In Nicomachi Arithmeticam Introductionem

ὑπερέχει ὁ θʹ καὶ πλεονεκτεῖ, τοσούτῳ λείπεται ὁ πρῶτος· ὅσῳ δὲ ὁ ηʹ, 〈τοσούτῳ〉 ὁ δεύτερος· καὶ ὅσῳ ὁ ζʹ, τοσούτῳ ὁ γʹ· καὶ ὅσῳ ὁ ϛʹ, τοσούτῳ ὁ δʹ· τῇ γὰρ ἐπὶ τὸ μέσον βραχὺ ἐγγύτητι ὥσπερ ἐπὶ ἀορτὴν ζυγικοῦ πήχεος ἀπίσωσις ὑποφύεται, ὡς κἀκεῖ ὀρθότητος γωνιῶν, τῶν τε πρὸς τὸν πῆχυν τῶν πλαστίγγων καὶ τῶν τοῦ πήχεος πρὸς αὐτὸν τὸν ἀορτήν. ὁ δὲ μέσος ὁ εʹ τοσούτῳ λείπεται ὅσῳ πλεονάζει· οὐδενὶ ἄρα. καὶ μία μὲν ἔμφασις ἥδε τοῦ οὐδὲν ὅτι χρήσιμον ἐν τῇ θεωρίᾳ, καὶ ἄλλη δὲ εὐθὺς ἀναφαίνεται. οὐ γὰρ μόνον συνᾴδει τὸ καὶ τῷ σχήματι τοῦ χαρακτῆρος εἶναι τὸ εʹ τὸ ἥμισυ τοῦ θʹ, ἀλλὰ καὶ ἔτι διὰ τὴν συγγένειαν ὁμοκατάληκτα

φύσει εἶναι τὰ συζύγως ἑκατέρωθεν αὐτοῦ· ἐνάκι γὰρ θʹ τῷ ἅπαξ αʹ, ὀκτάκι δὲ ὀκτὼ τῷ δὶς δύο, ἑπτάκι δὲ ἑπτὰ τῷ τρὶς γʹ, ἑξάκι δὲ ἓξ τῷ τετράκι δʹ, μόνον δὲ αὐτὸ ἑαυτῷ τὸ πεντάκις πέντε. ἔτι τὸ μὲν ἐνάκι εʹ τῷ ἅπαξ εʹ, τὸ δὲ ἐνάκι ϛʹ τῷ ἅπαξ δʹ, τὸ δὲ ἐνάκι ζʹ τῷ ἅπαξ γʹ, τὸ δὲ ἐνάκι ὀκτὼ τῷ ἅπαξ δύο. καὶ πάλιν τὸ ὀκτάκις ζʹ τῷ δὶς γʹ καὶ τὸ ὀκτάκις ϛʹ τῷ δὶς δʹ 〈καὶ τὸ ὀκτάκις εʹ τῷ δὶς εʹ〉 καὶ τὸ ἑπτάκις ϛʹ τῷ τρὶς δʹ 〈καὶ τὸ ἑπτάκις εʹ τῷ τρὶς εʹ〉. καὶ ἄλλως τὸ μὲν ἑξάκι εʹ τῷ τετράκι εʹ, εἰ καὶ μὴ τῷ ὀνόματι ἀλλά γε τῇ δυνάμει, ὥσπερ καὶ

τὸ ἥμισυ τῷ δύο ἀντιπαρωνυμεῖν δυνάμει, ἀλλ’ οὐκ ὀνόματι. εἰ δὴ παρὰ τῶν πλεονεκτούντων τοῖς πλεονεκτουμένοις, ὥσπερ κριταὶ δίκαιοι καὶ τοῦ ἴσου καὶ ἐπιβάλλοντος ἀποδοτικοί, λαμβάνοντες ἀποδιδοῖμεν, οὐκ εἰκῇ παρὰ τοῦ τυχόντος λαβόντες τῷ τυχόντι ἀποδώσομεν, ἀλλὰ κατὰ τὴν αὐτὴν ἀναλογίαν, γνώμονι χρώμενοι καὶ οἷον κανόνι τῷ μήτε πλεονεκτήσαντι μήτε πλεονεκτηθέντι, τουτέστι τῇ πεντάδι· οὗτος γὰρ μόνος δικαίως τὸ ἑαυτοῦ πλῆρες ἔχει. ἀπὸ τοῦ οὖν ἐννέα τὸν ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον λαβόντες τῷ αʹ δώσομεν, καὶ ἰσωθήσονται ὁ πλεῖστον ἀδικήσας καὶ ὁ πλεῖστον ἀδικηθείς· πέμπτον δὲ ἀπὸ τοῦ θʹ τὰ τέσσαρα· ἔστι γὰρ ηʹ ζʹ ϛʹ εʹ δʹ. πάλιν ἀπὸ τοῦ ηʹ προσθήσομεν τῷ δύο ἀφελόντες γʹ· ἀπὸ τοῦ ηʹ πέμπτον γὰρ τὰ γʹ. καὶ ἀπό τοῦ ζʹ ἀφελόντες

τὸν ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον τὰ βʹ, προσθήσομεν τῷ τρία, καὶ ἰσωθήσονται. καὶ πάλιν ἀπὸ τοῦ ϛʹ ἀφελόντες τὸν ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον τὸ ἕν, προσθήσομεν τῷ δʹ, καὶ ἔσονται ἴσοι. ἀπὸ δὲ τοῦ πέντε ἀφελόντες οὐδέν (τὸ ἀπ’ αὐτοῦ πέμπτον γὰρ [α] τὸ οὐδέν), προσθήσομεν αὐτῷ, καὶ ἔσται ἑαυτῷ ἴσος. οὕτως τὸ νοούμενον ἔλαττον, μονάδος ἀδιαιρέτου οὔσης, τὸ οὐδέν, πανταχοῦ σῴζει πρὸς τὴν μονάδα τὴν ἀναλογίαν, μᾶλλον ἢ ὅπερ ἐκεῖνοι ἐνόμιζον ἥμισυ, καὶ γέγονεν ἡ μονὰς καὶ αὐτὴ τῶν παρ’ ἑκάτερα συντεθέντων ἡμίσεια· τοῦ γὰρ δύο καὶ τοῦ οὐδὲν ἥμισυ τὸ ἕν. αὐτὸ μέντοι τὸ τοῦ οὐδὲν

ἵστησιν, ἀλλὰ πάντως τρίτον τινὰ ἀπογεννᾷ· τὸ δὲ οὐδὲν εἴτε ἑαυτὸ εἴτε ἄλλο δόξειε πολυπλασιάζειν αὐτὸ οὐδέποτε ἐκβήσεται· οὐδενάκι γὰρ οὐδέν, καὶ οὐδενάκι θʹ, οὐδέν· ἴσον γὰρ τῷ οὐδαμῶς θʹ· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ὁμοίως. ἡ δὲ μονάς, ὡς ἀμφοῖν μέση, ἐὰν μὲν ἄλλον λάβῃ, ἐν ἐκείνῳ τὸν λόγον, ἐὰν δὲ ἑαυτήν, ἐν ἑαυτῇ ἀπολείπει. καὶ ἔτι προσθετέον μετὰ τῶν προσεμφανισθέντων ὅτι ἀντιπεριίσταται προκοπὴ ὑποβάσει καὶ ὑπόβασις προκοπῇ. ἅπαξ γοῦν ἐννέα, ἐννέα· καὶ ὁ λόγος ἔμεινεν ἐν ταῖς ἀκροτάταις. καὶ δὶς θʹ, ιηʹ· καὶ μετέβη ὁ λόγος εἰς τὰς δευτέρας ἀκρότητας, καὶ τοῦτο ἐφεξῆς. ἑτέρου γὰρ καιροῦ διερευνᾶν ἐπιπλέον πῶς καὶ τετραγωνισθέντος ἀπὸ τῆς στιχηδὸν ἐκθέσεως τοῦ ἀριθμοῦ οὐκ ἐλάττονα πιθανὰ ἐπισυμβαίνει φύσει καὶ οὐ νόμῳ, ὥς φησί που Φιλόλαος· τοῦ μὲν πέντε ὁμοίως καὶ ἐνταῦθα μεσότητος εὑρισκομένου κατὰ τοὺς τρεῖς ἄλλοτε ἄλλως στίχους, μόνον δὲ τῶν ἐφεπομένων αὐτοῦ κατά τε

ἐπιβάλλον· τῶν δὲ μὴ οὕτως ἐχόντων πλεονεκτούντων τε καὶ πλεονεκτουμένων· καὶ οὐχ ὡς ἔτυχεν, ἀλλ’ ὡς κατά τινα ἀνάλογον ἀντιπεπόνθησιν. ἀλλὰ νῦν γε ἀναπέμψαντες τὸν περὶ τούτων πλήρη λόγον εἰς τὸν περὶ δικαιοσύνης ἴδιον, χωρῶμεν ἐπὶ τὰ ἑξῆς.

Τοῦ γὰρ ἀρτίου καθ’ ὑποδιαίρεσιν τὸ μέν ἐστιν ἀρτιάκις ἄρτιον, τὸ δ’ ἀντίζυγον τούτῳ ἀρτιοπέρισσον, ὡσανεὶ ἀκρότητες· μέσον δ’ αὐτῶν καὶ οἷον κοινὸν ἀμφοτέρων περισσάρτιον. ὅπερ ἀγνοοῦντες οἱ περὶ Εὐκλείδην συγκεχυμένως τὸν αὐτὸν οἴονται περισσάρτιόν τε καὶ ἀρτιοπέρισσον εἶναι, οὐδὲν ἀκριβὲς ἐν τῷ τόπῳ γλαφυρωτάτῳ περ ὄντι θεωρήσαντες, ὡς ἑξῆς δειχθήσεται.

ἀρτιάκις ἄρτιος μὲν οὖν ἐστιν ἀριθμὸς ὁ τὰ ἑαυτοῦ ἡμίση καὶ τὰ τῶν ἡμίσεων ἡμίση καὶ ἔτι τῶν ὑπ’ ἐκεῖνα μέχρι μονάδος ἀεὶ ἄρτια ἔχων, ᾧ καὶ διὰ τοῦτο συμβέβηκε μόνῳ ὑπ’ ἀρτίου μετρεῖσθαι μόνον ἀρτιάκις. εἰ δέ τις πρὸς τούτῳ ἔτι καὶ περισσάκις μετρεῖται ὑπὸ ἀρτίου, ἐκφεύξεται τὸ λεγόμενον καὶ ἔσται θατέρου τῶν ἄλλων εἰδῶν. ὥστε καὶ ἐνθάδε ἡμαρτημένως πάλιν Εὐκλείδης ἀφορίζεται λέγων· ἀρτιάκις ἄρτιος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπ’ ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρούμενος ἀρτιάκις· ἰδοὺ γὰρ ὁ κδʹ ὑπὸ τοῦ ϛʹ ἀρτίου τετράκι μετρεῖται καὶ ὑπὸ τοῦ δʹ ἑξάκις, καὶ ἕτεροι ἄλλοι ὁμοίως, καὶ οὐκ εἰσὶν ἀρτιάκις ἄρτιοι

ἄρτιοι καὶ αὐταὶ ὁμοειδῶς εἰσι. γένεσις δ’ αὐτοῦ ἀπὸ μονάδος ἀνάλογον διπλάσιος λόγος ἐπ’ ἄπειρον. ἀλλ’ ἐὰν κατὰ περισσὴν ἔκθεσιν οἱ ἀρτιάκις ἄρτιοι ἀπὸ ῥίζης προχειρισθῶσιν εἰς μίαν μεσότητα, ἀντιπαρωνυμήσουσιν αἱ ἀκρότητες ἐν αὐτοῖς καὶ αἱ μετ’ ἐκείνας καὶ αἱ συνεχῶς μέχρι τῶν παραμέσων, ὥστε καὶ τὸ ὑφ’ ἑκάστης συζυγίας ἴσον ἀποτελεῖσθαι τῷ ἀπὸ τῆς μεσότητος, ἐπεὶ καὶ μόνη ἡ αὐτὴ παρωνύμως ἀνθυπήκουεν αὐτῇ. ἐὰν δὲ κατὰ ἀρτίαν, ὁ λόγος εἰς δύο μεσότητας ἀντιπαρωνυμούσας ἀλλήλαις διχασθήσεται, ὥστε καὶ τὸ ὑπ’ αὐτῶν ἴσον ἀποτελεῖσθαι τῷ ὑπὸ τῶν παρ’ ἑκάτερα εὐτάκτως ἀεὶ μέχρι τῶν ἄκρων. διαφορὰν δὲ πάντως ἕξουσιν ἐν τῇ τῆς γενέσεως προκοπῇ οἱ μείζονες ἀεὶ πρὸς τοὺς ἐλάττονας αὐτοὺς τοὺς ἐλάττονας, ἵν’ ἐκ τούτου καὶ αἱ διαφοραὶ καὶ αἱ τῶν διαφορῶν πάλιν διαφοραὶ καὶ τούτων μέχρι ἐπιδέχεται τὸν αὐτοῦ λόγον ἔχουσαι τριγώνου τρόπον σχηματίζονται. κατὰ σύνθεσιν δ’ αὐτῶν τὴν σωρηδὸν περισσογονία πάντως γίνεται

χρησιμεύουσα ἡμῖν μετὰ βραχὺ εἰς τὴν τῶν τελείων γένεσιν. αἰεὶ γὰρ παρ’

Ἀρτιοπέρισσος δέ ἐστιν ὁ καὶ αὐτὸς μὲν εἰς δύο ἴσα κατὰ τὸ κοινὸν διαιρούμενος, οὐ μέντοι γε τὰ μέρη ἔτι διαιρετὰ ἔχων, ἀλλ’ εὐθὺς ἑκάτερον περισσόν· ἔνθεν καὶ ὠνομάσθη, ὅτι ἄρτιος ὢν τὰ μέγιστα μέρη εὐθὺς περισσὰ ἔχει, ἢ μᾶλλον ὅτι τοῖς τῶν ἐν αὐτῷ μερῶν ὀνόμασιν αἱ αὐτῶν δυνάμεις ἀντιπαίουσιν, ἄρτιαι μὲν οὖσαι περισσωνυμούντων ἐκείνων, περισσαὶ δὲ ἀρτιωνυμούντων. καὶ οὐ κατὰ τοῦτο μόνον ἀντικεῖσθαι τῷ πρώτῳ εἴδει τοῦ ἀρτίου ἐλέχθη, ἀλλὰ καὶ ὅτι τούτου μὲν τὸ μεῖζον ἄκρον μόνον ἅπαξ διαιρετὸν

ἀόριστον ὂν καὶ ἄλλοτε ἄλλο, ἐκείνου δὲ τὸ ἔλαττον μόνον ἀδιαίρετον ὡρισμένον ὑπάρχον καὶ ταὐτὸν ἀεί. γεννᾶται δὲ δυάδος τοὺς τάξει περισσοὺς μηκυνούσης, ἵν’ ἐπειδὴ δυάδι οἱ γνώμονες ἀλλήλων διαφέρουσι δυὰς δὲ καὶ ἡ μηκύνουσα, τῶν ἀποτελουμένων ἡ παραλλαγὴ συνεχῶν τετρὰς ᾖ· δὶς γὰρ δύο τοῦτο. κἂν μὲν ἀπὸ τοῦ δυνάμει περισσοῦ ἀρχώμεθα, ὁ δυνάμει ἀρτιοπέρισσος ἀποτελεῖται ὁ δύο, ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ ἑνεργείᾳ τοῦ τρία, ὁ ἐνεργείᾳ ϛʹ. ἔσονται δὴ ἐν τῇ φυσικῇ τοῦ ἀριθμοῦ ἐκθέσει οἱ τοιοῦτοι δυάδι μὲν εἰδοποιούμενοι, τρεῖς δὲ

αὐτῆς, ὥσπερ καὶ τὸ ἀπὸ τοῖς ὑπὸ γεωμετρικῶς ἐν ἀρτιάκις ἀρτίῳ συμβάντος τὸ τοὺς ἄκρους καὶ τοὺς ὑπ’ ἐκείνους μέχρι μέσου ἀλλήλους πολυπλασιάζοντας ἴσους γίνεσθαι τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου πολυπλασιασθέντι, ἢ δυσὶ μέσοις καὶ αὐτοῖς μηκυνομένοις, καθὰ καὶ οἱ ἑκατέρωθεν αὐτῶν ἄκροι, ἐν ἀρτίᾳ δηλονότι ἐκθέσει. ἴδιον δὲ τοῦ εἴδους τούτου ὑπεναντίον τῷ τοῦ προτέρου τὸ μόνον ἢ ὑπὸ ἀρτίου περισσῶς ἢ ὑπὸ περισσοῦ ἀρτίως κατὰ ἀναστροφὴν μετρεῖσθαι.

Ἐπειδὴ δὲ ἐνταῦθα προδηλότερον ἁμάρτημα παρὰ τῷ Εὐκλείδῃ ἐστὶ τὸ μὴ διακρίνειν ἀρτιοπέρισσον περισσαρτίου μηδὲ τὸν ἕτερον μὲν αὐτῶν ἀντικεῖσθαι ἀρ τιάκις ἀρτίῳ τὸν δὲ λοιπὸν ἀμφοτέρων μῖγμα νομίζειν, ἔτι σαφέστερον περὶ τοῦ τρίτου λέγωμεν, αὐτὸ τὸ Εὐκλείδου ῥητὸν προεκθέμενοι περὶ αὐτῶν. λέγει γὰρ οὕτως· ἀρτιοπέρισσος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπ’ ἀρτίου

ἐὰν μὲν γὰρ δὶς τρία λέγωμεν, ἀρτιοπέρισσος, ἐὰν δὲ τρὶς δύο, περισσάρτιος· πάνυ εὐήθως. ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ τρίτῳ τῶν ἀριθμητικῶν τοὺς τρεῖς εἰς ἕνα συγχέει, δουλεύων δηλονότι τῇ τοῦ ὀνόματος ἐμφάσει· φησὶ γάρ· ἐὰν ἄρτιος ἀριθμὸς τὸ ἥμισυ ἔχῃ περισσόν, ἀρτιάκις τέ ἐστι περισσὸς καὶ περισσάκις ἄρτιος, τὸ αὐτὸ δηλονότι τοῖς ἔμπροσθεν λέγων. εἶτ’ ἐπιφέρει· ἐὰν ἄρτιος μήτε τὸ ἥμισυ ἔχῃ περισσὸν μήτε τῶν ἀπὸ μονάδος ᾖ διπλασιαζομένων, ἀρτιάκις τέ ἐστιν ἄρτιος καὶ ἀρτιάκις περισσὸς ὁ αὐτὸς καὶ περισσάκις ἄρτιος. καὶ ὁ μὲν Εὐκλείδης οὕτως· ἡμῖν δὲ μᾶλλον λεγέσθω τὸ τρίτον εἶδος ὃ κοινῶς ἐξ ἀμφοῖν πλάσσεταί τε καὶ εἰδοποιεῖται καὶ συμβεβηκότα ἴσχει. ἔστιν οὖν καὶ τῷ ὅρῳ κρᾶμα αὐτῶν· ὑπό τε γὰρ ἀρτίου ἀρτιάκις μετρεῖται καὶ ὁ αὐτὸς ὑπὸ ἀρτίου περισσάκις, οὐδετέρῳ δὲ τῶν προτέρων τοῦθ’ ἅμα συμβέβηκεν, ἀλλὰ θάτερον μόνον θατέρῳ. καὶ μὴν τὸ πλεονάκις μὲν τοῦ ἅπαξ διαιρεῖσθαι παρὰ τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου ἔχει, τὸ δὲ μὴ μέχρι μονάδος δύεσθαι παρὰ τοῦ ἀρτιοπερίσσου· καὶ τὸ μὲν ἀντιπαίεσθαι τὰ τῶν μερῶν ὀνόματα ὑπὸ τῶν δυνάμεων κοινωνεῖ τῷ δευτέρῳ, τὸ δὲ ἅμα καὶ ὁμωνυμεῖν οὐκ ἀπήλλακται

τοῦ προτέρου, ἀπό τε τοῦ μείζονος ἄκρου ὅτι πλεονάκις ἢ ἅπαξ διχοτομεῖται προστρέχει

αὐτῶν ἀναγκαίως διπλασίᾳ, καὶ τοῦτο δι’ ὅλου ἀναλόγως καὶ τοῦ μήκους ὑποφαινομένου. ἐὰν δὲ ἔμπαλιν τοῖς τοῦ ἀρτιάκις ἀρτίου οἱ τοῦ ἀρτιοπερίσσου, τὰ μὲν αὐτὰ συμβήσεται, μεταστήσεται δὲ εἰς ἄλληλα τὸ μῆκος καὶ τὸ πλάτος, ὡς ἐν ἀμοιβῇ. ἵνα μέντοι προδηλότερον ἠγνοηκὼς ὁ Εὐκλείδης ταῦτα φανῇ, παρατηρητέον

καὶ λεκτέον ὅτι ὁ μόνον ὑπ’ ἀρτίου περισσάκις ἀρτιοπέρισσος, ὁ δ’ οὐδέποτε μόνον θάτερον ἀλλ’ ἀμφότερα ἐξ ἀνάγκης ἀεὶ ἔχων ὅπερ οὐδέτερος ἐκείνων 〈περισσάρτιος, ἀ〉μφότεροι δὲ ἅμα κρᾶμα εὐλόγως ἀμφοτέρων τῇ τοῦ λοιποῦ μετοχῇ τοῦ ἑτέρου ἀφιστάμενοι.

Τοῦ δὲ περισσοῦ ἀριθμοῦ πάλιν καθ’ ὑποδιαίρεσιν τὸ μέν ἐστι πρῶ|τον

καὶ ἀσύνθετον τὸ δὲ δεύτερον καὶ σύνθετον, καὶ ἄλλως τὸ μὲν καθ’ αὑτὸ πρῶτον, ὃ δὴ καὶ εὐθὺς πρὸς ἄλλο πρῶτον καὶ ἀσύνθετόν ἐστι, τὸ δὲ καθ’ αὑτὸ δεύτερον, ὃ οὐκ ἀνάγκη καὶ πρὸς ἄλλο εἶναι δεύτερον, ἀλλ’ αὐτοῦ τούτου τὸ μὲν πρὸς ἄλλο πρῶτον, τὸ δὲ καὶ πρὸς ἄλλο ἔσται δεύτερον καὶ σύνθετον. πρῶτος μὲν οὖν καὶ ἀσύνθετος ἀριθμός ἐστι περισσὸς ὃς ὑπὸ μόνης μονάδος πληρούντως

γε ὢν σύστημα, οὗ αὐτὸς ἔσται πολυπλάσιος, ἀλλὰ πρῶτον δῆλον ὅτι ἑαυτὸν παρέξει εἰς τὸ ἄλλους τινὰς αὐτοῦ πολυπλασίους γενέσθαι· ἀσύνθετος δὲ ὅτι οὐκ ἂν λυθείη εἰς ἀριθμοὺς ἀλλήλοις ἴσους, ἐξ οὗ δῆλον ὅτι οὐδὲ συνετέθη ἐκ τοιούτων.

Δεύτερος δὲ καὶ σύνθετος ὁ τἀναντία τῷ λεχθέντι ἔχων μέρος τε παρὲξ τοῦ παρωνύμου ἢ ἓν ἢ πλέονα, μέτρον τε παρὰ τὴν μονάδα τὸν αὐτὸν τρόπον ἢ ἓν ἢ πλέονα. ὁ δὲ τοιοῦτος πρὸς τῷ γραμμικῶς εὐθυμετρεῖσθαι ἔτι καὶ ἐπιπεδωθήσεται ἤτοι γε τετραγωνικῶς ἐὰν ἓν ἔχῃ μέρος παρὲξ τοῦ παρωνύμου, ἢ παραλληλογράμμως ἐὰν ἐκ παντὸς δύο ἀνθυπακούοντα ἀλλήλοις ἔχῃ μέρη παρὰ τὴν τῶν πλευρῶν διαφοράν. πλείονα δ’ ἂν ἐπ’ ἀμφοτέρων εὑρεθείη πολυπλασίου, περισσάκις γενομένης τῆς ἐκθέσεως ἕως τῶν ἐξ ἀρχῆς.

ὅτι καὶ συνετέθη ἐκ τοιούτων.

Ἀπ’ ἄλλης δὲ ἀρχῆς τοῦ δευτέρου εἴδους τὸ μὲν καὶ καθ’ ἑαυτὸ καὶ πρὸς ἄλλο δεύτερον καὶ σύνθετόν ἐστι ὡς θʹ πρὸς ιεʹ ἢ καʹ, τὸ δὲ καθ’ ἑαυτὸ μὲν δεύτερον πρὸς δὲ ἄλλο πρῶτον ὡς τὰ θʹ πρὸς τὰ κεʹ ἢ λεʹ. ἑτέροις μὲν γὰρ καθ’ ἑαυτοὺς οὗτοι μέτροις ἄνευ τῆς μονάδος χρῶνται, πρὸς δὲ ἀλλήλους μόνῃ ταύτῃ. παραιτητέοι δὲ οἱ λέγοντες ἀνάπαλιν εἶναί τινα καθ’ ἑαυτὸν πρῶτον καὶ ἀσύνθετον πρὸς δὲ ἄλλον δεύτερον καὶ σύνθετον· ἐξαπατῶνται γὰρ τὸ μέτρον αὐτὸ τῷ μετρουμένῳ συγκρίνοντες, καὶ οὐχ ὁρῶσιν ὅτι κοινὸν δεῖ μέτρον ἄλλο παρὰ τὴν μονάδα καὶ παρ’ ἀμφοτέρους ἔχειν. εἴ τινι συμβήσεται πρὸς ἄλλον, οὗτος καὶ καθ’ ἑαυτὸν ὢν δεύτερος ἔσται καὶ πρὸς ἄλλον δεύτερος. δυνατὸν δὲ ἐκ τῶν ἐναντίων καθ’ ἑαυτὸν ἔχοντα δευτέρως πρὸς ἄλλον μὴ ἔχειν. ἐὰν δύο τυχόντες περισσοὶ προβληθῶσιν εἰς διάγνωσιν τοῦ πότερον πρῶτοι πρὸς ἀλλήλους ἢ δεύτεροί εἰσι, καὶ εἰ δεύτεροι τί κοινὸν αὐτῶν μέτρον, ἀνθυφελοῦμεν ἀεὶ τὸν ἐλάττονα

ἀπὸ τοῦ μείζονος ὁσάκις δυνατὸν καὶ τὸ λεῖπον ἀπὸ τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐλάσσονος καὶ ὁμοίως ἀεί, μέχρις ἂν ἤτοι εἰς μονάδα ἡ κατάληξις γένηται ἢ

Ἵνα δὲ τάξει πάντας ἡμεῖς τοὺς δευτέρους καὶ συνθέτους καθ’ ἑαυτούς τε καὶ πρὸς ἀλλήλους εἰδῶμεν γεννᾶν, καὶ μέτρα αὐτῶν καὶ τὰ ἀντιπαρονομαζόμενα μέρη ὅσα ἂν ᾖ, ἔφοδον τοιαύτην τιν’ ἰστέον, ἥτις ὡσανεὶ κόσκινον τοὺς μὲν τοιούτους ἐντὸς τοῦ λόγου καθέξει, τοὺς δὲ λοιποὺς, δηλονότι πρώτους καὶ ἀσυνθέτους, ὥσπερ ἐκβόλους ἀποχωρίσει. στοιχηδὸν εὐτάκτους τοὺς ἀπὸ τριάδος περισσοὺς ἐφεξῆς ὡς ὅτι μάλιστα ἐπὶ μήκιστον ἐκθοῦ, καὶ τῷ πρώτῳ πειρώμενος μετρεῖν πληρούντως τῶν ἐφεξῆς δυνήσῃ τοὺς δύο μέσους παραλιπόντας ἐπ’ ἄπειρον,

τῷ δὲ δευτέρῳ τοὺς τέσσαρας μέσους διαλείποντας, τῷ δὲ τρίτῳ τοὺς ἕξ καὶ τετάρτῳ τοὺς ὀκτὼ καὶ ἁπλῶς ἑκάστῳ τοὺς δι- πλασίους τῆς ἑαυτοῦ τάξεως διαλείποντας. ἐκ δὴ τούτου φανερὸν ὅτι ἕκαστος κατὰ τὸ ἑαυτοῦ ὄνομα τοὺς παρωνύμως ἀφεστῶτας μετρήσει, ὡς ὁ γʹ δύο ὑπερβὰς τρίτους ἀεί, καὶ τοῦτο ἀκολούθως. ἀλλ’ ὁ μὲν πρῶτος κατά τὸ ἑαυτοῦ μέγεθος τρὶς τὸν μετ’ αὐτὸν πρώτως μετρούμενον μετρήσει, τὸν δὲ μετ’ ἐκεῖνον πεντάκις κατὰ τὸ τοῦ ἑξῆς μέγεθος, τὸν δὲ ἐκείνῳ ἐφεξῆς κατὰ τὸ τοῦ τρίτου, καὶ τοῦτο δι’ ὅλου παραπλησίως·