Scholia in Euclidis Data
Scholia in Euclidem
Scholia in Euclidis Data, Menge, Teubner, 1896
35. Λόγος ἄρα καί p. 12, 24] διὰ τοῦ ϛ΄ τῶν Δεδομένων.
36. Δοθὲν ἄρα καὶ ἑκάτερον p. 14, 1] διὰ τοῦ β΄ τῶν αὐτῶν. ἐπεὶ γὰρ μέγεθός τι τὸ ΑΒ δοθὲν λόγον ἔχει πρὸς ἑκάτερον τῶν ΑΓ, ΓΒ ὡς πρὸς ἄλλα τινὰ ἄρα καὶ ἑκάτερον ἐκείνων ὡς ἄλλο τι δέδοται.
[*](29. PVat. σρS. 30. PVat. Mon 31. l2. 32. PlVat. Mon. ρ. 33. PlVat. vλ. 34. PlVat. ρ. 35. l2. 36. l2λ.)[*](4. πρός] ὁ πρός Vat. 21. ΑΓ] ΑΒ codd. ὡς] comp. l2. 22. ἄρα] fort. del. ὡς] πρός l2.)37. Οἱ τῷ αὐτῷ οἱ αὐτοὶ καὶ ἀλλήλοις εἰσὶν οἱ αὐτοί.
38. Πάλιν, ἐπεί p. 14, 12] ἐπεὶ γὰρ δέδοται ὁ τοῦ Γ πρὸς τὸ Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ Β πρὸς τὸ Γ λόγος.
39. Διʼ ἴσου ἄρα p. 14, 18] διʼ ἴσου λόγος ἐστίν: ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ πλειόνων ὄντων καὶ ἄλλων ἴσων τὸ πλῆθος, ὅταν ὡς τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς πρώτοις μεγέθεσιν, οὕτως τὸ πρῶτον πρὸς τὸ ἔσχατον ἐν τοῖς δευτέροις μεγέθεσιν.
40. Ὡς ἐκ περιουσίας ἔχων τὸ αὐτὸ δεικνύμενον, ἢν ὁ λόγος ὁ τῶν προτεθέντων πρὸς τὰ τυχόντα με- γέθη ὁ αὐτὸς ᾖ, ὅτι καὶ τὰ τυχόντα λόγον ἕξει δεδο- μένον, παρῆκεν ἐπὶ τούτου γυμνάσαι τὸ πρόβλημα. Ad prop. X.
41. P. 16, 18 Ἐνταῦθα συνεπεράνθη τὸ πρῶτον μέρος τῆς προτάσεως.
42. Ἐνταῦθα ἄρχεται τὸ δεύτερον μέρος τῆς προ- τάσεως. τὸ δεύτερον μέρος τῆς προτάσεως πάλιν ὑπο- διαιρεῖται. τὸ οὖν πρῶτον μέρος τῆς ὑποδιαιρέσεως συνεπεράνθη ἐνταῦθα.
[*](37. PlVat. Mon. ρλc. 38. PlVat.vc. 39. PlVat. vρλc. 40. PlVat. vMon. λρ. 41, 42. l2λ.)[*](2. οἱ (alt.)] om. Vat. Mon ρc. ἀλλήλοις] -ων ρ. 8. πρῶτον] ᾱ lλ. τό (tert.)] om. codd. 12. ἐκ] γάρ Mon.)[*](ἔχων] ἔχον Vat. Mon., ἔχειν ρ 13. ἤν] ἢ codd. προσ- τεθέντων codd. 14. ᾖ] ἤ codd.)43. Καὶ τὸ συναμφότερον p. 16, 24] τουτέστι καὶ συνθέντι δοθέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
44. Ἔστω μέγεθος τὸ ῑ καὶ ἕτερον κγ, δοθέντα δὲ ἔστω τὰ γ καὶ συναμφότερα τὰ λγ τὴν ῑ τοῖς δοθεῖσι γδ ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ. ἀφαιρείσθω ἴσους τῶν δοθέντων τῶν γα τὰ ῑ πρὸς τὰ κ δοθέντα, οἷον ὡς νῦν τῶν β λό- γων, ὡς καὶ ἐν τοῖς ὅροις εἴρηται.
45. Τοῦτο τὸ σχόλιόν ἐστι τοῦ ῑ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε Ƒ.
οἷον μέγεθος τὸ ΑΒ καθʼ ὑπόθεσιν κγ μεγέθους τοῦ ΒΓ ὄντος καθʼ ὑπόθεσιν ῑ δοθέντι μεῖζον ἔστω ἢ ἐν λόγῳ. καὶ ἔστω δοθὲν τὸ Α∠ ὂν γ. ἐὰν οὖν ἀπὸ τοῦ ΑΒ τοῦ κγ ἀφέλω τὸ δοθὲν τὸ Α∠ τὰ γ, τὸ λοιπὸν τὸ ∠Β τὰ κ πρὸς τὸ ΒΓ τὰ ῑ λόγον ἔχει δεδομένον διὰ τὸ ἐν τοῖς ὅροις εἰρημένον· τῷ γὰρ δοθέντι μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ. τοῦτο δηλοῖ καὶ δείκνυσι λοιπόν, ὅτι καὶ ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ δο- θέντι μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ.
ἀλλὰ δὴ συναμφότερον τὸ ΑΓ τοῦ αὐτοῦ τοῦ ΓΒ [*](43. PlVat. Mon. λ. 44. PlMon.; coniunctum cum nr. 43 Vat. ρλ (corruptum). Fig. om. P. 45. PlVat. v Mon. Ambr. σρcS (Ambr. σ inde a τὸ δὴ δοθέν p 270, 2, cS inde ab ἀλλὰ δὴ συν- αμφότερον p. 270, 1). hoc schol. PlVat. c hab. ad finem libri.) [*](4. ἔστω] ὡς Plλ. τήν] fort. τῶν. 5. γδ ἐστιν] fort. γ μείζονα ἔστω. 6. ἀφαιρεθείς ρ. ἴσους] fort ἀπὸ. 7. τῶν (alt.)] τήν l. 8. γα] scr. λγ. 9. καί] om. λ. 10. τοῦτο — 11. τόδρ Ƒ] Pl, om. cett., σχόλιον vMon. ρ. 12. οἷον] ὅμοιον Pl. 13. μεῖζον] -ων P (in ras). 16. τὸ ∠Β] om. Mon. lac. 3 litt. relicta. 17. τῷ] τὸ Pl. 19. πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ] om. Mon. 20. λόγῳ] seq. spatium 4. lin. in P; nihil deest. hinc relquam partem scholii om. v Mon. ρ.)
46. Λοιποῦ ἄρα τοῦ ∠Β p. 18, 4–5] τοῦτο τὸ σχό- λιον τοῦ ι΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖον τόδε P. πῶς λέγει· λοιποῦ τοῦ ∠Β πρὸς ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς; ἐπεὶ γὰρ τοῦ ∠Γ πρὸς τὸ ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἔσται τοῦ ∠Γ καὶ πρὸς τὸ ∠Β λόγος δοθεὶς διὰ τὸ ε΄, ὥστε καὶ ἑκατέρου τῶν ∠Β, ΒΓ πρὸς τὸ ∠Γ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ διὰ τὸ η΄ καὶ τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς.
47. Τὸ ΓΑ ἄρα τοῦ ΓΒ p. 18, 7] ἐπεὶ γὰρ τοῦ Γ∠ λόγος ἀπεδείχθη δοθεὶς πρὸς τὸ ΓΒ, προσκείσθω πάλιν τὸ ἀπʼ ἀρχῆς δοθὲν τὸ Α∠· ὅλον ἄρα τὸ ΓΑ δοθέντι μεῖζόν ἐστι τοῦ ΓΒ ἢ ἐν λόγῳ.
48. Τὸ δὴ δοθέν p. 18, 15] ἐὰν γὰρ ἴσον ὑπάρχῃ τὸ δοθὲν τῷ ΑΒ, τὸ λοιπὸν τὸ ΒΓ πρὸς τὸ αὐτὸ τὸ ΒΓ πάλιν λόγον ἔχει δεδομένον. δύναμαι γὰρ αὐτῷ ἴσον πορίσασθαι τῷ ἴσῳ λόγῳ, ὡς ἐν τοῖς ὅροις.
49. Λόγος ἄρα λοιποῦ p. 18, 22] δέδοται γὰρ τὸ ΕΓ διὰ τὸ δ΄ θεώρημα. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἑκάτερον [*](46. PlVat. vρc (ad finem libri PlVat.c, post schol. nr. 19 Pl.) 47. λ. 48. PlVat. v Mon ρλ. 49. Vat. Mon. Ambr. ρc.) [*](1. ὁμοίως] om. Vat. Ambr. σcS. 3. ὅ]σ, om. cett. τό (alt.)] om. c. 5. τοῦτο — 6. P] om. v. 5. τοῦτο τό] om. Vat.) [*](7. λέγει] om. v. 8. τό] om. v. τοῦ (alt.)] καὶ τοῦ v. 9. καί] ὡς ρ. 10. ∠Β] ΑΒ Vat. vc. 11. καί (pr.)] om. vρ.) [*](∠B] ∠Ε Vat. ρc. 17. ὑπάρχῃ] ὑπάρχει ρ. 18. τό (quint.)] om. lvλ. 19. λόγον ἔχει] τὸ λόγον ἔχειν Pρ. 20. ἴσον] ἔτι lλ. τῷ] fort. ἐν τῷ. τῷ ἴσῳ λόγῳ] τοὺς ἴσους λόγους ρ.) [*](21. τό] ὅτι τό c.)
50. Μδετὰ τοῦ ἐξῆς p. 20, 2] τουτέστι μετὰ τοῦ ΒΕ, πρὸς ὃ τὸ ΒΓ λόγον ἔχει δοθέντα.
51. Πρὸς ὃ τὸ ΒΓ, τουτέστι πρὸς τὸ ΒΕ.
52. Τὸ γὰρ ΒΓ πρὸς τὸ ΒΕ λόγον ἔχει δοθέντα· τὸ οὖν ΑΒ μετὰ τοῦ ΒΕ. δοθέν ἐστιν, ὅλον τὸ ΑΕ.
53. Ἔστι δὲ καὶ ὅλου τοῦ ΑΓ p. 20, 20] διὰ τὸ ιβ΄ τοῦ ε΄· ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα. ἡγούμενα γάρ εἰσι τό τε Γ∠ καὶ τὸ Α∠, ἑπόμενα δὲ τό τε ∠Β καὶ τὸ ∠Ε. ὡς γοῦν τὸ Α∠ πρὸς τὸ ∠Ε, οὕτως ὅλον τὸ ΑΓ πρὸς ὅλον τὸ ΕΒ. ὅλον γὰρ τὸ ΑΓ τὰ δύο εἰσὶν ἡγούμενα τό τε ∠Α καὶ τὸ Γ∠, καὶ ὅλον τὸ ΕΒ τὰ δύο εἰσὶν ἑπόμενα τότε Ε∠ καὶ τὸ ∠Β.
54. Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ὁ Α∠ πρὸς ∠Ε, οὕτως ὁ Γ∠ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς Α∠ πρὸς ∠Γ, οὕτως Ε∠ πρὸς ∠Β, καὶ συνθέντι ὡς ΑΓ πρὸς Γ∠, οὕτως ΕΒ πρὸς ∠Β, καὶ ἐναλλὰξ ὡς ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως Γ∠ πρὸς ∠Β, δέδοται δὲ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β λόγος, δέδοται ἄρα καὶ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος. μᾶλλον συντομώτερόν ἐστιν οὕτως εἰπεῖν· ὡς ἓν τῶν ἡγουμέ- [*](50. PlVat. ρ. 51. PVat. ρ. 52. PlVat. vρλ. 53. l2. 54. PiVat. v Mon. ρλ.) [*](2. ὥστε] ἦ τε c. 5. ΒΓ] ΒΑ codd. 8. τό (utrumque)] τά Plλ. ΑΕ] ε PlVat. ρλ. 18. οὕτω PlVat. λ. 19. ὁ] om. Vat. Mon. 19. ὡς] om. Vat. 23. ἄρα καὶ ὁ] om. l lac relicta. 24. συντομιότερόν Mon. οὕτως] τό Mon.ρ.)
55. Τοῦτο τὸ σχόλιον τοῦ ια΄ θεωρήματος, ὅπου σημεῖόν ἐστι τόδε ⊙. ὥσπερ λέγομεν τὰ θ τῶν δ μείζονα ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ μεῖζον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι· οἷον τοῦ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον, ἐὰν τὸ Α∠ δεδομένον, τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ μεῖζόν ἐστιν ἢ ἐν λόγῳ· τοῦ γὰρ ∠Β πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχοντος δεδομένον καὶ τοῦ Α∠ δεδομένου ὑπάρχοντος, δεδομένον καὶ ῥητὸν ὃν καὶ ἄλογον, οὐκ ἄρα καὶ ὅλον τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχει· ὅτι γὰρ ἄλογόν ἐστι τὸ Α∠, οὐ δύναται τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΒΓ λόγον ἔχειν. διὸ μεῖζόν ἐστι τὸ ΑΒ τοῦ ∠Β τοῦ λόγον ἔχοντος πρὸς τὸ Β∠ δεδομένον τῷ Α∠ δεδομένῳ. ὁμοίως δὲ καὶ ὡς τὰ ζ τῶν δ ἐλάσσονα λέγομεν ἢ διπλάσια μονάδι, οὕτω λέγομεν καὶ τὸ ἔλασ- σον ἢ ἐν λόγῳ δοθέντι.
56. Ὀ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω p. 22, 6 – 7] σχόλιον εἰς τὸ ια΄ θεώρημα ??· ἐν τῷ ια΄ θεωρήματι λαβὼν τὸ [*](55. PlVat. vAmbr. ρc (PlVat.c ad finem libri post schol. nr. 45). 56. PlVat. ρc (ad finem libri post schol. nr. 46).) [*](1. πρός] ὡς l. 4. τοῦτο — 5. ⊙] om. Ambr. 4. τοῦτο τό] om. Vat. 5. ἐστι] om. Vat. θ] ?? Ambr. τῶν] τόν PL.) [*](δ] ξ Ambr. 6. ἤ] om. PlVat., εἰσιν ἢ Ambr., ἦσαν ρ.) [*](οὕτω] ὄντος ρ. λέγωμεν ρ. 8. 10. δεδομένον] Ambr., om cert. 11. δεδομένον — 13. ἔχει] om. Ambr. lac relicta et add. λείπει. 11. καί (pr.)] om. ρ. 13. ἔχειν PlVat ρc.) [*](16. ὁμοίως] — 18. δοθέντι] om. Vat. Ambr c. 16. τά] τὸ l.) [*](τῶν] τόν Pl. 19. σχόλιον τοῦ ια θεωρήματος Vat., om. c.) [*](20. ια΄) ιβ΄ c.)
57. Σχόλιον. ὡς συναμφότερον τὸ ΑΕ, ΒΓ πρὸς ΑΓ, οὕτως τὸ ΑΕ πρὸς Α∠. καὶ ἀνάπαλιν καὶ ὡς τὸ ΑΓ πρὸς συναμφότερον ΑΕ, ΒΓ, οὕτως τὸ ∠Α πρὸς ΑΕ καὶ ἀναστρέψαντι ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως τὸ Α∠ πρὸς ∠Κ δοθείς.
[*](Fig. om PL.)[*](57. v.)[*](2. ἀφέλω l. τὸ ΑΕ τὸ δοθὲν μέγεθος c. 7. τό (alt.)] om l. 8. οὕτως] om ρ. 9. τῇ] τά P, τό l. ΖΒ] Β c.)[*](10. ἡ (pr.)] om. l. 15 ἐτίν] ἔσται ρ. 19. σχόλιον] comp. v.)58. Ἔσται δὴ καὶ λοιποῦ τοῦ Γ∠ p. 22, 13] ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἀφαιρεθὲν τὸ Α∠ πρὸς ἀφαιρεθὲν τὸ ∠Ε, καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ Γ∠ πρὸς λοιπὸν τὸ ∠Β ἐστιν ὡς τὸ ΑΓ πρὸς ΕΒ· δοθεὶς δὲ ὁ τοῦ ΑΓ πρὸς ΕΒ λόγος· δοθεὶς ἄρα καὶ ὁ τοῦ Γ∠ πρὸς ∠Β.
59. Ἐὰν ᾖ τρία μεγέθη p. 22, 19] κἂν ᾖ δεδομένα κἂν μή.
60. Καὶ λοιπὸν τὸ ΑΕ p. 24, 11] ἐὰν γὰρ ἀπὸ δεδομένου δεδομένον μέγεθος ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν δεδομένον ἔσται.
61. Ἐὰν δὲ μεῖζον ᾖ τὸ Β∠ τοῦ ΑΓ, θέντες τῷ ΑΓ ἰσον ἀπὸ τοῦ Β∠ καὶ τὰ αὐτὰ ποιήσαντες δείξο- μεν τὸ Γ∠ τοῦ ΑΒ δοθέντι μεῖζον. τοῦτο γὰρ δηλοῖ τὸ ἐν τῇ προτάσει· ἢ τὸ ἕτερον τοῦ ἑτέρου δοθέντι μεῖζόν ἐστιν.