Fragmentum [Sp.] (e cod. Paris. 453)

Μέθοδοι εὔχρηστοι πρὸς τοὺς ἀπὸ μορίων πολλαπλασιοσμοὺς κατὰ τὸν τῆς ἀστρονομίας κανόνα πλέον τῶν ἄλλων μεθόδων σώζουσαι τὴν ἀκριβείαν· πᾶσαν.

Ἐπειδὴ τὰς ἐφόδους ὡς ἔνι μάλιστα τοῦ ἀκριβοῦς ἕνεκεν δεῖ εἶναι, εὑρίσκομεν δὲ πλέον τῶν ἄλλων τούς ἀστρονόμους περιεργότερον καταγινομένους πρὸς τοῦτο, ἀγαπητὸν ἡγούμενοι καὶ πρὸς τὰ χωρὶς ἀστρονομίας πάντα, ὅσα τε πολλαπλασιασμοῖς καὶ μερισμοῖς ἕπεται, εὐθετοῦν, ἀπεγραψάμεθα τοῦτο τὸ μεθόδιον.

Τοῦ ζωδιακοῦ γὰρ κύκλου εἰς τξ διαιρουμένου, ἕκαστον τῶν τμημάτων μοῖραν ὠνόμασαν οἱ παλαιοί· ἐξῆν δὲ τὴν μοῖραν ἡμᾶς παραδέχεσθαι ἢ ὡς μοναδικὸν χωρίον ἢ ποδιαῖον πρὸς τὰς ἀπαντώσας χρείας. διὰ οὖν τὰ ποστημόρια, ταύτῃ, τουτέστι τῷ τξ μέρει τοῦ κύκλου, ποτὲ μὲν ὡς ποδί, ποτὲ δὲ ὡς μονάδι δυναμένῃ παραλαμβάνεσθαι, πρώτην διαίρεσιν ἐπινοήσαντες, τὴν εἰς τὰ ἔξ, διὰ τὸ πλειόνων μερῶν· γίνεσθαι ἀπαρτιζόντων τὸν ξ ταύτην, ἐκάλεσαν ἕκαστον τῶν τμημάτων οἱ μὲν πρῶτον λεπτόν, οἱ δὲ ἑξηκοστὸν πρῶτον· εἶτα διὰ τὸ χρῄζειν λεπτομερεστέρας ἀκριβείας πρὸς τὸ εὑρίσκειν, ἐφʼ ὅσον ἦν δυνατὸν μετʼ ἀκριβείας, τὰ κέντρα τῶν ἀστέρων ποίας ἐποχὰς ἐπἐχουσιν ἐν τοῖς κατʼ οὐρανὸν διαστήμασι, διεῖλον καθʼ ἑαυτοὺς ἕκαστον τῶν πρώτων λεπτῶν εἰς ἕτερα ξξά τινα καὶ ἐκάλεσαν ταῦτα δεύτερα ἑξηκοστὰ ἤτοι λεπτὰ. ἦν οὖν αὐτοῖς οὕτως ἡ μοῖρα διὰ μὲν τῶν πρώτων ξξων διαιρουμένη εἰς λεπτὰ μὲν πρῶτα ξ, δεύτερα δὲ κατʼ ἐπιδιαίρεσιν γχ· εἶτα μείζονος ἀκριβείας δεηθέντες διὰ τὸ ἐν τοῖς κατʼ οὐρανὸν παράλλαξιν ὁποιανοῦν βραχυτάτην ἡμῖν ἐπινοουμένην οὐ μικρὰν ἐργάζεσθαι διαφοράν, ἕκαστον τῶν δευτέρων [*](2 εἶναι] εἰδέναι coni. Hultsch. 5 τε] γε coni. Hultsch.) [*](7 διαιροῦμεν A. 9 ἐξῆν] ἐξὸν mel. cod. Par. 2390. 11 προστημόρια A. 14 ξ ═ ἑξηκοστόν. ξξα ═ ἑξηκοστά.)

Περὶ πολλαπλασιασμοῦ.

Πολλαπλασιασμοῦ ὁρισμός.

Πολλαπλασιασμός ἐστι σύνθεσις ἀριθμοῦ τινος δοθέντος καθʼ ἕτερον ἀριθμὸν δοθέντα· οἱονεὶ ὅταν ὁ ἕτερος τοσαυτάκις συντιθέμενος ὁπόσος ἐστὶν ὁ ἕτερος ἐν τῷ πλήθει τῶν μονάδων καὶ ποιῇ τινα κατὰ τὸ πλῆθος τῆς συνθέσεως, ὁ γενόμενος λέγεται πολλαπλασιασμὸς τοῦ ἑτέρου κατὰ τὸν ἕτερον.

Λέγεται μὲν καὶ ἄλλῃ σύνθεσις, ἀλλʼ οὐ πολλαπλασιασμός· καὶ γὰρ ὁ ἐκ τῶν δοθέντων εἴτε ἴσων εἴτε ἀνίσων ἀριθμῶν καὶ εἴτε δύο ἢ τριῶν ἢ καὶ πλειόνων συντεθείς, ἀπλῶς λέγεται συγκεῖσθαι, οὐ μέντοι πολλαπλασίων. πολλαπλασιάζομεν δὲ ἢ μοῖραν ἐπὶ μοῖραν ἢ μοίρας ἐπὶ μοίρας, καὶ πάλιν ἢ λεπτὸν ἐπὶ λεπτὸν ἢ λεπτὰ ἐπὶ λεπτά, καὶ ἀνάμιξ μοῖραν ἐπὶ λεπτὸν καὶ λεπτά· ἀλλʼ ἡ μὲν μοῖρα ἐφʼ ὃ ἂν εἶδος πολλαπλασιασθῇ, τὸ αὐτὸ εἶδος ποιεῖ· ἐπὶ γὰρ πρῶτα λεπτὰ πολυπλασιαζομένη ἡ μοῖρα ἢ μοῖραι πρῶτα λεπτὰ ποιοῦσιν· καὶ ἀνάπαλιν λεπτὰ πρῶτα ἐπὶ μοῖραν ἢ μοίρας ποιεῖ πρῶτα λεπτά, καὶ ἐξῆς ὁμοίως·· μοῖρα ἐπὶ δεύτερα, δεύτερα ποιεῖ καὶ ἐπὶ τρίτα, τρίτα καὶ ἑξῆς· πρῶτα δὲ ἐπὶ πρῶτα ποιεῖ δεύτερα, ἅπερ ἐστὶν ἐλάσσονα τῶν πρώτων (τῶν μὲν γὰρ πρώτων τὸ ἕν λεπτὸν ξ ἐστι τῆς μοίρας· τῶν δὲ δευτέρων, γχον)· ὅπερ [*](7 κατὰ A. ἂριθμὸν compendio B, καὶ A. 8 ἢ AB. 12 ἄλλη AB. 16 πολλαπλασίων] πολλαπλασ× A, πολλαπλάσιον B.) [*](19 μοῖρα] Μ A, μονὰς Β, μοῖρα in margine. 21 ἡ om. B.) [*](22 ποιοῦσι B. ἐπὶ om. A. 27 ξξ id est ἑξηκοστῶν AB.)

Ἔστω γὰρ μοναδιαῖον χωρίον τὸ ΑΒ ἐκ πλευρᾶς τῆς ΑΖ τετράγωνον δίχα διῃρημένης κατὰ τὸ Γ, καὶ ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀναγεγράφθω χωρίον τετράγωνον τὸ Α∠Ε τοῦτο δὴ τέταρτον μέρος ἐστὶ τοῦ ΑΒ μοναδιαίου χωρίου, καὶ ἔστιν ἥμισυ ἐπὶ ἥμισυ· ἡ ΑΓ γὰρ ἐπὶ τὴν Α∠ γέγονεν. ὁμοίως οὖν δείξεις ὅτι καὶ γʹ ἐπὶ γʹ, θʹ γίνεται, καὶ δʹ ἐπὶ δʹ, ιϛʹ· οὕτως οὖν δεῖ νοεῖν καὶ ἐπὶ τῶν λεπτῶν μορίων ὄντων.

Ὁμοίως δὲ καὶ πρῶτα ἐπὶ δεύτερα, τρίτα ποιεῖ, καὶ

πλασιάζωμεν εἰς τὴν Α∠ οὖσαν μοῖραν α, ἐπὶ τὸ ἓν ξον, λέγω δὴ τὴν ΑΞ, ἔσται τὸ πρῶτον χωρίον τὸ ΑΟ ξ ἑνός· εἰ δὲ ἐπὶ τὰ β λεπτὰ τὰ ΑΞ, ΞΖ, ἔσται λεπτὰ ἤτοι ξξ β καὶ τὰ ἑξῆς· ὁμοίως οὖν καὶ μοῖρα ἐπὶ ἓν πρῶτον λεπτὸν ἢ δύο, ποιοῦσι πρῶτα, τῆς Α∠ ὑποτεθείσης μοίρας, ἓν ἢ δύο καὶ ἑξῆς.

Φανερὸν ὅτι μοῖρα ἤτοι μοῖραι ἐπὶ λεπτὸν ἢ καὶ λεπτὰ πρῶτα, πρῶτα λεπτὰ ποιεῖ· ἀλλὰ δὴ πάλιν τὸ πρῶτον ξον, τὸ ΑΞ, διῃρήσθω εἰς ξ καὶ ὁμοίως αἱ παράλληλοι ἐπινοείσθωσαν διὰ τῶν Π, Η· ἔσται ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ∠ΑΠ ὑπό τε μοίρας καὶ λεπτοῦ δευτέρου ἑνός, καὶ γίνεται διὰ τὰ αὐτὰ μοῖρα ἐπὶ δεύτερον λεπτὸν ἔν, δεύτερον λεπτὸν ἕν· καὶ ὁμοίως ἐπὶ δύο δεύτερα, δεύτερα δύο. διαιρεθέντος δὲ τοῦ πρώτου ξ τῶν δευτέρων ἔξ τοῦ ΑΠ εἰς ξ, τὰ αὐτὰ φήσομεν καὶ τοῦτο ἀεί· ὥστε μοῖρα ἢ καὶ μοῖραι ἐφʼ ἄν εἶδος πολλαπλασιασθῶσι ποιήσουσι τὸ αὐτὸ ἐξ ἀνάγκης εἶδος.

Πάλιν δὴ ἔστω ἡ Α∠ διῃρημένη εἰς ξ, ὧν δύο ἔστω τὰ ΑΣ, ΣΥ ξξ πρῶτα· ἐὰν δὴ πολλαπλασιάσω τὸ πρῶτον ξ τὸ ΑΞ ἐπὶ τὸ πρῶτον τὸ ΑΣ, ἔσται τὸ γενόμενον τὸ ΑΧ δεύτερον γενόμενον· γίνεται γὰρ τοῦ ΑΒ γχ μέρος. ὁμοίως κἂν δύο πρῶτα λεπτὰ τὰ Υ ἐπὶ δύο ὁμοίως πρῶτα τὰ Α πολλαπλασιάζοις, ἕξεις χωορίον γινόμενον τὸ ΑΦ, τοιούτων γὰρ ὂν τεσσάρων οἵων τὸ ΑΒ γχ, ὥστε τὰ γινόμενα ἔσται δεύτερα καὶ τοῦτο ἑξῆς· ὥστε πρῶτα ἐπὶ πρῶτα ποιεῖ δεύτερα.

Πάλιν δὴ ἔστω· τοῦ ΑΣ διαιρεθέντος πρώτου ξου εἰς δεύτερα ξξα, ὧν δύο τὰ ΑΡ ΡΨ, ἐὰν μὲν πρῶτα ἐπὶ δεύτερα, οἷον τὸ ΞΑ ἐπὶ τὴν ΨΑ τουτέστι πρῶτον λεπτὸν ἓν ἐπὶ δεύτερα δύο, γίνονται τρίτα λεπτὰ δύο· τὰ δὲ τρίτα λεπτὰ δύο γίνεται δευτέρου ἑξηκοστὰ δύο, ὅπερ δὴ καὶ ὁρᾶται· ἔστι γὰρ τοῦ Α ὄντος δευτέρου. ξ γχου δύο ἑξηκοστά. ἀλλὰ δὴ κἂν δύο πρῶτα ἐπὶ δύο δεύτερα πολλαπλασιάζοις ἑξῆς, γίνεται τρίτα διὰ τὰ εἰρημένα· εἰ δὲ δεύτερα ἐπὶ δεύτερα, τέταρτα· ἐὰν γὰρ τὰ ΑΡ ΡΨ δεύτερα δύο ἐπὶ τὰ ΑΠ, ΠΗ ὁμοίως δύο δεύτερα ποιῶν πολλαπλασιάσῃς, ἓξεις τὸ Α χωρίον γινόμενον λεπτῶν δ τετάρτων· γίνεται γὰρ ὁμοίως τοιούτων τὸ ΑΤ τεσσάρων οἵων τὸ ΑΧ γχ.

Σαφηνισθέντωον δὴ τῶν πολλαπλασιασμῶν, δεικτέον ἑξῆς πῶς τε δεῖ πολλαπλασιάζειν καὶ ἔτι πῶς μερίζειν, πρῶτον ὁρισαμένους τί ἐστι μερισμός· μερισμὸς γάρ ἐστιν ἀριθμοῦ τινος κατὰ ἕτερον ἀριθμὸν διαίρεσις εἰς ἴσα τε καὶ ἰσοπληθῆ ταῖς τοῦ ἀριθμοῦ μονάσι διαιρουμένου, εἴτε μονάδας ἐπὶ μονάδας μερίζειν δέοι, εἴτε λεπτὰ ἐπὶ λεπτά, εἴτε λεπτὰ καὶ μονάδας ἐπὶ λεπτὰ καὶ μονάδας.

Λέγεται δὲ καὶ ἄλλως μερίζεσθαι ἀριθμός, ὁπόταν διαιρῆται εἰς ἄνισα ὁποσαοῦν, ἀπλῶς γὰρ παρὰ τὸ διαμερίζεσθαι τὴν τοῦ ἀριθμοῦ σύνθεσιν· ἀλλʼ ἐπιστῆσαί ἐστιν ὅτι ἄλλο τι ποιεῖ ὁ μερισμὸς οὗτος· διὸ καὶ οἱ πολλοὶ μᾶλλον τὸ τοιοῦτο διαίρεσιν ἀριθμοῦ καλοῦσιν, οὐκέτι δὲ μερισμόν· ὁ γὰρ κυρίως μερισμὸς τεταγμένος ἐστί· κατὰ γὰρ τὴν αὐτὴν τάξιν τῷ πολλαπλασιασμῷ [*](7 γχ glossam delevi. 9 δεύτερα alt.] β΄β B, β΄β΄ δύο A. 11 ΑΤ] α?? AB. 13 τοιούτων τὸ] τοῖς AB. οἵων] ὁμοίων AB.) [*](23 διαιρεῖται AB. 25 ὅτι] ὅταν B.)

Καλεῖται δὲ παρὰ τοῖς γεωμέτραις παραβολὴ χωρίου· τὸ γὰρ δοθὲν χωρίον παραβάλλεται, οἷον, εἰ τύχοι, τὸ τῶν ρ μ° παρά τινα, ὑπόθου τὸν ε ἀριθμόν, καὶ ποίει τὸν κ ἀριθμὸν πλάτος γινόμενον τοῦ χωρίου· ἦν δὲ ὁ ὁ ἐπιζητούμενος ὃς καὶ εὕρηται ἤδη· διὰ γὰρ τούτου ὁ μερισμὸς παντελῶς ἀνεφάνθη· τοῦτο δὲ ἦν τὸ λεγόμενον ὅτι οὐδὲν ἕτερόν ἐστι τὸ μερίσαι ἢ τὸ εὑρεῖν τινα ἀριθμὸν ὃς συντεθεὶς ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται ὁ μερισμός, οἷον ὁ κ ὃς εὕρηται, ἐπὶ τὸν ε ποιῆσαι ὀφείλει τὸ τοῦ μεριζομένου πλῆθος· ὃ καὶ ἔστιν· ὁ γὰρ εἰρημένος κ παρὰ τὸν ε ποιεῖ τὸν ρ. ὥστε δεῖ ἐπιστῆσαι ὅτι ὁ μέλλων μερίζειν τι, πρότερον ἀποβλέπει εἰς τὸ βάθος τῆς γενέσεως τοῦ μέλλοντος μερίζεσθαι· ἦν γὰρ ὁ πολλαπλασιάσας τὸν μέλλοντα μερίζεσθαι ἡ γένεσις αὐτοῦ ἰδοῦ γὰρ ὅτι καὶ ὁ μερισμὸς γέγονεν ἡμῖν ἐκ τῆς θεωρίας τοῦ πολλαπλασιάζοντος τὸν μερίζοντα.

Σαφῶς τούτων εἰρημένων, εἴπωμεν τί τε παρά τι μεριζόμενον ποιεῖ τί, δήλου ὄντος τοῦ ὅτι μοῖραι παρὰ [*](1 ἐναντίους B. 4 οὕτω A. 7 τὸν παρʼ ὃν] τὸ παρὸν AB.) [*](10.παραβάλλοι A, παραβάλλει? B. εἰ om. A. 16 τὸν A, τὸ B. 17 μερισμός B, ἀριθμός A. 22 πολλαπλασιασασμὸς A.) [*](24 ἐκ addidi. 24—25 πλασιάζοντος AB. 26 εἴπομεν AB.)

Ἐπὶ δὲ τῶν μετὰ ταῦτα οὐχ οὕτως ἔχει λοιπῶν εἰδῶν· δεύτερα γὰρ παρὰ τὰ προσεχῆ αὐτοῖς πρῶτα μεριζόμενα, πρῶτα ποιεῖ, καὶ οὐκέτι τὰ αὐτὰ δεύτερα· τοῦτο δὲ ῥᾷον ἐπιστῆσαι ἐκ τῶν ἐπάνω εἰρημένων. ἐλέγετο δὲ ὅτι δεῖ ζητῆσαι ἀριθμὸν ὃς συντιθέμενος ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται ὁ μερισμός, καὶ τὰ ἑξῆς. κἀνταῦθα οὖν τὸ αὐτό ἐστι· δεῖ γὰρ ζητῆσαι ἀριθμὸν ὃς συντιθέμενος ἐπὶ τὸν μερίζοντα πάντως ποιῆσαι ὀφείλει τὸ μεριζόμενον εἶδος· ἔστι δὲ ὁ εὑρισκόμενος ὁ ε· εἴρηται δὲ ἐν τοῖς πολλαπλασιασμοῖς καὶ τοῦτο ὅτι μοῖρα ἤτοι μοῖραι, ἐφʼ ὃ ἂν εἶδος πολλαπλασιασθῶσιν, τὸ αὐτὸ εἶδος φυλάξουσιν. εἰ δὲ ταῦτα οὕτως, καὶ ἀνάπαλιν πᾶν εἶδος παρὰ μοῖραν ἢ μοίρας μεριζόμενον, ἤτοι παραβαλλόμενον, τὸ αὐτὸ εἶδος φυλάξει. πρῶτα δὲ λεπτὰ παρὰ πρῶτα μεριζόμενα μοίρας ποιεῖ, ὥσπερ καὶ μοῖραι ἐπὶ λεπτὰ πρῶτα πολλαπλασιαζόμεναι ἐποίουν λεπτὰ πρῶτα· ὁμοίως καὶ δεύτερα παρὰ δεύτερα μοίρας, καὶ τρίτα παρὰ τρίτα μεριζόμενα μοίρας ποιήσει, ἐπεὶ καὶ μοῖραι ἐπὶ τρίτα [*](1 ποιοῦσι A. 4 τῶν] an legendum τὸ? 15 ἀριθμὸν] καὶ AB. 16 τὸ παρὸν AB. 19—20 ἔστι . . . ὁ ε delevi.)

Οὐ δεῖ οὖν ἀπατᾶσθαι, εἴ που καθʼ ὑπόθεσιν τρίτα ἑξηκοστὰ ξ μεριζόμενα παρʼ ἑαυτά, εἰ τύχοι, παρὰ β λεπτὰ τρίτα, ποιήσει μοίρας λ, ἐνθυμούμενος ὅτι τὰ ξ τρίτα μεριζόμενα ὀφείλει ποιεῖν ἐλάσσονα ἑαυτῶν ἀριθμὸν καὶ οὐχὶ μοίρας λ, αἵτινες πολλαπλάσιαι τυγχάνουσι τῶν ξ λεπτῶν· οὐδὲν γὰρ ἄτοπον ἀπαντᾶ, κἂν γεγόνασιν αἱ λ μοῖραι ἐκ τοῦ μερισμοῦ τῶν τρίτων λεπτῶν παρʼ ἑαυτά, παραβολῆς γινομένης τῶν ξ τρίτῶν λεπτῶν παρὰ μικρότερόν τινα, οἷον τὰ β τρίτα λεπτά, διότι ἐξ ἀνάγκης μακροτέραν πλευρὰν ἐκ τοῦ μερισμοῦ τῶν λεπτῶν ἔδει γενέσθαι ἐναντίως ταῖς μονάσι· μόρια γάρ εἰσι τὰ λεπτά. ἐπὶ δὲ τῶν μορίων ἀεὶ τοῦτο οὕτως εὑρίσκεται μεριζομένων παρὰ μόρια, ὥσπερ τὸ ιβʹ καθʼ ὑπόθεσιν παρὰ τὸ δʹ μεριζόμενον ἐξ ἀνάγκης ποιεῖ τὸ γʹ. φανερὸν δὲ ἔσται πάλιν τὸ λεγόμενον διʼ ἀναγραφῆς χωρίου τῷ βουλομένῳ· σεσημειώσθω δὲ τὸ εἰρημένον ὡς ἀναγκαῖον καὶ τοῖς πολλοῖς οὐκ εὔδηλον.

Δεύτερα μέντοι λεπτὰ παρὰ πρῶτα ποιεῖ πρῶτα, ἐπειδὴ καὶ πρῶτα ἐπὶ πρῶτα πολλαπλασιαζόμενα ἐποίει δεύτερα, καὶ εἴρηται ὅτι ὁ μερισμὸς οὐδέν ἐστιν ἕτερον ἢ κατὰ βάθος πολλαπλασιασμοῦ τινος θεωρία τοῦ γεννήσαντος τὸν μεριζόμενον, καὶ ὅτι μερίζειν ἐστὶ τὸ εὑρίσκειν ἀριθμόν τινα ὃς πολλαπλασιαζόμενος ἐπὶ τὸν παρʼ ὃν γίνεται ὁ μερισμός, ποιήσει τὸ τῶν μεριζομένων εἶδός τε καὶ πλῆθος τῶν μορίων. διὰ δὴ τὰ αὐτὰ καὶ τρίτα παρὰ δεύτερα μεριζόμενα πρῶτα ποιεῖ, ἐπεὶ καὶ δεύτερα ἐπὶ πρῶτα πολλαπλασιαζόμενα τρίτα [*](1 ποιοῦσι A. 25 τὸν A, τὸ B. 27 μορίων] μ. AB.)