Scholia in Euclidis Data

85. Ἐὰν εὐσεῖα τῇ θέσει δοθῇ, δέδοται καὶ τῳ μεγέθει· ἐὰν τῷ μεγέθει, οὔπω καὶ τῇ θέσει· δύναται γὰρ μεταπίπτειν.

86. Θέσει ἄρα p. 52, 23] διὰ τοὺς ὅρους. κύκλος γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδόσθαι λέγεται, οὐ δέδοται τὸ μὲν κέντρον τῇ θέσει, ἡ δὲ ἐκ τοῦ κέντρου τῷ μεγέθει.

87. Τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει κύκλος δεδόσθαι λέγεται, οὗ δέδοται κτλ., ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

88. Ἀντιστρόφιον τοῦ λβλ΄.

89. Ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ p. 64, 9] κἂν τε οὖν αἱ ΖΕ, ΛΝ παράλληλοι ὦσι κἄν τε μὴ ὦσι παρ- άλληλοι, ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΝ, ἔσται ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ, ὡς δὲ ἡ ΝΞ πρὸς ΞΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ, ὥστε ὡς ἡ ΖΗ πρὸς ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς ΜΛ.

90. Δέδοται ἄρα p. 68, 19] ἐπεὶ οὖν δεδομέναι εἰσὶν αἱ ΚΕ, ΕΖ, ὁ πρὸς ἀλλήλας λόγος αὐτῶν δέδοται διὰ τὸ α΄. ὁμοίως δὲ καὶ τῶν ΕΖ, ΖΚ λόγος δέδοται· καὶ ἔτι ὁ τῶν ΖΚ, ΚΕ λόγος δέδοται. πάλιν, ἐπεὶ αἱ ΚΕ, ΕΖ δεδομέναι εἰσὶ τῇ θέσει, τὸν αὐτὸν ἄρα ἀεὶ τόπον ἐπέχουσιν. καὶ διὰ τοῦτο. δέδοται ἡ ὑπὸ ΚΕΖ τῷ μεγέθει. ὁμοίως δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΖΚ δέδοται τῷ μεγέθει· καὶ ἔτι ἡ ὑπὸ ΖΚΕ δέδοται τῷ μεγέθει.

91. Δέδοται ἄρα τὸ ∠ΖΕ τρίγωνον p. 70, 21] ἐπεὶ οὖν δέδοται ἑκατέρα τῶν ∠Ε, ΕΖ, δέδοται καὶ ὁ πρὸς ἀλλήλας αὐτῶν λόγος διὰ τὸ α΄. ὁμοίως καὶ ὁ τῶν ΕΖ, Ζ∠ δέδοται λόγος· καὶ ἔτι ὁ τῶν Ζ∠, ∠Ε δέ- δοται λόγος. ἔστι δὲ καὶ ἑκάστη τῶν ∠, Ε, Ζ γωνιῶν δεδομένη τῷ μεγέθει. δέδοται ἄρα τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

92. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ p. 70, 23] ἐπεὶ τὰ ΑΒΓ, ∠ΕΖ τρίγωνα ἀνάλογον ἔχοντα τὰς πλευρὰς ἐδείχθη, τῶν δὲ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου πλευρῶν ὁ λόγος ὁ πρὸς ἀλλήλας δέδοται, δέδονται δὲ αὐτοῦ αἱ γωνίαι· ἴσαι γάρ εἰσι ταῖς τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου· δέδοται ἄρα τῷ εἴδει, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.

93. Θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ∠ΗΕ ἡμικύκλιον p. 76, 23] ἐπεὶ γὰρ κεῖται ἡ ∠Ε τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδο- μένη, δῆλον, ὅτι, ἐὰν τμηθῇ δίχα ὁ κύκλος, ἔστι κέν- τρον τοῦ κύκλου ἡ ἡμίσεια, τουτέστιν ἡ ἐκ τοῦ κέντρου [*](91. PlVat. v b Mon. Ambr. zσρλc. 92. z. 93. PlVat. vb (m. rec.) Mon. Ambr. zρ.) [*](3. οὖν — τῶν] γὰρ δεδομέναι εἰσὶν αἰ Ambr. τῶν] τήν l.) [*](4. ὁμοίως] Pl, ὁμοίως δέ cett. 5. λόγος δέδοται Ambr. καί — 6. λόγος] om. z. 6. τῶν] τῶν πρός Ambr. 7. δεδομένη] -ῳ b. 11. ΑΒΓ] om. z lac. relicta. 18. κέντρου ἔσται τοῦ κύκλου Ambr. κέντρον — 19. ἡμίσεια] καὶ τοῦ κύκλου ἡμί- σεια b. κέντρον] ἡ ἐκ τοῦ κέντρου z. 19. ἡ ἡμίσεια, τουτ- ἐστιν] τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ τέμνεται δίχα ἡ ∠Ε. ἡ δὲ ἡμίσεια ἔσται ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου. καὶ δέδοται Ambr. τουτ- ἑστιν — κέντρου] τῆς δεδομένης· καὶ γὰρ αὐτοῦ τὸ σημεῖον, καθʼ ὃ ἡ διχοτομία· καί z.)

94. Μὴ ἔστω δή p. 80, 6] εἰ γὰρ ὑποτεθείη ὀρθή, εὐθὺς δέδοται τῷ εἴδει διὰ τὸ πρὸ αὐτοῦ.

95. Λόγος ἄρα τῆς ΒΑ p. 80, 11] διὰ τὸ ἀντί- στροφον τοῦ ὅρου τῶν Δεδομένων διὰ τὸ μ΄. ἐπεὶ γάρ, ὧν αἱ γωνίαι δεδομέναι εἰσὶ καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας, ἐκεῖνα δεδομένα εἰσίν, καὶ τῶν δεδομένων ἄρα τῷ εἴδει δεδομέναι εἰσὶ καὶ αἱ γωνίαι καὶ οἱ λόγοι τῶν πλευρῶν πρὸς ἀλλήλας.

96. Καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ p. 82, 21] ὡς ἐν τῷ ς΄ τῶν στοιχείων (VI, 3)· ἐὰν τριγώνου ἡ γωνία δίχα τμηθῆ, ἡ δὲ τέμνουσα αὐτὴν ἐπὶ τὴν βάσιν ἀχθῇ, τὰ τῆς βάσεως καὶ τὰ ἑξῆς. εἰ δίχα τέτμηται ἡ ὑπὸ ΒΑΓ, ὡς ἡ ΓΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Γ∠ πρὸς ∠Β· καὶ συνθέντι ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΑΒ, ἡ ΓΒ πρὸς Β∠· καὶ ἐναλλὰξ ὡς συναμφότερος ἡ ΓΑ, ΑΒ πρὸς ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς Β∠.

97. Καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ p. 82, 23] ὡς γὰρ ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα.

98. Ἐὰν γὰρ τριγώνου γωνία δίχα τμηθῇ, τὰ τῆς βάσεως τοῦ τριγώνου τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον ταῖς τοῦ τρι- γώνου πλευραῖς.

99. Ὥστε καὶ τῆς ΑΒ p. 92, 6] ἐπεὶ γὰρ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Γ∠ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔστι δὲ καὶ ὁ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν Η λόγος δοθείς, δῆλον ἄρα, ὡς καὶ ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν δύο δοθέντων λόγων δοθείς ἐστι λόγος· ἢ καὶ διὰ τὸ η΄, ὃ καὶ βέλτιον.

100. Ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 92, 7] ὡς γὰρ ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς α΄ εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς β΄ τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

101. Δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ p. 94, 14] πᾶν γὰρ τετράγωνον δοθέν ἐστι τῷ εἴδει διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας [*](97. PlVat. cS. 98. Pzσ. 99. PlVat. vMon. Ambr. ρλc.) [*](100. Plσ. 101. PlVat. v Mon. Ambr. σρ. Lin. 18. πᾶν — p. 286, 4 ἴσων om. γάρ lin. 18 et τῷ εἴδει lin. 19, post ἴσων autem add. μεγεθῶν in PlVat. iterum, in c primum leg. ad finem libri post schol. nr. 55, ubi sequuntur haec: καὶ πάλιν, ἐὰν ὑπὸ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν χωρίον περιέχηται ὀρθογώνιον, δοθέν ἐστι τὸ χωρίον διὰ τὸ καὶ τὰς γωνίας αὐτοῦ δεδόσθαι· πᾶσαι γάρ εἰσιν ὀρθαί· καὶ τοὺς λόγους δὲ τῶν πλευρῶν διὰ τὸ α΄ θεώρημα.) [*](5. γάρ] om. z. τμηθῇ] hinc z haec habet: ἡ δὲ τέμνουσα τὴν γωνίαν εὐθεῖα τέμνῃ καὶ τὴν βάσιν, τὰ τοῦ (sic) βάσεως τμήματα ἀνάλογόν ἐστι ταῖς λοιπαῖς τῷ τριγώνῳ (sic) πλευραῖς.) [*](6. τοῦ (pr.)] om. codd. 9. τῆς] Pl., ὁ τῆς cett. 10. τήν] τὸ v. 13. καί (alt.)] comp. Vat., κείμενον ρ. 15. γ΄] β΄ L.) [*](18. Ante πᾶν add. σχόλιον. P. 19. καί] om. Ambr.)

102. P. 96,1] δεδομένα τῷ εἴδει καθʼ ἑαυτὰ ἕκαστον.

103. Τῆς δὲ ∠Β p. 96, 8] ὑπόκειται γὰρ ἐν τοῖς ὅροις· δεδομένα γάρ ἐστι τῷ εἴδει.

104. Ἐδείχθη γὰρ ἐν τῷ σχολίῳ τῷ ἐν τοῖς πρώ- τοις σχολίοις τοῦ πρό, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε P, ὅτι, ἐὰν α΄ πρὸς β΄ λόγον ἔχῃ δεδομένον, ᾖ δὲ καὶ τὸ γ΄ δεδομένον, καὶ γένηται ὡς τὸ α΄ πρὸς τὸ β΄, οὕτως τὸ γ΄ πρὸς ἄλλο τι τὸ δ΄, οὐκέτι καὶ ἐναλλὰξ λόγον ἕξουσι δεδομένον, διόπερ καὶ ἐνταῦθα οὐκ ἐκ τοῦ ἐναλλὰξ εὗρε τὸν λόγον αὐτῶν δεδομένον, ἀλλὰ ἄλλως, ὡς νῦν λέγει.

105. Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Γ∠ p. 96, 24] ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ὡς ἡ α΄ πρὸς τὴν γ΄, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης εἶδος πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένον.

106. Καὶ τῆς Γ∠ ἄρα p. 98, 1] σχόλιον. ἐδείχθη γάρ, ὅτι, ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ δὲ α΄ πρὸς τὴν τρίτην λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς τὴν δευτέραν λόγον ἕξει δεδομένον, ἐν τῷ κδ΄. ἢ καὶ οὕτως· ἐπεὶ ὁ συγκείμενος λόγος δέδοται, καὶ ἑκάτερος τῶν τιθέντων αὐτὸν λόγων δέδοται· ἑκάτερος γὰρ ὁ αὐτός.

107. Καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β p. 98, 2] ἀντὶ τοῦ· καί εἰσι δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β· καὶ γὰρ ὅμοια σχήματα εὐθύγραμμά ἐστιν, ὅσα τάς τε γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχει κατὰ μίαν καὶ τὰς περὶ τὰς ἴσας γωνίας πλευρὰς ἀνάλογον· ὥστε δεδομένα εἰσὶ τῷ εἴδει τὰ ὅμοια· τὰ οὖν ὅμοια καὶ τῷ εἴδει εἰσὶ δεδομένα, τὰ δὲ τῷ εἴδει δεδομένα οὐ πάντως ὅμοια.

108. Ὥστε καὶ τῆς ΕΑ p. 102, 23] ἐπεὶ γὰρ δύο εἴδη τὰ ΕΒ, Β∠ δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

109. Καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος p. 104 8–9] τὸ μὲν ἀληθῶς πλάτος τοῦ ΑΓΗΒ παραλληλο- γράμμου ἐστὶν ἡ ΑΘ πρὸς ὀρθὰς οὖσα τῇ ΑΒ· αὐτοῦ δὲ τούτου τοῦ ΑΓΗΒ παραβλήματος ὡς ἐπὶ τούτων τῶν [*](106. 107. Plvσ. 108. PlVat. v Mon. σρλc. 109. Pl Vat. vMon. σρ. (hab. fig. Theonis).) [*](3. ἔχῃ] ἔχει codd. 6. τιθέντων] fort. συντιθέντων. αὐτὸν λόγων] om. σ lac. relicta. ὁ] om. Pv. αὐτός] αὐτός ἐστιν lσ.) [*](9. ἐστι εὐθύγραμμα σ. 10. ἀλλήλαις] -οις Plv. ἔχει κατά] σχήματα Pv. 15. Ante ἐπεί add. σχόλιον. P. 16. ΕΒ, Β∠] ΕΑ, Α∠ codd. 17. ἄλληλα Vat. vc. 20. ΑΓΗΒ] ΑΗΒ Mon. 21. ὀρθάς] ὀρθήν Mon. 22. τούτων τῶν τεσσάρων] compp. P, τῆς τῶν δ Mon. σρ.)

110. Δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ Ε∠ p. 104, 17–18] ἡμί- σεια γάρ ἐστι τῆς Α∠ δοθείσης ἡ Ε∠.

111. Δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ p. 104, 20] ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ∠Γ δεδομένῳ.

112. Καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ, ΚΘ p. 104, 23] ἐπεὶ γὰρ τὸ ΕΓ τῷ ΓΖ ἐστιν ἴσον, κοινὸν προσκείσθω τὸ Γ∠· ὅλον ἄρα τὸ Κ∠ τῷ ὅλῳ τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. ἀλλὰ τὸ Κ∠ τῷ ΑΚ ἐστιν ἴσον, ἐπεὶ καὶ ἡ ΑΕ τῇ Ε∠ ἴση· δίχα γὰρ τέτμηται. καὶ τὸ ΑΚ ἄρα τῷ ΒΖ ἐστιν ἴσον. κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΒ· ὅλον ἄρα τὸ ΑΓ τῷ γνώμονί ἐστιν ἴσον, τουτέστι τῷ ΒΚ καὶ ΒΖ. ἔτι κοινὸν προσκείσθω τὸ ΚΘ· τὰ ΑΓ, ΚΘ ἄρα ἴσα ἐστὶ τῷ ΕΖ.

113. Ἔστι δὲ καὶ ἡ Ε∠ δοθεῖσα p. 06, 5] ἡμίσεια γάρ ἐστιν ἡ Ε∠ τῆς Α∠ δεδομένης.