De utilitate mathematicae

ἡ μὲν οὖν προειρημένη τετρακτὺς 〈αὕτη〉, κατʼ ἐπισύνθεσιν τῶν πρώτων ἀποτελουμένη ἀριθμῶν. δευ- τέρα δʼ ἐστὶ τετρακτὺς ἡ τῶν κατὰ πολλαπλασιασμὸν ἐπηυξημένων ἀπὸ μονάδος κατά τε τὸ ἄρτιον καὶ πε- ριττόν. ὧν πρῶτος μὲν [κατὰ τὸ ἄρτιον] λαμβάνεται ἡ μονάς, ἐπειδὴ αὕτη ἀρχὴ πάντων ἀρτίων καὶ περιτ- τῶν καὶ ἀρτιοπερίττων, ὡς προείρηται, καὶ ἁπλοῦς ὁ ταύτης λόγος· οἱ δʼ ἐφεξῆς τρεῖς ἀριθμοὶ κατὰ τὸ ἄρ- τιον καὶ περιττόν. τὴν δὲ σύνθεσιν λαμβάνουσιν, ἐπειδὴ [*](5 cf. Pyth. carm. aur. vs. 47 sq. Sext. emp. adv. math. IV 2. 3. 9. VII 94. 100. Macr. comm. in Somn. Scip. l 6, 41. Theol. arithm. p. 18. Porph. vita Pyth. 20. lambl. de Pyth. vita 150. 162. Stob. ecl. l 10, 12. Pseudo-Plut. de plac. Phil. I 3. Procl. in Plat. Tim. p. 155 D. Zeller die Philos. der Gr. l p. 368 6 κεφαλά post ψυχᾶ del. A (κεφαλᾷ Sext. VII 97 κιφαλᾷ et Stob.; in eo libro unde A descriptus est fuisse videtur)) [*](7 πηγὴν A1 (sicut Sextus) ἀεννάου A. ceterorumque quos commemoravi scriptorum codices ut videtur longe plurimi apud eosdem partim φύσεως partim φύσιος legitur ῥίζωμα τ A, ῥιζώματ alii: cf. Bekker ad Sext. p. 722, 5 10 αὕτη] cf. p. 96, 9. 97, 1 κατʼ ἐπισύνθεσιν] καὶ ἐπὶ σύνθεσιν A: cf. p. 96, 9, 98, 15 11 ἀποτελουμ i. e. ἀποτελουμένων A. 15 αὕτη corr. ex αὐτὴ A 16 προείρηται: cf. p. 19, 20 17 τρὶς A1)

καὶ ὁ πᾶς ἀριθμὸς οὔτε μόνον ἄρτιος οὔτε μόνον πε- ριττός. διὸ δύο λαμβάνονται αἱ κατὰ πολλαπλασιασμὸν τετρακτύες, ἀρτία καὶ περιττή, ἡ μὲν ἀρτία ἐν λόγῳ διπλασίῳ, πρῶτος γὰρ τῶν ἀρτίων ἐ β΄ καὶ αὐτὸς ἐκ μονάδος κατὰ τὸ διπλάσιον ηὐξημένος, ἡ δὲ περιττὴ ἐν λόγῳ ηὐξημένη τριπλασίῳ, ἐπειδὴ πρῶτος τῶν πε- ριττῶν ὁ γ΄ καὶ αὐτὸς ἀπὸ μόναδος κατὰ τὸ τριπλάσιον ηὐξημένος. ὥστε κοινὴ μὲν ἀμφοτέρων ἡ μονάς, καὶ ἀρτία οὖσα καὶ περιττή· δεύτερος δὲ ἀριθμὸς ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις καὶ διπλασίοις ὁ β΄, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς καὶ τριπλασίοις ὁ γ΄· τρίτος δὲ ἐν μὲν τοῖς ἀρτίοις ὁ δ΄, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς ὁ θ΄· τέταρτος ἐν μὲν τοῖς ἀρ- τίοις η΄, ἐν δὲ τοῖς περιττοῖς κζ΄. η΄ δ΄ β΄ α΄ γ΄ θ΄ κζ΄ ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς 〈οἱ〉 τελειότεροι τῶν συμφω- νιῶν εὑρίσκονται λόγοι· συμπεριείληπται δὲ αὐτοῖς καὶ ὁ τόνος. δύναται δὲ ἡ μὲν μονὰς τὸν τῆς ἀρχῆς καὶ σημείου καὶ στιγμῆς λόγον· οἱ δὲ δεύτεροι πλευρὰν δύνανται ὅ τε β΄ καὶ ὁ γ΄, ὄντες ἀσύνθετοι καὶ πρῶτοι καὶ μονάδι μετρούμενοι καὶ φύσει εὐθυμετρικοί· οἱ δὲ τρίτοι ὅροι ὁ δ΄ καὶ ὁ θ΄ δύνανται ἐπίπεδον τετράγω- νον, ἰσάκις ἴσοι ὄντες· οἱ δὲ τέταρτοι ὅροι ὅ τε η΄ καὶ ὁ κζ΄ δύνανται ἰσάκις ἴσοι ἰσάκις 〈ὄντες〉 κύβον. ὥστε [*](2"κατα A 9 ἀρτία A2] τία A1) ἐκ τούτων τῶν ἀριθμῶν καὶ ταύτης τῆς τετρακτύος ἀπὸ σημείου καὶ στιγμῆς εἰς στερεὸν ἡ αὔξεσις γίνεται· μετὰ γὰρ σημεῖον καὶ στιγμὴν πλευρά, μετὰ πλευρὰν ἐπίπεδον, μετὰ ἐπίπεδον στερεόν. ἐν οἷς ἀριθμοῖς καὶ τὴν ψυχὴν συνίστησιν ὁ Πλάτων ἐν τῷ Τιμιαίῳ. ὁ δὲ ἔσχατος τούτων τῶν ἑπτὰ ἀριθμῶν ἴσος ἐστὶ τοῖς πρὸ αὐτοῦ πᾶσιν· ἓν γὰρ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ καὶ η΄ καὶ θ΄ γίνονται κζ΄.

δύο μιὲν οὖν αὗται τετρακτύες, ἥ τε κατʼ ἐπισύν- θεσιν καὶ ἡ κατὰ πολλαπλασιασμόν, τούς τε μουσικοὺς καὶ γεωμετρικοὺς καὶ ἀριθμητικοὺς λόγους περιέχου- σαι, ἐξ ὧν καὶ ἡ τοῦ παντὸς ἁρμονία συνέστη. τρίτη δέ ἐστι τετρακτὺς ἡ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν παντὸς μεγέθους φύσιν περιέχουσα· ὅπερ γὰρ ἐν τῇ προτέρᾳ τετρακτύι μονάς, τοῦτο ἐν ταύτῃ στιγμή. ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ πλευρὰν δυνάμενοι ἀριθμοὶ τὰ β΄ καὶ γ΄, τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος τῆς γραμμῆς ἥ τε περιφερὴς καὶ ἡ εὐθεῖα, κατὰ μὲν ἄρτιον ἡ εὐθεῖα, ἐπειδὴ δυσὶ σημείοις περατοῦται, κατὰ δὲ τὸ περιττὸν ἡ περιφερής, ἐπειδὴ ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς πέρας οὐκ ἐχούσης περιέχε- ται· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ τετράγωνον δυνάμενοι ὁ δ΄ καὶ ὁ θ΄, τοῦτο ἐν ταύτῃ τὸ διττὸν εἶδος ἐπιπέδων, εὐθύ- γραμμον καὶ περιφερόγραμμον· ὅπερ δὲ ἐν ἐκείνῃ οἱ κύβον δυνάμενοι ὁ η΄ καὶ ὁ κζ΄ δύο ὄντες ὁ μὲν ἐκ περιττοῦ, ὁ δὲ ἐξ ἀρτίου, τοῦτο ἐν ταύτῃ στερεόν, διτ- τὸν ὄν, 〈τὸ μὲν〉 ἐκ κοίλης ἐπιφανείας ὡς σφαῖρα καὶ [*](5 ἐν τῷ Τιμαίῳ: p. 35 B 6 ἕσχατος ex αἴσχατος A.) [*](8 γίνωνται A, em. apogr. 12 γ mg. A. 14 sqq. cf. Ζeller l p. 375, 5 15 τετρακτύη A 17 διττὸν] διάτονον A 18 εὐθία A 19 περιττοῦται A. 20 ἐπειδὴ 〈ὁ κύ- κλος〉? 23 περιφορόγραμμον A, em. apogr.)

κύλινδρος, τὸ δὲ ἐξ ἐπιπέδων ὡς κύβος πυραμίς. αὕτη δέ ἐστιν ἡ τρίτη τετρακτὺς παντὸς μεγέθους συμπλη- ρωτικὴ ἐκ σημείου γραμμῆς ἐπιπέδου στερεοῦ.