In Nicomachi Arithmeticam Introductionem

τῆς δὴ ἀναλογίας ἐν τρισὶν ὅροις γινομένης δεῖ ἔχειν τὸν πρῶτον ὅρον πρὸς τὸν δεύτερον λόγον ὃν ὁ δεύτερος ἔχει πρὸς τὸν τρίτον, ἢ ἀνάπαλιν, διὸ καὶ οὕτως ὠνομάσθαι· ἀνὰ γὰρ τὸν αὐτὸν λόγον ἔκκεινται οἱ ὅροι. ἔσονται δὲ καὶ διαφοραὶ αὐτῶν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ· εἰ δὲ λόγος ἐστὶ καὶ ἐν ἰσότητι, δῆλον ὅτι καὶ ἀναλογία. καὶ ταύτης στοιχειωδεστάτη ἡ ἐν μονάσιν, ἵνα καὶ ἀναλογικὴ μονὰς ὑπάρχῃ, εἶτα ἡ ἐν δυάσι καὶ τρίτη ἡ ἐν τριάσι καὶ ἑξῆς ἀκολούθως, ἀφ’ ὧν κατὰ τὰ εἰρημένα ἔμπροσθεν τρία προστάγματα εὔτακτοι φύονται αἱ ἐν ἀνισότητι ἀναλογίαι.

Προληπτέον δὲ ὅτι κυρίως ἀναλογίαν ἐκάλουν οἱ παλαιοὶ τὴν γεωμετρικήν, κοινότερον δὲ ἤδη καὶ τὰς λοιπὰς πάσας μὴν γενικῶς μεσότητας. ὅτι δὲ εὐλόγως συνεστάλη τὸ ὄνομα ἐπὶ τῆς γεωμετρικῆς, ἐν τῷ περὶ αὐτῆς ῥηθήσεται λόγῳ. μόναι δὲ τὸ παλαιὸν τρεῖς ἦσαν μεσότητες ἐπὶ Πυθαγόρου καὶ τῶν κατ’ αὐτὸν μαθηματικῶν, ἀριθμητική τε καὶ ἡ γεωμετρικὴ καὶ ἡ ποτὲ μὲν ὑπεναντία λεγομένη τῇ τάξει τρίτη, ὑπὸ δὲ τῶν περὶ Ἀρχύταν αὖθις καὶ Ἵππασον

ἁρμονικὴ μετακληθεῖσα, ὅτι τοὺς κατὰ τὸ ἡρμοσμένον καὶ ἐμμελὲς ἐφαίνετο λόγους περιέχουσα. ὑπεναντία δὲ πρότερον ἐκαλεῖτο, διότι ὑπεναντίον τι ἔπασχε τῇ ἀριθμητικῇ,

Ἡ μὲν οὖν πρώτη ἀριθμητικὴ μεσότης ἐστίν, ὅταν τῶν ὅρων ὁ μέσος ἔχῃ 〈ἴσον〉 διάστημα πρὸς τοὺς ἑκατέρωθεν ἄκρους καὶ ὑπερέχῃ καὶ ὑπερέχηται ἴσῳ ἀριθμῷ, λόγους δὲ ἔχῃ διαφόρους πρὸς τοὺς ἄκρους, καὶ μείζονα μὲν τὸν πρὸς τὸν ἐλάττονα ὅρον, ἐλάττονα δὲ 〈πρὸς〉 τὸν μείζονα,

συνεχεῖς δὲ τούτους ἑτερογενῶς. ὑπόδειγμα δ’ αὐτῆς ἐκτεθέντος ἀπὸ μονάδος τοῦ ἐφεξῆς ἀριθμοῦ καὶ ὡντινωνοῦν τριῶν ὅρων λαμβανομένων εἴτε συνεχῶν εἴτε τῶν παρ’ ἕνα εἴτε τῶν παρὰ δύο ἢ τρεῖς ἢ τέσσαρας ἢ ὅσους τις ἂν θέλῃ, ὁ μέσος καθ’ ἑκάστην ἐκλογὴν ἴσῳ ἀριθμῷ ὑπερέχει τὸν ἐλάττονα καὶ ὑπερέχεται ὑπὸ τοῦ μείζονος, οἷον αʹ βʹ γʹ καὶ αʹ γʹ εʹ καὶ βʹ δʹ ϛʹ. γεννᾶται δὲ ἐξ ἰσότητος οὕτως· πρῶτον ἴσον πρώτῳ, δεύτερον πρώτῳ καὶ δευτέρῳ, τρίτον

δύο καὶ ἐν τετράσιν ἡ παρὰ τρεῖς καὶ ἐφεξῆς ἀναλόγως. κἂν μὲν διπλάσιος ὁ πρότερος ᾖ λόγος, ἡμιόλιος πάντως ὁ δεύτερος, τριπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων. ἂν δὲ τριπλάσιος, ἐπιδιμερὴς τρίτων, πενταπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων. κἂν τετραπλάσιος, ἐπιτριμερὴς τετάρτων, ἑπταπλάσιος δὲ ὁ τῶν ἄκρων καὶ ἑξῆς ἀναλόγως. ἴδιον δὲ τῆς μεσότητος ταύτης τὸ ὑποδιπλάσιον εἶναι τὸν μέσον ὅρον τῶν δύο ἄκρων. καὶ πάλιν, ὡς ἕκαστος ὅρος ἔχει πρὸς ἑαυτόν, οὕτως καὶ ἡ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ὑπεροχήν, τοῦτο δέ ἐστι τὸ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ τοὺς ὅρους εἶναι. αἱ δὲ ἀπὸ μονάδος κατὰ τρεῖς ὅρους λαμβανόμεναι συζυγίαι ποιήσουσι πολυγώνων τοὺς δευτέρους ἐνεργείᾳ, τριάδι πάντας ἀλλήλων ὑπερέχοντας· ἐκ μὲν γὰρ τῆς αʹ βʹ γʹ ὁ δεύτερος ἐνεργείᾳ τρίγωνος γίνεται ὁ ϛʹ, ἐκ δὲ τῆς αʹ γʹ εʹ ὁ δεύτερος ἐνεργείᾳ τετράγωνος ὁ θʹ, ἐκ δὲ τῆς γʹ δʹ εʹ ὁ δεύτερος ἐνεργείᾳ πεντάγωνος ὁ ιβʹ καὶ ἑξῆς ἀκολούθως. ἐὰν δὲ οἱ ὅροι παρ’ ἕνα ἐκλεγῶσιν ἀπὸ μονάδος, οὐκέτι ἄρξει τῶν πολυγώνων ὁ τρίγωνος, μεταστήσεται

δὲ ἡ ἀφήγησις εἰς τετράγωνον· πρῶτος γὰρ ἔσται ὁ θʹ ὁ ἐκ τῆς αʹ γʹ εʹ συζυγίας, οἱ δὲ ἑξῆς γινόμενοι λόγον τινὰ οὐκ ἄτακτον ἕξουσιν. ἐὰν δὲ παρὰ δύο παράλειψιν ἡ

ἀναγομένης· οὕτως γὰρ αὐτὴν καὶ δευτερωδουμέναν μονάδα καλεῖσθαι ἐλέγομεν πρὸς τῶν Πυθαγορείων, καὶ τριωδουμέναν τὴν ἑκατοντάδα, καὶ τετρωδουμέναν τὴν χιλιάδα. ἡ μὲν γὰρ δʹ εʹ ϛʹ ποιεῖ ἀριθμὸν τὸν ιεʹ· ἀναγομένης δὲ τῆς δεκάδος εἰς μονάδα, ὁ πέντε προσλαβὼν αὐτὴν ἑξὰς γίνεται. πάλιν ἡ ζʹ ηʹ θʹ συνθεῖσα ποιεῖ τὸν κδʹ ἀριθμόν, οὗ τὰ κʹ εἰς δύο μονάδας ἀναγαγὼν προστίθημι τῷ δʹ, καὶ ἔχω πάλιν ἑξάδα. πάλιν ιʹ ιαʹ ιβʹ συνθεὶς ποιῶ λγʹ, ὧν τὰ λʹ τριάς ἐστιν, ἣν προσθεὶς τοῖς τρισὶν ἔχω ὁμοίως ἑξάδα, καὶ τοῦτο

πάλιν ἑξάς, καὶ τοῦτο δι’ ὅλου συμβήσεται. καὶ πλέονα δ’ ἄν τις εὕροι παρακολουθοῦντα γλαφυρὰ τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι, ἅπερ ἑκόντες τὰ νῦν παραλείπομεν στοχαζόμενοι τῆς κατὰ τὴν εἰσαγωγὴν συμμετρίας. ταύτην δ’ εἶπεν ὁ Πλάτων μεσότητα ἴσῳ μὲν κατ’ ἀριθμὸν ὑπερεχομένην, ἴσῳ δὲ ὑπερέχουσαν.

Ἡ δὲ δευτέρα μεσότης ἡ γεωμετρικὴ κυρίως ἀναλογία κέκληται, διότι λόγον τὸν αὐτὸν οἱ ὅροι περιέχουσιν, ἀνὰ τὸν αὐτὸν λόγον διεστῶτες· ὃν γὰρ λόγον ἔχουσιν οἱ ὅροι πρὸς ἀλλήλους ἢ ἀπ’ ἐλάττονος ἐπὶ μείζονα διὰ τοῦ κοινοῦ ἢ ἀνάπαλιν, τοῦτον ἔχει καὶ διαφορὰ πρὸς διαφοράν· αἴτιον δέ τι κατ’ ἴσην διαφορὰν οὐ διαστήσονται οἱ ὅροι ὡς ἐπὶ τῆς προτέρας. δυνατόν τε καὶ ἐν τέτταρσιν ὅροις τὸ ἀνάλογον γενέσθαι διεζευγμένων τῶν λόγων. καὶ ἵνα τὸ Πλατωνικὸν

πρὸς τὸ μέσον, τὸ μέσον πρὸς τὸ πρῶτον, τότε τὸ μέσον μὲν πρῶτον καὶ ἔσχατον γινόμενον, τὸ δὲ ἔσχατον καὶ τὸ πρῶτον αὖ μέσα ἀμφότερα, ταῦθ’ οὕτως ἐξ ἀνάγκης τὰ αὐτὰ εἶναι καὶ ξυμβήσεται. καὶ πρὸ Πλάτωνος δὲ τὰ αὐτὰ διειλήφεσαν Πυθαγορικοὶ περὶ αὐτῆς. Τίμαιός τ’ οὖν ὁ Λοκρὸς ἐν τῷ Περὶ φύσεως κόσμω καὶ ψυχᾶς (ἀφ’ οὗπερ ἐφοδιασθέντα Πλάτωνα τὸν διὰ τοῦτο φερώνυμον Τίμαιον συντάξαι λέγουσιν, ὧν ἐστιν καὶ ὁ τοὺς σίλλους ποιήσας Τίμων λέγων οὕτως· πολλῶν δ’ ἀργυρίων ὀλίγην ἠλλάξατο βίβλον ἔνθεν ἀφορμηθεὶς τιμαιογραφεῖν ἐπεχείρει) οὕτω πώς φησι· τριῶν γὰρ ὡντινωνοῦν ὅρων, ὅταν καὶ τὰ διαστάματα κατὰ τὸν αὐτὸν ἐστάθη λόγον ποτ’ ἄλλα, τότε δὴ τὸ μέσσον ῥυσμῶ δίκας ὁρήμεθα ποττὸ πρᾶτον, ὅ τι περ τὸ τρίτον ποτ’ αὐτὸ κἂν πάλιν καὶ παραλλάξ. ἔστι δὲ ἡ γεωμετρικὴ ἀναλογία τοῦ συνεχοῦς ποσοῦ, τουτέστι τοῦ πηλίκου, κατὰ λόγους

λόγοι ἕτεροι, διαστήματα δὲ ταὐτά· ἐν δὲ τῇ γεωμετρικῇ ἀνάπαλιν λόγοι μὲν οἱ αὐτοί, διαφοραὶ δὲ ἕτεραι. γεννᾶται δὲ καὶ αὕτη ἀπὸ ἰσότητος τοῖς ἐπὶ τῶν σχέσεων τρισὶ τοῖς αὐτῶν προστάγμασι· πάντες γὰρ ἐκεῖ τρεῖς ὅροι κατὰ ταύτην ἀναλογοῦσι τὴν μεσότητα ἔχοντες οὕτως· ὡς ὁ μείζων πρὸς τὸν μέσον ὅ τε μέσος πρὸς τὸν ἐλάττονα, καὶ ἡ τοῦ μείζονος παρὰ τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα. ἴδιον δ’ αὐτῆς τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων τῷ ἀπὸ τοῦ μέσου ἴσον ἀποτελεῖν, ἐὰν τρεῖς ἢ καθόλου περισσοὶ ὦσιν οἱ ὅροι· εἰ δὲ τέσσαρες ἢ ὅλως ἄρτιοι, τὸ ὑπὸ τῶν ἄκρων ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν μέσων ποιήσει. καὶ ἐπὶ μὲν ταύτης κατ’ ἔγκρασιν οἱ ὅροι ἀλλήλους μηκύνουσιν, ἐπὶ δὲ τῆς ἀριθμητικῆς κατὰ σύνθεσιν, ὅτι τοιοῦτον τὸ διῃρημένον ποσὸν καὶ τὸ πλῆθος, περὶ ὃ πάλιν ἰδίως ἡ ἀριθμητικὴ καταγίνεται, ὡς ἐν ἀρχῇ τῆς εἰσαγωγῆς ἡμῖν εἴρηται. ἐν μὲν οὖν πολλαπλασίοις ἀνάλογον ἐκθέσεσι παντοίαις πάμπολλα αὐτῆς εὑρήσομεν ὑποδείγματα, ἐν δὲ ἐπιμορίοις καὶ ἐπιμερέσιν ἀεὶ καὶ μᾶλλον σπανιώτερα κατὰ τὴν

τοῦ μερικοῦ ὀνόματος πρόοδον. τὸ δὲ αἴτιον προφανές, ὅτι πολυπλασιάζεσθαι μὲν πᾶς ἀριθμὸς δυνατός, μέρη δὲ πάντα δέξασθαι οὐ πᾶς, ἀλλ’ ἡμίση οἱ παρ’ ἕνα, τρίτα δὲ οἱ παρὰ τὰ δύο, τέταρτα δὲ οἱ παρὰ τρεῖς, πέμπτα δὲ οἱ παρὰ τέσσαρας καὶ ἑξῆς ἀεὶ καὶ μᾶλλον ἀραιότεροι οἱ μεγαλωνυμώτερα μέρη ἔχοντες. εἰ δὲ λόγοι ἀεὶ καὶ

ἐκθετέον κἀνταῦθα στιχηδὸν ταὐτούς τε καὶ ἑτέρους ἑκατέρους ἀπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς, καὶ συναρμοστέον κατ’ ἐμπλοκὴν αὐτούς, ὥσθ’ ἑκάστην συζυγίαν τριῶν ὅρων εἶναι, καὶ κατὰ συνέχειάν γε ἀεὶ τῆς προτέρας συζυγίας τοῦ ὑστάτου ἄρχοντος τῆς μετ’ αὐτήν· κατὰ γὰρ τὴν ἀδιάζευκτον ἐκλογὴν ἕκαστοι τρεῖς ὅροι ἀπὸ μονάδος παραδείξουσι τὸ ζητούμενον.

Ἡ δὲ τρίτη μεσότης ἡ καλουμένη ἁρμονική ἐστιν, ὅταν τριῶν ὅρων ἀνίσων ὡς ἔχει ὁ μείζων ὅρος πρὸς τὸν ἐλάχιστον, οὕτως ἡ ὑπεροχὴ μειζόνων ὅρων πρὸς ὑπεροχὴν ἐλαττόνων, τουτέστιν ἡ τοῦ μείζονος παρὰ τὸν μέσον ὑπεροχὴ πρὸς τὴν τοῦ μέσου παρὰ τὸν ἐλάττονα. ἑτέρα δέ ἐστιν αὕτη παρὰ τὰς πρὸ αὐτῆς,

εἰρημένοις πυθμενικοῖς ὅροις ὥσπερ ἑστῶσι καὶ πρωτοτύποις φαίνεται· ἐπὶ γὰρ τῆς ἀριθμητικῆς καὶ γεωμετρικῆς ἀπείρους συζυγίας ἔνεστι συντάττεσθαι. ἀλλ’ οὖν ἐν ἀμφοτέραις ταῖς πυθμενικαῖς οἵ τε ἄκροι ἐν διπλασίῳ καὶ τριπλασίῳ λόγῳ εἰσὶ πρὸς ἀλλήλους καὶ αἱ τῶν μειζόνων πρὸς τοὺς μέσους διαφοραὶ πρὸς τὰς τῶν μέσων πρὸς τοὺς ἐλάττονας. ἁρμονικὴ δὲ κέκληται ἡ μεσότης ὅτι σπερματικῶς τοὺς ἐν ἁρμονίᾳ λόγους ἔστιν ἐνιδεῖν αὐτῇ, οἷον ἐν τῇ γʹ δʹ ϛʹ τὸ διὰ τεσσάρων λεγόμενον σύμφωνον, ὅπερ ἐλάχιστόν ἐστι τῶν ἄλλων συμφώνων διαστημάτων, ἐν ἐπιτρίτῳ λόγῳ θεωρούμενον ἐν ὅροις ἐστὶ τοῖς ἐλάττοσι, τουτέστι τῷ δʹ πρὸς γʹ· τὸ δὲ διὰ πέντε, ὅπερ ἑξῆς μετὰ τὸ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ ὂν ἐν τοῖς μείζοσιν ὅροις, τουτέστι τῷ ϛʹ πρὸς δʹ· τὸ δὲ διὰ πασῶν σύστημα ὂν ἀμφοτέρων τῶν προειρημένων καὶ ἐν διπλασίονι λόγῳ θεωρούμενον ἐν τοῖς ἄκροις, τουτέστι τῷ ϛʹ πρὸς γʹ. καὶ ἔτι ἡ τοῦ ϛʹ διαφορὰ παρὰ τὸν δʹ πρὸς τὴν τοῦ δʹ παρὰ τὸν γʹ ὁμοίως ἐν διπλασίῳ λόγῳ ἐστί, κατὰ τὴν διὰ πασῶν συμφωνίαν.

καὶ μὴν καὶ ἡ δύναμις τῶν ἄκρων ἐπ’ ἀλλήλους γενομένων

ἐν δὲ τριπλασίῳ λόγῳ, ἵνα τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε συστῇ, ὁ λϛʹ πρὸς τὸν ιβʹ, ἐν δὲ τετραπλασίῳ, ἵνα τὸ δὶς διὰ πασῶν φανῇ, ὁ λϛʹ πρὸς θʹ, ἐν δὲ ἐπογδόῳ πρὸς τὴν τοῦ τονιαίου διαστήματος ἔμφασιν τὰ ιηʹ τοῦ ιϛʹ, ὡς προερρήθη. καὶ ἡ ἑτέρα δὲ πυθμενικὴ μεσότης ἡ βʹ γʹ ϛʹ αὐτόθεν μὲν ἔχει τὸν τριπλάσιον λόγον ἔν τε τοῖς ἄκροις πρὸς ἀλλήλους καὶ τὰς διαφορὰς πάλιν πρὸς ἀλλήλας, ἐν ᾧ λόγῳ ἐστὶν ἡ

τὸ Πλατωνικόν· ἁρμονικὴ γάρ ἐστιν ἡ μεσότης ἡ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσά τε καὶ ὑπερεχομένη, ὅπερ ἄλλῃ οὐ συμβέβηκεν· ἐπί τε γὰρ τῆς βʹ γʹ ϛʹ [τῷ αὐτῷ μέρει] ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων, τουτέστιν ἡμίσει, ὑπερέχει τε καὶ ὑπερέχεται· ὑπερέχει μὲν τοῦ ἐλάττονος, ὑπερέχεται δὲ ὑπὸ τοῦ μείζονος· ἐπί τε τῆς γʹ δʹ ϛʹ πάλιν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῷ μέρει τρίτῳ, τῶν ἄκρων ὑπερέχει μὲν τοῦ γʹ, ὑπερέχεται δὲ ὑπὸ τοῦ ϛʹ· μονάδι γὰρ καὶ δυάδι. ὑπεναντία δὲ τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι αὕτη ἐνομίσθη ὑπὸ τῶν περὶ Πυθαγόραν, διότι ἐκείνη τὸν μέσον ὑπερεχόμενόν τε καὶ ὑπερέχοντα εἶχεν ἰδίῳ αὑτοῦ μέρει οὐκέτι τῶν ἄκρων καὶ τῷ αὐτῷ· ἴσῳ γὰρ ὑπερέχει καὶ ὑπερέχεται ἀριθμῷ ἢ μονάδι, ἐπὶ δὲ τῆς ἁρμονικῆς οὐκ ἴσῳ. ἐπεὶ δὲ βούλονταί τινες ὑπεναντίαν ἀμφοτέραις ἀριθμητικῇ τε καὶ γεωμετρικῇ ταύτην ἐκδέχεσθαι, ἔφαμεν δὲ ἡμεῖς τῇ ἀριθμητικῇ μόνῃ ὑπεναντίον τι πάσχειν, συλλήψεται ἡμῖν κἀκεῖνο· ἐφέξει γὰρ τὸ μικτόν τι παθοῦσαν φαίνεσθαι τὴν γεωμετρικὴν καὶ μεσότητος λόγον ἔχειν πρός τε ἀριθμητικὴν καὶ

ἁρμονικὴν

οἱ μείζονες· ἐν δὲ τῇ ἁρμονικῇ ὑπεναντίως μείζονες μὲν ἐν τοῖς μείζοσιν, ἐλάττονες δὲ ἐν τοῖς ἐλάττοσιν, ἐν δὲ τῇ γεωμετρικῇ ὡσανεὶ μέσῃ αὐτῶν οὔσῃ οὔτε ἐλάττονες οὔτε μείζονες, ἀλλ’ ἴσοι. διὰ δὴ ταῦτα εὐλόγως ἂν μόνῃ τῇ ἀριθμητικῇ ὑπεναντία ἡ ἁρμονικὴ λέγοιτο, οὐκέτι δὲ καὶ τῇ γεωμετρικῇ. ἴδιον δὲ ἔχει ἡ ἁρμονικὴ τὸ ὑπὸ μέσου καὶ συνάμφω τῶν ἄκρων εἶναι διπλάσιον τοῦ ὑπὸ μόνων τῶν ἄκρων γινομένου. γεννᾶται

Καθάπερ δὲ ἐπὶ τοῦ κανόνος τῶν ἐξάψεων μενουσῶν ὁ ὑπαγωγεὺς μεθιστάμενος ποικίλας

συμφωνίας ἀποτελεῖ, τὸν αὐτὸν τρόπον δυνατόν ἐστι, δύο ὅρων δοθέντων εἴτε ἀρτίων εἴτε καὶ περισσῶν καὶ τῶν αὐτῶν διαμενόντων, ἄλλην καὶ ἄλλην μεσότητα νῦν μὲν ἀριθμητικὴν ἀποτελεῖν νῦν δὲ γεωμετρικὴν νῦν δὲ τὴν τῇ ἀριθμητικῇ ὑπεναντίαν, τουτέστιν ἁρμονικήν· ἰδοὺ γὰρ ἐν μὲν ἀρτίοις ὅροις τῷ τε μʹ καὶ τῷ ιʹ ὁ μὲν κεʹ ὅρος μεσότης γενόμενος ἀριθμητικὴν ἀποτελεῖ, ᾗ καὶ τὰ ἰδιώματα πάντα παρακολουθήσει, ὁ δὲ κʹ γεωμετρικὴν σὺν τοῖς ἰδιώμασιν αὐτῆς, ὁ δὲ ιϛʹ ἁρμονικὴν μετὰ τῶν προσηκόντων συμπτωμάτων.

αἴτιον δ’ ὅτι οἷον προσέλαβεν ὁ μείζων πρὸς 〈τὸν μέσον〉, τοσούτων ἀφῃρέθη ὁ ἐλάττων, ὥστε κατ’ ἴσην πάλιν ὑπεροχὴν τὸν μέσον ὑπερέχειν τε καὶ ὑπερέχεσθαι· τοῦτο γὰρ ἦν ἀριθμητικῆς ἴδιον. ὁ δὲ ιεʹ μεσεμβοληθεὶς γεωμετρικὴν ποιήσει, ὁ δὲ θʹ τὴν ἁρμονικήν. ἐλάττονας δὲ ἀριθμοὺς τῶν ἐκκειμένων ἄκρων κατά τε τὸ περισσὸν εἶδος καὶ τὸ ἄρτιον περιεκτικοὺς τῶν τριῶν μεσοτήτων οὐκ ἄν τις εὕροι, ἀλλ’ οὗτοι ἂν εἶεν οἱ πυθμενικοὶ καὶ ἐλάχιστοι.

Καὶ αἵδε μὲν αἱ τρεῖς μεσότητες πρὸς τῶν παλαιῶν μόναι λόγου ἠξιοῦντο, διαφοραῖς χρώμεναι πρὸς ἀλλήλας καὶ ἰδιότησι καθ’ αὑτὰς ταῖς εἰρημέναις, ἐφηρμόζοντο δὲ ὑπ’ αὐτῶν καὶ τῇ κοσμικῇ συστάσει καὶ ἁρμονίᾳ, ὡς ἐν ἄλλοις δείξομεν. αἱ δὲ ἐπὶ ταύταις τρεῖς ἀπ’ Ἀρχύτου καὶ Ἱππάσου παραδοχῆς καὶ αὐταὶ ἠξιώθησαν, ὧν ἡ πρώτη, τετάρτη δὲ συναριθμουμένη τῶν ἐξ ἀρχῆς τριῶν, ἰδίως ὑπεναντία ὡς ἔφαμεν κέκληται, διὰ τὸ ὑπεναντίον τι πάσχειν τῇ ἁρμονικῇ διὰ τοὺς ἐνοφθέντας αὐτῇ τῶν συμφωνιῶν λόγους. ἔστι δ’ οὖν ἡ τετάρτη μεσότης τοιαύτη· τριῶν ὅρων ὡς ἔχει ὁ μείζων πρὸς

τὸν ἐλάττονα, οὕτως ἕξει ἡ τῶν ἐλαττόνων ὅρων διαφορὰ πρὸς τὴν τῶν μειζόνων. ὑπεναντία δὲ τῇ ἁρμονικῇ εἴρηται, διότι ἐν ἐκείνῃ ἡ τῶν μειζόνων ὅρων διαφορὰ πρόλογος ἦν, ἐπὶ δὲ ταύτης ἡ τῶν ἐλαττόνων. τοὺς δὲ ἄκρους τοὺς