Optica

Ἐὰν κύκλου πρὸς ὀρθὰς ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀνασταθῇ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ εὐθεῖα, ἐπὶ δὲ ταύτης τὸ ὄμμα τεθῇ, αἱ διάμετροι αἱ ἐν τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ διαγόμεναι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται.

ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον τὸ Α σημεῖον, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἀνήχθω τις πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΒ τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἐφ᾿ ἧς ὄμμα κείσθω τὸ Β. λέγω, ὅτι αἱ διάμετροι ἴσαι φανήσονται. ἔστωσαν δύο διάμετροι αἱ [*](1. τοῦ] τό m. 2. Η] e corr. V. τό (alt.)] corr. ex τά m. 2 Vat. 3. τεθέντος] τέθειται Vat., corr. m. 2. 5. ἔσται] om. codd. τό — 6. ἴσον δέ] m. 2 Vat. 5. τῷ] τό Bv.)

Γ∠, ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΒΕ, Β∠, ΒΖ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΖΑ τῇ ΑΓ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ, καὶ ὀρθαὶ αἱ γωνίαι, βάσις ἄρα ἡ ΖΒ βάσει τῇ ΒΓ ἴση ἐστίν, καὶ αἱ περὶ τὰς βάσεις γωνίαι. ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΖΒ, ΒΑ τῇ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ. ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ ΕΒΑ τῇ ὑπὸ ΑΒ∠. ἡ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΒ, Β∠ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ τῶν ΕΒ, ΒΖ. τὰ δ᾿ ὑπὸ τῶν ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα ἡ Γ∠ τῇ ΕΖ.

κἂν ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀχθεῖσα μὴ πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ, ἴση δὲ ᾖ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου, αἱ διάμετροι πᾶσαι ἴσαι φανήσονται.

ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ ἤχθωσαν εἰς αὐτὸν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ∠, καὶ ἔστω ἡ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἀναγομένη, ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα κεῖται τὸ Ζ, μὴ πρὸς ὀρθάς, ἀλλὰ ἴση ἑκάστῃ τῶν ἐκ τοῦ κέντρου ἡ ΖΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν ἀκτῖνες αἱ ΖΑ, ΖΓ, ΖΒ, Ζ∠. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΖ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΑ ἴση ἐστὶ τῇ ΕΖ, αἱ τρεῖς ἄρα αἱ ΕΖ, ΕΑ, ΕΒ ἴσαι εἰσίν. τὸ ἄρα ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΒ, ΕΖ ἐπιπέδῳ περὶ τὴν ΑΒ διάμετρον ἡμικύκλιον γραφόμενον ἐλεύσεται διὰ τοῦ Ζ. ὀρθὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΖ, ΖΒ. ὁμοίως καὶ ἡ ὑπὸ [*](2. τῇ] τῆς Vat. v. ΑΓ] in ras. V. κοινὴ δὲ ἡ ΑΒ] supra scr. V; del. est: ἴση ἔσται καὶ ἡ γα τῇ αβ. 3 καὶ γωνίαι ὀρθαί Vat. v. αἱ] om. Vm. ΒΖ] ΒΖ Vat. v. ΒΓ] in ras. V, ΑΓ m. 4. ἐστιν ἴση Vat. vm. 5. τῶν (utrumque)] om. Vat. Vat.1 vm. ΒΑ] Α Vat.1 m, Β del. V Vat. ΑΒ] Β del. V. ΒΓ] Β del. Vat., Γ Vat. 1 m, Γ in ras. V. 6. ΕΒΑ] ΕΑΒ v, et Vat., sed corr. τῇ ὑπό] postea add. V. ΑΒ∠])

τῶν ΓΖ, Ζ∠ ἐστιν ὀρθή. αἱ δὲ ὀρθαὶ ἴσαι, τὰ δὲ ὑπὸ ἴσων γωνιῶν ὁρώμενα ἴσα φαίνεται. ἴση ἄρα φανήσεται καὶ ἡ ΑΒ τῇ Γ∠.

ἀλλὰ δὴ ἡ ΑΖ μήτε ἴση ἔστω τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε πρὸς ὀρθὰς τῷ τοῦ κύκλου ἐπιπέδῳ, ἴσας δὲ γωνίας ποιείτω τὰς ὑπὸ ∠ΑΖ, ΖΑΓ καὶ τὰς ὑπὸ ΕΑΖ, ΖΑΒ. λέγω, ὅτι καὶ οὕτως αἱ διάμετροι ἴσα φανήσονται αἱ ποιοῦσαι τὰς ἴσας γωνίας.

ἐπεὶ γὰρ ἴσαι εἰσὶν αἱ μὲν ΓΑ, ΑΖ ταῖς ΖΑ, Α∠, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΖ ταῖς ΖΑ, ΑΕ, καὶ αἱ γωνίαι ἴσαι, βάσις ἄρα ἡ ∠Ζ βάσει τῇ ΖΓ ἴση ἐστίν· ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ ∠ΖΑ ἴση τῇ ὑπὸ ΑΖΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι κα ἡ ὑπὸ ΕΖΑ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΑΖΒ. ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ∠ΖΒ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΓ. ὥστε καὶ αἱ ∠Β, ΕΓ διάμετροι ἴσαι φανήσονται.

Ἐὰν δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος πρὸς τὸ κέντρον τοῦ κύκλου προσπίπτουσα μήτε πρὸς ὀρθὰς ᾖ τῷ ἐπιπέδῳ τοῦ κύκλου μήτε τῇ ἐκ τοῦ κέντρου ἴση μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα, αἱ διάμετροι ἄνισοι φανήσονται πρὸς ἃς ποιεῖ ἀνίσους γωνίας.

[*](1. τῶν] om. Vat.1 m. Ζ∠] Ζ del. V. ὀρθή ἐστιτ Vat. v. 4. μ΄ V, λη΄ m. 2 Vat. ἡ] καὶ ἡ Vat. v. 6. κα τὰς ὑπό] in ras. V, τὰς ὑπό om. v, m. 2 Vat. 7. οὕτως)

ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ ἤχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΓ, Β∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἀναγομένη, ἐφ᾿ ἧς τὸ ὄμμα κεῖται, ἡ ΖΕ μήτε πρὸς ὀρθὰς ἔστω τῷ ἐπιπέδῳ μήτε ἴση τῇ ἐκ τοῦ κέντρου μήτε ἴσας γωνίας περιέχουσα μετὰ τῶν ΑΓ, ∠Β. λέγω, ὅτι ἄνισοι ὀφθήσονται αἱ ΑΓ, ∠Β διάμετροι. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΖΓ, ΖΑ, Ζ∠, ΖΒ. ἤτοι οὖν μείζων ἐστὶν ἡ ΕΖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου ἢ ἐλάσσων. διὰ ταῦτα δὴ ἤτοι μείζων ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠Ζ, ΖΒ τῆς ὑπὸ ΓΖ, ΖΑ ἢ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τῆς ὑπὸ ∠Ζ, ΖΒ, ὡς ἑξῆς δείξομεν. ἄνισοι ἄρα αἱ διάμετροι ὀφθήσονται.

Λῆμμα.

Ἔστω κύκλος, οὗ κέντρον ἔστω τὸ Α σημεῖον, ὄμμα δὲ τὸ Β, ἀφ᾿ οὗ ἐπὶ τὸν κύκλον κάθετος ἀγομένη μὴ πιπτέτω ἐπὶ τὸ κέντρον τὸ Α, ἀλλ᾿ ἐκτός, καὶ ἔστω ἡ ΒΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Γ ἡ ΑΓ καὶ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὸ Β ἡ ΑΒ. λέγω, ὅτι πασῶν τῶν γωνιῶν τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ. ἤχθω [*](2. τέμνουσιν Vat., sed corr. 3. ἀναγομένη] prius α in ras. V. 4. ΖΕ] ΕΖ Vat. v. 11. ∠Β] Β∠ Vat. v. 13. Ζ∠, ΖΒ] ΖΒ, Ζ∠ Vat. v. μεῖζον v. 14. ἐλάττων v. ταῦτα] τὰ αὐτά Vm. 15. ∠Ζ, ΖΒ] ∠ΖΒ Vat.1 m, e. corr. V. ΓΖ,)

διὰ τοῦ Α εὐθεῖα ἡ ∠ΑΕ. λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΓΑΒ τῆς ὑπὸ ΕΑΒ ἐλάσσων ἐστίν. ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Γ ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετος ἐν τῷ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΖ. καὶ ἡ ΒΖ ἄρα ἐπὶ τὴν ∠Ε κάθετός ἐστιν. ἐπεὶ οὖν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΓΖΑ, ἡ ὑπὸ ΑΓΖ ἄρα ἐλάσσων ὀρθῆς. τὴν δὲ μείζονα γωνίαν ἡ μείζων πλευρὰ ὑποτείνει. μείζων ἄρα ἡ ΑΓ τῆς ΑΖ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓ, ΓΒ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ ὀρθαί εἰσιν· ὥστε εἰσὶν αἱ ΓΒ, ΒΖ ἄνισοι. καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΖΑ, ΑΒ ἄρα τῆς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ ἐστι μείζων. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται καὶ πασῶν τῶν γωνιῶν τῶν περιεχομένων ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΑΒ εὐθείᾳ γωνίαν ἐλαχίστη ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ.

καὶ φανερόν, ὅτι, ἐὰν διαχθῇ τις καὶ ἄλλη εὐθεῖα διὰ τοῦ Α ὡς ἡ ΑΘ πορρώτερον οὖσα τῆς ΑΓ ἤπερ ἡ ΑΖ, μείζων ἔσται ἡ ὑπὸ ΒΑΘ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ. ἀχθείσης γὰρ πάλιν καθέτου ἐπὶ τὴν ΑΘ τῆς ΓΚ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΒΚ κάθετος ἔσται ὁμοίως ἐπὶ τὴν ΑΘ. καὶ ἐπεὶ μείζων ἡ ΑΛ τῆς ΑΚ (ὀρθὴν γὰρ ὑποτείνει τὴν ὑπὸ ΑΚΛ), πολλῷ ἄρα ἡ ΑΖ τῆς ΑΚ μείζων [*](1. διά] in ras. V. τοῦ] corr. ex τό m. 2 V. εὐθεῖα] m. 2 Vat.; σημείου v, Vat. m. 1. 2. ἐλάσσων] ἐλαχίστη Vm, ἔλασσον v. 3. ∠E] ΑΕ v (in Vat. ∠ Α difficillime dignoscuntur). τῷ] τῷ ὑποκειμένῳ Vat. v. 4. ΒΖ] ΖΒ Vat. v.)

ἐστίν. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΒΖΑ, ΒΚΑ. ἐλάσσων μὲν ἄρα ἡ ΒΖ τῆς ΒΚ διὰ τὸ ἴσα εἶναι τά τε ἀπὸ τῶν ΒΖ, ΖΑ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΚ, ΚΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΒΑ καὶ ἀλλήλοις, μείζων δὲ πάλιν ἡ ὑπὸ ΒΑΚ τῆς ὑπὸ ΒΑΖ. πασῶν δὲ τῶν πρὸς τῇ ΒΑ γινομένων γωνιῶν ὑπὸ τῶν διὰ τοῦ Α διαγομένων μεγίστη ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΗ ἐκβληθείσης τῆς ΓΑ ἐπὶ τὸ Η, ἐπεὶ καὶ πασῶν ἐλάττων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. ἴσαι δὲ γίνονται αἱ ἴσον ἀπέχουσαι ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ΜΑ τῆς τὴν ἐλαχίστην γωνίαν περιεχούσης μετὰ τῆς ΒΑ. κείσθω γὰρ τῇ ΕΜ ἴση ἡ ΜΝ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΕΜ, ΜΝ, ΕΓ, ΓΝ, ΒΕ, ΒΝ, ΑΝ. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ ΜΝ τῇ ΜΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΜΓ, καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΓ τῃ ΓΝ. κοινὴ δὲ καὶ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΒ. ἴση ἄρα καὶ ἡ ΕΒ τῇ ΒΝ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΕΑ τῇ ΑΝ· καὶ κοινὴ ἡ ΑΒ. καὶ γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΑΒ τῇ ὑπὸ ΝΑΒ ἴση ἐστίν.

Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, οὗ κέντρον τὸ Ζ, ἐν ᾧ εὐθεῖαι ἤχθωσαν διὰ τῶν Α, Β, Γ, ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Ε, ἀφ᾿ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη πρὸς ὀρθὰς τῇ Γ∠, πρὸς δὲ [*](1. ἐστίν] ἐστί Vat. vm. ΒΖΑ] ΖΒ Vat. v. ἔλαττον v, ἐλάττων Vat. 3. ΒΖ] ΖΒ Vat.1 m. τῆς] τῶν Vat. 4. μεῖζον v. δέ] corr. in ἄρα V, ἄρα Vat. Vat.1 mv. 6. δια- γομένων] δια- in ras. V. 7. ἐπεί] καὶ ἐπεί Vat. v. 11. ΜΝ] corr. ex ΜΓ Vat. ΕΓ] om. m. 13. περιέχουσι v. 15. ΒΝ] ΒΗ m. 16. τῇ] τῆς Vat. 17. ΝΑΒ] e corr. V. 18. μγ΄ V, μα΄ m. 2 Vat. κέτρον v. 19. ἤχθωσαν] ἤχθγ Vat. ἀλλήλαις m. 20. τὸ κέντρον] τοῦ κέντρου m. 21. τῇ] corr. ex ἡ V.)

τὴν ΑΒ τυχοῦσαν γωνίαν περιεχέτω· καὶ ἔστω ἡ ΕΖ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου μείζων. λέγω, ὅτι ἄνισοι αἱ διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ∠ φανήσονται, καὶ μεγίστη μὲν ἡ Γ∠, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΒ, ἀεὶ δὲ ἡ ἔγγιον τῆς ἐλαχίστης ἐλάσσων τῆς ἀπώτερον, δύο δὲ μόνον διάμετροι ἴσαι φανήσονται ἴσον ἀπεχουσαι ἐφ᾿ ἑκάτερα τῆς ἐλαχίστης. ἐπεὶ γὰρ ἡ Γ∠ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΒ, ΕΖ ἐστι πρὸς ὀρθάς, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς Γ∠ ἐπίπεδα ἐκβαλλόμενα τῷ διὰ τῶν ΕΖ, ΑΒ ἐστι πρὸς ὀρθάς· ὥστε καὶ τὸ ὑποκείμενον τοῦ κύκλου ἐπίπεδον, ἐφ᾿ οὗ ἐστιν ἡ Γ∠. ἤχθω οὖν ἀπὸ τοῦ Ε σημείου ἐπὶ τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον κάθετος. ἐπὶ τὴν κοινὴν ἄρα τομὴν πίπτει τῶν ἐπιπέδων τὴν ΑΒ. πιπτέτω οὖν καὶ ἔστω ἡ ΕΚ, καὶ διήχθω τῇ διαμέτρῳ τοῦ κύκλου ἴση ἡ ΛΜ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Ν σημεῖον, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Ν τῇ ΛΜ πρὸς ὀρθὰς εὐθεῖα ἡ ΝΞ, καὶ ἔστω ἡ ΝΞ τῇ ΕΖ ἴση. τὸ ἄρα περὶ τὴν ΛΜ γραφόμενον τμῆμα καὶ ἐρχόμενον διὰ τοῦ Ξ μεῖζόν ἐστιν ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΝΞ μείζων ἐστὶν ἑκατέρας τῶν ΛΝ, ΝΜ. ἔστω τὸ ΛΞΜ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΛ, 5. ἐλάττονα v, comp. Vat. ἀπώτερον] ἀπότερον V Vat. v. δέ] postea add. V, om. Vat. v. 7. γάρ] οὖν Vat. Vat.1 mv: ΞΜ. ἡ ἄρα πρὸς τῷ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΛΞ, ΞΜ εὐθειῶν ἴση ἐστὶ τῇ πρὸς τῷ Ε σημείῳ τῇ περιεχομένῃ ὑπὸ τοῦ Ε καὶ τῶν Γ, ∠. συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΝ εὐθείᾳ καὶ τῷ Ν σημείῳ τῇ ὑπὸ τῶν ΗΖ, ΖΕ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΟ, καὶ κείσθω ἴση τῇ ΕΖ ἡ ΝΟ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΟ, ΟΜ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΟΜ τρίγωνον τμῆμα τὸ ΛΟΜ. ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία ἴση τῇ πρὸς τῷ Ε τῇ ὑπὸ τῶν ΗΕΘ. ἔτι συνεστάτω πρὸς τῇ ΛΝ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ν τῇ ὑπὸ τῶν ΑΖΕ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΛΝ, ΝΠ, καὶ κείσθω τῇ ΕΖ ἴση ἡ ΝΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΠ, ΠΜ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὸ ΛΠΜ τρίγωνον τμῆμα κύκλου τὸ ΛΠΜ. ἔσται δὴ καὶ ἡ πρὸς τῷ Π σημείῳ γωνία ἴση τῇ ὑπὸ ΑΕΒ γωνίᾳ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἐστὶν ἡ πρὸς τῷ Ξ τῆς πρὸς τῷ Ο, ἀλλ᾿ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ξ σημείῳ ἴση τῇ ὑπὸ ΓΕ∠, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ο τῇ ὑπὸ ΗΕΘ, μείζων ἄρα φανήσεται ἡ Γ∠ τῆς ΗΘ. πάλιν ἐπεὶ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο σημείῳ γωνία τῇ ὑπὸ ΗΕΘ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ πρὸς τῷ Π τῇ ὑπὸ ΑΕΒ, μείζων δ᾿ ἡ πρὸς τῷ Ο τῆς πρὸς τῷ Π, μείζων ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΗΕΘ τῆς ὑπὸ ΑΕΒ. μείζων ἄρα φανήσεται ἡ ΗΘ τῆς ΑΒ. πασῶν ἄρα τῶν διὰ τοῦ Ζ διαγομένων εὐθειῶν καὶ ποιουσῶν πρὸς τῇ ΕΖ γωνίας μεγίστη μὲν ὀφθήσεται ἡ Γ∠, ἐλαχίστη δὲ ἡ ΑΒ, διότι καὶ τῶν πρὸς τῷ Ε συνισταμένων γωνιῶν μεγίστη μέν ἐστιν ἡ ὑπὸ ΓΕ∠, ἐλαχίστη δὲ ἡ ὑπὸ ΑΕΒ, τῇ δὲ [*](3. τοῦ] τό v. 4. ΛΝ] ΛΗ in ras. V. Ν] πρὸς αὐτῇ m. τῶν] om. m. 5. ΗΖ] e corr. Vat. ΗΖ, ΖΕ] ΕΖΗ e corr. m. τῶν ΛΝ, ΝΟ] ΛΝΟ m. κείσθω — 6. καί (pr.)] om. m. 7. ΛΟΜ (pr.)] ΛΕΜ v. τριγώνῳ v.) ὑπὸ ΗΕΘ ἄλλη μία μόνη ἴση συσταθήσεται ἀφαιρεθείσης ἴσης τῇ ΗΑ τῆς ΑΤ καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΤΖ καὶ ἐκβληθείσης ἐπὶ τὸ Σ ἡ ὑπὸ ΤΕΣ. τοῦτο δὲ δῆλον ἀπὸ τῶν πρὸς τοῖς Ξ, Ο, Π γωνιῶν. καὶ γὰρ τούτων ἐλαχίστη μὲν ἡ Π, ἐπεὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΠΝΛ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΑ ἐλαχίστῃ γωνίᾳ, μεγίστη δὲ ἡ Ξ διὰ τὸ πρὸς ὀρθὰς εἶναι τὴν ΝΞ μεγίστην γινομένην τῶν διὰ τοῦ Ν διαγομένων εὐθειῶν ἐν τῷ ΛΞΜ τμήματι καὶ τὴν ἴσην αὐτῇ τιθεμένην ὑπερπίπτειν τὸ ΛΞΜ τμῆμα καὶ τὸ μὲν ἐσωτάτω πίπτειν τὸ δὲ Π ἐξωτάτω ἅτε μηδεμιᾶς ἐλάττονος γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ ΠΝΛ. τῆς δὲ ὑπὸ ΕΖΤ ἴσης οὔσης τῇ ὑπὸ ΕΖΗ ὡς προδέδεικται, καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ ΕΖΣ ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΕΖΘ, τουτέστι τῇ ὑπὸ ΟΝΜ. ὥστε ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΤΕΣ ΗΕΘ τῇ πρὸς τῷ Ο ἴσαι εἰσίν ἡ ἄρα ΗΘ τῇ ΤΣ ἴση φανήσεται.

ἔστω ἐλάττων ἡ ἀπὸ τοῦ ὄμματος ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευγνυμένη τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἀλλὰ δὴ περὶ τὰς διαμέτρους τοὐναντίον· ἡ γὰρ πρότερον μείζων νῦν ἐλάσσων φανήσεται, ἡ δὲ ἐλάσσων μείζων. ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ∠, καὶ διήχθωσαν δύο διάμετροι αἱ ΑΒ, Γ∠ τέμνουσαι ἀλλήλας πρὸς ὀρθάς, ἑτέρα δέ τις τυχοῦσα διήχθω ἡ ΕΖ, ὄμμα δὲ ἔστω τὸ Θ, ἀφ᾿ οὗ ἡ ἐπὶ τὸ κέντρον ἐπιζευχθεῖσα ἔστω ἡ ΗΘ ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν ἐκ τοῦ κέντρου. καὶ κείσθω τᾖ τοῦ κύκλου [*](2. ΑΤ] corr. ex ΑΓ Vat., ΑΓ m. ἐπειζευχθήσεις v. 5 ὑπό] ἀπό v. 6. Ξ] Ζ m. 7 ΝΞ] ΝΖ m. 8. ΛΞΜ ΛΜΖ Vat., sed corr. 9. αὐτῆς Vat. v ὑπερπίπτει v, Vat., sed corr. 10. πίπτει v. Π] in ras. V. 12 ΠΝΛ] Λ in ras. V. ΕΖ τῆ σης v. ΕΖΗ] ΖΗ v. 14 ΟΝΜ] ΟΜΝ m. 15. ΗΕΘ] in ras. V. ἴσαι εἰσίν] ἴση)

διαμέτρῳ ἴση ἡ ΚΛ καὶ τετμήσθω δίχα κατὰ τὸ Μ, καὶ ἀνήχθω ἀπὸ τοῦ Μ σημείου πρὸς ὀρθὰς ἡ ΜΝ, καὶ ἔστω ἴση ἡ ΜΝ τῇ ΘΗ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΚΛ καὶ τὸ Ν σημεῖον τμῆμα κύκλου τὸ ΝΚΛ. ἔστι δὴ ἔλασσον ἡμικυκλίου, ἐπειδήπερ ἡ ΜΝ ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου. ἔσται δὴ πρὸς τῷ Ν γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΚΝ, ΛΝ ἴση τῇ πρὸς τῷ περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΓΘ, Θ∠. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΕΗΘ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜΞ, καὶ κείσθω τῇ ΗΘ ἴση ἡ ΜΞ, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΚΛ καὶ τὸ Ξ σημεῖον τὸ ΚΞΛ τμῆμα. ἔστιν ἄρα πρὸς τῷ Ξ σημείῳ γωνία ἡ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΚΞΛ ἴση τῇ πρὸς τῷ Θ, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΖΘΕ. ἔτι κείσθω τῇ ὑπὸ τῶν ΑΗ, ΗΘ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΚΜ, ΜΟ, καὶ κείσθω ἡ ΜΟ τῇ ΗΘ ἴση, καὶ περιγεγράφθω περὶ τὴν ΚΛ καὶ τὸ Ο τμῆμα. ἔσται δὴ ἡ πρὸς τῷ Ο γωνία περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΚΟΛ ἴση τῇ πρὸς τῷ γωνίᾳ περι εχομένῃ ὑπὸ τῶν ΑΘΒ. ἐπεὶ οὖν μείζων ἡ πρὸς τῷ Ο τῆς πρὸς τῷ Ξ, ἴση δὲ ἡ μὲν πρὸς τῷ Ο τῇ πρὸς τῷ Θ, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΘΒ, ἡ δὲ πρὸς τῷ Ξ τῇ πρὸς τῷ Θ, περιεχομένῃ δὲ ὑπὸ τῶν ΕΘΖ, μείζων [*](1. διαμέτρου v, comp. Vat. Μ] ὄμμα v. 3. ἴση] bis v. ΘΗ] ΘΝ m. 4. κύκλος v, comp. Vat. τὸ ΝΚΛ] τὸ δὲ ΝΚΛ Vat., το ΚΛ v, τὸ ΚΝΛ m. 5. ἔστι δή] ἔστιν δέ v, ἔστϊ δὲ Vat. ἔλασσον] ἔλαττον Vat. ΜΝ] ΝΜ m. ἐλάσσων] ἐλάττων v, ἔλαττον Vat. 6. κέντρου] κύκλου v, Vat., corr. m. 2. ἔσται] v, Vat. m. 1, ἔστω Vm, Vat. m. 2. τῷ] corr. ex τό V. 7. ΚΝ] ΚΜ Vat.1 m. ΛΝ] in ras. V, ΜΝΛ v, Vat., sed corr. 9. ἡ] om. v. τῶν (alt.)] om. m. ΚΜΞ] Μ in ras. V, ΚΜΖ Vat.1 m. 11. σημείῳ] om. m. 13 ΖΘΕ] ΞΘΕ v, Vat., corr. m. 2. 14. τῶν (utrumque)] om. Vat.1 m. ΑΗ, ΗΘ] ΑΗΘ Vat.1 m. ΚΜ, ΜΟ] ΚΜΟ Vat. 1 mv, Vat., corr. m. 2. 16 Ο (pr.)] Ο σημεῖον Vat.1 m. τμῆμα κύκλου Vat. 1 m. τῷ] τό v. 13. Ο] e corr. V. 19. τῆς — Ο] bis m.) ἄρα φανήσεται ἡ ΑΒ τῆς ΕΖ. πάλιν ἐπεὶ μείζων ἡ πρὸς τῷ Θ περιεχομένη ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΘΖ τῆς πρὸς τῷ Θ, περιεχομένης δὲ ὑπὸ τῶν ΓΘ∠, μείζων ἄρα ὀφθήσεται ἡ ΕΖ τῆς Γ∠.