In Nicomachi Arithmeticam Introductionem

Ἀρχόμενοι τοῦ ἰδίου λόγου περὶ τῶν ἐν μέρεσι διωρισμένων μαθημάτων ἀπὸ τῆς ἀριθμητικῆς ἀρχόμεθα· αὕτη γὰρ φύσει πρεσβυτέραν ἔχει τὴν θεωρίαν τῷ περὶ ἁπλούστερα πραγματεύεσθαι καὶ ἀρχηγικώτερα, διόπερ καὶ ὁ περὶ αὐτῆς λόγος προηγεῖται τῶν ἄλλων μαθημάτων. ἔστι δὴ καὶ οὗτος οὐχ ἁπλοῦς, ἀλλὰ πολυειδής· ὅσα γάρ ἐστι γένη τῶν ὄντων, περὶ πάντα συνδιαιρεῖται

καὶ τὰς αὐτὰς δέχεται διαιρέσεις. ἀλλὰ πρό γε τῶν ἐν ἄλλοις θεωρουμένων αὐτὸν καθ’ αὑτὸν τὸν ἀριθμὸν θεωρεῖν χρή, ἀφ’ οὗ δυνησόμεθα καὶ τὸν ἐν τῇ φύσει ἢ τοῖς ἤθεσιν ἢ τοῖς εἴδεσιν ἢ ὅλως πᾶσι τοῖς οὖσιν ἐπισκοπεῖν. διὰ δὴ τοῦτο παραλαμβάνειν δεῖ τὴν μαθηματικὴν ἐπιστήμην τῶν ἀριθμῶν. καὶ γὰρ ὡς ἐν ὑποθέσει δεῖ προκεῖσθαι ταύτην· προϋποκειμένης γὰρ αὐτῆς, καὶ τὰς ἄλλας παραγίγνεσθαι ἐπιστήμας δυνατόν, ἄνευ δὲ ταύτης οὐδὲ ἐκεῖναι παααγίγνονται. καὶ πρὸς μάθησιν δὲ ἐντεῦθεν ἄρχεσθαι

Εὑρίσκομεν δὴ πάντα κατὰ γνώμην τῷ Πυθαγόρᾳ τὸν Νικόμαχον περὶ αὐτῆς ἀποδεδωκότα ἐν τῇ Ἀριθμητικῇ τέχνῃ. ὅ τε γὰρ ἀνὴρ μέγας ἐστὶν ἐν τοῖς μαθήμασι καὶ καθηγεμόνας ἔσχε περὶ αὐτῶν τοὺς ἐμπειροτάτους ἐν τοῖς μαθήμασι, καὶ ἄνευ τούτων τάξιν θαυμαστὴν καὶ θεωρίαν μετ’ ἀποδείξεώς τε θαυμαστῆς τῶν ἐπιστημονικῶν ἀρχῶν ἐπιστήμην ἀκριβῶς παραδίδωσι, λόγον τε περὶ αὐτῶν οἶδε ποιεῖσθαι, καὶ ἀκραιφνῆ καὶ γνήσια τὰ θεωρήματα παραδίδωσι, μηδὲν ἐπιθολούμενα ὑπ’ ἀλλοτρίων δοξασμάτων. ἔτι τε ποικίλος ἐστὶ καὶ πολύχους τεταγμένος τε καὶ διηρθρωμένος ἐν τῇ τῶν ἀριθμῶν εἰδήσει, τό τε καθολικὸν τῆς γνώσεως καὶ τὸ εὑρετικὸν πάρεστιν αὐτῷ πάμπολυ· τὴν γὰρ πρώτην σύστασιν καὶ τὴν πρώτην γένεσιν τῶν ἀριθμῶν θηρεύει. ἔχει δὲ καὶ τὸ ἀπαράλειπτον· κοινῶς γὰρ ἐπὶ πάντα ἦλθε τὰ γένη καὶ τὰ εἴδη τῶν ἀριθμῶν, ἐν πεπερασμένοις τε

ἐν ἑνὶ περιλαμβάνει τελείῳ. ἔχει δὲ ἐνταῦθα καὶ ὃ ἐν τοῖς ἄλλοις βιβλίοις ἥκιστα ἄν τις ἴδοι ἐν αὐτῷ ὑπάρχον τὸ σύντομον καὶ ἀκριβές, καὶ μετὰ τούτων τὸ πλῆρες καὶ τέλειον, ἀγκύλον τε καὶ συνεστραμμένον καὶ πολύνουν καὶ γόνιμον, ὡς μὲν ἐγὼ νομίζω, διότι αὐτὰ τὰ Πυθαγόρεια μαθήματα περὶ ἀριθμοῦ καθαρὰ τίθησιν, ἐξέστω δὲ καὶ τῷ βουλομένῳ περὶ τούτου εἰκάζειν ὅπως βούλεται. ἀλλ’ ὅπερ ἐκ πάντων τούτων δεῖ συλλογίσασθαι, ἐκεῖνό ἐστιν. εἰ γὰρ διὰ πάντα ταῦτα προκρίνομεν τὸν ἄνδρα τοῦτον ὡς ἀριθμητικώτατον, εἰκότως δὴ διὰ τοῦτο καὶ τίθεμεν ὅλην αὐτοῦ τὴν ἀριθμητικὴν τέχνην, οὐχ ἡγούμενοι δεῖν οὔτε ἀτελῶς αὐτὴν ἐκφέρειν ἀκρωτηριάσαντας αὐτῆς τὰ προηγούμενα, οὔτε μεταγράφειν· περιττὸν γὰρ καὶ τοῦτο· οὔτε σφετερίζεσθαι τὰ γεγραμμένα· ἀγνωμοσύνης γὰρ ἐσχάτης ἔργον ἀφαιρεῖσθαι τῆς ἐπιβαλλούσης δόξης τὸν συγγεγραφότα. ἀλλ’ οὐδὲ διὰ τοῦτο δεῖ ἀλλοτρίους τῶν Πυθαγορικῶν διατριβῶν λόγους ποιεῖσθαι· οὐδὲ γὰρ καινὰ λέγειν ἡμῖν πρόκειται, ἀλλὰ τὰ δοκοῦντα τοῖς παλαιοῖς ἀνδράσιν, ὅθεν οὐδὲν οὔτε ἀφελόντες οὔτε προσθέντες αὐτὴν τὴν Νικομάχειον

τέχνην ἤδη παρατιθέμεθα ἐν τοῖς λόγοις.

Ἵνα δὲ μὴ ἀτελὴς γένηται μηδὲ κατὰ τοῦτο ἡ παροῦσα πραγματεία, φιλοσοφίαν Πυθαγόρας ὠνόμασε πρῶτος καὶ ὄρεξιν αὐτὴν εἶπεν εἶναι καὶ οἱονεὶ φιλίαν

τούτων καταλήψει συμβέβηκε καὶ τὴν τῶν ὁμωνύμως ὄντων παρομαρτεῖν, οὐδ’ ἐπιτηδευθεῖσάν ποτε, οἷα δὴ τῇ 〈τοῦ〉 καθόλου ἐπιστήμῃ 〈ἡ〉 τοῦ κατὰ μέρος· τοιγὰρ περὶ τῶν καθόλου φησὶν Ἀρχύτας καλῶς διαγνόντες ἔμελλον καὶ περὶ τῶν κατὰ μέρος οἷα ἐντὶ καλῶς ὀψεῖσθαι. διόπερ οὐδὲ μονογενῆ οὐδὲ ἁπλᾶ ὑπάρχει τὰ ὄντα, ποικίλα δὲ ἤδη καὶ πολυειδῆ θεωρεῖται, τά τε νοητὰ καὶ τὰ ἀσώματα, 〈ὧν τὰ〉 ὄντα ἡ κλῆσις, καὶ τὰ σωματικὰ καὶ ὑπ’

τε καὶ ἀλληλουχούμενος, κατὰ δὲ τὴν τοῦ πλήθους πάλιν ἰδέαν καὶ ἔννοιαν ἥ τε σύνταξις καὶ διακόσμησις καὶ ἁρμονία τοῦ παντὸς ἐπινοοῖτ’ ἂν ἐκ τοσῶνδε φέρ’ εἰπεῖν στοιχείων καὶ σφαιρῶν καὶ ἀστέρων γενῶν τε καὶ ζῴων καὶ φυτῶν ἐναντιοτήτων τε καὶ ὁμοιοτήτων τὴν σύστασιν ἔχουσα. ἀλλὰ τοῦ μὲν ἡνωμένου ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἐκ παντός ἐστιν ἡ τομή, ἡ δ’ αὔξησις ἐπὶ ὡρισμένον· τοῦ δὲ πλήθους κατὰ ἀντιπεπόνθησιν ἐπ’ ἄπειρον μὲν ἡ αὔξησις, ἔμπαλιν δὲ ἡ τομὴ ἐπὶ ὡρισμένον, φύσει δὴ κατ’ ἐπίνοιαν ἀμφοτέρων ἀπείρων ὄντων, καὶ διὰ τοῦτο ἐπιστήμαις ἀπεριορίστων· ἀρχὰν γὰρ οὐδὲ τὸ γνωσούμενον ἐσσεῖται πάντων ἀπείρων ἐόντων κατὰ τὸν Φιλόλαον. ἀναγκαίου δὲ ὄντος ἐπιστήμης φύσιν ἐνορᾶσθαι τοῖς οὖσιν

ἑαυτῶν εἰδήσεσιν, ἀριθμητικῇ μὲν τὸ ποσόν, γεωμετρίᾳ δὲ τὸ πηλίκον ἀλλ’ ἐπεὶ μὴ μονοειδῆ ταῦτα ἦν, ἔτι δὲ μερικωτέραν ὑποδιαίρεσιν ἑκάτερον αὐτῶν ἐπεδέχοντο· τοῦ μὲν γὰρ ποσοῦ τὸ μὲν ἦν καθ’ ἑαυτὸ τῆς πρὸς ἄλλο πως ἀπηλλαγμένον σχέσεως, οἷον φέρ’ εἰπεῖν ἄρτιον περιττόν, τέλειον ἐλλιπὲς καὶ τὰ ὅμοια, τὸ δὲ πρὸς ἕτερόν πως ἔχον (ὃ δὴ πρός τι ποσὸν ἰδίως λέγεται), οἷον ἴσον ἄνισον, πολυπλάσιον ἐπιμόριον ἐπιμερὲς καὶ τὰ παραπλήσια· καὶ πάλιν τοῦ πηλίκου τὸ μὲν ὑπάρχει τε καὶ ἐπινοεῖται μένον, τὸ δὲ κινούμενον καὶ φερόμενον· διὰ τοῦτ’ εἰκότως ταῖς προσαχθείσαις δυσὶν ἐπιστήμαις ἕτεραί τινες δύο συνεπέσχον καὶ συνεφήψαντο τῆς καθ’ ἑκάτερον ἐπιστητὸν θεωρίας. τῇ μὲν γὰρ ἀριθμητικῇ, ἰδίως λαχούσῃ τὴν περὶ τοῦ καθ’ ἑαυτὸ ποσοῦ σκέψιν, συμμετέσχεν ἡ μουσικὴ τῆς περὶ τὸ πρός τι ποσὸν τεχνολογίας (οὐδὲν γὰρ ἄλλο τὸ ἁρμονικὸν αὐτῆς καὶ τὸ περὶ συμφωνιῶν ἐπαγγέλλεται, ὅτι μὴ σχέσεις καὶ λόγους διαρθροῦν τῶν φθόγγων πρὸς ἀλλήλους

καὶ ποσότητα ὑπεροχῶν τε καὶ ἐλλείψεων), τῇ δὲ γεωμετρίᾳ περὶ τὴν τοῦ μένοντος καὶ ἑστῶτος πηλίκου ἐξέτασιν καταγιγνομένῃ συλλήπτρια ὑπῆρξεν ἡ σφαιρικὴ κινουμένου πηλίκου ἐπιγνώμων καταστᾶσα, τοῦ τελειοτάτου δηλονότι καὶ τεταγμένην καὶ ὁμαλὴν

καὶ μάλα εὐλόγως, εἴπερ συνεχοῦς καὶ διῃρημένου καταλήψεις διὰ τούτων μόνων γίνονται, ἐκ δὲ συνεχοῦς καὶ διῃρημένου ὅ τε κόσμος καὶ τὰ ἐν αὐτῷ πάντα. τοῦ δὴ ποσοῦ ἀκριβὴς κατάληψις σοφία, σοφίας δὲ ἔφεσις ἡ φιλοσοφία, φιλοσοφία δὲ ἐκ πασῶν μονωτάτη τεχνῶν τε καὶ ἐπιστητῶν τὸ οἰκεῖον καὶ κατὰ φύσιν ἀνθρώπῳ τέλος περιποιεῖ καὶ ἐπὶ τὴν εὐδαιμονίαν ἄγει τὴν παρὰ τὰ ἄλλα ζῷα τούτῳ μόνῳ προσήκουσαν καὶ κατὰ φύσιν σπουδαζομένην, ὡς σκοπιμώτατον αὐτῷ τέλος. τῶν δέ γε τεσσάρων τούτων ἐπιστημῶν προηγεῖσθαι φαίνεται ἡ

Τὸ δὲ ποσόν, ὅπερ ἐστὶ τὸν ἀριθμόν, Θαλῆς μὲν

μονάδων σύστημα ὡρίσατο (κατὰ τὸ Αἰγυπτιακὸν ἀρέσκον, ὅπου περ καὶ ἐφιλομάθησε)· τὸ δὲ ἀριθμητικὸν ἓν ἰδίων οὐχ ὑποπεσεῖται οὖν οὔτε μονὰς οὔτε τὸ ἓν τοῖς ὅροις. Πυθαγόρας δὲ ἔκτασιν καὶ ἐνέργειαν τῶν ἐν μονάδι σπερματικῶν λόγων, ἢ ἑτέρως τὸ πρὸ πάντων ὑποστὰν ἐν θείῳ νῷ ἀφ οὗ καὶ ἐξ οὗ πάντα συντέτακται καὶ μένει τάξιν ἄλυτον διηριθμημένα. ἕτεροι δὲ τῶν ἀπ’ αὐτοῦ προποδισμὸν ἀπὸ μονάδος μεγέθει αὐτῆς. Εὔδοξος δὲ ὁ Πυθαγόρειος ἀριθμός ἐστιν εἶπε πλῆθος ὡρισμένον διαστείλας εἶδος καὶ γένος, ὡς ἐν τοῖς ἀνωτέροις τὸ ποσὸν διεκρίθη. οἱ δὲ περὶ Ἵππασον ἀκουσματικοὶ ἀριθμὸν εἶπον παράδειγμα πρῶτον κοσμοποιίας, καὶ πάλιν κριτικὸν κοσμουργοῦ θεοῦ ὄργανον. Φιλόλαος δέ φησιν ἀριθμὸν εἶναι τῆς τῶν κοσμικῶν αἰωνίας διαμονῆς τὴν κρατιστεύουσαν καὶ αὐτογενῆ συνοχήν.

Μονὰς δέ ἐστι ποσοῦ τὸ ἐλάχιστον ἢ ποσοῦ τὸ πρῶτον καὶ κοινὸν μέρος ἢ ἀρχὴ ποσοῦ· ὡς δὲ Θυμαρίδας περαίνουσα ποσότης, ἐπεὶ ἑκάστου καὶ ἀρχὴ καὶ τέλος πέρας

καλεῖται, ἔστι δὲ ὧν καὶ τὸ μέσον, ὥσπερ ἀμέλει κύκλου καὶ σφαίρας. οἱ δὲ νεώτεροι καθ’ ἣν ἕκαστον τῶν ὄντων ἓν λέγεται· ἔλειπε δὲ τῷ ὅρῳ τούτῳ τὸ κἂν συστηματικὸν ᾖ. συγκεχυμένως δὲ οἱ Χρυσίππειοι λέγοντες μονάς ἐστι πλῆθος ἕν· μόνη γὰρ αὕτη ἀντιδιέσταλται τῷ πλήθει. τινὲς δὲ τῶν Πυθαγορείων μονάς ἐστιν’ εἶπον ἀριθμοῦ καὶ μορίων μεθόριον· ἀπ’ αὐτῆς γάρ, ὡς ἀπὸ σπέρματος καὶ ἀιδίου ῥίζης, ἐφ’ ἑκάτερον ἀντιπεπονθότως αὔξονται οἱ λόγοι, τῶν μὲν ἐπ’ ἄπειρον τεμνομένων μειούμενοι μεγαλωνυμώτερον ἀεί, τῶν δὲ ἐπ’ ἄπειρον αὐξομένων ἔμπαλιν μεγεθυνόμενοι. τινὲς δὲ ὡρίσαντο μονάδα εἰδῶν εἶδος, ὡς δυνάμει πάντας περιέχουσαν τοὺς ἐν ἀριθμῷ λόγους. καὶ γὰρ πολύγωνος ἐν ἐπιπέδῳ ἀπὸ τριγώνου μέχρι ἀπείρου, καὶ στερεὰ πᾶσιν εἴδεσιν ἐπιφαινομένη, καὶ σφαιρικὴ καὶ κωνική, ἀποκαταστική τε καὶ πλευρικὴ καὶ διαμετρικὴ καὶ τὸ κοινότατον ἑτερομήκης, ὅταν ἀφ’ ἑαυτῆς γενομένης μείζονος ἔννοια δυνάμει παράσχῃ, καὶ ἀναλογικὴ καὶ σχετικὴ κατὰ τὰς δέκα σχέσεις,

καὶ ποικίλως ἄλλως, ὁσαχῶς ὑποδειχθήσεται. μονὰς δὲ ἀπὸ τοῦ τῷ αὐτῆς τε λόγῳ δι’ ὅλου ἐπιμένειν. καὶ τἄλλα δὲ ὅσα ἂν ὑπ’ αὐτῆς οὕτω λογωθῇ.

Πάλιν δὲ ἐξ ἄλλης ἀρχῆς τοῦ ποσοῦ κατὰ πρώτην 〈τομὴν〉 τὸ μέν ἐστιν ἄρτιον, τὸ δὲ περισσόν. ἄρτιον μὲν τὸ μερῶν ἴσων ἀφ’ ἑαυτοῦ παρεκτικόν, μεγίστων τε καὶ ἐλαχίστων· μεγίστων μὲν πηλικότητι καὶ τῇ πρὸς τὸ ὅλον σχέσει, ὅτι εἰς ἡμίση, ἐλαχίστων δὲ ποσότητι, ὅτι εἰς δύο (τῶν γὰρ δύο ἐλάττονα φύσει οὐκ ἔστιν, εἴπερ οὐδὲ τῆς δυάδος ἀριθμὸς ἐνδοτέρω· πρώτη γὰρ αὕτη μονάδων σύστημα, ὅσπερ γενικοῦ ὅρος ἀριθμοῦ)· περισσὸν δὲ τὸ πάντως, ὅταν εἰς τὰ ἐλάχιστα διαιρῆται, ἄνισα τὰ μέρη ἀλλήλοις παρέχον. οὐ γὰρ διχῇ εἰς ἴσα μεριστόν· ἀναιρετικὸν γὰρ ἔσται τοῦτο τῆς φύσει ἀτόμου μονάδος εἰς τὴν σύμπασαν τεχνολογίαν καὶ φυσιολογίας τοιαύτας χρησιμευούσης. ἐπεὶ δὲ ὁ μὲν ἄρτιος διαιρούμενος ὁπωσοῦν ἢ ἴσα ἢ καὶ ἄνισα, εἰς ὁμογενῆ πάντως λύεται· ἢ γὰρ ἄρτια ἢ περιττὰ ἀμφότερα· ὁ δὲ περισσός, εἰς ἄλλα ἀμφότερα τὰ

τοῦ ἀριθμοῦ μήκη· ἑτερομήκη μὲν ἐκ τοῦ κατασυμβεβηκότος κατὰ τὸ σημαινόμενον τὸν ἄρτιον ἐπωνόμαζον οἱ ἀπὸ τοῦ διδασκαλείου, ὡς τὸ ἕτερον μόνον τῶν τοῦ ἀριθμοῦ μηκῶν ἐν τοῖς μερισμοῖς ἔχοντα· ἀντιδιεσταλμένως δὲ τούτῳ ἀμφιμήκη τὸν περισσὸν τὸν ἀμφότερα ὁμοῦ παρεχόμενον ταῦτα. καὶ δι’ ἀλλήλων δ’ ἂν γνωρισθείησαν ἐν τῇ φυσικῇ τοῦ ἀριθμοῦ ἐκθέσει, ἄρτιος μὲν ὁ μονάδι ἐφ’ ἑκάτερον διαφέρων περισσοῦ, περισσὸς δὲ ὁ τῷ αὐτῷ ἀρτίου. εἰδοποιεῖται δὲ καθ’ ἑκάτερον γένος ἰδίως τε καὶ συμβεβηκότως·

αὐτὴ φανήσεται· πηλίκῳ μέν, ἵνα ἀπ’ αὐτῆς ὡς ὅλου ἡ ἐπ’ ἄπειρον τομὴ ἄρχηται, ποσῷ δέ, ἵνα κατὰ ταὐτὰ ἡ ἐπ’ ἄπειρον αὔξησις ἀντιπαρεκτείνηται ὡς μονάδος· καὶ ὡς ὅλου μὲν ἥμισυ εἶτα τρίτον εἶτα τέταρτον εἶτα πέμπτον καὶ ἑξῆς μείζονα αἰεὶ καὶ μᾶλλον μέρη ἐναντίως τῇ τῶν ὀνομάτων αὐξήσει προ- χωρούσῃ, γίνεται· ὡς δὲ ἀπὸ μονάδος δυὰς εἶτα τριὰς εἶτα τετρὰς καὶ ἐφεξῆς μέχρι παντὸς προκοπή, κατὰ τὰ ὀνόματα ἡ αὔξησις καὶ ἀντιπαρωνυμίας γένεσις ποικίλης παρὰ τοῦτο ὑποφύηται, τῆς μονάδος ὑφισταμένης

ἐὰν γὰρ προχειρισώμεθα τὴν μονάδα, καὶ ὡς ἀπὸ γωνίας αὐτῆς λάβδωμά τι καταγράψωμεν, καὶ τὴν μὲν τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τοῖς συνεχέσι μονάδι ἀριθμοῖς ἐφεξῆς συμπληρώσωμεν μέχρι βουλόμεθα, οἷον βʹ γʹ δʹ εʹ ϛʹ ζʹ καὶ ἐφοσονοῦν, τὴν δὲ ἀπὸ τοῦ μεγίστου τῶν μερῶν ἀρξάμενοι, ὅπερ ἐστὶν ἡμίσους τοῦ προσεχεστάτου τῷ

ὅλῳ κατὰ μέγεθος, συνεχέσι καὶ αὐτοῖς ἐφεξῆς γῳ δῳ εῳ Ϛῳ ζῳ καὶ ἐφοσονοῦν, τὴν εἰρημένην ἀντιπεπόνθησιν ὀψόμεθα καὶ φυσικὴν συνάρτησιν καὶ εὔτακτον σχέσιν, οἷον τοιαύτην. ἐπεὶ εἰς δύο τὸ ὅλον ἐμερίσθη, ἥμισυ παρωνομάσθη καὶ συνεζύγη οὕτως τὸ ἥμισυ τῷ δύο· πάλιν ὅτι εἰς τρία τρίτον, καὶ εἰς τέσσαρα τέταρτον, καὶ ἐφεξῆς μέχρις ἑκατοστοῦ καὶ χιλιοστοῦ καὶ μυριοστοῦ, καὶ ἐντεῦθεν ἡ τῆς ἐπ’ ἄπειρον τομῆς ἀνάγκη διὰ τὴν παρέκτασιν τοῦ ὁμολογουμένως ἐπ’ ἄπειρον αὐξητοῦ παρεισβιάζεται. καὶ ἔτι ὡς δὶς ἓν δύο, οὕτως ἡμισάκις ἓν ἥμισυ· καὶ ὡς δὶς δύο τέσσαρα, οὕτως ἡμισάκις ἥμισυ τέταρτον· καὶ ὡς δὶς δύο δίς, οὕτως ἡμισάκις ἥμισυ ἡμισάκις, ὀκτώ τε καὶ ὄγδοον· καὶ ὡς δὶς τρία ἕξ, οὕτως ἡμισάκις τρίτον ἕκτον. καὶ καθάπαξ δὲ ὅ τι ἂν ἀφ’ ἑκατέρου λάβωμεν, ἐν αὐτῷ ἐκείνῳ ὁ λόγος μένει, καὶ ἐφ’ ἑκάστου τῶν ἀριθμῶν ὅσα ἂν ἁπλῶς συμβαίνῃ, ταῦτα ἐκ παντὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἀντιστρόφων μερῶν εὑρεθήσεται ἀναλογίᾳ. προληπτέον δέ, ὡς χρήσιμον εἰς

ὅτι παρωνυμούντων ἁπάντων μερῶν ἅπασιν ἀριθμοῖς, μόνον τὸ ἥμισυ τῷ δύο πράγματι μέν, οὐκέτι δὲ καὶ ὀνόματι παρωνυμεῖ· ἐπέλιπε γὰρ ἐν τῇ λέξει τοῦτο, ὥσπερ καὶ ἄλλα πολλά. γένεσις δὲ περισσοῦ καὶ ἀπὸ μονάδος, καὶ κατὰ σύνθεσιν ἀδιάζευκτον οὐχὶ τὴν σωρηδὸν ἀλλὰ τὴν κατὰ συνδυασμόν, ἥν τινες συζυγικὴν καλοῦσιν, οἷον ἓν πρῶτον, εἶτα αʹ βʹ, εἶτα πάλιν βʹ γʹ καὶ γʹ δʹ πάλιν, ἐφεξῆς ὁμοίως· ἀρτίου δέ, κατ’ ἐμπλοκήν, ὡς αʹ γʹ, βʹ δʹ, γʹ εʹ, δʹ ϛʹ καὶ ἐφοσονοῦν, ἵνα ὡς εἰδοποιὸς ἀρτίου καὶ στοιχεῖον ἡ δυάς, ἀλλ’ οὐχ ὡς ἐνεργείᾳ ἄρτιος, παραλείπηται· ἢ ἑτέρως, ἑκάστου τῶν ἀπὸ μονάδος ἀριθμῶν διπλασιαζομένου, ὡς δὶς ἓν καὶ δὶς δύο καὶ ἐφεξῆς δὶς τρία, δὶς τέσσαρα, δι’ οὗ τρανοῦται μᾶλλον ἡ προταχθεῖσα εἰδοποίησις ὑπὸ δυάδος τοῦ ἀρτίου. καὶ ἐξ ἀλλήλων δ’ ἂν γένοιτο οὕτως πρὸς ἔμφασιν τῆς τοῦ ἀριθμοῦ ἰδιότητος· τῶν γὰρ ἑκατέρωθεν ἑκάτερος ἑτερογενῶν ἅμα ἥμισυς. καὶ τὸ θαυμασιώτατον, καὶ μονάδος ἴδιον καὶ συμβιβαστικὸν τοῦ μήπω ἀριθμὸν αὐτὴν εἶναι, ὅτι

ἑτέρωθεν μόνον ἀλλ’ οὐχὶ ἀμφοτέρωθεν περιεχομένη, μόνης τῆς δυάδος ἡμίσειά ἐστιν, ἀρκουμένη τῷ ἑνὶ γείτονι. οὕτως δυνάμει πάντα ἐν αὐτῇ θεωρεῖται κοινῶς τά τε ἀρτίου καὶ περισσοῦ εἴδη ὡς πηγῇ τινι καὶ ἀμφοτέρων ἀδιακρίτῳ ῥίζῃ καὶ ἀναγκαίως ἀδιαιρέτῳ παρὰ τὰ ἄλλα πάντα. καὶ γὰρ τῶν βιαζομένων μονάδα διαιρεῖν καὶ παρατιθέντων αὐτῇ ἐκ θατέρου τὸ ἥμισυ ὡς ἓν ποσὸν καὶ ὁμογενὲς συνεχές, κωλυτικὸν γίνεται τὸ συζυγούντων ταῖς παρωνυμίαις τῶν ὑπὲρ αὐτὴν ἀριθμῶν ἀπάντων τοῖς καθ’

ἕκαστος ἅμα ἥμισυς ἐφαίνετο· κἀκεῖ δὲ πολὺ μᾶλλον καὶ ἐναργέστερον ὅταν τοῦ θʹ τετραγώνου πρωτίστου μετὰ τῶν δυνάμει ὄντος περισσοῦ, ἐν τῇ μεσότητι, τουτέστι τῷ πέντε, ἀναφαίνηται ὁ τῆς δικαιοσύνης λόγος κατ’ ἀριθμητικὴν ἀναλογίαν συζύγως ἀμειβόμενος καὶ ὡς ἀφορίζονται οἱ Πυθαγορικοὶ δικαιοσύνην λέγοντες δύναμιν ἀποδόσεως τοῦ ἴσου καὶ προσήκοντος ἐμπεριεχομένην ἀριθμοῦ τετραγώνου περισσοῦ μεσότητι. ἐκτεθέντων γὰρ στιχηδὸν τῶν ἀπὸ μονάδος μέχρις ἐννεάδος ἀριθμῶν, ὁ πέντε μέσος τοὺς μὲν ἐντὸς ἑαυτοῦ ἔλαττον ἢ προσῆκον ἔχοντας διορίσει, τοὺς δ’ ὑπὲρ αὐτὸν πλεονεκτοῦντας καὶ κατὰ πρόβασίν γε· τοὺς γὰρ μᾶλλον τῇ ἐννεάδι ἐγγίζοντας ἀεί, τοὺς δὲ τῇ μονάδι ἀεὶ ἔλαττον· προσήκει τε ἑκάστῳ κατά γε τὸν τῆς ἰσότητος λόγον τὸ τοῦ πεντεκαιτεσσαράκοντα τῶν ὅλων συστήματος ἔννατον, ὅπερ αὐτόθεν τῇ μεσότητι τοῦ πλέον