Scholia in Euclidis Data

114. Περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρον p. 106, 17] ἐδείχθη γὰρ ἐν τοῖς στοιχείοις, ὡς τὰ ὅμοια παραλληλό- γραμμα περὶ τὴν αὐτήν εἰσι διάμετρον.

115. Καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ p. 106, 24] καὶ ὁμοίως τῷ σχολίῳ τῷ αὐτῷ πρὸ αὐτοῦ θεωρήματος.

116. Ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει p. 108, 1] τῷ εἴδει γὰρ δεδομένον ὑπόκειται τὸ ΓΒ.

117. Ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ p. 108, 17] ὅτι δὲ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΒ τῷ ΑΗ, δῆλον· παντὸς γὰρ παρ- αλληλογράμμου εἶς μόνος ἐστὶ γνώμων. καὶ γὰρ γνώ- μων ἐστὶν ἓν ὁποιονοῦν τῶν περὶ τὴν διάμετρον ταραλληλογράμμων σὺν τοῖς δυσὶ παραπληρώμασιν, ὃς προστιθέμενος ὅμοιον ποιεῖ, προσετέθη παρ- αλληλογράμμῳ, τὸ γενόμενον ὑπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς παρ- αλληλογράμμου καὶ τοῦ γνώμονος. ὁμοίως δέ, κἂν ἀφαιρεθῇ γνώμων παραλληλογράμμου· περὶ τὴν αὐτὴν γάρ ἐστι διάμετρον, ὡς ἐν τῷ ς΄ βιβλίῳ τῶν στοιχείων.

118. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ γωνία p. 110,22] δεδομένον γὰρ τῷ εἴδει ὑπόκειται τὸ ΑΖΓΒ.

119. Δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον p.110,23] ὅτι δέδοται τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον, δῆλον. ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ ΖΓΒ γωνία, δέδοται ἄρα καὶ ἡ ΓΖΒ γωνία· εἰς γὰρ παραλλήλους τὰς ΖΒ, ΓΒ εὐθεῖα ἐμ- πέπτωκεν ἡ ΓΖ ποιοῦσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας, ὧν ἡ ὑπὸ ΖΓΒ δέδοται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΖΗ δέδοται· ὥστε καὶ αἱ λοιπαὶ δύο δεδομέναι εἰσίν. καὶ ἐπεὶ δέδοται ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΓΒ λόγος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΓ τῇ ΗΒ, ἡ δὲ ΓΒ τῇ ΖΗ, καὶ ὁ λόγος τῶν πλευρῶν δέδοται.

120. Τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς p. 112, 3–4] ἐπεὶ γὰρ τοῦ ΖΒ παραλληλογράμμου πρὸς τὸ ΑΖΒΓ εἶδος λόγος ἐστὶ δοθείς, τοῦ δὲ ΑΖΒΓ εἴδους πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ διʼ ἴσου τοῦ ΖΒ πρὸς τὸ Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς.

121. Ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ p. 112, 14] ἐπεὶ γὰρ παράλληλος ἡ ΓΒ τῇ ΛΘ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπέπτωκεν εὐθεῖα ἡ ΓΚ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.

122. Δεῖ τοῦτο προσεπιθεωρεῖν, ὅτι καὶ τὰ τετρά- γωνα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον· τούτῳ γὰρ ἐξῆς προσχρήσεται. ὅτι δὲ ἀληθές ἐστιν, δῆλον. εἰ γὰρ ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ λόγον ἔχει δεδομένον, δῆλον, ὅτι καὶ τὰ ΕΒ, ΖΓ πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

123. Τὸ ἐν τῷ δευτέρῳ βιβλίῳ δωδέκατον θεώρημα συμβάλλεται εἰς τὸ παρὸν θεώρημα· ἀλλὰ καὶ τὸ ιγ΄ πάλιν εἰς τὸ μετὰ τοῦτο ἤτοι τὸ ξε΄, καὶ ζήτει αὐτὰ ἐκεῖ.

124. Πόθεν ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως ὁ ὑπὸ τῶν Α∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ ἐκ- κείσθω τις εὐθεῖα ἡ αβ, καὶ κείσθω τῇ μὲν Α∠ ἴση ἡ αδ, τῇ δὲ ∠Β ἴση ἡ δβ, καὶ ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ δζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΓ ἴση ἡ δζ· καὶ συμ- πεπληρώσθω τὸ σχῆμα τὸ αθ παραλληλόγραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ αδ πρὸς δβ, οὕτως τὸ αζ πρὸς τὸ δθ, καί ἐστι τὸ μὲν αζ [*](122. PlVat. νσρλ. 123. P2. 124. PlVat. v Ambr. zσρλ (in z textui post πρός p. 118, 10 interpositum); fig. hab. Vat. zσρ.) [*](2. τά] om. σ. 4. προσχρήσται ρ. 5. πρὸς τὸ ΑΒΓ] om. codd. ἔχει] ἔχῃ Vat. 6. ΕΒ] Ε om. codd. 13. ἐστίν] δείκνυται Ambr. et m. 2 σ. τήν] om. vσρ. ∠Β] ΑΒ zρ.) [*](16. κείσθω] ἀφηρείσθω z. 17. ἡ δβ] sustulit resarcinatio bombyc. l. 20. σχῆμα] om. z. τό (alt.)] ἤτοι τό Ambr.) [*](21. ἐπεὶ οὖν] καὶ ἐπεί Ambr. z. ἡ] om. Pl. 22. δβ] τὴν δβ z. μὲν αζ τό] sustulit resarcinatio bombyc. I.)

125. Ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ∠Α, ΒΓ p. 118, 13] ἀν- ήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ σημείου τῇ Α∠ ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΒΖ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ∠Γ διήχθω ἴση καὶ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΕΓ. καὶ ἐπεὶ τὸ ΒΕ παραλληλό- γραμμον τοῦ τριγώνου διπλά- σιόν ἐστιν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις· καὶ περι- έχεται τὸ παραλληλόγραμμον ὑπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ ἴση δὲ ἡ ΕΓ τῇ Α∠, ἡ δὲ ΖΕ τῇ ΒΓ, διὰ τοῦτο λόγον ἔχει τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ τρίγωνον, ὥστε καὶ διπλα- [*](125. Pl Vat. Mon. Ambr. σρλc; fig. ex P.) [*](1. τό (pr.)] om. λ. τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν] bis l, sed alte- rum del. m. 1. 2. δθ] αθ Vat. Ambr. 4. ἴση] sustulit resarcinatio bombyc. l. ἡ μέν] om. z. 5. ∠Β] τὴν ∠Β Ambr., τὸ ∠Β ρ. Α∠, ΒΓ] τῶν (comp.) Α∠, ΒΓ Ambr. 9. παράλληλος] ἡ παράλληλος PlVat. 10. διήχθω τῇ ∠Γ Ambr. 11. ΑΕ] ∠Ε Mon. ρ. 12. καὶ ἐπεί] Ambr., ἐπεὶ γάρ cett.; malim ἐπεὶ οὗν. 13. διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ τριγώνου Ambr. 14. ἐπί τε] ΓΕΖ∠ Vat., ἐπεί τε Mon. γάρ] om. Vat. Mon.c.) [*](15. εἰσι] ἐστι Ambr. 17. τό] τὸ μὲν ΒΕ Ambr. 18. τῇ (alt.)] τῆς Pλ. διὰ τοῦτο] sustulit resarc. bombyc. l, ὥστε Ambr. τὸ ΒΕ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον Ambr. 19. τό] om. λ. ὥστε — p. 293, 4. στοιχείων] δι- πλασίονα· καὶ τὸ θὶς ἄρα ὑπὸ τῶν Α∠, BΓ πρὸς τὸ ΑBΓ τρί- γωνον λόγον ἔχει τετραπλασίονα, καὶ φανερόν, ὅτι καὶ δοθέντα Ambr. 19. καί] om. Vat. Mon. ρϲ.)

126. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ∠Β, ΒΓ p. 118, 16] ἐν τῷ ιβ΄ θεωρήματι τοῦ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις.

127. Ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΓΒ∠ p. 120, 13] καί ἐστιν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ∠Β πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΒ, Α∠.

128. Πόθεν, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ Β∠ πρὸς ∠Α, οὕτως καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, Β∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ. Α∠; ἐκκείσθω τις εὐθεῖα ἡ εζ καὶ ἀφῃρήσθω ἀπʼ αὐτῆς τῇ μὲν Β∠ ἴση ἡ εδ, τῇ δὲ ∠Α ἴση ἡ δζ, καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ηδ ἴση οὗσα τῇ ΒΓ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ εδ πρὸς δζ, οὕτως τὸ εη πρὸς ηζ, καί ἐστι τὸ μὲν εη τὸ ὑπὸ τῶν εδ, δη, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, ΒΓ, τὸ δὲ ηζ τὸ ὑπὸ τῶν ζδ, δη, [*](126. P. 127. Pl. 128. PlVat. Mon. σρλ. Fig. om. codd.) [*](2. ὅπερ ἐστί] καί λ. 3. δοθέντα] δεδομένον lλ, om. Mon. πρὸς τό] τὸ γάρ c. τετραπλασίονα] comp. codd. τὸ γάρ — 4. ἐστιν] non intellego. 3. τό (alt.)] σ, τόν cett. ∠Γ] sust. resarc. bombyc. l. 4. ὡς ἐν] tineis adesa Mon. 12. ὡς] om. Vat, ἴση ρ. 13. τῶν (pr.)] τό l. τῶν (alt.)] om. l.) [*](15. ἀπʼ αὐτῆς] ἀπὸ ταύτης Vat., ὑπὸ ταύτης Mon., ἀπὸ τῆς αὐτῆς ρ. 16. ∠Α] ∠Ζ Mon ρ. 17. ἡ (alt.)] om. P. 22. τό (tert.)] τῷ codd.)

129. Καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ των ΓΒ, Β∠ p.120,17–18] ὡς ἐν τῷ β΄ τῶν στοιχείων ἐν τῷ ιγ΄ θεωρήματι ἐν τοῖς ὀξυγωνίοις τριγώνοις.

130. Ὡρ δὲ ἡ ΑΒ πρὸς Β∠ p. 122, 9] πάλιν καὶ ἐνταῦθα, ἐὰν τῇ μὲν ΑΒ ἴσην εὐθεῖαν λάβωμεν τὴν εη, τῇ δὲ Β∠ τὴν ηζ καὶ πρὸς ὀρθὰς τὴν ηθ ἴσην οὖσαν τῇ ΑΓ· καὶ συμπεπληρώ- σθω τὸ σχῆμα· ἔσται ὡς ἡ εη πρὸς ηζ, τουτέστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς Β∠, οὕτως τὸ εθ πρὸς θζ, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν θηε, τουτέστι τὸ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, πρὸς τὸ θζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν θη, ηζ, τουτέστι πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠· ἴση γὰρ ἡ μὲν εη τῇ ΑΒ, ἡ δὲ ηθ τῇ ΑΓ. ἡ δὲ ηζ τῇ Β∠.

131. Τοῦ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓ, Β∠ p. 122, 12] ἐὰν γὰρ ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλον ἀγάγωμεν καὶ ποιήσωμεν παραλληλόγραμμον, ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν Β∠, [*](129. Pl. 130. P Vat. v Mon. σρλ. Fig. dedi ex Vat.; om. Plv. 131. PVat. σρλ.) [*](1. τό] τῷ Vat. ρ, τά Mon. τῶν] om. ρ. τῇ ΒΓ] om. Mon. 2. τῇ] om. Vat. λόγος — ἑξῆς] haec codd. habent initio scholii nr. 130. 8 ΑΒ] Β∠ Vat. 12. ἔσται] comp. PVat., om. l. 16. θηε — 17. τῶν (pr.)] om. Vat. Mon. ρ.) [*](17. πρός (alt.)] καί Vat. ρ. θη, ηζ — 18. τῶν] om. Vat. Mon. ρ.) [*](19. ΑΒ] ΑΘ Vat. Mon. ρ.)

132. Τὸ θεώρημα ὡς ὀξείας οὔσης τῆς ὑπὸ ΒΑΓ καταγέγραπται. ἐὰν δὲ ὀρθὴ ᾖ, αὐτόθεν τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΓ πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον· δι- πλάσιον γὰρ αὐτοῦ ἐστιν. ἐὰν δὲ ἀμβλεῖα ᾖ ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ἤχθω κάθετος ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ ἡ ΒΕ. δέδοται οὖν ἡ Ε· ὀρθὴ γάρ· ἀλλὰ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΑΕ, ἐπειδὴ καὶ ἡ ἐφεξῆς αὐτῆς ὑπό- κειται· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΒΑ δέδοται. δέδοται ἄρα τὸ τρίγωνον τὸ ΕΒΑ τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΒ πρὸς ΒΑ δοθείς. ἀλλʼ ὡς ἡ ΕΒ πρὸς ΒΑ, τῆς ΑΓ μέσης λαμβανομένης οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΑΓ λόγος ἄρα τοῦ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΑ, ΑΙ δοθείς. τοῦ δὲ ὑπὸ ΕΒ, ΑΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος δοθείς· διπλάσιον γάρ· ἐὰν γὰρ διὰ τῶν Α, Γ τῇ ΕΒ παρ- αλλήλους ἀγάγωμεν καὶ ἔτι διὰ τοῦ Β τῇ ΕΓ, δῆλον γίνεται· καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ ἄρα πρὸς τὸ ΒΑΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

133. Ἐὰν ἰσοσκελοῦς τριγώνου ἀχθῇ τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἐπὶ τὴν βάσιν, τὸ ἀπὸ τῆς καταχθείσης μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῆς βάσεως ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ μίας τῶν ἴσων πλευρῶν.

ἔστω δὴ ἰσοσκελὲς τὸ ΑΒΓ ἴσην ἔχον τὴν ΑΒ τῇ ΑΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤχθω τις εὐθεῖα, ὡς ἔτυχεν, ἡ Α∠. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς Α∠ μετὰ τοῦ ὑπὸ τῶν Β∠, ∠Γ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ.

ἡ Α∠ ἐπὶ τὴν ΒΓ ἤτοι κάθετός ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον κάθετος. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς Β∠. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς Α∠· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠, ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ∠Β. ἀλλὰ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ∠Β ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς Α∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ.

ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω κάθετος ἡ Α∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΕ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖά τις τέτμηται εἰς μὲν ἴσα κατὰ τὸ Ε, εἰς δὲ ἄνισα κατὰ τὸ ∠, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ∠Ε ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΕ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Γ∠Β μετὰ τῶν ἀπὸ τῶν [*](133. PlVat. vMon. σρλ.) [*](2. ἰσοσκελοῦς] -ἐς vρ. τριγώνου] comp. vρ. 4. τῷ] τό Pl. 7. Α] Ε Pl. 9. Β∠, ∠Γ] ΒΑΓ Vat., ΒΑ ΑΓ cett. 10. Α∠] ΑΒ ρ. 11. πρώτερον Vat. 12. Γ∠, ∠Β] Γ∠Β Vat. 15. ἀλλά] καί Vat. Mon ρ. 16. τό (pr.)] τῷ ρ.) [*](ΑΒ] τῆς ΑΒ lvMon. ρ. τό (alt.) — 17. AB] om. ρ. 17. Γ∠Β] add. m. 1 Vat., ∠Β Mon. ἀπό (pr.) ] Mon., om. cett.) [*](21 Γ∠Β] ΓΕΒ Plv. 22. τῷ] τδ Pl. 23. Γ∠Β] ΓΕΒ Plv.) [*](τῶν (tert.)] τῆς ρ.)

134. Ἰσογώνια γάρ ἐστι τὰ ∠ΑΓ ∠ΒΕ τρίγωνα.

135. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 124, 18] παρ- άλληλος γάρ ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΒΕ.

136. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 128, 3–4] ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Ζ, ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ τῇ Θ, καὶ ἡ Θ ἄρα τῇ Ζ ἐστιν ἴση· ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

137. Ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ∠ΑΓ, ΑΚ∠ p. 130, 2] ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ∠Β τῇ ΑΓ, καὶ εἰς αὐτὰς ἐνέπεσεν εὐθεῖα ἡ Α∠, αἱ ἐντὸς γωνίαι αἱ ὑπὸ Β∠Α, ∠ΑΓ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν. [*](Figuram dedi ex P.) [*](134. Pl. 135. P. 136. PlVat. vσρλ. 137. Plλ.) [*](1. ΑΕ∠] ΑΕ, Ε∠ Vat. Mon ρ, item lin. 2. Post ΑΕΒ Pl habent: καί ἐστιν ἴσον τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΕΒ. ἴσον] om. Mon. 3. Γ∠Β] ΓΑΒ Pl. ἴσον ἐστί] om. Pl. 5. ἐστι] om. Vat. ρ. ΑΕ, ΕΒ] Α∠Β codd. 6. ἀπό] om. Pl. τό (alt.)] τοῖς PlVat. 7. ἀπό] om. codd. Α∠] Α∠Β Pl. 8. ἴσον] om. Mon. τῷ] τὸ P. 14. Ζ] ΖΑ codd. 19. ἐντὸς] αὐτός P.)

138. Καθόλου γάρ, ἐὰν παραλληλογράμμου μία γωνία δοθῇ, καὶ αἱ λοιπαὶ δεδομέναι εἰσίν. μιᾶς γὰρ δοθείσης ἐξ ἀνάγκης καὶ ἡ ἐφεξῆς δοθήσεται, ὥστε καὶ τῶν δοθεισῶν αἱ ἀπεναντίον δοθήσονται.

139. Ἀντιστρόφιον δύο πρὸ αὐτοῦ θεωρήμασιν.

140. Ἀντιστρόφιον τοῖς δύο ὁμοῦ τῷ τε ἑξηκόστῳ ὀγδόῳ καὶ τῷ ξθ΄ θεωρήματι.

141. P.132,4] ἐπʼεὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ∠Β τῇ ΒΜ. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΝ τῇ ∠Μ, αἱ ἐναλλὰξ γωνίαι αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΒΓΜ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. πάλιν ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΜΒ τῇ ΑΓ, αἱ ὑπὸ ΜΒΓ, ΑΓΒ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΓΒ, ΒΓΝ ταῖς ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ ἴσαι εἰσίν. ὀρθαὶ δὲ αἱ ὑπὸ ΑΓΒ, BΓΝ· ὀρθαὶ ἄρα καὶ αἱ ὑπὸ ∠ΒΓ, ΓΒΜ. ἐὰν [*](138. PlVat. vMon. σρλ. 139. Vat. Mon. σ (m. 2) S. 140. Vat. Mon. (ad prop. LXXIII). 141. PlVat. vMon. σρλ.) [*](1. Β∠Α] Η∠Α P. λοιπή] λόγος P, om. lλ. 3. ΑΚ∠] ΑΒ∠ P. 4. Ante καθόλου add. σχόλιον. Mon. 7. δοθή- σονται] om. Mon. σ 9. θεωρήμασιν] θεωρήματα codd. 10. Ante ἀντιστρόφιον 4 litt. dubias habet Mon. τε] om. Mon.) [*](11. ξθ΄] ἑξηκόστῳ ∠ Mon 12. καί] ὡς Vat v. τῇ] om. codd. 13. ἐστιν] om. Mon ΑΝ] ΑΒ Pl, ΑΒ m. 1 del. et supra scr. ΑΝ Vat. ∠Μ] ΑΝ Pl, ΑΝ m. 1 del. et supra scr ∠Μ Vat. 14. ∠ΒΓ] ΑΒΓ l. 15. ἡ] ημ Pl. 16. ΑΓΒ (pr.)] om. Pl. αἱ] ἠ ρ. 17. ΓΒΜ] ΓΒΝ P. ΜΒ postea mut. in ΓΒΜ m. 1 Vat., ΓΒΛ Mon. αἱ] δύο αἱ Vat. Mon. 18 ΑΓΒ] ΑΓΝ l. ΒΓΝ] om. l.)

142. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 132, 6] ἐπεὶ γὰρ ἰσογώνιον κεῖται τὸ ΑΒ τῷ ΕΗ, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ζ· ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΑΓΒ τῇ πρὸς τῷ Ν, ἡ ἐκτὸς τῇ ἐντός· καὶ ἡ πρὸς τῷ Ν ἄρα τῇ πρὸς τῷ Ζ ἴση. ὁμοίως καὶ αἱ λοιπαί.

143. Ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΚΓΒ δοθεῖσα p. 132, 20] ἴση γάρ ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Ζ δοθεῖσα.

144. Καθόλου γὰρ πάλιν, ἐὰν δύο τετραγώνων δύο γωνίαι ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνια ἔσται τὰ παραλληλό- γραμμα.

145. Λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς τὸ ΖΘ δοθείς p. 134, 6] μᾶλλον ἀληθῶς διὰ τοῦτο· ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ Ζ καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ λόγον ἔχουσι δεδομένον, διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ ο΄ θεωρήματος λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΛ πρὸς ΖΘ δοθείς.

146. Αἱ ἐπʼ αὐτὰς ἠγμέναι p. 136, 9] κατὰ κοινοῦ τὸ ἐν δεδομένῳ λόγῳ ὦσιν.

147. Ἔστι δὲ καὶ ἰσογώνιον p. 140, 4] ὅτι δέ, ἐὰν παραλληλογράμμου δύο πλευραὶ ἐκβληθῶσι, καὶ συμπληρωθῇ παραλληλόγραμμον, ἰσογώνια ἔσονται τὰ παραλληλόγραμμα. ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΑΓ, ∠Β, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΘ παραλληλόγραμμον· λέγω, ὅτι ἰσογώνιά ἐστιν τὰ ΑΒ, ΓΘ παραλληλόγραμμα. ἐπεὶ γὰρ παράλληλοί εἰσιν αἱ Α∠, ΓΒ, ΚΘ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΚΘ, ἡ δὲ ὑπὸ ΚΓΒ τῇ ὑπὸ ΓΑ∠, ὥστε ἰσο- γώνιά εἰσιν.

148. Πρὸς ἣν ἡ ΑΓ p. 140, 8] ἡ ΑΓ λόγου χάριν πρὸς τὴν ∠ ἢ πρὸς οἷον δή ποτέ τινα λόγον ἐχέτω δεδο- μένον. ὡς ἄρα ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, τουτέστι β πρὸς τὴν ΓΚ.

149. P. 140, 8—9] πόθεν, ὅτι ἡ ΑΓ πρὺς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον; δείξομεν οὕτως· ἐπεὶ γὰρ ἴσον ἐστὶ καὶ ἰσογώνιον τὸ ΕΗ τῷ ΓΘ, ἔστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, [*](146. PlMon. S; textui post αὐτάς p. 136, 9 interpos. b: διὰ τὸ ἐκ κοινοῦ λόγον ἔχουσι δεδομένον. 147. Plv. 148. PVat. zρc. 15. ἡ ΑΓ — 16. δεδομένον bis z, ἡ ΑΓ — δεδο- μένον post δεδομένον p. 140, 8 textui interpos. Mon. 17. ὡς — 18. ΓΚ ibidem textui interpos. b. ὡς — ΓΚ om. c. 149. PV at. v Mon. σρ.) [*](11. γάρ] γωνίαι ἴσαι Pv. 12. ΚΘ] ΒΘ P. 15. λόγου] λόγ ?? λόγου P. 18. ἣν ἡ] τήν b. τουτέστι — ΓΚ] om. z.) [*](20. δείξωμεν P. 21. τῷ] τό P. ὡς] καί punctis del. et mg. ὡς ρ. ΖΗ] ΖΒ Vat. v Mon. ρ.)

150. Ἐπεὶ συνήχθη ὡς ἡ ΕΖ πρὸς ΓΚ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, οἷον πρὸς τὴν ∠, πρὸς ἃ δὲ τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἐκεῖνα ἴσα ἐστίν, ἴση ἄρα ἡ ΓΚ τῇ ∠. ἡ δὲ ΑΓ πρὸς τὴν ∠ λόγον ἔχει δεδομένον· ὥστε ἡ ΑΓ καὶ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δεδομένον.

151. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ p. 140, 22] δεικτέον δὲ οὕτως. ἐπεὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δο- θέντα, ἔσται καὶ ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ∠, πρὸς ἣν ἡ ΓΛ λόγον ἔχει δοθέντα. καὶ ἁρ- μόσει ἡ προτέρα κατασκευή· καὶ τὸ ἑξῆς δὲ οὕτως δεικτέον.

152. Λόγος ἄρα τοῦ ΓΜ παραλληλογράμμου p. 142, 1–2] ἐπεὶ γὰρ τῶν ΓΜ, ΕΗ περὶ ἴσας γωνίας τὰς πρὸς τοῖς Γ, Ζ αἱ πλευραὶ οὕτως ἔχουσιν, ὥστε εἶναι ὡς τὴν ΓΒ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως τὴν ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ λόγον ἔχει δεδομένον, ὡς πρὸς τὴν ΛΓ, διὰ τὸ νῦν ἄρα δειχθὲν τοῦ ογ΄ τὸ πρῶτον λόγος τοῦ ΓΜ πρὸς τὸ ΕΗ δοθείς.

153. Μὴ ἀντιστρέψῃς· οὐ γὰρ ἀληθές.

154. Ἀντιστρόφιον τῷ πρὸ αὐτοῦ.

155. Τὸ οδ΄ θεώρημα καθολικώτερον τοῦ νς΄.

156. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΒ p. 144, 14] διὰ τὸ νῦν πρῶτον δειχθὲν τοῦ οδ΄.

157. Ὅτι δέ ἐστιν ὡς ἡ ΓΒ πρὸς ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ἣν ἡ ΑΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον, ἀντὶ τοῦ πρὸς τὴν ἴσην ἑαυτῇ, δείξομεν οὕτως. παρα- βεβλήσθω γὰρ ὁμοίως τῷ ἐπάνω παρὰ τὴν ΓΒ τῷ ΕΗ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΓΞ καὶ κείσθω, ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΓΝ τῇ ΛΓ· ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΜΒ τῃ ΒΞ. καὶ ἐπεὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΗ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὑπόκειται γάρ· ἀλλὰ τὸ μὲν [*](152. PIVat. v Mon. σρ. 153. PIV at. v Mon. σρλ. 154. Vat. Mon. 155. Vat. Mon. S; coniunct. cum nr. 154 et om. τὸ οδ΄ θεώρημα ρ. 156. PlVat. 157. PIVat. v Mon σρλ (σχόλιον εἰς τὸ οδ΄ θεώρημα ρ).) [*](2. τῶν] τὸ Pl. 4. ὡς] ἴσην ρ. 5. ΑΓ] Vat. Mon ρ.) [*](ΛΓ] ΑΓ codd. 6. ογ΄] θβ Vat. Mon. 12. νῦν — 13. οδ΄] προδειχθὲν ἐνταῦθα Vat. 14. ὅτι] τό lλ. 16. δείξω- μεν Pl. παραβεβλήσθω] περι- ρ. 17. παρά] περί ρ. 19. ΛΓ] ΛΝ ρ. 20. ΒΞ] ΕΞ Vat. Mon., ΕΖ ρ. 21. ΕΗ] ΘΗ Pv.)

158. Τῆς δὲ ΑΒ p. 148, 4] δέδοται γὰρ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.