Commentarii in libros de sphaera et cylindro

Ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ διπλασίονα τοῦ ὃν ἔχει τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ Α△, τουτέστιν ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△ | Ἐπεὶ γὰρ ἐν ὀρθογωνίῳ τριγώνῳ ἀπὸ τῆς ὀρθῆς κάθετος ἦκται ἡ ΑΖ, τῶν πρὸς τῇ καθέτῳ τριγώνων ὁμοίων ὄντων ἐστὶν ὡς ἡ ΖΒ πρὸς ΒΑ, ἡ ΑΒ πρὸς Β△. Καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης, ὡς ἀνωτέρω δέδεικται· ὡς ἄρα ἡ ΖΒ πρὸς Β△, τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Β△. Ἀλλ᾿ ὡς ἡ ΒΔ πρὸς △Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ Β△ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α· ὡς γὰρ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας καὶ δι᾿ ἴσου ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△.

Συναχθείη δ᾿ ἂν τὸ αὐτὸ καὶ ἄλλως οὕτως· ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△, οὕτως τὸ ὑπὸ ΖΒ△ πρὸς τὸ ὑπὸ Β△Ζ τῆς Β△ κοινοῦ ὕψους λαμβανομένηs, καὶ ἔστι τῷ μὲν ὑπὸ △ΒΖ ἴσον τὸ ἀπὸ ΒΑ, τῷ δὲ ὑπὸ Β△Ζ ἴσον τὸ ἀπὸ △Α, ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ △Α, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς Ζ△.

Καὶ ἐπεὶ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ καθόλου γάρ, ἐὰν ὦσιν δύο μεγέθη ἄνισα, καὶ προστεθῇ αὐτοῖς ἴσα, τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλασσον μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ συντεθὲν πρὸς τὸ συντεθέν.

Ἐστωσαν γὰρ δύο εὐθεῖαι ἄνισοι αἱ ΑΒ, Γ△, καὶ προσκείσθωσαν αὐταῖς ἴσαι αἱ ΒΕ, △Ζ. Λέγω ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς Γ△ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς ΓΖ.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς Γ△, ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς ΒΕ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ△ πρὸς τὴν ΒΕ, τουτέστι πρὸς △Ζ ὥστε καὶ συνθέντι ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΓΖ πρὸς △Ζ διὰ τὰ προδεδειγμένα.

Ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ | Ἐὰν γὰρ ὦσι τρεῖς εὐθεῖαι συνεχεῖς ὡς αἱ A, Β, Γ, ὥστε τὴν Α πρὸς τὴν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν Β πρὸς τὴν Γ, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῶν A, Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς μέσης τῆς Β. Ἐὰν γὰρ ποιήσωμεν ὡς τὴν Α πρὸς τὴν Β, τὴν Β πρὸς ἄλλγν τινα, ἔσται πρὸς μείζονα τῆς Γ, εἴπερ δεῖ ἐλαττῶσαι τὸν τῆς Β πρὸς Γ λόγον. Καὶ ἔσται τὸ ὑπὸ τῆς Α καὶ τῆς μείζονος τῆς Γ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β· ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν A, Γ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς Β.

Τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ ἐλάσσονα λόγον

ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΚΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ | Ὡς γὰρ ἡ ΘΖ πρὸς ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΖΗ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΗ, τὸ δὲ ὑπὸ ΘΖΗ τοῦ ἀπὸ ΖΚ ἔλασσον τὸ δὲ μεῖζον πρὸς τὸ αὐτὸ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἔλασσον.

Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ Ε△, ἔλασσον ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΒΖ△ τοῦ ὑπὸ τῶν ΒΕ△ | Τὸ μὲν γὰρ ὑπὸ ΒΕ△ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ Ε△, τὸ δὲ ὑπὸ ΒΖ△ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΕΖ ἴσον ἐστὶ τῷ αὐτῷ, Καὶ δῆλον ὅτι, ὅσῳ τῆς διχοτομίας ἀφέστηκεν τὸ Z μείζονι, ἔλασσόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἴσων μετὰ γὰρ μείζονος τοῦ ἀπὸ τῆς μεταξὺ τῶν τομῶν ἴσον γίνεται τῷ ὑπὸ τῶν ἴσων, Ὥστε ἡ εὐθεῖα κἂν εἰς ἄνισα τέμνηται κατʼ ἄλλο καὶ ἄλλο σημεῖον, τὸ ὑπὸ τῶν τμημάτων τῶν ἕγγιον τῆς διχοτομίας μεῖζόν ἐστι τοῦ ὑπὸ τῶν ἀπωτέρω τμημάτων.

Ἡ ΖΒ ἄρα πρὸς ΒΕ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε△ πρὸς △Ζ | Καθόλου γάρ, ἐὰν τέσσαρες ὅροι ὦσιν, ὡς οἱ Α, Β, Γ, △Ε, καὶ ᾖ τὸ ὑπὸ τῶν Α, △Ε ἔλασσον τοῦ ὑπὸ Β, Γ, ὁ Α πρὸς τὸν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς △Ε.

Ἔστω γὰρ τῷ ὑπὸ τῶν Β, Γ ἴσον τὸ ὑπὸ τῶν Α, ΖΕ· ἔστιν ἄρα ὡς ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Γ πρὸς τὸν ΖΕ. Ὁ δὲ Γ πρὸς τὸν ΖΕ ἐλάσσονα λόχον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸν Ε△· καὶ ὁ Α ἄρα πρὸς τὸν Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ὁ Γ πρὸς △Ε.

Ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ Ἐπεὶ γὰρ τῷ ὑπὸ ΘΒΚ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΒΝ, αἱ τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογόν εἰσιν, ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΝ, ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ καὶ ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς τρίτης, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΒΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, ὡς δέδεικται ἀνωτέρω. Πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΘΒ πρὸς ΒΝ, ἡ ΝΒ πρὸς ΒΚ, συνθέντι ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΒ, ἡ ΚΝ πρὸς ΚΒ· ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ, ἡ Νβ πρὸς ΒΚ καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ. Ἀλλ᾿ ὡς τὸ ἀπὸ ΝΒ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΚ, οὕτως ἐδείχθη ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ.

Τὸ δὲ ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ Πάλιν γὰρ δύο ἀνίσοις ταῖς ΘΖ, ΖΚ πρόσκειται ἡ ΝΖ, καὶ διὰ τὸ ἀνωτέρω εἰρημένον ἡ ΘΖ πρὸς ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΘΝ πρὸς ΝΚ ὥστε καὶ τὰ διπλάσια. Τὸ ἄρα ἀπὸ ΘΖ πρὸς τὸ ἀπὸ ΖΚ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ἀπὸ ΘΝ πρὸς τὸ ἀπὸ ΝΚ, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΚ, τουτέστιν ἡ ΘΒ πρὸς ΒΕ, τουτέστιν ἡ ΚΖ πρὸς ΖΗ.

Ἡ ἄρα ΘΖ πρὸς ΖΗ μείζονα λόγον ἔχει ἢ ἡμιόλιον τοῦ τῆς ΚΖ πρὸς ΖΗ Νοείσθωσαν γὰρ χωρὶς κείμεναι

εὐθεῖαι, ὡς αἱ ΑΒ, Γ, △, ὥστε τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον ἔχειν ἤπερ τὴν πρὸς τὴν △. Λέγω ὅτι ἡ ΑΒ πρὸς μείζονα ἢ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς τὴν △.

Εἰλήφθω γὰρ τῶν Γ, △ μέση ἀνάλογον ἡ Ε. Ἐπεὶ οὖν τὸ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς τὴν △, ἀλλʼ ὁ μὲν τοῦ ἀπὸ ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ λόγος διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς Γ, ὁ δὲ τῆς πρὸς τὴν △ διπλασίων ἐστὶ τοῦ τῆς πρὸς Ε, καὶ ἡ ΑΒ ἄρα πρὸς μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ε. Γεγονέτω οὖν ὡς ἡ Ε πρὸς τὴν Γ, ἡ Γ πρὸς ΒΖ. Καὶ ἐπεὶ τέσσαρες εὐθεῖαι ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΒΖ, Γ, Ε, △, ἡ ΒΖ ἄρα πρὸς △ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΖ πρὸς Γ, τουτέστιν ἡ πρὸς Ε. Ἔχει δὲ καὶ ἡ Γ πρὸς △ διπλασίονα λόγον τοῦ τῆς Γ πρὸς Ε· ἡ ἄρα ΒΖ πρὸς △ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ ὃν ἔχει ἡ πρὸς △· ὥστε ἡ ΑΒ πρὸς μείζονα ἢ ἡμιόλιον λόγον ἔχει τοῦ τῆς Γ πρὸς △.