τὸν εἰρημένον τρόπον ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ἀρχομένων ὅρου συνίστα- ται ἀναλογία ἐν ἐπιμερέσι λόγοις δισεπιτρίτοις· οἷον [*](6 λόγον] ἀνάλογον A. 13 τετραπλασίων; fort. add. εϚ΄ δ΄ α΄ 15 ἐπιμερεῖς A2] ἐπικέριοι A 16 ἐπιμερῶν corr. in ἐπιμορίων A 18 παραληπτέον A1)

110

θ΄ Ϛ΄ δ΄· ἐκ δὲ τούτων κατὰ τὴν εἰρημένην μέθοδον συνίσταται θ΄ ιε΄ κε. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ὅρου ἀρ- χομένων ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία, τουτέστιν ἡ διπλασιημιόλιος. οἷον ἐκκείσθω δ΄ Ϛ΄ θ΄· ἐκ τούτων κατὰ τὴν αὐτὴν μέθοδον δ΄ ι΄ κε. ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπι- τρίτοις ἀπὸ μὲν τοὺ μείζονος ἀρχομένων ὅρου ἔσται ἐπιμερὴς ἀναλογία ἡ τρισεπιτέταρτος. οἷον ἐκ τῆς τῶν ιϛ΄ ιβ΄ θ΄ ἔσται ιϛ΄ κη΄ μθ΄. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρ- χομένων ὅρου ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία 〈ἡ〉 διπλασιεπίτριτος ἐν τοῖς θ΄ κα΄ μθ΄. ἐκ δὲ τῆς ἐν ἐπι- τετάρτοις ἀπὸ μὲν τοῦ μείζονος ὅρου 〈ἀρχομένων〉 ἐπι- μερὴς ἔσται ἀναλογία ἡ τετράκις ἐπίπεμπτος· οἷον [ὁ] ἐκ τῆς κε΄ κ΄ ιϚ΄ ἔσται κε΄ με΄ πα΄. ἀπὸ δὲ τοῦ ἐλάττονος ἀρχομένων ἔσται πολλαπλασιεπιμόριος ἡ διπλασιεπι- τέταρτος· 〈οἷον〉 ἀπὸ τῶν ιϚ΄ κ΄ κε΄ ἔσται ἡ ἐν τοῖς ιϚ΄ λϚ΄ πα΄. καὶ ἡ τάξις οὕτω πρόεισιν ἐπʼ ἄπειρον. καὶ ἀπὸ τούτων δὲ ἄλλοι πλάσσονται κατὰ τὸν αὐτὸν λόγον, περὶ ὧν οὐκ ἀναγκαῖον μηκύνειν τὸν λόγον.

πᾶσαι δʼ αἱ τοιαῦται ἀναλογίαι καὶ οἱ ἐν αὐταῖς λόγοι πάντες, καθάπερ συνεστᾶσιν ἐκ πρώτου τοῦ τῆς ἰσότητος λόγου, οὕτως καὶ ἀναλύονται εἰς ἔσχατον τοῦ- τον. ἂν γὰρ ἐξ ὁποιασοῦν ἀναλογίας ἐν τρισὶν ὅροις ἀνίσοις οὕτως ἀφελόντες ἀπὸ μὲν τοῦ μέσου τὸν ἐλά- χιστον, ἀπὸ δὲ τοῦ μεγίστου τόν τε ἐλάχιστον καὶ δύο τοιούτους ὁποῖος ἐλείφθη τοῦ μέσου ἀφαιρεθέντος ἀπʼ [*](9 πολλαπλασιεπιμόριος ἀναλογία ἡ διπλασιεπίτριτος] ἐπι- μερὴς ἀναλογία διπλάσιος δὲ ἐπίτριτος A, fort. add. 〈οἷον ἐκ τῶν θ΄ ιβ΄ ιϛ΄ ἔσται ἡ〉 12 ὁ om. apogr. 14 πολυπλασι- επιμόριος A1 ἡ] ὁ A 19 inscr. ὅτι ἀναλύονται αἱ ἀναλογίαι εἰς ἰσότητα A, ϛ in mg. 23 οὕτως del. vid.) [*](25 ἐλήφθη A)

111

αὐτοῦ τοῦ ἐλαχίστου τοὺς γενομένους τάξωμεν ἐφεξῆς, πρῶτον μὲν αὐτὸν τὸν ἐλάττονα, ἔπειτα τὸν ἀπὸ τοῦ μέσου λειφθέντα καὶ τελευταῖον τὸν ἀπολειφθέντα τοῦ ἐσχάτου, ἡ διαλυθεῖσα οὕτως ἀναλογία ἀναλυθήσεται εἰς τὴν πρὸ αὐτῆς ἐξ ἧς συνέστη. τούτου δʼ ἀεὶ γινο- μένου ἐλεύσεται ἡ ἀνάλυσις ἐπʼ ἐσχάτην τὴν τῆς ἰσό- τητος ἀναλογίαν, ἐξ ἧς πρώτης ἅπασαι συνέστησαν· αὐτὴ δὲ οὐκέτι εἰς ἄλλην, ἀλλὰ μόνον εἰς τὸν τῆς ἰσό- τητος λόγον.

Ἐρατοσθένης δὲ ἀποδείκνυσιν, ὅτι καὶ τὰ σχήματα πάντα ἔκ τινων ἀναλογιῶν συνέστηκεν ἀρχομένων τῆς συστάσεως ἀπὸ ἰσότητος καὶ ἀναλυομένων εἰς ἰσότητα· περὶ ὧν τὰ νῦν λέγειν οὐκ ἀναγκαῖον.

τὰ δὲ αὐτὰ εὑρεθήσεται καὶ ἐπὶ σχημάτων. ὧν πρῶτόν ἐστιν ἡ στιγμή, ὅ ἐστι σημεῖον ἀμέγεθες καὶ ἀδιάστατον, γραμμῆς πέρας, οἷον μονὰς θέσιν ἔχουσα. τοῦ δὲ μεγέθους τὸ μὲν ἐφʼ ἓν διάστατόν τε καὶ διαί- ρετον γραμμή, μῆκος οὖσα ἀπλατές· τὸ δʼ ἐπὶ δύο ἐπίπεδον, μῆκος ἔχον καὶ πλάτος· τὸ δʼ ἐπὶ τρία στερεόν, μῆκός τε καὶ πλάτος καὶ βάθος ἔχον. περιέχεται δὲ καὶ περαίνεται τὸ μὲν στερεὸν ὑπὸ ἐπιπέδων, τὸ δʼ ἐπίπεδον ὑπὸ γραμμῶν, ἡ δὲ γραμμὴ ὑπὸ στιγμῶν. τῶν δὲ γραμμῶν εὐθεῖα μέν ἐστιν ὀρθὴ καὶ οἷον τεταμένη, ἥτις δύο δοθέντων σημείων μεταξὺ ἐλαχίστη ἐστὶ τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν καὶ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς ση- [*](1 τάξωμεν corr. ex τάξομεν A. 3 ληφθέντα A ἀπο- λιφθέντα A 6 ἔσχατον A 7 ἐξ ἧς A2] ἑξῆς A1 10 Ἐρατοσθένης: cf. Philol. XXX p. 66 14 inscr. περὶ σχη- μάτων et ζ mg. A 18 οὖσα] ἔχουσα? 19 ἔχων A1 23 〈ἡ〉 ὀρθὴ? 24 ἐλαχίϚ A1 25 Eucl. El. I def. 4 εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ᾿ ἑαυτῆς σημείοις κεῖται)

112

μείοις κειμένη· καμπύλη δὲ ἡ μὴ οὕτως ἔχουσα. δια- φέρει δὲ καὶ ἐπίπεδον ἐπιφανείας παραπλησίως. ἐπι- φάνεια μὲν γάρ ἐστι παντὸς στερεοῦ σώματος κατὰ δύο διαστάσεις μήκους καὶ πλάτους ἐπιφαινόμενον πέρας. ἐπίπεδον δέ ἐστιν ὀρθὴ ἐπιφάνεια· ἧς ἐπειδὰν δύο σημείων ἅψηται εὐθεῖα, ὅλη αὐτῷ ἐφαρμόζεται. παρ- άλληλοι δέ εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐπʼ ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν, ἀλλὰ τηροῦσιν ἐν παντὶ τὴν διάστασιν.

τῶν δὲ σχημάτων ἐπίπεδα μέν εἰσι τὰ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πάσας ἔχοντα τὰς γραμμάς· καὶ εὐθύγραμμα μὲν τὰ ὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, οὐκ εὐθύγραμμα δὲ τὰ μὴ οὕτως ἔχοντα. τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ εὐθυγράμ- μων σχημάτων τὰ μὲν τρισὶ περιεχόμενα πλευραῖς τρί- πλευρα καλεῖται, τὰ δὲ τέτταρσι τετράπλευρα, τὰ δὲ πλείοσι πολύγωνα. τῶν δὲ τετραπλεύρων τὰ παραλ- λήλους ἔχοντα τὰς ἀπεναντίον πλευρὰς ἑκατέρας παραλ- ληλόγραμμα καλεῖται. τούτων δὲ ὀρθογώνια μὲν τὰ τὰς γωνίας ἔχοντα ὀρθάς· ὀρθαὶ δέ εἰσι γωνίαι, ἅστινας εὐθεῖα ἐπʼ εὐθείας ἐφεστῶσα δύο ἴσας παῤ ἑκάτερα ἀποτελεῖ. τῶν δὲ ὀρθογωνίων παραλληλογράμμων ἕκαστον περιέχεσθαι λέγεται ἰδίως ὑπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν. καὶ τῶν τοιούτων τὰ μὲν τὰς τέσσαρας πλευρὰς ἴσας ἔχοντα ἰδίως λέγεται τετράγωνα, τὰ δὲ μὴ τοιαῦτα ἑτερομήκη.

ὁμοίως δὲ καὶ τῶν στερεῶν τὰ μὲν ὑπὸ ἐπιπέδων παραλληλογράμμων πάντων ἓξ ὄντων περιεχόμενα παρ- [*](6 καὶ ante ὅλη er A. ἐφαρμόζηται A 8 μηδετρα A1) [*](20 εὐθεία ἐπʼ εὐθεῖαν (corr. ex εὐθείαν) A 26 inscr. περὶ στερεῶν A)

113

αλληλεπίπεδα καλεῖται, τὰ δὲ καὶ ὑπὸ ὀρθογωνίων τού- των ὀρθογώνια. τούτων δὲ τὰ μὲν πάντη ἰσόπλευρα, τουτέστιν ἴσον ἔχοντα τὸ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, ὑπὸ τετραγώνων ἴσων πάντων περιεχόμενα, κύβοι· τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον ἔχοντα, τουτέστι τὰς βάσεις τετραγώνους, τὸ δὲ ὕψος ἔλαττον, πλινθίδες· τὰ δὲ τὸ μὲν μῆκος καὶ πλάτος ἴσον, τὸ δὲ ὕψος μεῖζον, δοκίδες· τὰ δὲ πάντη ἀνισόπλευρα σκαληνά.

ἀκριβέστερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων λεκτέον, ἐπειδὴ καὶ ἀναγκαιοτάτη εἰς τὰ Πλατωνικὰ ἡ τούτων θεωρία. ἀπλῶς μὲν οὖν μεσότης ἐστίν, ἐπειδὰν δύο ὅρων ὁμογενῶν ἀνίσων μεταξύ τις ὁμογενὴς ἕτερος ὅρος ληφθῇ, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ πρώτου καὶ μείζονος ὅρου παρὰ τὸν ληφθέντα πρὸς τὴν ὑπερ- οχὴν το μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα, οὕτως τὸν πρῶτον ὅρον ἤτοι πρὸς ἑαυτὸν ἢ πρός τινα τῶν ἄλλων ἢ ἀνά- παλιν τὸν ἐλάττονα πρός τινα τῶν ἄλλων.

ἐπὶ μέρους δὲ ἀριθμητικὴ μέν ἐστι μεσότης ἡ τῷ αὐτῷ ἀριθμῷ τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ὑπερέχουσα, ὑφʼ οὗ δὲ ὑπερεχομένη· οἷον γ΄ β΄ α΄ ὁ γὰρ τῶν β΄ ἀριθμὸς μονάδι ὑπερέχει τοῦ ἑνὸς καὶ μονάδι ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ γ΄. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ μεσότητι πρὸς τὴν τῶν ἄκρων σύνθεσιν ὑποδιπλασίῳ εἶναι· ἥ τε γὰρ τριὰς καὶ ἡ μονὰς συντεθεῖσαι τὴν τετράδα ἐποίησαν, ἥτις δι- πλασία ἐστὶ τοῦ μέσου ἀριθμοῦ τῆς δυάδος.

[*](5 ??ν ante ἔχοντα A. 8 ἀνισόπλευρα] ἀνισαίτερα A. 11 ῆ mg. A. 12 ἀνίσων Bull.] ἴσων A. 13 τῶ . . . ω post ὅρος er. A. 16 ἑαυτὸν] τοῦτον falso cj. Bullialdus 18 inscr. τίς ἡ ἀριθμητικὴ μεσότης A 19 ὑφʼ corr. ex ἀφʼ A. 23 ὑπὸ διπλασίω A, em. apogr. καὶ post γὰρ er. A. 24 συντιθεῖσαι A, em. apogr.)

114

γεωμετρικὴ δέ ἐστι μεσότης ἡ καὶ ἀναλογία κυρίως λεγομένη ἡ τῷ αὐτῷ λόγῳ ὑπερέχουσα καὶ ὑπερεχομένη, οἷον πολλαπλασίῳ ἢ ἐπιμορίῳ· οἷον αʹ βʹ δ΄. τά τε γὰρ δʹ τῶν βʹ διπλάσια καὶ τὰ βʹ τοῦ ἑνὸς διπλάσια· καὶ πάλιν ἡ ὑπεροχὴ τῶν βʹ ἐστὶ τὸ ἕν 〈καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν δʹ τὰ βʹ〉, ταῦτα δὲ ὁμοίως ἐξεταζόμενά ἐστιν ἐν δι- πλασίῳ λόγῳ. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων συντιθέμενον κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου τετραγώνῳ. οἷον οἱ ἄκροι ἐπʼ ἀλλήλους πολλαπλασιαζόμενοι ποιοῦσι τὸν δʹ· ἅπαξ γὰρ δʹ δʹ· καὶ πάλιν ὁ βʹ ἐφʼ ἑαυτὸν λαμβανόμενος ποιεῖ τὸν δʹ δὶς γὰρ βʹ δ΄ ὥστε 〈τὸ〉 ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον γίνεται τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου· αʹ βʹ δʹ.

ἁρμονικὴ δέ ἐστιν ἀναλογία, ἐπειδὰν τριῶν ὅρων προτεθέντων ὅν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν τρίτον, τὸν αὐτὸν ἡ τοῦ πρώτου ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευ- τέρον ὑπεροχὴν ἔχῃ· οἷον ϛʹ γʹ βʹ· ἡ γὰρ ἑξὰς πρὸς τὴν δυάδα τριπλασία ἐστί· καὶ ἡ ὑπεροχὴ δὲ τῆς ἑξάδος πρὸς τὰ γʹ τριὰς οὖσα τριπλασία ἐστὶ τῆς μονάδος, ἥτις ὑπεροχή ἐστι τῆς τριάδος συγκρινομένης πρὸς τὰ βʹ. συμβέβηκε δὲ ταύτῃ τῇ ἀναλογίᾳ, τὸν μέσον ὅρον τῷ αὐτῷ μέρει κατὰ τοὺς ἄκρους ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι· οἷον βʹ γʹ ϛʹ. καὶ γὰρ ὁ τῶν ϛʹ τῷ ἡμίσει αὑτοῦ ὑπερέχει τῆς τριάδος καὶ ἡ δυὰς τῷ ἑαυτῆς ἡμίσει ὑπερέχεται ὑπὸ τῆς τριάδος. καὶ τοὺς ἄκρους δὲ συντε- θέντας ἀλλήλοις καὶ ὑπὸ τοῦ μέσου πολλαπλασιασθέντας διπλασίους ἂν εὕροιμεν τοῦ ἐκ τῶν ἄκρων ἀποτελου- [*](1 inscr. γεωμετρικὴ μεσότης A 3 ἐπιμερίῳ A. 14 inser. τίς ἡ ἁρμονικὴ μεσότης A 17 ἔχει A 20 συγκρινομένη A. 23. 24 ἥμισυ A 24 τὴν τριάδα A.)

115

μένου πολλαπλασίου. οἷον ςʹ καὶ βʹ ηʹ· ταῦτα δὲ ὑπὸ τῆς τριάδος, ὅς ἐστι μέσος, πολλαπλασιασθέντα γί- νεται κδʹ· καὶ πάλιν δὶς ςʹ ιβʹ· τούτων δὲ τὰ κδʹ διπλάσια.

ὑπεναντία δὲ τῇ ἁρμονικῇ καλεῖται μεσότης, ὅταν ὡς ὁ τρίτος ὅρος πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ τοῦ πρώ- του ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου· οἷον ςʹ εʹ γʹ· τὰ μὲν οὖν ςʹ τῶν εʹ μονάδι ὑπερέχει, τὰ δὲ εʹ τῶν γʹ δυσί· τὰ δὲ γʹ τῶν ςʹ ὑποδιπλάσιά ἐστιν· ἀλλὰ καὶ ἡ μονὰς ὑπεροχὴ οὖσα τοῦ [τε] πρώτου ἀριθμοῦ ὑποδιπλασία ἐστὶ τῆς δυάδος ὑπεροχῆς οὔσης τοῦ δευτέρου ἀριθμοῦ.