Optica

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ ἐπὶ κύκλου περιφερείας ἴσον ὂν τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ποτὲ μὲν ἴσον ἑαυτῷ, ποτὲ δὲ ἄνισον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον.

ἔστω κύκλος ὁ Α∠, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἐφεστάτω μὴ πρὸς ὀρθὰς τῷ κύκλῳ εὐθεῖα ἡ ∠Ζ ἴση οὖσα τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἡ ∠Ζ, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται, ποτὲ ἴση φανήσεται, ποτὲ μείζων, ποτὲ ἐλάσσων. ἤχθω δὴ διὰ τοῦ Ε, ὅ ἐστι κέντρον, τῇ ∠ παράλληλος ἡ ΓΕ, καὶ ἔστω ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΕΓ. καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Γ σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΓΗ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Η σημεῖον. καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβεβλήσθω καὶ συμβαλλέτω τῇ περιφερείᾳ κατὰ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Α τῇ ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΒ, καὶ ἔστω ἡ ΑΒ τῇ ∠Ζ ἴση. λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ πασῶν τῶν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθισταμένων εὐθειῶν ἐλάσσων φανήσεται. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ εὐθεῖαι αἱ Ε∠, ΓΖ, ΓΒ, ΕΒ, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἡ ΓΕ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστι καὶ ἴση, καὶ ἡ ΕΑ ἄρα τῇ ΓΒ ἴση τε καὶ παράλληλός ἐστιν. παραλληλόγραμμον [*](1. μ΄] om. v, μθ΄ V, μζ΄ m. 2 Vat. 3. μεθίσταται Vat., corr. m. 2. δέ] δὲ τῆς Vat. 7. Α∠] inter ∠ ras. 1 litt. m. 11. ποτὲ μέν m. ἴση] ἴσων V. 12. ποτὲ δέ bis m. 13 κέντρῳ v. 14 ΕΓ] ΓΕ m. 19. ∠Ζ] ∠Ε Vat. 21. ἐλάττων Vat., ἔλαττον v. 22. ΕΒ] supra scr. V (Ε∠ — ΖΕ etiam in mg. m. 1 V, ΓΖ supra scr.). 24. τῇ ΓΒ ἄρα Vat. Av. ἐστιν] ἐστι Vat. Avm.)

καὶ φανερὸν ἐκ τοῦ προδεδειγμένου λήμματος, ὅτι ἐλάχιστον μὲν ὀφθήσεται πρὸς τῷ Α, μέγιστον δὲ πρὸς τῷ κατὰ διάμετρον τῷ Α σημείῳ, ἴσον δὲ τὸ ἴσον ἀπέχον ἐφ᾿ ἑκάτερα τοῦ Α σημείου.

Ἐὰν δὲ τὸ ὁρώμενον πρὸς ὀρθὰς τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, μεθίστηται δὲ τὸ ὄμμα ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ σημεῖον, καθ᾿ ὃ συμβάλλει τὸ μέγεθος τῷ ἐπιπέδῳ, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φανήσεται.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς τῷ [*](1. ἐστί] om. m. ΑΕΓΒ] ΑΕΒΓ Vm. 2. παραλληλόγραμμα A, comp. Vat. τὸ Ε∠ΖΓ] mg. m. 2 V. 3. ὅτι] mg. m. 2 V. ἔλαττον Vat., comp. v. 4. ἔλασσον v, comp. Vat. 5. ἐπεί] seq. ras. 2 litt. V, ἐπεὶ οὖν Vat. Av. 6. γωνίαν] ὀρθὴν γωνίαν Vm, ὀρθήν add. m. 2 Vat. 7. ΓΕΑ] ΓΕΑ γωνία m. ἐλάττων Vat., comp. v. ἄρα ἐστί] ἐστὶν ἄρα Vat. Av. 8. ΓΕΑ] Α in ras. V, ΓΕ∠ A; ΓΕΛ v,)

Τοῦ ὁρωμένου μένοντος, τοῦ δὲ ὄμματος μεθισταμένου κατ᾿ εὐθεῖαν γραμμὴν πλαγίαν πρὸς τὸ ὁρώμενον μέγεθος οὖσαν ποτὲ μὲν ἴσον, ποτὲ δὲ ἄνισον τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

ἔστω ὁρώμενον μὲν τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ τὸ Ε εὐθεῖα δὲ πλαγία ἡ Γ∠, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΒΑ ἐπ᾿ εὐθείας ἡ ΓΑ καὶ συμβαλλέτω τῇ ∠Γ κατὰ τὸ Γ, καὶ μεθιστάσθω ἐπʼ αὐτῆς τὸ ὄμμα. λέγω, ὅτι ποτὲ μὲν ἴσον, ποτὲ δὲ ἄνισον φαίνεται τὸ ΑΒ. εἰλήφθω γὰρ τῶν ΒΓ, ΓΑ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΕ, καὶ ἔστω ὄμμα τὸ Ε καὶ μετακεκινήσθω καὶ ἔστω ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας κατὰ τὸ ∠. λέγω, ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν Ε, ∠ ὁρώμενον ἄνισον φαίνεται. ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΕ, [*](1. κέντρον, corr. m. 2, Vat. A. 2. B] Α Vat. A v. γεγράφθω] ὁ γε γράφθω Vat., sed corr.; ὁ γεγράφθω v. 4. τοῦ] om. v. 7. ἐστι Vat. m v. 10. προσπίπτουσαι v. 11. Β] corr. ex Γ Vat. 13. μβʹ] om. v, να΄ V, μθ΄ m. 2 Vat. 15. τό] τῷ v. 17. φαίνεται τὸ ὁρώμενον m. 18. μέν] om. v.)

Ἄλλως.

Ἔστω γὰρ ὁρώμενον τὸ Κ∠, εὐθεῖα δὲ ἡ ΒΓ συμπίπτουσα τῇ Κ∠ προσεκβαλλομένῃ. εἰλήφθω τῆς Γ∠ καὶ τῆς ΓΚ μέση ἀνάλογον ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΚ καὶ ἡ Ζ∠, περὶ δὲ τὴν Κ∠ τμῆμα γεγράφθω, ὃ [*](2. ΑΕΒ corr. ex ΑΕΗ Vat. τῶν] om. m. Γ∠, ∠Β] Γ∠Β m. 3. τῶν] om. m. ΓΑ, ΑΖ] ΓΑΖ m. 4. ἡ ΒΖ] in ras., seq. ras. 2 litt., V, post ras. 3 litt. v. 5. μεῖζον v. 6. τῶν] om. m. Α∠, ∠Β] Α∠Β Vat.1 m. 7. ἐστιν] εἰσι m, ἐστι Vat. v. 8. μεῖζον v. ἐστί v. 9. τὸ ΑΒ] om. codd. βλέπεται τὸ ΑΒ m. τοῦ (alt.)] τό m. 10. ὑπὸ δὲ τῆς] bis V. τὸ αὐτὸ τὸ ΑΒ βλέπεται] om. v. ΑΒ] Α v, Vat.,)

Τὸ δ᾿ αὐτὸ συμβήσεται, κἂν παράλληλος ᾖ ἡ εὐθεῖα γραμμὴ τῷ ὁρωμένῳ μεγέθει.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, ἐφ᾿ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΖΑ, ΖΒ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τμῆμα τὸ ΑΖΒ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ Ζ∠, καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἐπὶ τὸ ∠, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ Α∠, ∠Β. λέγω, ὅτι ἀπὸ τῶν ∠, Ζ ἄνισα φανήσεται. ἐπεζεύχθω ἡ ΑΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση γωνία ἡ ὑπὸ ΑΖΒ τῇ [*](1. δέχεται] συνέχεται codd. τήν] om. codd. τῶν] τοῦ codd. δή] in ras. V. 2. ΚΓ] Γ in ras. V. 3. ΓΖ] in ras. V. Γ∠] in ras. V. 6. προσεκβεβλήσθω v, Vat., corr. m. 2. 10. Σ] corr. ex Γ m. 2 Vat. 11. εἰσι vm, Vat., corr. m. 2. Β] post ras. 1 litt. V. 12. μεῖζον v. ἐστί Vat. vm. 13. τοῦ (alt.)] τό v. 14. μγ΄] om. v, νγ΄ V,)

καὶ ἐὰν τεθῇ ἴση τῇ ∠Ζ ἡ ΖΓ, ἔλαττον μὲν καὶ ἀπὸ τοῦ Γ φαίνεται ἤπερ ἀπὸ τοῦ Ζ, ἀπὸ δὲ τῶν Γ, ∠ ἴσον.

Εἰσὶ τόποι, ἐφ᾿ οὓς τοῦ ὄμματος μετατιθεμένου τὰ ἴσα μεγέθη καὶ κοινῶς ἀπολαβόντα τόπους τινὰς ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται.

ἔστω ὄμμα μὲν τὸ Θ, μεγέθη δὲ τὰ ΑΒ, ΒΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β πρὸς ὀρθὰς ἡ ΒΖ καὶ προσεκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ ∠. φανερὸν δή, ὅτι καθ᾿ ὁποιονοῦν τῆς Ζ∠ μέρος ἂν τεθῇ τὸ ὄμμα, τὰ ΑΒ, ΒΓ ἴσα φανήσεται. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Ε. λέγω, ὅτι ἀπὸ τοῦ Ε ἄνισα φαίνεται. προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΕΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΓΕ τρίγωνον ὁ ΑΕ∠Γ κύκλος, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΕΒ ἡ ΒΗ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ Α∠ περιφέρεια τῇ ∠Γ περιφερείᾳ, μείζων δὲ ἡ Α∠Η περιφέρεια τῆς ΗΓ περιφερείας, [*](1. μεῖζον v. 2. ἐστί Vat. vm. μεῖζον v. 3. ἐστί Vat. vm. ὑπό (alt.)] om. v. 4. καί] καὶ ἡ v. 5. ὑπό] del. m. 2 Vat., om. Vm. 6. ἀπό] ὑπό codd. 7. ἡ] τῇ v. ἐλάττων m. 8. Γ (pr.)] Ν v. 10. μδ΄] om. v, νδ΄ V, νβ΄)

Ἄλλως.

Ἔστω γὰρ ἴση ἡ ΒΓ τῇ Γ∠, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ ἡμικύκλιον γεγράφθω τὸ ΒΖΓ, περὶ δὲ τὴν Γ∠ μεῖζον ἡμικυκλίου τὸ ΓΖ∠· καὶ φανερόν, ὅτι τεμεῖ τὸ προειρημένον ἡμικύκλιον. δυνατὸν δέ ἐστιν ἐπὶ τῆς Γ∠ γράψαι τμῆμα μεῖζον ἡμικυκλίου. ἐὰν γὰρ ὑποθώμεθα ὀξεῖάν τινα γωνίαν, δυνατὸν ἡμῖν ἐστιν ἐπὶ τῆς Γ∠ γράψαι τμῆμα κύκλου δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ὑποκειμένῃ ὀξείᾳ γωνίᾳ, ὡς ἀπὸ τοῦ λγ΄ τοῦ τρίτου τῶν ἐπιπέδων, καὶ ἔσται τὸ συνιστάμενον ἐπ᾿ αὐτῆς μεῖζον ἡμικυκλίου, ὡς ἀπὸ τοῦ λα΄ τοῦ τρίτου τῶν ἐπιπέδων. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΖ, ΖΓ, Ζ∠. οὐκοῦν ἡ ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ γωνία μείζων ἐστὶ τῆς ἐν τῷ μείζονι τμήματι. τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται· μείζων ἄρα ἡ ΒΓ τῆς Γ∠ φαίνεται. ἦν δὲ καὶ ἴση. ἔστιν ἄρα τόπος κοινός, ἐν ᾧ τὸ ὄμμα ἐὰν τεθῇ, ἄνισα φαίνεται τὰ ἴσα. ἴσα δὲ φανήσεται, ἐπειδὰν ἐπὶ τῶν † ἐξ ἀρχῆς σημείων ᾖ τῶν ἐπὶ τῶν ΒΓ, Γ∠ μειζόνων ἡμικυκλίων.

Ἔστι τις τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠, καὶ περὶ μὲν τὴν ΒΓ μεῖζον ἡμικυκλίου τμῆμα γεγράφθω, περὶ δὲ τὴν Γ∠ ὅμοιον τῷ περὶ τὴν ΒΓ, τουτέστι δεχόμενον γωνίαν ἴσην τῇ ἐν τῷ ΒΖΓ. τεμοῦσιν ἄρα ἄλληλα τὰ τμήματα. τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΖΒ, ΖΓ, Ζ∠. οὐκοῦν ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ἐν τοῖς ὁμοίοις τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις, ἴσαι εἰσὶ καὶ αἱ ἐν τοῖς ΒΖΓ, ΓΖ∠ τμήμασι γωνίαι ἀλλήλαις. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. τοῦ ἄρα ὄμματος τιθεμένου ἐπὶ τοῦ Ζ σημείου ἴση ἂν φαίνοιτο ἡ ΒΓ τῇ Γ∠. ἔστι δὲ μείζων. ἔστιν ἄρα τόπος κοινός, ἀφʼ οὗ τὰ ἄνισα μεγέθη ἴσα φαίνεται.

Εἰσὶ τόποι, ἐφʼ οὓς τοῦ ὄμματος μετατιθεμένου τὰ ἴσα μεγέθη καὶ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ποτὲ μὲν ἴσα, ποτὲ δὲ ἄνισα φαίνεται.

ἔστω ἴσα μεγέθη τὰ ΑΒ, Γ∠ πρὸς ὀρθὰς ὄντα τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ. λέγω, ὅτι ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ΑΒ, Γ∠ ἴσα φαίνεται. ἐπεζεύχθω [*](1. με΄] om. v, νϚ΄ V, νδ΄ m. 2 Vat. 4. τήν] τῶν v, et Vat., corr. m. 2. 5. μεῖζον] corr. ex μείζων m. 2 V. ἡμικύκλιον Vat., comp. v. 8. ΒΖΓ] v, m. 1 Vat.; ΒΓΖ V m, m. 2 Vat. ἄρα] om. Vat. v. 10. τεμνέτω Vat., corr. m. 2.)

λέγω δή, ὅτι καὶ ἄνισα ὀφθήσεται.

μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΕ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΗΒ, ΗΑ, ΗΓ, Η∠. μείζων ἄρα ἡ ΗΒ τῆς Η∠. ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΗΒ τῇ Η∠ ἴση ἡ ΒΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΘ. ἴση ἄρα γωνία ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῇ ὑπὸ ΓΗ∠. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΒΘΑ τῆς ὑπὸ ΒΗΑ μείζων ἐστίν, ἡ ἐκτὸς τῆς ἐντός· καὶ ἡ ὑπὸ ΓΗ∠ ἄρα τῆς ὑπὸ ΒΗΑ ἐστι μείζων. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ Γ∠ τῆς ΑΒ.

Eἐσὶ τόποι τινές, ἐν οἷς τοῦ ὄμματος τεθέντος τὰ ἄνισα μεγέθη εἰς τὸ αὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φανήσεται.

ἔστω γὰρ μείζων ἡ ΒΓ τῆς Γ∠, καὶ περὶ τὰς ΒΓ, Γ∠ ἡμικύκλια γεγράφθωσαν καὶ περὶ ὅλην τὴν Β∠. οὐκοῦν ἴση ἡ ἐν τῷ ΒΑ∠ ἡμικυκλίῳ γωνία τῇ ἐν τῷ ΒΚΓ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα αὐτῶν. ἴση ἄρα φαίνεται ἡ ΒΙʼ τῇ Β∠. ὡσαύτως δὲ καὶ ἡ Β∠ τῇ Γ∠ τῶν ὀμμάτων ἐπὶ τῶν ΒΑ∠, Ζ∠ ἡμικυκλίων κειμένων. εἰσί τινες ἄρα τόποι, ἐν οἷς τὰ ἄνισα μεγέθη δύο εἰς ταὐτὸ συντεθέντα ἴσα ἑκατέρῳ τῶν ἀνίσων φαίνεται.

Εὑρεῖν τόπους, ἀφʼ ὧν τὸ ἴσον μέγεθος ἥμισυ φανεῖται ἢ τέταρτον μέρος ἢ καθόλου ἐν τῷ λόγῳ, ἐν ᾧ καὶ ἡ γωνία τέμνεται.

ἔστω ἴσον τὸ ΑΖ τῷ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν ΑΖ γεγράφθω ἡμικύκλιον, καὶ γεγράφθω ἐν αὐτῷ ὀρθὴ γωνία ἡ Κ· τῇ δὲ ΑΖ ἴση ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ περὶ τὴν [*](1. μζʹ] om. v, νη΄ V, νϚ΄ m. 2 Vat. 2. τεθέντος] τέθηται v. 3. συντέθηται v. 5. ἡ ΒΓ μείζων Vat. v (μεῖζον v). τάς] corr. ex τῆς V. ΒΓ]| in ras. v. 6. ἡμικυκλῖ v. Β∠] m, ΒΓ V Vat. v(?) 9. τῇ] corr. ex τήν V. 13. φανήσεται v. ΒΓ] BΓ τῇ ΒΓ v. 14. ὡσαύτως] ὡς δʼ αὔτως v. 15. ΒΑ∠] ΑΒ∠ Vat v. 17. ταὐτόν Vat. Av. συντιθέντα Vat. Av.)

Έστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ. λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ ἔχει τόπους, ἐν οἷς τοῦ ὄμματος τεθέντος τὸ αὐτὸ ποτὲ ἥμισυ ποτὶ ὅλον ποτὲ τέταρτον φαίνεται καὶ καθόλου ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.

περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΒ κύκλος ὁ ΑΕΒ ὥστε τὴν ΑΒ μὴ εἶναι διάμετρον, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ Γ, ἐφʼ οὗ κείσθω τὸ ὄμμα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΓΒ. ὑπὸ τῆς ΑΓΒ ἄρα τὸ ΑΒ βλέπεται. κείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΑ, ΕΒ. ἐπεὶ οὖν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῆς ὑπὸ ΑΕΒ ἐστι διπλῆ, τὸ ΑΒ ἄρα ἀπὸ τοῦ Γ διπλάσιον ὁρᾶται τοῦ ἀπὸ τοῦ Ε. ὁμοίως καὶ τέταρτον μέρος ὀφθήσεται, ἐὰν ἡ γωνία τῆς γωνίας ᾖ τετραπλῆ, καὶ ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ.

Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων καὶ ἐπὶ μιᾶς πρὸς ὀρθὰς αὐτοῖς οὔσης εὐθείας τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πέρατα ἐχόντων προσιόντων μὲν πρὸς τὴν ἀγομένην διὰ τοῦ [*](2. Κ] seq. ras. 1 litt. V. διπλασίων Vat. 1 m. 3. ∠] in ras. V, om. Vat. Av. ΑΖ] ΑΒ Vat. Av. 4. ΑΚΖ])

φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ ΒΓ, ∠Ζ, ΚΑ ἐπὶ μιᾶς πρὸς ὀρθὰς αὐτοῖς οὔσης εὐθείας τῆς ΓΑ τὰ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη πέρατα ἔχοντα τὰ Γ, Ζ, Α, καὶ ἀπὸ τοῦ Μ ὄμματος παράλληλος ἤχθω τῇ ΓΑ ἡ ΜΛ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΜΓ, ΜΖ, ΜΑ. οὐκοῦν προηγούμενον μὲν δοκεῖ τὸ ΒΓ, ἐπακολουθοῦν δὲ τὸ ΚΑ διὰ τὸ καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος προσπιπτουσῶν ἀκτίνων τὴν ΜΓ ἐπὶ τὸ Γ παρῆχθαι δοκεῖν μᾶλλον τῶν ἄλλων ἀκτίνων. τὸ ἄρα ΜΓ προηγεῖσθαι δόξει προσιόντων, ὡς εἴρηται. παραλλαξάντων δὲ τῶν ΒΓ, ∠Ζ, ΚΑ καὶ ὡς τῶν ΝΞ, ΠΡ, ΣΤ γενομένων προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΜΝ, ΜΠ, ΜΣ. οὐκοῦν τὸ ΝΞ παρῆχθαι δοκεῖ ἐπὶ τὸ Ν διὰ τὸ καὶ τὴν ΜΝ ἀκτῖνα παρῆχθαι ἐπὶ τὸ Ν μᾶλλον τῶν ἄλλων ἀκτίνων· τὸ ἄρα ΣΤ ἐπὶ τὸ Τ παρῆκται διὰ τὸ καὶ τὴν ΜΣ παρῆχθαι ὡς ἐπὶ τὸ Τ μᾶλλον τῶν ἄλλων ἀκτίνων. τὸ μὲν ἄρα ΒΓ προηγούμενον [*](1. πορρώτερον] προρρώτερον A. 3. ἐπακολουθῇ v. 5. φε-] seq. ras. 1 litt. v. ∠Ζ] corr. ex ∠Γ m. 2 Vat. ΚΑ] supra scr. V. ἐπὶ μιᾶς — 7. Γ, Ζ, Α ] mg. m. 2 V, mg. m. 1 Vat. 1, om. m. 6. ὀρθάς] ὀρθῆς Vat. Av. αὐτοῖς] αὐτῆς Vat. Av. τά (pr.)] τούς v. 7. ἔχοντα] ἐχόντων V V Vat. Vat.  1 Av. παράλληλος — ΜΛ ] postea add. V. καί ] in ras. V. ἐπεζεύχθωσαν] ἐπεζεύχθω in ras. V, Vat, corr. m. 2. 9. αἱ ] ἡ V Vat. A v. 10. δοκεῖ — 11. ὄμματος ] postea ins litt. minor. V 11. ὄμματος] seq. τοῦ δὲ ὄμματος ἀκτίνων προσπιπτουσῶν τῶν φερομένων ἡ M τὸ ἄρα παραλλαξάντων τῶν ΒΓ. ∠ Ζ, ΚΑ, sed del, deinde lacuna V. Post ὄμματος del. γενομένων Vat. 1; in post lac. est γενομένων. προσ- πιπτουσῶν — 15. γενομένων] mg. 12. δοκεῖ v. τῶν ἄλλων] om v. 13. προκεῖσθαι Vat. 1m. 14. τῶν (alt.)] corr.)

Ἐάν τινων φερομένων πλειόνων ἀνίσῳ τάχει συμ παραφέρηται ἐπὶ τὰ αὐτὰ καὶ τὸ ὄμμα, τὰ μὲν τῳ ὄμματι ἰσοταχῶς φερόμενα δόξει ἑστάναι, τὰ δὲ βρα δύτερον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τὰ δὲ θᾶττον εἰ τὰ προηγούμενα.

φερέσθω γὰρ ἀνίσῳ τάχει τὰ Β, Γ, ∠, καὶ βραδύτατα μὲν φερέσθω τὸ Β, τὸ δὲ Γ ἰσοταχῶς τῷ Κ ὄμματι, τὸ δὲ ∠ θᾶττον τοῦ Γ. ἀπὸ δὲ τοῦ Κ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΒ, ΚΓ, Κ∠. οὐκοῦν τῷ ὄμματι παραφερόμενον τὸ Γ ἑστάναι δόξει, τὸ δὲ Β ὑπολειπόμενον εἰς τοὐναντίον φέρεσθαι, τὸ δὲ ∠, ὃ θᾶττον ὑπό κειται τούτων, φέρεσθαι δόξει εἰς τοὔμπροσθεν· πλεῖο γὰρ ἀπὸ τούτων ἀποστήσεται.

Ἐάν τινων φερομένων διαφαίνηταί τι μὴ φερόμε νον, δόξει τὸ μὴ φερόμενον εἰς τὰ ὄπισθεν φέρεσθα;

φερέσθω γὰρ τὰ Β, ∠, μενέτω δὲ τὸ Γ, καὶ ἀπ τοῦ ὄμματος προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΓ Ζ οὐκοῦν τὸ μὲν Β φερόμενον ἔγγιον ἔσται τοῦ Γ, δὲ ∠ ἀποχωροῦν πορρώτερον· εἰς τοὐναντίον ἄρ φέρεσθαι δόξει τὸ Γ.

Τοῦ ὄμματος ἔγγιον τοῦ ὁρωμένου προσιόντος δόξει τὸ ὁρώμενον ηὐξῆσθαι.

ὁράσθω γὰρ τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ Ζ κειμένου ὑπὸ τῶν ΖΒ, ΖΓ ἀκτίνων, καὶ μετακείσθω τὸ ὄμμα ἔγγιον τοῦ ΒΓ καὶ ἔστω ἐπὶ τοῦ ∠, καὶ ὁράσθω τὸ αὐτὸ ὑπὸ τῶν ∠Β, ΔΓ ἀκτίνων. οὐκοῦν μείζων ἡ ∠ γωνία τῆς Ζ γωνίας· τὰ δὲ ὑπὸ μείζονος γωνίας ὁρώμενα μείζονα φαίνεται. δόξει ἄρα ηὐξῆσθαι τὸ ΒΓ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ ∠ ὄντος ἤπερ ἐπὶ τοῦ Ζ.

Τῶν ἴσῳ τάχει φερομένων τὰ πόρρω δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι.

φερέσθω γὰρ ἰσοταχῶς τὰ Β, Κ, καὶ ἀπὸ τοῦ Α ὄμματος ἀκτῖνες ἤχθωσαν αἱ ΑΓ, Α∠, ΑΖ. οὐκοῦν τὸ Β μείζονας ἔχει τὰς ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἀκτῖνας ἠγμένας ἤπερ τὸ Κ. μεῖζον ἄρα διάστημα διελεύσεται καὶ ὕστερον παραλλάσσον τὴν Α ὄψιν δόξει βραδύτερον φέρεσθαι.

Ἄλλως.

Φερέσθω γὰρ δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ζ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΑ, ΖΒ, ΖΕ, Ζ∠. λέγω, ὅτι τὸ πόρρω τὸ Α δοκεῖ βραδύτερον φέρεσθαι τοῦ Β. ἐπεὶ γὰρ [*](1. νγ΄] om v, ξδ΄ V, ξβ΄ m. 2 Vat. 2 ἔγγιον] corr. ex ἔγγειον V, ut lin. 6. 4. ὁρᾶσθαι v. 7. τοῦ (alt.)] corr. ex)

Ἄλλως.

Φερέσθω δύο σημεῖα τὰ Α, Β ἐπὶ παραλλήλων εὐθειῶν τῶν Α∠, ΒΕ ὁμαλῶς· τὰς ἴσας ἄρα ἐν ἴσῳ χρόνῳ διελεύσονται. ἔστωσαν οὖν ἴσαι αἱ Α∠, ΒΕ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες ἀπὸ τοῦ Ζ ὄμματος αἱ ΖΑ, Ζ∠, ΖΒ, ΖΕ. ἐπεὶ οὖν ἐλάττων ἡ ὑπὸ ΑΖ∠ τῆς ὑπὸ ΒΖΕ γωνίας, ἔλαττον ἄρα τὸ Α∠ διάστημα τοῦ ΒΕ φανήσεται. ὥστε δόξει τὸ Α βραδύτερον φέρεσθαι.

Τοῦ ὄμματος μένοντος, τῶν δὲ ὄψεων παραφερομένων, τὰ πόρρω τῶν ὁρωμένων καταλείπεσθαι δόξει.

ἔστω ὁρώμενα τὰ Α, Γ ἐπὶ εὐθειῶν ὄντα τῶν ΑΒ, ΓΔ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΓ, Ε∠, ΕΑ, ΕΒ. λέγω, ὅτι τὸ πρὸς τῷ Α καταλείπεσθαι δόξει. προσεκβεβλήσθω ἡ Ε∠, ἄχρις [*](1. Ζ Β] ΒΖ m. 2. Α∠] corr. ex Β∠ Vat. βλέπεται] λείπεται codd. 6. Post ε lacuna 1/3 lin. V Vat. A; ε om la- cuna relicta Vat.  1 v m. 7. ἄρα] τὰ πόρρω ἄρα m. 11. ξζ΄ add. V, ξε΄ m. 2 Vat. τὰ Α, Β] om. m. 12. Α∠, ΒΕ])

Τὰ αὐξανόμενα τῶν μεγεθῶν δόξει προσάγεσθαι τῷ ὄμματι.

ἔστω ὁρώμενον μέγεθος τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΓΑ, ΓΒ. καὶ ηὐξήσθω τὸ ΒΑ καὶ ἔστω τὸ Β∠, καὶ προσπιπτέτω ἀκτὶς ἡ Γ∠. ἐπεὶ οὖν μείζων γωνία ἡ ὑπὸ ΒΓ∠ τῆς ὑπὸ ΒΓΑ, μεῖζον ἄρα φαίνεται τὸ Β∠ τοῦ ΒΑ. τὰ δὲ μείζονα ἑαυτῶν οἰόμενα ἐπαυξάνεσθαι δοκοῦσι, καὶ τὰ ἔγγιον τοῦ ὄμματος ἐλάττονα φαίνεται. τὰ ἄρα αὐξόμενα τῶν μεγεθῶν δόξει προσάγεσθαι τῷ ὄμματι.

Ὅσα ἐπὶ τῷ αὐτῷ διαστήματι κεῖται τῶν ἄκρων μὴ ἐπʼ εὐθείας τῷ μέσῳ ὄντων, τὸ ὅλον σχῆμα ὁτὲ μὲν κοῖλον, ὁτὲ δὲ κυρτὸν ποιεῖ.

ὁράσθω γὰρ τὰ ΓΒ∠ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τοῦ Κ κειμένου, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΚΓ, ΚΒ, Κ∠. οὐκοῦν τὸ ὅλον σχῆμα κοῖλον δόξει εἶναι. μετακινείσθω δὴ πάλιν τὸ ἐν τῷ μέσῳ ὁρώμενον καὶ ἔγγιον κείσθω τοῦ ὄμματος. οὐκοῦν τὸ ∠ΒΓ δόξει κυρτὸν εἶναι.

Ἐὰν τετραγώνου ἀπὸ τῆς συναφῆς τῶν διαμέτρων πρὸς ὀρθὰς ἀχθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, αἱ πλευραὶ τοῦ τετραγώνου ἴσαι φανοῦνται, καὶ αἱ διάμετροι δὲ ἴσαι φανήσονται.

ἔστω τετράγωνον τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἤχθωσαν αὐτοῦ διαγώνιοι αἱ ∠Β, ΓΑ, καὶ ἀνήχθω πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ Ε τῷ ἐπιπέδῳ μετέωρος εὐθεῖα ἡ ΕΖ, ἐφʼ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Ζ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΑ, ΖΒ, Ζ∠, ΖΓ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ∠Ε τῇ ΕΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΕΖ, καὶ αἱ γωνίαι ὁρθαί, βάσις ἄρα ἡ ΖΓ βάσει τῇ ΔΖ ἴση ἐστίν, καὶ τῶν πρὸς ταῖς βάσεσι γωνιῶν ἐκεῖναι ἴσαι, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΖΓ τῇ ὑπὸ ΕΖ∠. ἴση ἄρα φανήσεται ἡ ΕΓ τῇ Ε∠. ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ ΑΖΕ τῇ ὑπὸ ΒΖΕ ἴση ἐστίν. ἴση ἄρα φανήσεται ἡ ΑΓ τῇ Β∠. [*](1. τοῦ (alt.)] τό m. Κ] corr. ex κέντρου m. 2 Vat., κέν- τρου v. 3. μετακεκινήσθω m. 4. τό] τῷ v. ἔγγιον] ι in ras. V. ἔγγιον κείσθω] ἔστω ἔγγιον Vat. v. 6 νηʹ] om v, οα΄  V, ξθ΄ m. 2 Vat. 8. τό] om. m. 10. δέ] om. Vat v. φανήσονται] hic des. Vat. 1. 11. ἤχθω Vat. v. 12. δια- γώνιοι] -ιοι in ras. V. ἀνήχθωσαν v. 15. προσπιπτέτ v. comp. Vat. 18. αἱ] om. codd. 19. ἐστί Vat. m. 21. ὑφʼ)

Τῆς δὲ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὴν συναφὴν τῶν διαμέτρων μήτε πρὸς ὀρθὰς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴσης ἑκατέρᾳ τῶν ἀπὸ τῆς συναφῆς πρὸς τὰς γωνίας τοῦ τετραγώνου ἀγομένων μήτε ἴσας γωνίας ποιούσης μετʼ αὐτῶν αἱ διάμετροι ἄνισοι φανήσονται. ὁμοίως γὰρ δείξομεν τὰ συμβαίνοντα, καθάπερ καὶ ἐν τοῖς κύκλοις.