Optica

Τὸ δοθὲν μῆκος ἐπιγνῶναι, πηλίκον ἐστίν. ἔστω τὸ δοθὲν μῆκος τὸ ΑΒ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ δέον ἔστω τὸ ΑΒ μῆκος γνῶναι, πηλίκον ἐστίν προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΓΑ, ΓΒ, καὶ εἰλήφθω ἐγγὺς τοῦ ὄμματος τοῦ Γ ἐπὶ τῆς ἀκτῖνος τυχὸν σημεῖον τὸ ∠, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ ∠ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος εὐθεῖα ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΑΒΓ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΒΑ ἦκται ἡ ∠Ε, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ πρὸς τὴν ΑΒ. ἀλλʼ ὁ τῆς Γ∠ πρὸς τὴν ∠Ε λόγος ἐστὶ γνώριμος· καὶ ὁ τῆς ΑΓ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος γνώριμός ἐστιν. καὶ γνώριμός ἐστιν ἡ ΑΓ. γνώριμος ἄρα καὶ ἡ ΑΒ.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν τὸ ὄμμα, κύκλου περιφέρεια τεθῇ, ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια εὐθεῖα γραμμὴ φαίνεται.

ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΓ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κειμένη τῷ ὄμματι τῷ Α, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν [*](1. Ante ἔστιν del. comp. ἄρα B. 4. καί (alt.)] om B Vat. v. 5. ἐστι Vat. 6. κα΄] κβ΄ codd. 9. καί ] om. v)

Ἄλλως.

Δυνατὸν δὲ καὶ ἐπʼ αὐτῶν τῶν ὄψεων ταῦτα λέγειν, ὅτι ἐλαχίστη μὲν ἡ μεταξὺ τοῦ Α ὄμματος καὶ τῆς διαμέτρου, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον αὐτῆς ἐλάττων τῆς ἀπώτερον. ταὐτὰ δὲ συμβαίνει καὶ [ἐὰν] καθέτου ἐπʼ αὐτὴν οὔσης τῆς Α Ζ. διὰ τοῦτο φαντασίαν εὐθείας ἀποστέλλει ἡ περιφέρεια, καὶ μάλιστα εἰ ἀπὸ πλείονος φαίνοιτο διαστήματος ὥστε μὴ συναισθάνεσθαι ἡμᾶς τῆς κυρτότητος. διὰ τοῦτο καὶ οἱ μὴ πάνυ ἀποτεταμένοι κάλοι ἐκ πλαγίου μὲν ὁρώμενοι ἐγχάλασμα ἔχειν [*](2. ΒΓ] ΓΒ Va. 5. KB]  BK m. 6. ΚΖ] ΚΓ Bv. 8. ΚΒ] ΒΚ v. 9 ὑπό] supra scr. m. 2 V. ΚΑB] ΚΒ)

Ἄλλως.

Ἐὰν ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ τῷ ὄμματι κύκλου περιφέρεια τεθῇ, εὐθεῖα γραμμὴ ἡ τοῦ κύκλου περιφέρεια φαίνεται.

ἔστω κύκλου περιφέρεια ἡ ΒΓ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ὄν τῇ ΒΓ περιφερείᾳ, ἀφʼ οὗ προσπιπτέτωσαν ὄψεις αἱ ∠Β, ∠Ζ, ∠Γ. οὐκοῦν, ἐπειδὴ τῶν ὁρωμένων οὐδὲν ὅλον ἅμα ὁρᾶται, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΖ. ὁμοίως δὴ καὶ ἡ ΖΓ. ὅλη ἄρα ἡ ΒΓ περιφέρεια εὐθεῖα δόξει.

Σφαίρας ὁπωσδηποτοῦν ὁρωμένης ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ἔλασσον ἀεὶ ἡμισφαιρίου φαίνεται, αὐτὸ δὲ τὸ ὁρώμενον τῆς σφαίρας μέρος κύκλου περιφέρεια φαίνεται.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον μὲν τὸ Α, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Β. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω τὸ διὰ τῆς ΒΑ ἐπίπεδον. ποιήσει οὖν τομὴν· κύκλον. ποιείτω τὸν Γ∠ΘΗ κύκλον, καὶ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ κύκλος γεγράφθω ὁ ΓΒ∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ΓΒ, Β∠, Α∠, ΑΓ. ἐπεὶ οὖν ἡμικύκλιόν ἐστι τὸ ΑΓΒ, ὀρθὴ γωνία ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΒ· ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ Β∠Α. [*](1. δοκοῦσι v εὐθεῖς] -θεῖς in ras. V, εὐσθεῖς v, εὐθέσ Vat. 1 m. 4. ἄλλως] κε΄ V Vat. v (B?), ἄλλως τὸ αὐτό Vat. 1m.)

Τοῦ ὄμματος προσιόντος τῇ σφαίρᾳ ἔλαττον ἔσται τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον μὲν τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφʼ οὗ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ΑΒ. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΒ κύκλος ὁ ΓΒ∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα εὐθεῖα [*](1. ΒΔ] corr ex ∠ B οὖν] om. B Vat. v. 5. ΒΓΚ]| ΒΚΓ B Vat. v. 7. AB] KB m, m. 2 Vat v. 13. φαίρεσθαι m.)

Σφαίρας διὰ δύο ὀμμάτων ὁρωμένης ἐὰν ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας ἴση ᾖ τῇ εὐθείᾳ, ἐφʼ ἣν διεστήκασι τὰ ὄμματα ἀπʼ ἀλλήλων, τὸ ἡμισφαίριον αὐτῆς ὀφθήσεται ὅλον.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α, καὶ γεγράφθω ἐν τῇ σφαίρᾳ περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ, καὶ ἤχθω διάμετρος αὐτοῦ ἡ ΒΓ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ πρὸς ὀρθὰς αἱ Β∠, ΓΕ, τῇ δὲ ΒΓ παράλληλος ἔστω ἡ ∠Ε, ἐφʼ ἧς κείσθω τὰ ὄμματα τὰ ∠, Ε. λέγω, ὅτι τὸ ἡμισφαίριον ὅλον ὀφθήσεται. ἤχθω διὰ τοῦ Α ἑκατέρᾳ τῶν Β∠, ΓΕ παράλληλος ἡ ΑΖ τὸ ΑΒ∠Ζ ἄρα παραλληλόγραμμόν ἐστιν. ἐὰν δὴ μενούσης τῆς Α περιενεχθὲν εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι τὸ περιενεχθὲν σχῆμα, ἄρξεται μὲν ἀπὸ τοῦ Β, ἐλεύσεται δὲ καὶ ἐπὶ τὸ Γ καὶ τὸ Β, καὶ τὸ περιγραφὲν ὑπὸ τῆς ΑΒ σχῆμα κύκλος ἔσται, ὅς γε διὰ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας ἐστίν. ἡμισφαίριον ἄρα ὀφθήσεται ὑπὸ τῶν ∠, Ε ὀμμάτων.

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα μεῖζον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, μεῖζον τοῦ ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται τῆς σφαίρας.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α, καὶ περιγεγράφθω περὶ κέντρον τὸ Α κύκλος ὁ ΕΘ∠Η, ὄμματα δὲ τὰ Β, Γ, καὶ ἔστω τὸ διάστημα τὸ μεταξὺ τῶν Β, Γ ὄψεων μεῖζον τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, καὶ ἐπεζεύχθω [*](1. σφαῖρα] Cα m, ut alibi 3 ΒΓ] ΒΝ V. Ν v. 5 Β∠] ∠ in ras. V 9 ὄματα v. 13. παραλληλό-)

Ἐὰν τὸ τῶν ὀμμάτων διάστημα ἔλαττον ᾖ τῆς ἐν τῇ σφαίρᾳ διαμέτρου, ἔλαττον ἡμισφαιρίου ὀφθήσεται.

ἔστω σφαῖρα, ἧς κέντρον τὸ Α σημεῖον, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α σημεῖον κύκλος ὁ ΒΓ, καὶ κείσθω τὸ διάστημα τῶν ὀμμάτων τὸ γεγράφθωΕ ἔλασσον ὄν τῆς ἐν [*](1. ΒΓ] ΒΝ v. 3 προσεκβεβλήσθω V B Vat. vm. συμβαλοῦσι B Vat. v. 5 συμβαλλέτω Bv Vat., sed corr. 6 τῶν] τοῦ Vat. 8. ∠Θ E] e corr. V. ΘΕ Bv, δὲ Θ Ε Vat., sed corr.; ∠Θ Vat. 1 m. ἔλασσον B Vat. v. τό] τὸ δέ Vat. v. 10 μεῖζον] om v, m. 2 Vat ἤ] om v, m. 2 Vat. ἥμισυ)

Κυλίνδρου ὁπωσδηποτοῦν ὑπὸ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικυλινδρίου ὀφθήσεται.

ἔστω κύλινδρος, οὗ ἔστω κέντρον τῆς βάσεως τὸ Α σημεῖον, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ Α κύκλος ὁ ΒΓ καὶ κείσθω ὄμμα τὸ ∠ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ κείμενον τῇ βάσει τοῦ κυλίνδρου τῇ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ ∠ ἐπὶ τὸ Α ἡ ∠Α, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ ∠ ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ. καὶ ἐφαπτέσθωσαν τοῦ κύκλου, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς πλευραὶ τοῦ κυλίνδρου αἱ ΒΕ, ΓΖ, καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν ∠Β, ΒΕ [*](2. ἔλαττον Vat, comp B. 3 ἐκβεβλήσθω Vat. v, comp B 4. Γ, Η, Β] ΓΒΗ m. μέτρη Vat., corr. m 2. 5. ἔλασσον v,)

εἰ δὲ ὑπὸ δύο ὀμμάτων ὁρῷτο, φανερόν, ὅτι καὶ ἐπʼ αὐτοῦ συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας εἰρημένα.

Ἄλλως.

Ἔστω κύκλος, οὗ ἔστω κέντρον τὸ Α, σημεῖον δὲ ἐκτὸς ἔστω τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Ζ ἡ ΑΖ, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΖ πρὸς ὀρθὰς ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ἡ Γ∠· ἡ Γ∠ ἄρα διάμετρός ἐστι τοῦ κύκλου. καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΑΖ κύκλος ὁ ΑΒΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΖ, ΖΕ, ΕΑ. αἱ ΖΒ, ΖΕ ἄρα ἐφάπτονται, ἐπειδήπερ αἱ πρὸς τοῖς Β, Ε σημείοις εἰσὶν ὀρθαί. ἐπεὶ οὖν ἀπό τινος σημείου τοῦ πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ ΒΖ, ΖΕ, τὸ ΒΕ ἄρα μέρος ὁραθήσεται τοῦ κύκλου. ἔστι δὲ τὸ ΓΒΕ∠ ἡμικύκλιον. τὸ ΒΕ ἄρα ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυκλίου.

τοῦτο δὲ τὸ θεώρημα γέγονε πρὸς τοὺς κώνους τε καὶ τοὺς κυλίνδρους. ἐὰν γὰρ ἀπὸ τῶν Β, Ε σημείων ἀχθῶσι πρὸς ὀρθὰς αἱ πλευραὶ τῶν κυλίνδρων, ἐφάψονται αὐτῶν, καθ᾿ ὃ μέρος καὶ αἱ. ἀκτῖνες προσπίπτουσι, καὶ ἀποκλεισθήσεται τὸ Β∠Ε μέρος τῆς ὄψεως, θεωρηθήσεται δὲ τὸ ΒΕ μέρος τοῦ ἡμικυκλίου. τὸ αὐτὸ ἄρα μέρος καὶ τῶν κώνων θεωρηθήσεται τὸ ἔλαττον.

Τοῦ ὄμματος τεθέντος ἔγγιον τοῦ κυλίνδρου ἔλαττον μέν ἐστι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ἀκτίνων τοῦ κυλίνδρου, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω κύλινδρος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κέντρον δὲ τὸ Α, ὄμμα δὲ τὸ Ε, ἀφ᾿ οὗ ἐπεζεύχθω ἐπὶ τὸ κέντρον ἡ ΕΑ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΒ, ΕΓ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν Β, Γ σημείων πρὸς ὀρθὰς τῷ κυλίνδρῳ αἱ ΓΖ, ΒΗ. διὰ δὴ τὰ πρότερα τὸ ΗΒΓΖ ἔλαττόν ἐστιν ἡμικυλινδρίου· καὶ βλέπεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον τὸ Θ. λέγω, ὅτι τὸ περιλαμβανόμενον ὑπὸ τοῦ Θ ὄμματος δοκεῖ τοῦ ΖΓΒΗ μεῖζον φαίνεσθαι ἔλαττον αὐτοῦ ὄν. [*](4. προσπίπτουσῖ m, προσπιπτ Bv, ut saepe. 7. καί] postea add. V, om. Bv, m. 2 Vat. τῶν κώνων] VBVat. v, τῶν κώνων καὶ τῶν κυλίνδρων Vat.1 m, τοῦ κυλίνδρου m. 2 V, κυλίνδρων supra scr. Vat. m. 2. 8. Post ἔλαττον add. :~ ἑξῆς V. 9. κθ΄] λγ΄ V, λα΄ Vat. v. 10. Post prius τοῦ ras. 1 litt. V. ἔγγιον] corr. ex ἔγγειον V, item lin. 19. 14. ἐπεζεύχθωσαν v. 16. ἀνήχθω Vat., comp. B. τῶν] corr. ex τοῦ Vat. σημείου Vat., sed corr. 17. πρότε m, πρότερον BVat. 19. τό (alt.)] τοῦ m. 21. ΖΓΒΗ] ΓΖΒΗ v.)

Κώνου κύκλον ἔχοντος τὴν βάσιν καὶ πρὸς ὀρθὰς αὐτῇ τὸν ἄξονα ὑπὸ τοῦ ἑνὸς ὄμματος ὁρωμένου ἔλαττον ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ. καὶ ἐπεὶ προσπεπτώκασιν ἀκτῖνες αἱ ∠Γ, ∠Β ἐφαπτόμεναι τοῦ ΒΓ, τὸ ΒΓ ἄρα ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου διὰ τὰ προαποδεδειγμένα. ἤχθωσαν ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ κώνου τῆς Α ἐπὶ τὰ Β, Γ σημεῖα πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΑΒ, ΑΓ. τὸ ἄρα ἐμπεριλαμβανόμενον ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΑΓ εὐθειῶν καὶ τοῦ ΒΓ τομέως ἔλαττόν ἐστιν ἡμικωνίου, ἐπειδήπερ καὶ τὸ ΒΓ ἔλασσόν ἐστιν ἡμικυκλίου. ἔλασσον ἄρα ἡμικωνίου ὀφθήσεται.

Τοῦ δὲ ὄμματος ἔγγιον τεθέντος ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἐν ᾧ ἐστιν ἡ βάσις τοῦ κώνου, ἔλαττον μὲν ἔσται τὸ ὑπὸ τῶν ὄψεων ἐμπεριλαμβανόμενον μέρος, δόξει δὲ μεῖζον ὁρᾶσθαι.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΑΒ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠, καὶ εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω εὐθεῖα ἡ ∠Λ, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Α, ∠Β, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΑΓ, ΓΒ. οὐκοῦν ὑπὸ τοῦ ∠ ὄμματος καὶ τῶν ∠Α, ∠Β ὄψεων ἐμπεριλαμβάνεται τὸ ΑΒΓ μέρος τοῦ κώνου, καί ἐστιν ἔλαττον ἡμικωνίου. μετακείσθω δὴ τὸ ὄμμα ἔγγιον καὶ ἔστω τὸ Ε, καὶ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΕΖ, ΕΗ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ πλευραὶ αἱ ΖΓ, ΓΗ. πάλιν οὖν ἐμπεριλαμβάνεται ὑπὸ τοῦ Ε ὄμματος καὶ τῶν ΕΖ, ΕΗ ὄψεων τὸ ΖΓΗ μέρος τοῦ κώνου. ἔστι δὲ τὸ ΖΓΗ τοῦ ΑΒΓ ἔλασσον· δοκεῖ δὲ μεῖζον φαίνεσθαι, ἐπειδὴ μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΖΕΗ γωνία τῆς ὑπὸ Α∠Β γωνίας.

φανερὸν δέ, ὅτι καὶ ἐπὶ κώνου ὑπὸ τῶν δύο ὀμμάτων ὁρωμένου συμβήσεται τὰ ἐπὶ τῆς σφαίρας καὶ τοῦ κυλίνδρου τῶν ὁμοίως ὁρωμένων συμβαίνοντα.

Ἐὰν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν τοῦ κώνου βάσιν προσπίπτωσιν ἀκτῖνες, ἀπὸ δὲ τῶν προσπιπτουσῶν ἀκτίνων καὶ ἐφαπτομένων ἀπὸ τῶν ἁφῶν εὐθεῖαι ἀχθῶσι διὰ τῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου πρὸς τὴν κορυφὴν αὐτοῦ, διὰ δὲ τῶν ἀχθεισῶν καὶ τῶν ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὴν βάσιν τοῦ κώνου προσπιπτουσῶν ἐπίπεδα ἐκβληθῇ, ἐπὶ δὲ τῆς συναφῆς αὐτῶν, τουτέστιν ἐπὶ τῆς κοινῆς τομῆς τῶν ἐπιπέδων, τὸ ὄμμα τεθῇ, τὸ ὁρώμενον τοῦ κώνου διὰ παντὸς ἴσον ὀφθήσεται τῆς ὄψεως ἐπὶ παραλλήλου ἐπιπέδου τῷ προϋποκειμένῳ ἐπιπέδῳ ὑπαρχούσης.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ ∠, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ∠Ζ, ∠Γ, καὶ ἀνήχθωσαν ἀπὸ τῶν συναφῶν τῶν Ζ, Γ πρὸς τὴν κορυφὴν τοῦ κώνου τὴν Α πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΖΑ, ΓΑ, καὶ ἐκβεβλήσθω τό τε διὰ τῶν ∠Ζ, ΖΑ ἐπίπεδον καὶ τὸ διὰ τῶν Γ∠, ΓΑ. ποιήσει ἄρα τὴν κοινὴν τομὴν εὐθεῖαν. ἔστω ἡ ΑΕ∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ μετατεθῇ τὸ ὄμμα, τὸ ἴσον τοῦ κώνου ὀφθήσεται, ὅσον καὶ ὑπὸ τῶν ∠Γ, ∠Ζ ἀκτίνων ἐβλέπετο. κείσθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΕ∠ τὸ ὄμμα τὸ Ε, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες πρὸς [*](1. λβ΄] λϛ΄ V, λδ΄ BVat. v. 3. προσπίπτωσιν] προσπιπτ B, προσπιπτέτωσαν v, Vat., corr. m. 2. 4. τῶν] corr. ex τόν v. ἁφῶν] ἐπαφῶν m. 8. κοινῆς] κοινῶν Bv, κοι Vat. 11. ὑπαρ B, Vat., corr. m. 2; ὑπάρχουσα v. 13. κῶνος] comp. B, κῶνον v. 14. προσπιπτέτ B. 15. ∠Ζ, ∠Γ] ∠Γ, ∠Ζ BVat. v. ∠Γ] corr. ex ∠Ν V. 18 ΖΑ] om. Bv, m. 2 Vat. Γ∠] ∠Γ BVat. v. 19. ποιείσει v. εὐθεῖαν] εὐθν BVat., εὐθεῖα v. 20. ἐπί] corr. ex ἐπεί m. τῆς] τ)

Πάλιν δέ γε τοῦ ὄμματος μετατεθέντος ἀπὸ τοῦ ταπεινοῦ μετεώρου μὲν τοῦ ὄμματος τεθέντος μεῖζον μὲν ἔσται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον, δόξει δὲ ἔλασσον φαίνεσθαι, ταπεινοτέρου δὲ ἔλασσον μὲν ἔσται, δόξει δὲ μεῖζον φαίνεσθαι.

ἔστω κῶνος, οὗ βάσις μὲν ὁ ΒΓ κύκλος, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, καὶ ἔστωσαν αἱ πλευραὶ τοῦ κώνου αἱ ΒΑ, ΑΓ. ἐπεζεύχθω ἡ ΒΓ, καὶ προσεκβεβλήσθω τῇ ΒΓ ἡ ΒΗ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ τυχόντος τοῦ Θ σημείου τῇ ΑΒ παράλληλος ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι μεῖζον μὲν ἔσται, ἔλασσον δὲ ὀφθήσεται τοῦ κώνου τὸ ὁρώμενον τοῦ ὄμματος τεθέντος ἐπὶ τοῦ Θ σημείου ἤπερ [*](3. φαίρονται v. ἐκτός] ν supra scr. m. 2 V, ἐντός B Vat.1 m. 4. Α ΑΖ] corr. ex ΑΓΖ m. 2 V, mut. in ΑΓΖ m. 2 Vat., ΑΓ, ΖΑ Vat.1. κλαισθήσονται v. 8. Post ἄν del. αἱ m. τῆς] τοῦ Vat., τήν v. 9. περιε Vat., περιέχει v. 10. εἴπερ] mut. in ὅπερ m. 2 Vat., ὅπερ Vm. ἔλαττον Vat. v. δέ] ἄρα v. 13. λγ΄] λζ΄ V, λε΄ Vat. v. 14. μετα-)

Ἐὰν κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνασταθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, αἱ διάμετροι αἱ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ διαγόμεναι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται.

ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α σημεῖον, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἀνήχθω τις πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἐφ᾿ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Β. λέγω, ὅτι αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται. ἔστωσαν δύο διάμετροι αἱ [*](1. τοῦ] τό m. 2. Η] e corr. V. τό (alt.)] corr. ex τά m. 2 Vat. 3. τεθέντος] τέθειται Vat., corr. m. 2. 5. ἔσται] om. codd. τό — 6. ἴσον δέ] m. 2 Vat. 5. τῷ] τό Bv.)

κἂν ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ, ἴση δὲ ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, αἱ διάμετροι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται.

ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ ἤχθωσαν εἰς αὐτὸν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ∠, καὶ ἔστω ἡ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἀναγομένη, ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα κεῖται τὸ Ζ, μὴ πρὸς ὀρθάς, ἀλλὰ ἴση ἑκάστῃ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΑ, ΖΓ, ΖΒ, Ζ∠. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΑ ἴση ἐστὶ τῇ ΕΖ, αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΕΖ, ΕΑ, ΕΒ ἴσαι εἰσίν. τὸ ἄρα ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΕΖ ἐπιπέδῳ περὶ τὴν ΑΒ διάμετρον ἡμικύκλιον γραφόμενον ἐλεύσεται διὰ τοῦ Ζ. ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ [*](2. τῇ] τῆς Vat. v. ΑΓ] in ras. V. κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ] supra scr. V; del. est: ἴση ἔσται καὶ ἡ γα τῇ αβ. 3 καὶ γωνίαι ὀρθαί Vat. v. αἱ] om. Vm. ΒΖ] ΒΖ Vat. v. ΒΓ] in ras. V, ΑΓ m. 4. ἐστιν ἴση Vat. vm. 5. τῶν (utrumque)] om. Vat. Vat.1 vm. ΒΑ] Α Vat.1 m, Β del. V Vat. ΑΒ] Β del. V. ΒΓ] Β del. Vat., Γ Vat. 1 m, Γ in ras. V. 6. ΕΒΑ] ΕΑΒ v, et Vat., sed corr. τῇ ὑπό] postea add. V. ΑΒ∠])

ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ∠ΑΖ, ΖΑΓ καὶ τὰς ὑπὸ ΕΑΖ, ΖΑΒ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσα φανήσονται αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας.

ἐπεὶ γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ μὲν ΓΑ, ΑΖ ταῖς ΖΑ, Α∠, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΖ ταῖς ΖΑ, ΑΕ, καὶ αἱ γωνίαι ἴσαι, βάσις ἄρα ἡ ∠Ζ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΑ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΖΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κα ἡ ὑπὸ ΕΖΑ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ. ὥστε καὶ αἱ ∠Β, ΕΓ διάμετροι ἴσαι φανήσονται.

Ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον τοῦ κύκλου προσπίπτουσα μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου μήτε τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα, αἱ διάμετροι ἄνισοι φανήσονται πρὸς ἃς ποιεῖ ἀνίσους γωνίας.

ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ ἤχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΓ, Β∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἀναγομένη, ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα κεῖται, ἡ ΖΕ μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ΑΓ, ∠Β. λέγω, ὅτι ἄνισοι ὀφθήσονται αἱ ΑΓ, ∠Β διάμετροι. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΖΓ, ΖΑ, Ζ∠, ΖΒ. ἤτοι οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἐλάσσων. διὰ ταῦτα δὴ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠Ζ, ΖΒ τῆς ὑπὸ ΓΖ, ΖΑ ἢ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τῆς ὑπὸ ∠Ζ, ΖΒ, ὡς ἑξῆς δείξομεν. ἄνισοι ἄρα αἱ διάμετροι ὀφθήσονται.

Λῆμμα.

Ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφ᾿ οὗ ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α, ἀλλ᾿ ἐκτός, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ ἡ ΑΓ καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΑΒ. λέγω, ὅτι πασῶν τῶν γωνιῶν τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ. ἤχθω [*](2. τέμνουσιν Vat., sed corr. 3. ἀναγομένη] prius α in ras. V. 4. ΖΕ] ΕΖ Vat. v. 11. ∠Β] Β∠ Vat. v. 13. Ζ∠, ΖΒ] ΖΒ, Ζ∠ Vat. v. μεῖζον v. 14. ἐλάττων v. ταῦτα] τὰ αὐτά Vm. 15. ∠Ζ, ΖΒ] ∠ΖΒ Vat.1 m, e. corr. V. ΓΖ,)

καὶ φανερόν, ὅτι, ἐὰν διαχθῇ τις καὶ ἄλλη εὐθεῖα διὰ τοῦ Α ὡς ἡ ΑΘ πορρώτερον οὖσα τῆς ΑΓ ἤπερ ἡ ΑΖ, μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΑΘ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ. ἀχθείσης γὰρ πάλιν καθέτου ἐπὶ τὴν ΑΘ τῆς ΓΚ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΚ κάθετος ἔσται ὁμοίως ἐπὶ τὴν ΑΘ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἡ ΑΛ τῆς ΑΚ (ὀρθὴν γὰρ ὑποτείνει τὴν ὑπὸ ΑΚΛ), πολλῷ ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΑΚ μείζων [*](1. διά] in ras. V. τοῦ] corr. ex τό m. 2 V. εὐθεῖα] m. 2 Vat.; σημείου v, Vat. m. 1. 2. ἐλάσσων] ἐλαχίστη Vm, ἔλασσον v. 3. ∠E] ΑΕ v (in Vat. ∠ Α difficillime dignoscuntur). τῷ] τῷ ὑποκειμένῳ Vat. v. 4. ΒΖ] ΖΒ Vat. v.)

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, οὗ κέντρον τὸ Ζ, ἐν ᾧ εὐθεῖαι ἤχθωσαν διὰ τῶν Α, Β, Γ, ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφ᾿ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη πρὸς ὀρθὰς τῇ Γ∠, πρὸς δὲ [*](1. ἐστίν] ἐστί Vat. vm. ΒΖΑ] ΖΒ Vat. v. ἔλαττον v, ἐλάττων Vat. 3. ΒΖ] ΖΒ Vat.1 m. τῆς] τῶν Vat. 4. μεῖζον v. δέ] corr. in ἄρα V, ἄρα Vat. Vat.1 mv. 6. δια- γομένων] δια- in ras. V. 7. ἐπεί] καὶ ἐπεί Vat. v. 11. ΜΝ] corr. ex ΜΓ Vat. ΕΓ] om. m. 13. περιέχουσι v. 15. ΒΝ] ΒΗ m. 16. τῇ] τῆς Vat. 17. ΝΑΒ] e corr. V. 18. μγ΄ V, μα΄ m. 2 Vat. κέτρον v. 19. ἤχθωσαν] ἤχθγ Vat. ἀλλήλαις m. 20. τὸ κέντρον] τοῦ κέντρου m. 21. τῇ] corr. ex ἡ V.)

ἔστω ἐλάττων ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἀλλὰ δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον· ἡ γὰρ πρότερον μείζων νῦν ἐλάσσων φανήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων μείζων. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ἑτέρα δέ τις τυχοῦσα διήχθω ἡ ΕΖ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Θ, ἀφ᾿ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΗΘ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου. καὶ κείσθω τᾖ τοῦ κύκλου [*](2. ΑΤ] corr. ex ΑΓ Vat., ΑΓ m. ἐπειζευχθήσεις v. 5 ὑπό] ἀπό v. 6. Ξ] Ζ m. 7 ΝΞ] ΝΖ m. 8. ΛΞΜ ΛΜΖ Vat., sed corr. 9. αὐτῆς Vat. v ὑπερπίπτει v, Vat., sed corr. 10. πίπτει v. Π] in ras. V. 12 ΠΝΛ] Λ in ras. V. ΕΖ τῆ σης v. ΕΖΗ] ΖΗ v. 14 ΟΝΜ] ΟΜΝ m. 15. ΗΕΘ] in ras. V. ἴσαι εἰσίν] ἴση)

Τῶν ἁρμάτων οἱ τροχοὶ ποτὲ μὲν κυκλοειδεῖς φαίνονται, ποτὲ δὲ παρεσπασμένοι.

ἔστω τροχὸς ὁ ΑΒΓ∠, καὶ διήχθωσαν διάμετροι αἱ ΒΑ, Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ κείσθω ὄμμα μὴ ἐν τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου. ἐὰν ἄρα ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ ἢ ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, αἱ διάμετροι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται· ὥστε ὁ τροχὸς κυκλοειδὴς φαίνεται. ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, αἱ διάμετροι ἄνισοι φανήσονται, μία μὲν μεγίστη μία δὲ ἐλαχίστη, πάσῃ δὲ ἄλλῃ μεταξὺ τῆς μεγίστης καὶ τῆς ἐλαχίστης διηγμένῃ ἄλλη μία μόνον ὀφθήσεται ἴση ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη διηγμένη· ὥστε ὁ τροχὸς παρεσπασμένος φαίνεται.

Ἔστι τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μένοντος, τοῦ δὲ ὁρωμένου μεθισταμένου, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

ἔστω ὄμμα τὸ Α, ὁρώμενον δὲ μέγεθος τὸ ΒΓ, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΑΒ, ΑΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΑΒΓ κύκλος ὁ ΑΒΓ. λέγω, ὅτι [*](2. ὑπό] δὲ ὑπό m. ΕΘ, ΘΖ] ΕΘΖ m. ΘΖ] corr. ex ΘΕ Vat. 3. περιεχομένη m. 5. λϚ΄] om. v, με΄ V, μγʹ A,)

μεθιστάσθω γὰρ καὶ ἔστω τὸ ∠Γ, τῇ δὲ ΑΒ ἴση ἔστω ἡ Α∠. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ Α∠, ἡ δὲ ΒΓ τῇ Γ∠, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΒΑΓ τῇ ∠ΑΓ. καὶ γὰρ ἐπὶ ἴσων περιφερειῶν εἰσιν· ὥστε ἴσαι εἰσίν. ἴσον ἄρα φανήσεται τὸ ὁρώμενον.

τὸ αὐτὸ δὲ συμβήσεται, καὶ εἰ τὸ ὄμμα ἐπὶ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου μένοι, τὸ δὲ ὁρώμενον ἐπὶ τῆς περιφερείας μεταβαίνοι.

Ἔστι τις τόπος, οὗ τοῦ ὄμματος μεθισταμένου, τοῦ δὲ ὁρωμένου μένοντος, ἀεὶ ἴσον τὸ ὁρώμενον φαίνεται.

ἔστω γὰρ ὁρώμενον μὲν τὸ ΒΓ, ὄμμα δὲ τὸ Ζ, ἀφ᾿ οὗ προσπιπτέτωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΒ, ΖΓ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΒΖΓ τρίγωνον τμῆμά τι κύκλου τὸ ΒΖΓ, καὶ μετακείσθω τὸ Ζ ὄμμα ἐπὶ τὸ ∠, καὶ μεταπιπτέτωσαν αἱ ἀκτῖνες αἱ ∠Β, ∠Γ. οὐκοῦν ἴση ἡ ∠ γωνία τῇ Ζ· ἐν γὰρ τῷ αὐτῷ τμήματί εἰσιν. τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴσον ἄρα τὸ ΒΓ διὰ παντὸς φανεῖται τοῦ ὄμματος μεθισταμένου ἐπὶ τῆς Β∠Γ περιφερείας.

Ἐὰν μέγεθός τι πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ὑποκειμένῳ ἐπιπέδῳ, τεθῇ δὲ τὸ ὄμμα ἐπί τι σημεῖον τοῦ ἐπιπέδου καὶ μεθίστηται τὸ ὁρώμενον ἐπὶ κύκλου περιφερείας κέντρον ἔχοντος τὸ ὄμμα, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται κατὰ παράλληλον θέσιν τῇ ἐξ ἀρχῆς μεταβαῖνον.

ἔστω ὁρώμενόν τι μέγεθος τὸ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ὂν τῷ ἐπιπέδῳ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Γ. καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΒ, καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Γ, διαστήματι δὲ τῷ ΓΒ κύκλος γεγράφθω ὁ Β∠. λέγω, ὅτι, ἐὰν ἐπὶ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας μεθίστηται τὸ ΑΒ μέγεθος, ἀπὸ τοῦ Γ ὄμματος ἴσον ὀφθήσεται τὸ ΑΒ. καὶ γὰρ ἡ ΑΒ ὀρθή ἐστι καὶ ποιεῖ πρὸς τὴν ΒΓ γωνίαν ὀρθήν, πᾶσαι δὲ αἱ ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου προσπίπτουσαι πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν εὐθεῖαι ἴσας γωνίας ποιοῦσιν. ἴσον ἄρα τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται μέγεθος.

ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ Γ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνασταθῇ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, καὶ μετακινῆται τὸ ὁρώμενον μέγεθος κατὰ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας παράλληλον ὂν τῇ εὐθείᾳ, ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα, ἴσον ἀεὶ τὸ ὁρώμενον ὀφθήσεται.