Data

Euclid

Euclid. Euclidis Opera Omnia, Volume 6. Menge, Heinrich; Heiberg, J.L, editors. Leipzig: Teubner, 1896.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα ὅμοια καὶ ὁμοίως ἀναγεγραμμένα πρὸς ἄλληλα λόγον ἕξει δεδομένον.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ AΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ Ε, Ζ· [*](2. ἔτυχε b. τῷ εἴδει] om. b. 5 ΑΖ] ΑΒ v. ἕκαστον] ἑκάτερον b. 6. τρῖγωνον b. 8. ΕΖΓ, EΖΑ] ΑΕΖ, ΕΓΖ b.) [*](9. ἐστί] om b. 10. πρὸς τὸ ΖEΑ] om. Vat., supra add. πρὸς τὸ ΕΖΑ m. 2. 11. πρός] καί v, add. πρός m. 2. τό] om. b. 12. ΑΖ] ΑΒ ΑΖ b. 13. ΓΕΑΖ] ΑΓΕ, ΔΖ b.) [*](πρός] καί (comp.) Vat., mut. in πρός m. 2. 14. ΓΕΒΖΑ] ΓΕΑΒΖ ἄρα b. ΖΒΑ] ΒΖΑ Vat., ΖΒΔ v, ΖΑΒ b. 20. τὰ ὅμοια b. τε καί Vat. v. 24. τε καί v.)

λέγω, ὅτι καὶ ὁ πρὸς ἄλληλα αὐτῶν λόγος ἔσται δοθείς.

εἰλήφθω γὰρ τῶν ΑΒ, ΓΔ τρίτη ἀνάλογον ἡ Η· ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ, ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η· λόγος δὲ ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΓΔ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν Η δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν Η λόγος ἐστὶ δοθείς. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Η. οὕτως τὸ Ε πἐρὸς τὸ Ζ· λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ δοθείς.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον καὶ ἀπʼ αὐτῶν εὐθύγραμμα, ἂ ἔτυχεν, ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ εὐθύγραμμα, ἅ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Ε, Ζ· λέγω, ὅτι τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ Ζ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΑΗΒ. δέδοται δὲ τὸ Ζ τῷ εἴδει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΗΒ τῷ εἴδει. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ Ε δέδοται τῷ εἴδει καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ· λόγος ἄρα τοῦ Ε πρὸς τὸ ΑΗΒ δοθείς. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ [*](1. καί — 2. δοθείς] λόγος ἐστὶ τοῦ BΕ πρὸς τὸν ΖΔ δο- θείς b. 1. ἔσται] comp. Vat. 3. τῶν] corr. ex τό m. 2 Vat τρίτη] bis b. 4. οὕτως ἡ ΓΔ b. τήν (alt.)] om. b.) [*](5. ὁ] om. b. τὴν ΓΔ v. 6. ὁ τῆς ΓΔ P. 8. λόγος — Ζ] om. b. καὶ τοῦ v. 12. τὰ ἀπʼ β (non b). ἄ] ὡς Vat, item lin. 16. 15. ἀπό] ὑπό b. 16. ἔτυχε b. τά] corr. ex τώ m. 2 Vat. 17. ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ Ε πρὸς τὸ Ζ δοθείς b. 18. τῷ] corr. ex τό m. 2 v. 19. εὐθύγραμμον τὸ ΑΗB Vat. v. AΗΒ] ΑΗ b, item lin. 20, 22. 20. καί(pr)] supra m. 2 v.)

δοθείς, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΗΒ, Ζ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ζ δοθείς· τοῦ δὲ ΑΗΒ πρὸς τὸ Ε λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Ε ἄρα πρὸς τὸ λόγος ἐστὶ δοθείς.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγραφῇ, δέδοται τὸ ἀναγραφὲν τῷ μεγέθει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένης εὐθείας τῷ μεγέθει τῆς ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγεγράφθω τὸ ΑΓΔΕΒ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΓΔΕΒ δέδοται τῷ μεγέθει.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΖ· δέδοται ἄρα τὸ ΑΖ τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύγραμμα ἀνα- γέγραπται δεδομένα τῷ εἴδει τὰ ΑΓΔΕΒ, ΑΖ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΓΔΕΒ πρὸς τὸ ΑΖ δοθείς· δέδοται δὲ τὸ ΑΖ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΓΔΕΒ τῷ μεγέθει.

Ἐἁν δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα ᾖ καὶ μία πλευρὰ τοῦ ἑνὸς πρὸς μίαν πλευρὰν τοῦ ἑτέρου λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ αἱ λοιπαὶ πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον.

[*](2. εὐθύγραμμα] om Vat. v. τά] τώ Vat. ΑΗΒ] corr. ex ΑBΒ m 2 Vat., ΑΒΕ b. 3. ΑΗB (utrumque)] ΑΗ b.)[*](4. Ε (alt.)] om. b. 8. εἶδος ἀναγραφῇ τῷ εἴδει b. 11. τῷ] τό P Vat. v. εἶδος τῷ εἴδει b. 12. Post Α add. K v, sed ras. del. ΑΓΔΕΒ] B om. b. 13. γάρ] om. b. 14. τό] corr. ex τῶ m. 1 v. 15. δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται b. 16. τῶ εἴδει] om. Vat. 17. δέδοται — 18. μεγέθει] om. P Vat. v Hardy. 17. δέδοται] δοθέν Gregorius et Peyrardus. δέ])

ἔστω δύο εἴδη τῷ εἴδει δεδομένα τὰ ΑΔ, ΕΘ, καὶ λόγος τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς· λέγω, ὅτι καὶ τῶν λοιπῶν πελευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΒ πρὸς τὴν ΖΘ δοθείς, τῆς δὲ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς, καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΖΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΖΘ πρὸς ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΑΒ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

Ἐὰν δύο εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ αἱ πλευραὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

δύο γὰρ εἴδη δεδομένα τῷ εἴδει τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι καὶ αἱ πλευράὶ αὐτῶν πρὸς ἀλλήλας λόγον ἕξουσι δεδομένον.

τὸ γὰρ Α τῷ Β ἤτοι ὅμοιόν ἐστιν ἢ οὔ. ἔστω πρότερον ὅμοιον, καὶ εἰλήφθω τῶν ΓΔ, ΕΖ τρίτη ἀνά- λογον ἡ Η. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν Η, οὕτως τὸ Α πρὸς τὸ Β. λόγος δὲ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΓΔ πρὸς τὴν δοθείς. καί εἰσιν [*](1. εἴδη] corr. ex εἴδει m. 2 Vat. δεδομένα τῷ εἴδει b.) [*](καί) om Vat , add. m 2. 2. ΖΘ] ΖΔ v. 7. ΖΘ] BΑ b. 8. τῆς δέ — 9. δοθείς] om. b. 10. καί — 11. δοθείς] om. v. 11. ΖΘ (pr.)] ΕΖ b. τῆς δὲ ΖΘ – 12. ἐστὶ δοθείς] om. b 14. πρός] in ras. m. 2 v. λοιπὰς πλευράς b.)

αἱ ΓΔ, ΕΖ, Η ἀνάλογον· καὶ τῆς ΓΔ ἄρα πρὸς τὴν ΕΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Β· καὶ αἱ λοιπαὶ ἄρα πλευραὶ πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγον ἕξουσι δεδομένον.

μὴ ἔστω δὴ ὅμοιον τὸ Α τῷ Β, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ Α ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΕΘ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΘ τῷ εἴδει· δέδοται δὲ καὶ τὸ Β· λόγος ἄρα τοῦ Β πρὸς τὸ ΕΘ δοθείς· τοῦ δὲ Β πρὸς τὸ Α λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ Α ἄρα πρὸς τὸ ΕΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ὅμοιον τὸ Α τῷ ΕΘ· λόγος ἄρα τῆς ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῶν λοιπῶν πλευρῶν πρὸς τὰς λοιπὰς πλευρὰς λόγος ἐστὶ δοθείς.

Ἐὰν χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον ᾖ, καὶ αἰ πλευραὶ αὐτοῦ τῷ μεγέθει δεδομέναι ἔσονται.

ἔστω χωρίον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον τὸ Α· λέγω, ὅτι καὶ αἱ πλευραὶ αὐτοῦ δεδομέναι εἰσὶ τῷ μεγέθει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἠ ΒΓ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΒΓ τῷ Α ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ Δ. δέδοται δὴ τὸ Δ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΒΓ τῷ μεγέθει δεδομένον εἶδος ἀναγέγραπται τὸ Δ, δέδοται ἄρα καὶ τὸ Δ τῷ μεγέθει· δέδοται δὲ καὶ τὸ Α· [*](3. καί – 5. B] bis Vat., corr. m. 2. 3. αἱ] om. b. 6. ΕΘ] BΘ b. 8. τοῦ (pr.)] καὶ τοῦ b. B( alt.)] ΕΒ b. 9. ἄρα] om. b. 10. ἐστιν ὅμοιον b. τῷ] τοῦ b. 13. Seq. demonstr. altera, u. app. 17. καὶ τῷ μεγέθει] om. b. 18. αὐτοῦ] -οῦ corr. ex -ῶν m. 2 Vat. εἰσίν P. 21. τῷ] τό P.)

100

λόγος ἄρα τοῦ Α πρὸς τὸ Δ δοθείς. καί ἐστιν ὅμοιον τὸ Α τῷ Δ· λόγος ἄρα τῆς ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΖ. καί ἐστι λόγος τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΕΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάστη τῶν λοι- πῶν δέδοται τῷ μεγέθει.

Ἐὰν δύο ἰσογώνια παραλληλόγραμμα πρὸς ἄλληλα λόγον ἔχῃ δεδομένον, ἔσται ὡς ἡ τοῦ πρώτου πλευρὰ πρὸς τὴν τοῦ δευτέρου πλευράν, οὕτως ἡ λοιπὴ τοῦ δευτέρου πλευρὰ πρὸς ἢν ἡ ἑτέρα τοῦ πρώτου λόγον ἔχει δεδομένον, ὃν τὸ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ παραλληλόγραμμον.

δύο γὰρ ἰσογώνια παραλληλόγραμμα τὰ Α, Β πρὸς ἄλληλα λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΓΘ λόγον ἔχει δεδομένον, ὄν τὸ Α παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ Β παραλληλόγραμμον.

ἐκβεβλήσθω γὰρ ἐπʼ εὐθείας τῆς ΓΘ εὐθεῖα ἡ ΓΚ, καὶ πεποιήσθω ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΓΛ παραλληλό- γραμμον. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, ἴση δέ ἐστιν ἡ ΓΔ τῇ ΚΛ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ τῶν [*](1. ἐστιν] om. Vat. 3. δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ] om. P. 5. ἐκάστη] ἐκατέρα b. 6. δέδοται] om. b. Seq. demonstr. altera, u. app 8. παραλληλόγραμμα] comp. Vat., omnibus litteris m. 2. λόγον ἔχῃ πρὸς ἄλληλα δεδομένον b. 9. ἔχῃ] -η corr. ex ει m. 2 v. 12. ἔχῃ Vat. ὅν] om. b.)

102

ΓΚΛ, ΗΕΖ αἱ πλευραὶ ἀντιπεπόνθασιν· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΔ τῷ ΗΖ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τοῦ Α πρὸς τὸ Β δοθείς, ἴσον δὲ τὸ Β τῷ ΓΛ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ δοθείς. ὡς δὲ τὸ ΘΔ πρὸς τὸ ΓΛ, οὕτως ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΓΚ· καὶ τῆς ΘΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ δὲ ΓΘ πρὸς τὴν ΓΚ λόγον ἔχει δοθέντα, ὄν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΓΔ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς ἣν ἡ ΘΓ λόγον ἔχει, ὅν τὸ Α χωρίον πρὸς τὸ Β χωρίον.

Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, δέδοται τὸ πλάτος τῆς παραβολῆς.

δοθὲν γὰρ τὸ ΑΗ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΒΑ παρα- βεβλήσθω ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΓΑ.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΕΒ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΕΒ. καὶ διήχθωσαν αἱ ΕΑ, ΖΒ, ΓΗ ἐπὶ τὰ Δ, Θ. καὶ ἐπεὶ δοθέν ἐστιν ἑκάτερον τῶν ΕΒ, ΑΗ, λόγος ἄρα τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΗ δοθείς. ἴσον δὲ τὸ ΗΑ τῷ ΑΘ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΕΒ πρὸς τὸ ΑΘ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΔ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἴση δὲ ἡ ΕΑ τῇ ΑΒ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς ΑΔ δοθείς. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ [*](1. αἱ] om. Vat, add. m. 2. 2. ΚΔ] ΓΔ b. 3. ΘΔ] Α b. 4. ΓΛ(pr.)] ΓΔ b. 6. καί] om. Vat., add. m.2. 7. ΓΘ ΓΚ b. 8. ΓΚ] ΓΘ b. A]Β b. 9. B]Α b. 10. ΕΗ] ΗΕ b. ἣν ἡ] τήν b. Α] Β b. 11. B] A b. 13. δοθέν] add. τῷ μεγέθει b. 15. τήν] im ras. v. 19. ἐστίν P.) [*](διήχθωσαν] ἐκβεβλήσθωσαν b. ΖB] ΒΖΒ b 20. Δ, Θ] B, Δ b. 21. EB( alt.)] B supra scr. m.2(?) v. πρός] comp. v.)

104

τῶν ΓΑΒ, ὧν ἡ ὑπὸ ΔΑΒ δοθεῖσά ἐστιν, λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΔ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΓΔΑ δοθεῖσα· ὀρθὴ γάρ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΔ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΓΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΑΔ δοθείς. τῆς δὲ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΓΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ΒΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΓ. καί ἐστι τὸ πλάτος τοῦ παραβλήματος.

Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ εἴδει, δέδοται τὰ πλάτη τοῦ ἐλλεί- ματος.

δοθὲν γὰρ τὸ ΑΓ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΑΔ παρα- βεβλήσθω ἐλλεῖπον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΓΔ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΓ ΒΔ.

τετμήσθω γὰρ ἡ ΑΔ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΔ. καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΔ τῷ ΓΔ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον εὐθύγραμμον τὸ ΕΖ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΕΖ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΕΔ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος ἀναγέγραπται τὸ ΕΖ, δέδοται ἄρα τὸ ΕΖ τῷ μεγέθει. καί ἐστιν ἴσον τοῖς ΑΓ, ΚΘ· δέδοται ἄρα καὶ τὰ ΑΓ, ΚΘ τῷ μεγέθει. [*](1. ΔΑΒ] ΒΑΘ b. 2. ΓΑΔ] corr. ex ΑΓΔ m. 2 Vat., ΓΑΘ b. ἔστι — 4. ΑΓΔ] om. Vat. 3. ΓΔΑ] ΓΘΑ b.) [*](4. ΑΓΔ (utrumque)] ΑΓΘ b. 5. ΑΔ] ΑΘ b. 6. ΔΑ] ΑΘ b. AB] BΑ b. 8. ἄρα] ἄρα ἔστι b. καί (alt.) πρός b. ἐστι] om. Vat. 12. πλάτη] corr. ex ἀπλᾶ τῇ m. 2 Vat. ἐλλείματος] ἐλλείποντος b. 15. ΓΔ] ΔΓ vb. 16. ΒΓ] ΓΒ b. 17. δίχα) bis Vat., alt. del. m. 2. 18. καί] om. Vat. 20. σχῆμα] ΕΖ P Vat.v, mut. in σχῆμα m. 2 Vat.)

106

καί ἐστι τὸ ΑΓ δοθὲν τῷ μεγέθει· ὑπόκειται γάρ· λοιπὸν ἄρα τὸ ΚΘ δοθέν ἐστι τῷ μεγέθει. ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει δοθέν· ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΓΔ τοῦ ΘΚ ἄρα δεδομέναι εἰσὶν αἱ πλευραί· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΓ καί ἐστιν ἴση τῇ ΕΒ δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΕΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΕΔ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ δοθεῖσά ἐστιν. καὶ λόγος τῆς ΒΔ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΒΓ.

Ἐὰν δοθὲν παρὰ δοθεῖσαν παραβληθῇ ὑπερβάλλον εἴδει δεδομένῳ, δέδοται τὰ πλάτη τῆς ὑπερβολῆς.

δοθὲν γὰρ τὸ ΑΒ παρὰ δοθεῖσαν τὴν ΑΓ παρα- βεβλήσθω ὑπερβάλλον εἴδει δεδομένῳ τῷ ΓΒ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΓ ΓΕ.

τετμήσθω γὰρ δίχα ἡ ΔΕ κατὰ τὸ Ζ σημεῖον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΕΖ τῷ ΓΒ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον τὸ ΖΗ· περὶ τὴν αὐτὴν ἄρα διάμετρόν ἐστι τὸ ΖΗ τῷ ΓΒ. ἤχθω αὐτῶν διάμετρος ἡ ΘΕΜ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα. καὶ ἐπεὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΓΒ τῷ ΖΗ, δέδοται δὲ τὸ ΓΒ τῷ εἴδει, δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΖΗ τῷ εἴδει· καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ δεδομένης εὐθείας τῆς ΖΕ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΗ τῷ μεγέθει. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ δοθέν· δοθέντα ἄρα ἐστὶ τὰ ΑΒ, ΖΗ. καί ἐστιν ἴσα τῷ ΚΛ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛ [*](1. τῷ — γάρ] om. b. 2. ἔστι δέ] om. b. 3. δοθέν] om. b. τῷ (alt.)] τὸ b. 7 ἐστίν v. ΒΓ] ΖΗΒΓ P.) [*](11. Post δεδομένῳ add. τῷ εἴδει Vat. v. 13. ΓΒ] ΓΔ b.) [*](17. τό] τῷ P. 18. αὐτῶν] αὐτοῦ v. 22. τῷ μεγέθει] om. b.)

108

τῷ μεγέθει. ἔστι δὲ καὶ τῷ εἴδει· ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΓΒ· τοῦ ΚΛ ἄρα αἱ πλευραὶ δεδομέναι εἰσίν· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΘ, ὧν ἡ ΚΓ δοθεῖσά ἐστιν· ἴση γάρ ἐστι τῇ ΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ΓΘ ἐστι δοθεῖσα· καὶ λόγον ἔχει πρὸς τὴν ΘΒ δοθέντα· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΒ.

Ἐὰν παραλληλόγραμμον δεδομενον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένῳ γνώμονι αὐξηθῇ ἢ μειωθῇ, δέδοται τὰ πλάτη τοῦ γνώμονος.

παραλληλόγραμμον γὰρ τὸ ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει ηὐξήσθω πρότερον δεδομένῳ γνώμονι τῷ ΕΓΒΔΖΗ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΓΕ, ΔΖ.

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστι τὸ ΑΒ, ἔστι δὲ καὶ ὁ ΕΒΔΗΖ γνώμων δοθείς, καὶ ὅλον ἄρα τὸ ΑΗ δοθέν ἐστιν· ἀλλὰ καὶ τῷ εἴδει· ὅμοιον γάρ ἐστι τῷ ΑΒ· τοῦ ΑΗ ἄρα δεδομέναι εἰσὶν αἱ πλευραί· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΑΕ, ΑΖ. ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΓΑ, ΑΔ δοθεῖσα· λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΔΖ ἐστι δοθεῖσα.

πάλιν δὴ παραλληλόγραμμον τὸ ΑΗ δεδομένον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει μεμειώσθω δεδομένῳ γνώμονι τῷ ΕΓΒΔΖΗ· λέγω, ὅτι δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΓΕ, ΔΖ.

[*](2. ἄρα ΚΛ b. 4. ἐστι (prius)] ἐστιν v. 5. ἄρα ἐστί b.)[*](11. παραλληλόγραμμον] τρίγ τρίγωνον v; corr. supra m. 2.)[*](12. ἠοξήσθω v. τῷ δεδομένῳ b. 15. ΕΒΔΗΖ] Post E add. Γ Vat. m. 2, b; ΕΒΔΖΗ v. 16. γνώμων] -ων corr. ex ον m. 2 v. τό] τω b. 17. τῷ (alt.)] τό b. 19. ἔστι δέ] ὥστε b. ἔστιν v. A – 20. τῶν] om. b. 20. ἐστι] ἐστιν v, om. b. 22. παραλληλόγραμμον] corr. ex τρίγωνον m. 2 v. τὸ Α δεδομένον] om. b.)

110

ἐπεὶ γὰρ δοθέν ἐστι τὸ ΑΗ, οὗ ὁ ΕΓΒΔΖΗ γνώμων δοθείς ἐστιν, λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒ δοθέν ἐστιν· ἀλλὰ καὶ τῷ εἴδει· τοῦ ΑΒ ἄρα αἱ πλευραὶ δεδομέναι εἰσίν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ΓΑ, ΑΔ. ἔστι δὲ καὶ ἑκατέρα τῶν ΕΑ, ΑΖ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἑκατέρα τῶν ΕΓ, ΔΖ δοθεῖσά ἐστιν.

Ἐὰν δεδομένου τῷ εἴδει εἴδους παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν παραλληλόγραμμον χωρίον παραβληθῇ ἐν δεδο- μένῃ γωνίᾳ, ἔχῃ δὲ τὸ εἶδος πρὸς τὸ παραλληλόγραμ- μον λόγον δεδομένον, δέδοται τὸ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

δεδομένου γὰρ τῷ εἴδει εἴδους τοῦ ΑΖΓΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΓΒ παραλληλόγραμμον χωορίον παραβεβλήσθω τὸ ΓΔ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΛΓΒ, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ΑΓ εἴδους πρὸς τὸ ΓΔ παραλληλόγραμμον δοθείς· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΓΔ τῷ εἴδει.

ἤχθω γὰρ διὰ μὲν τοῦ Β τῇ ΖΓ παράλληλος ἡ ΒΗ. διὰ δὲ τοῦ Ζ τῇ ΓΒ παράλληλος ἡ ΖΗ, καὶ διήχθω- σαν αἱ ΖΓ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Θ, Κ σημεῖα.

ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΓΒ γωνία καὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς, δοθὲν ἄρα τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει. δέδοται δὲ τῷ [*](1. οὗ] ὡν b. 4. ἐστίν] om. Vat. ἔστιν v. 5. καί (alt.) — 6. ἐστιν] om. b. 8. τῷ εἴδει] om b . 9. παραλληλό- γραμμον] τρίγωνον v, corr. m. 2, et sic deinde per totam hanc et seq. propos. 10. ἔχῃ] ἔχει Vat. v. πρὸς τό] om. b. 13. τῷ εἴδει] om. b. 16. ΛΓΒ] ΒΓΛ b. ἔστω] ἔστι b. ΑΓ] ΑΓΒ v, ΑΒ b. 21. ΗΒ] ΗΒ, ΛΔ v, ΚΗ, ΒΘ b. Θ, Κ])

112

εἴδει τὸ ΑΖΒ εἶδος. καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΓΒ· λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΒ εἴδους πρὸς τὸ ΖΒ παραλληλόγραμμον δοθείς. τοῦ δὲ ΖΒ πρὸς τὸ ΓΔ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἐπειδὴ καὶ τοῦ ΑΒ πρὸς τὸ ΓΔ ὑπόκειται· ἴσον δὲ τὸ ΓΔ τῷ ΚΒ· λόγος ἄρα καὶ τοῦ ΚΒ πρὸς τὸ ΓΗ ἐστι δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΖΓ πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. τῆς δὲ ΖΓ πρὸς τὴν ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΒΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΚ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΖΓΒ γωνία, καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΚ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΛ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΛΓΚ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΛΚΓ γωνία δοθεῖσα· ἴση γὰρ τῇ ὑπὸ ΚΓΒ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΛΚ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΛΓΚ τρί- γωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα ἐστὶ τῆς ΛΓ πρὸς τὴν ΓΚ δοθείς. τῆς δὲ ΚΓ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΛΓ ἄρα πρὸς τὴν ΓΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΓΒ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΓΔ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

Ἐὰν δύο εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο- μένον καὶ ἀναγραφῇ ἀπὸ μὲν τῆς μιᾶς δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος, ἀπὸ δὲ τῆς ἑτέρας χωρίον παραλληλό- γραμμον ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ, ἔχῃ δὲ τὸ εἶδος πρὸς [*](1. ΑΖΒ] ΑΖΓΒ Vat., Γ add. m. 2 v. εἶδος] om. b. 3. ΖB ἄρα b. 4. ἐπειδή – 5. ὑπόκειται] om. b. 5. τῷ] τοῦ b.) [*](11. ἐστιν v. ἔστιν v. 13. ΛΓΚ] Γ add. m. 2 Vat.; ΑΓΚ b.) [*](ἐστιν δοθεῖσα b. ἔστιν Pv. ὑπὸ τῶν b. 14. δο- θεῖσα γωνία b. γάρ ἐστι b. ὑπό τῶν BΓΚ b. λοιπὴ)

114

τὸ παραλληλόγραμμον λόγον δεδομένον, δέδοται παρ- αλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

δύο γὰρ εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, ΓΔ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ μὲν τῆς ΑΒ δεδομένον τῷ εἴδει εἶδος τὸ ΑΕΒ, ἀπὸ δὲ τῆς ΓΔ παραλληλόγραμμον τὸ ΔΖ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΖΓΔ, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ΕΒ εἴδους πρὸς τὸ ΖΔ παραλληλόγραμμον δοθείς· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΔΖ παραλληλόγραμμον τῷ εἴδει.

ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ΔΖ ὅμοιον καὶ ὁμοίως κείμενον παραλληλόγραμμον τὸ AH. ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΓΔ δοθείς, καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΓΔ ὅμοια καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύ- γραμμα τὰ ΑΗ, ΖΔ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΖΔ δοθείς. τοῦ δὲ ΖΔ πρὸς τὸ ΕΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. καὶ τοῦ ΕΒ ἄρα πρὸς τὸ ΑΗ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΘ γωνία· ἴση γάρ ἐστι τῇ ὑπὸ ΖΓΔ. ἐπεὶ οὖν δεδομένου τῷ εἴδει εἴδους τοῦ ΕΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ παραβέβληται τὸ ΑΗ ἐν δεδομένῃ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ τῶν ΘΑΒ καὶ λόγος ἐστὶ τοῦ ΕΒ εἴδους πρὸς τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον δοθείς, δέδοται ἄρα τὸ ΑΗ τῷ εἴδει. καί ἐστιν ὅμοιον τῷ ΖΔ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΖΔ τῷ εἴδει.

[*](5. τῷ εἴει] om. b. ΑΕΒ] ΕΒ b. 7. τῶν] τήν b. 8. δοθείς — 9. παραλληλόγραμμον] om. b. 10. ΖΔ b. ὅμοιόν τε Vat. καὶ ὁμοίως κείμενον] om. b. 11. ἐπεὶ οὖν Vat b.)[*](14. ἐστί] om. b. 15. ΕΒ] ΒΑ b. 16. καί — 17. δοθείς om. b. 17. τῶν] τῆς b. 18. τὴν ΖΓΔ b. τῷ εἴδθει om. b. 19. EΒ] ΕΑΒ b. ΑΒ] ΑΒ χωρίον b. 20. τῶν τῆς b. 22. δοθείς] δοθεῖσα b.)

116

Ἐὰν τρίγωνον τῷ εἴδει δεδομένον ᾖ, τὸ ἀπὸ ἑκάστης τῶν πλευρῶν αὐτοῦ πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδο- μένον.

ἔστω τρίγωνον δεδομένον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ ἑκάστης τῶν πλευρῶν αὐτοῦ τετρά- γωνα τὰ EΒ, ΓΔ, ΓΖ· λέγω, ὅτι ἕκαστον τῶν ΕΒ, ΓΔ, ΓΖ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΒΓ εὐθύ- γραμμα δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται, ἃ ἔτυχεν, τὰ ΑΒΓ ΓΔ, λόγος ἄρα τοῦ ΑΒΓ πρὸς τὸ ΓΔ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρου τῶν ΕΒ, ΖΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς.

Ἐὰν τρίγωνον ἀμβλεῖαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, ᾦ μεῖζον δύναται ἡ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτείνουσα πλευρὰ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευ- ρῶν, ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἔστω τρίγωνον ἀμβλυγώνιον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν γωνίαν ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ δεδομένην, καὶ διήχθω ἐπʼ εὐθείας τῆς ΒΓ εὐθεῖα ἡ ΒΔ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΑΔ· λέγω, ὅτι, ᾦ μεῖζόν ἐστι [*](3. τῶν πλευρῶν] τῆς πλευρᾶς b. Post αὐτοῦ add. τετρά- γωνον Vat. v. 5. δεδομένον τῷ εἴδει] om. b 6. τετράγωνα] comp. Vat. 8. ΓΔ] ΔΓb. ΑΒΓ] Γ add. m. 2 Vat.) [*](ἕξει] ἔχει b. 9. ἀπό ] om. b. 10. εἴδει ἔτυχεν ἀνα- γέγραπται τά (ἅ om.) b. ἔτυχε Vat. 11. ΑΒΓ (alt.)] ΓΔ b.) [*](τό] om. P. ΓΔ] ΓΑB τρίγωνον (comp.) b. 16. ὑπο- τείνουσα] -αν v, del. ν m. 2. 21. γωνίαν ἔχον] P, -ον corr.)

118

τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τουτέστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ ἐκεῖνο τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἕξει δεδομένον.

ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΓ, καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΔΒ δοθεῖσα. καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΔΑΒ δο- θεῖσά ἐστιν. δέδοται ἄρα τὸ ΔΑΒ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ΔΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ· ὥστε καὶ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΑΔ, ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. ἀλλὰ τοῦ ὑπὸ τῶν ΔΑ, ΒΓ πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τοῦ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΓ, ᾧ μεῖζόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τῶν ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ· ἐκεῖνο ἄρα τὸ χωρίον πρὸς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον λόγον ἔχει δεδομένον.