Scholia in Euclidis optica (scholia vetera)

62. Ἤχθω οὖν p. 72, 11 ἐπεὶ ἡ ΕΖ ἐτέθη πρὸς μὲν τὴν ΓΔ πρὸς ὀρθάς, πρὸς δὲ τὴν ΑΒ τυχούσας γωνίας ποιοῦσα, οὐκ ἔστι πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ.

63. Ἡ ΛΜ p. 72, 14 ἡ ΛΜ ἴση μέν ἐστι τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου, οὐ μὴν καὶ διάμετρος, ἀλλʼ ὑποτείνουσα μεῖζον τμῆμα ἡμικυκλίου διὰ τὸ ὑποτεθῆναι τὴν ΕΖ ἴσην ὑποτεθεῖσαν τῇ ΞΝ μείζονα τῶν ἐκ τοῦ κέντρου.

64. Ἡ ΝΞ μείζων p. 72, 19 ἡ γὰρ ΕΖ μείζων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου, ἡ δὲ ΝΞ τῇ ΕΖ ἴση. ἡ ΝΞ ἄρα μείζων ἑκατέρας τῶν ΛΝ, ΜΝ.

65. Ἡ ἄρα πρὸς τῷ ΞΝ, γωνία p. 74, 1 ἐπεὶ γὰρ ἡ ΕΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΞΝ, ἡ δὲ ΛΜ ἴση τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου καὶ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ν, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΓΖ τῇ ΛΜ καὶ ἡ Ζ ∠ τῇ ΝΜ. δύο δὴ αἱ ΓΖ, ΖΕ ἴσαι εἰσὶ τῇ ΛΝ, ΝΞ. καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΛΝΞ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΕ ἴση· πρὸς ὀρθὰς γὰρ ὑπόκειται [*](61. Vb. 62. V2. 63. V2. 64. Vb. 65. Va.) [*](7. τήν] corr. ex ἡ 14. Ante οὐ del. ἀλλὰ καί. 20. ΛΝ] ΑΜ(?). 25 τῇ] h. e. ταῖς.)

66. Ἔσται δὴ καί p. 74, 8 ἐπεὶ ἡ ΗΖ ἴση ἐστὶ τῇ ΛΝ, ἡ δὲ ΖΕ ὑπετέθη ἴση τῇ ΝΟ, καὶ ἡ ὑπὸ ΗΖΕ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΝΟ, ἔσται καὶ ἡ ΕΗ βάσις ἴση τῇ ΟΛ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΖ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΟΝ. ἐπεὶ οὖν εὐθειῶν τῶν ΕΖ, ΟΝ ἐπ᾿ εὐθειῶν σταθεισῶν γεγόνασιν αἱ ὑπὸ ΗΖΕ, ΛΝΟ ἴσαι, καὶ αἱ λοιπαὶ αἱ ὑπὸ ΕΖΘ, ΟΝΜ ἴσαι ἔσονται. καὶ ἐπεὶ ἡ ΕΖ, ΖΘ ἴση ἐστὶ τῇ ΟΝ, ΜΜ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΖΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΟΝΜ, βάσις ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΟΜ ἴση καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΝΟΜ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΗΕΘ ἴση τῇ ὑπὸ ΛΟΜ.

67.Ἐπτεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρός p. 74, 15 διὰ τὸ κβʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἐπὶ τῆς αὐτῆς γὰρ εὐθείας δύο ὅμοια τμήματα κύκλων οὐ συσταθήσονται, ὅμοια δὲ τμήματα κύκλων κατὰ τὸν ὄρον τοῦ αὐτοῦ βιβλίου τὰ δεχόμενα γωνίας ἴσας. ὅτι δὲ ἡ πρὸς τῷ Ξ μείζων τῆς πρὸς τῷ Ο καὶ πάλιν αὕτη τῆς πρὸς τῷ Π, δειχθήσεται διὰ τῆς δείξεως τοῦ κβʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων.

68. Μεγίστη δὲ ἡ Ξ p. 76, 6 διὰ τὸ λῆμμα τὸ [*](66. V2. 67. V2. 68. Vb.) [*](3. διά] bis ἡ) om 4. ΓΕ∠] ΓΖ∠. 7. ἡ (alt.)] om. 13. ΖΘ] Ζ∠ τῇ] e corr 16. ἴση (pr.)] bis.)

69. Ὑπερπίπτειν p. 76, 9 εἰ γὰρ ἴση, τὸ δὲ ἡμικυκλοειδὲς σχῆμα στενοῦται, ὑπερπέσῃ ἂν ἡ ἴση αὐτῇ. στενοῦνται δὲ διὰ τὸ ἐφάπτεσθαι τῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου μειζόνων οὐσῶν τῆς ΝΞ.

70. Περιγεγράφθω p. 78, 3 δέδεικται ἐν τῷ δ΄ βιβλίῳ Γωμετρίας περὶ τὸ δοθὲν τρίγωνον κύκλον περιγράψαι. ὥστε δυνατόν ἐστι τῷ βουλομένῳ περὶ τὸ ΚΞΛ τρίγωνον καὶ ἔτι περὶ τὸ ΚΟΑ τμήματα κύκλων γράψαι. περιγραφέντων δὲ τῶν γ τμημάτων φανερόν, ὅτι μεῖζον τῶν β ἐστὶ τὸ ΚΝΛ τμῆμα, τὸ δὲ ΚΞΛ ἔλαττον μὲν αὐτοῦ, μεῖζον δὲ τοῦ ΚΟΛ. διὰ ταῦτα δὴ μείζων ἡ ἐν τῷ ΚΟ Λ τμήματι γωνία· ἡ γὰρ ἐν ἐλάττονι τμήματι γωνία --- μείζων· ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν.

71. Καὶ κείσθω τῇ ΗΘ p. 78, 9 ἐπεὶ γὰρ τμῆμα κύκλου ἐστὶ τὸ ΚΝΛ, ἀπὸ τοῦ Μ σημείου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἄλλη τις ἴση τῇ ΜΝ οὐκ ἐκβληθήσεται, ἀλλʼ εἰ ἴση τῇ ΗΘ ἐκβληθῆναι ἐπιταχθήσεται, ἔξω ἐκβληθήσεται.

72. Ἐπεὶ οὖν μείζων p. 78, 18 διὰ τὸ λα΄ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων καὶ διὰ τὸ πρὸ τούτων λῆμμα· ὡς γὰρ οἷον λῆμμα ἐλήφθη τὸ ---

73. Παρεσπασμένοι p. 80, 7  ἤτοι εἰς ἓν μέρος καθʼ ὅλην μίαν διάμετρον ἐπιμήκεις.

74. Ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν p. 82, 23 ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἀκτίνων περιέχεται.

75. Πρὸς ὀρθάς p. 84, 2 σημείωσαι, ὅτι, εἰ πρὸς ὀρθὰς ἕστηκεν ἐξ ἀρχῆς, πρὸς ὀρθὰς φερέσθω.

76. Ἐὰν δὲ ἀπό p. 84, 22 ὅτι ἴσα τὰ τρίγωνα πάντα γίνονται τά τε ὑπὸ τῆς ἀκτῖνος καὶ τῶν εὐθειῶν περιεχόμενα καὶ τοῦτο --- τοῦ παρόντος βιβλίου.

77. Τὸ αὐτό p. 88, 3 ἤτοι ἡ ΑΒ, ΕΓ, ∠Ζ· αἱ αὐταὶ γὰρ ἴσαι ἐλήφθησαν.

78. Ἡμίσεια ἡ ὑπὸ ΒΕΑ p. 88, 8 διὰ τὸ λδ΄ τοῦ α΄ τῶν Στοιχείων· δίχα γὰρ τέτμηται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῆς ΕΒ εὐθείας.

79. Μέγιστον δέ p. 88, 15 φανήσεται γὰρ εὐρυχωροτέρα ἡ πρὸς τῷ Ε γωνία, εἰ ἐκ τοῦ Α διάμετρος ἀχθείη πρὸς τὸ μέρος τοῦ Β.

80. Πᾶσαι γὰρ αἱ p. 90, 7 ἴσα γὰρ τὰ τρίγωνα τὰ ὑ πὸ τῆς ἀκτῖνος τοῦ ὄ μματος καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ κέντρου καὶ τῆς ΑΒ περιεχόμενα.

81. Μέση ἀνάλογον p. 92, 23 ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου.