Commentarii in libros de sphaera et cylindro

Λόγος ἄρα δεδομένος συναμφοτέρου τῆς Ε△Ζ πρὸς △Ζ· ὥστε καὶ ἡ ΑΓ Ἐπεὶ γὰρ συναμφότερος ἡ Ε△, πρὸς ΔΖ λόγον ἔχει δεδομένον, ἐὰν δεδομένον μέγεθος πρός τι μόριον ἑαυτοῦ λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πρὸς

τὸ λοιπὸν λόγον ἕξει δεδομένον ὥστε συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς Ε△ λόγον ἔχει δεδομένον. Ἐπεὶ οὖν ἑκατέρα τῶν Ε△, △Ζ πρὸς συναμφότερον τὴν Ε△Ζ λόγον ἔχει δεδομένον, καὶ πρὸς ἀλλήλας λόχον ἔχουσι δεδομένον δέδοται ἄρα ὁ τῆς Ε△ πρὸς △Ζ λόγος. Καὶ δέδοται ἡ Ε△· δέδοται γὰρ ἡ διάμετρος· δέδοται ἄρα καὶ ἡ △Ζ. Λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΒ δοθήσεται· ὥστε καὶ τὸ ὑπὸ △ΖΒ, τουτέστι τὸ ἀπὸ ΑΖ, τουτέστιν ἡ ΑΖ, δοθεῖσα ἔσται· καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΓ.

Καὶ ἄλλως δὲ λέγοις ἂν ὅτι ἡ ΑΓ δοθεῖσά ἐστιν. Ἐπεὶ γὰρ δέδοται ἡ διάμετρος ἡ △Β τῇ θέσει, δέδοται δὲ καὶ τὸ Ζ, ὡς ᾔτηται, καὶ ἀπὸ δεδομένου τοῦ Ζ πρὸς ὀρθὰς ἦκται ἡ ΑΓ, δέδοται ἡ ΑΓ θέσει. Ἀλλὰ καὶ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια δοθέντα ἄρα τὰ A, Γ, καὶ αὐτὴ ἡ ΑΖΓ δοθεῖσά ἐστιν.

Καὶ ἐπεὶ συναμφότερος μὲν ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς △Β | Ἐπεὶ γὰρ ἡ Ε△ μείζων ἢ ἡμίσειά ἐστι τῆς △Ζ, συναμφότερος ἄρα ἡ Ε△Ζ τῆς △Ζ μείζων ἐστὶν ἢ ἡμιολία. Συναμφότερος δὲ ἡ Ε△, △Β τῆς △Β ἡμιολία μείζονα ἄρα λόγον ἔχει ἡ Ε△Ζ πρὸς ΔΖ ἤπερ ἡ Ε△Β πρὸς △Β.

Ἢ καὶ ἄλλως. Ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ △Β τῆς △Ζ, ἄλλη δὲ τις ἡ Ε△, ἡ Ε△ ἄρα πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΔ πρὸς △Β· συνθέντι συναμφότερος ἡ Ε△Ζ πρὸς △Ζ μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ συναμφότερος ἡ Ε△Β πρὸς ΔΒ.

Ἡ σύνθεσις τοῦ θεωρήματος σαφὴς διὰ τῶν ἐνταῦθα εἰρημένων.