Scholia in Euclidis optica (scholia vetera)

Scholia in Euclidem

Scholia in Euclidem, Scholia in Euclidis optica, Heiberg, Teubner, 1895

17. Μείζων ἄρα γωνία p. 10, 24 ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστιν, αἱ δὲ βάσεις ἴσαι, αἱ δὲ πλευραὶ ἄνισοι.

18. Δεικτέον, πῶς μείζων ἡ ὑπὸ ΞΑΡ τῆς ὑπὸ ΠΑΝ. ἐπεὶ ὀρθογώνιά ἐστι τὰ τρίγωνα, ἡ δὲ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· τριγώνου γὰρ τοῦ ΠΑΡ μείζων γωνία [*](13. Vb. 14. V1. 15. V2. 16. V2. 17. Vb. 18. V2.)

128

ἡ ὑπὸ ΠΡΑ· ἀμβλεῖα γάρ· ἡ γὰρ ΑΡ πρὸς τὴν ΡΞ ἐστιν ὀρθή, οὐ μὴν καὶ πρὸς τὴν ΠΒ, ὅτι μηδὲ πρὸς τὸ ἐπίπεδόν ἐστιν ὀρθή, ἵνα καὶ πρὸς πάσας τὰς ἁπτομένας ποιῇ ὀρθὰς γωνίας, ἀλλὰ κέκλιται πρὸς αὐτό, καί ἐστιν ἡ κλίσις ὀξεῖα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΡΑ· ἀμβλεῖα ἄρα ἡ ὑπὸ ΠΡΑ. μείζων ἄρα ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ· ὑπὸ γὰρ τὴν μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων δὲ καὶ ἡ ΑΝ τῆς ΑΞ ἐπεὶ γὰρ αἱ ὑπὸ ΝΠΑ καὶ ὑπὸ ΞΡΑ ὀρθαί εἰσιν, ἐδείχθη δὲ ἡ ΠΑ τῆς ΑΡ μείζων· ὥστε καὶ τὸ παραλληλόγραμμον τὸ ὑπὸ ΝΠΑ τοῦ ὑπὸ ΞΡΑ μεῖζον, καὶ ἡ τοῦ μείζονος διάμετρος μείζων· διάμετροι δέ εἰσι τῶν παραλληλογράμμων αἱ ΝΑ, ΞΑ· ἡμίση γὰρ τούτων τὰ τρίγωνα. ὥστε, ἐὰν ἡ ΡΞ πεσεῖται ἐπὶ τὴν ΠΝ, ἐφαρμόσει· ἴση γὰρ ταύτῃ· καὶ αἱ ΡΑ, ΑΞ ἐντὸς πεσοῦνται τῶν ΑΠ, ΑΝ· ἐλάττονες γὰρ αὐτῶν. ὥστε διὰ τὸ κα΄ τοῦ α΄ τῶν Στοιχείων μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΡΑΞ γωνία τῆς ὑπὸ ΠΑΝ.

ὅτι δὲ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ γωνία ἀμβλεῖά ἐστιν, ἐκδηλότερον οὕτω δειχθήσεται· ἐπεὶ τὸ ΑΒΡ τρίγωνον ὀρθογώνιόν ἐστιν· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Β· ἐκτὸς δὲ αὐτοῦ ἡ ὑπὸ ΠΡΑ, μείζων ἔσται τῆς ἐντὸς καὶ ἀπεναντίον· ἀμβλεῖα ἄρα. ἀλλὰ καὶ τριγώνου τοῦ ΑΞΝ ἡ πρὸς τῷ Ξ γωνία μείζων τῆς πρὸς τῷ Ν· ὥστε καὶ ἡ ὑποτείνουσα τὴν μείζονα γωνίαν μείζων. ἡ ἄρα ΑΝ μείζων τῆς ΑΞ.

19. Πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἴσαι p. 12, 18 εἰ γάρ τις εἴποι, ὡς ἡ ΗΓ κάθετός ἐστι πρὸς τὴν Γ∠, ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ ΖΒ πρὸς τὴν ΒΑ, δῆλον ἔσται τὸ ἄτοπον. [*](19. V2, deletum.) [*](19. Ante ΑΒΡ del. ὑπό.)

129

εἰ γὰρ ἡ ὑπὸ ΗΓ∠ γωνία ὀρθή, καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΗ ὀρθὴ ἔσται.

20. Κείσθω πρὸς τῷ ∠ γωνία ὀρθὴ ἡ Α∠Ε· διάμετρος ἄρα ἡ ΑΕ. ὥστε ἡ ὑπὸ ΕΓ∠ γωνία ὀξεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΗΓ∠. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ Γ∠ ἡ ΚΓ δηλαδὴ ἐντὸς πεσεῖται. πάλιν ἐπεὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΕ ἀμβλεῖα, ὀξεῖα ἡ ὑπὸ ΓΒΕ καὶ ἡ κατὰ κορυφὴν αὐτῇ ἡ ὑπὸ ΖΒΑ. ὥστε ἡ πρὸς ὀρθὰς ἀγομένη τῇ ΑΒ ἐκτὸς πεσεῖται ἡ ΘΒ δηλονότι. ἐκβεβλήσθωσαν ἡ ΘΒ καὶ ΚΓ ἐπὶ τὴν περιφέρειαν, καὶ ἀπὸ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἤχθωσαν πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὴν ΘΒ καὶ ΚΓ ἐκβεβλημένας ἡ ΛΜ, ΛΝ· τέμνουσιν ἄρα ταύτας δίχα κατὰ τὰ M, Ν σημεῖα διὰ τὸ γʹ τοῦ γʹ τῶν Στοιχείων. ἐπεζεύχθω ἡ ΛΘ, ΑΚ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αὗται· ἐκ κέντρου γὰρ τοῦ Λ· καὶ ὑποτείνουσιν ὀρθὰς γωνίας τὰς πρὸς τῷ Μ καὶ Ν, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΛΘ ἴσον ἔσται τοῖς ἀπὸ ΘΜ, ΜΛ, ὡσαύτως δὲ καὶ τὸ ἀπὸ ΚΛ ἴσον τοῖς ἀπὸ ΚΝ, ΝΛ. ἀλλὰ ἡ ΘΜ τῇ ΚΝ ἴση· ὥστε καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΛΝ ἴση. ἴσαι ἄρα ἡ ΘΒΞ, ΚΓΠ. ἂν δὴ τοίνυν ἴσας ταύταις ἑτέρας δύο εὐθείας ἀγάγωμεν· δυνατὸν γάρ· τὴν Α∠ τυχὸν καὶ PΣ τεμνούσας πρὸς ὀρθὰς τὴν ΘΒΖ, ΚΓΠ κατά τε τὰ Β, Γ καὶ Τ, Υ σημεῖα, καὶ ἴσων ἀφαιρεθεισῶν τῶν ΓΒ, ΒΤ ἴσαι γὰρ διὰ τὴν ἴσην ἀπὸ [*](1. ΒΓΗ] ΓΗ legi non possunt. 3. κείσθω] fort κεῖται. ἡ Α∠Ε] euan. 13. ΘΒ ] corr. ex Θ∠. ἡ] immo αἱ, sed cfr. lin. 15, 21, 23. 22. Post εὐθείας del. τεμνούσας ταύτας πρὸς ὀρθάς 25 Τ] legi non potest; idem de omnibus ualet, quae [ ] inclusi.)

130

τοῦ κέντρου ἀπόστασιν· δειχθήσεται ἡ ΘΒ τῇ ΒΑ ἴση καὶ ἡ ΚΓ τῇ Γ∠.

21. Μεῖζον p. 14, 15 ὡς περιέχον. Ἔλαττον p. 14, 16 ὡς περιεχόμενον.

22. Καὶ ὡς ἡ ΑΒ κτλ. p. 14, 25 ἰσογώνια γὰρ τὰ ΕΑΒ, ΕΖ∠ τρίγωνα, ὅτι ἡ ὑπὸ Ε∠Ζ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΒΑ ἐμπέπτωκε γὰρ εὐθεῖα ἡ ΕΒ εἰς παραλλήλους τὰς Γ∠, ΑΒ καὶ πάλιν ἡ ὑπὸ ΕΖ ∠ τῇ ὑπὸ ΕΑΒ ἐστιν ἴση διὰ τὴν αὐτὴν αἰτίαν, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ε κοινὴ καὶ ἀμφοτέροις. τῶν δὲ ἰσογωνίων τριγώνων αἱ περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευραὶ ἀνάλογον διὰ τὸ δ΄ τοῦ Ϛ΄ τῶν Στοιχείων. ὡς ἡ ΑΒ οὖν πρὸς τὴν ΒΕ, ἡ Ζ∠ πρὸς τὴν ∠Ε· καὶ ἐναλλάξ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Ζ∠, ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ∠Ε ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

23. Τῶν ΑΓ, Α∠ p. 18, 10 δηλονότι ἀκτίνων.

24. Κοῖλα φανήσεται p. 18, 14 τοῦ πορρωτέρου ἄκρου μετεωροτέρου φαινομένου.