Data

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον, διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὴν θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΔΕ πρὸς ΕΑ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Ε τῃ ΒΓ παράλληλος ἡ ΖΕΗ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΖEΗ.

ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΘΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ λόγος τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ, λόγος ἄρα καὶ ὁ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΚΑ δοθείς. συν- θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τῆς ΘΑ πρὸς ΑΚ δοθείς. δο- θεῖσα δὲ ἡ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΚ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Α δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Κ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Κ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗ.

Ἐὰν ἀπὸ δεδομένου σημείου ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ πέρατος τῆς προστεθείσης παρὰ τὴν τῇ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

ἀπὸ γὰρ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΑΔ, καὶ προσκείσθω τῇ ΑΔ ἡ ΑΕ λόγον ἔχουσα πρὸς τὴν [*](2. ἐπεί] ἐπί a. ἀπό] om. a. 4. ΑΘΔ] Δ add. m. 2 Vat. 6. δοθέν] δο- supra m. 1 v. 7. καί] om. Vat, add. m. 2. τήν] om. a. δοθείς — 8. ΕΑ] P in mg. m. 1, sed alio atramento 8. Post ΚΑ add. Pv: δοθεὶς δὲ ὁ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν ΕΑ λόγος, et dein supra scr. δοθείς m. 1 P. 10. Ante τῆς supra add. καί (comp) m. 2 v. 11. ἄρα] δέ a.)

ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Α ἐπὶ τὴν ΒΓ κάθετος ἡ ΑΘ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Η. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Α ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΑΘ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΑΘΓ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΑΗ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΒΓ· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Θ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Α δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΔΑ πρὸς τὴν ΑΕ, οὕτως ἡ ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΘΑ πρὸς τὴν ΑΗ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΘΑ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΑΗ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Α· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ H. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ H παρὰ θέσει δεδομένην εὐ- θεῖαν τὴν ΒΓ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΗΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΗΚ.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ τμηθῇ εἰς δεδομένον λόγον, διὰ δὲ τῆς τομῆς παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ καὶ τετμήσθω εἰς δεδομένον λόγον τὸν τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗE, καὶ διήχθω διὰ τοῦ Η ὁποτέρᾳ τῶν ΑΒ, ΓΔ παράλληλος ἡ ΘΚ. λέγω, ὅτι θέσει ἐστὶν ἡ ΘΚ.

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Λ, καὶ κατήχθω ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος ἡ ΛΝ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδομένου σημείου τοῦ Λ ἐπὶ θέσει δεδο- μένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΛΝ. δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΛΝΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ· δοθὲν ἄρα τὸ Ν σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Λ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΝΜ πρὸς τὴν ΜΛ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΝΛ πρὸς τὴν ΜΛ ἐστι δοθεὶς λόγος. δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΛ. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΛΜ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Λ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Μ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Μ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ.

Ἐὰν εἰς παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ καὶ προστεθῇ τις αὐτῇ εὐθεῖα λόγον ἔχουσα πρὸς αὐτὴν δεδομένον, διὰ δὲ τοῦ πέρα- τος παρὰ τὰς τῇ θέσει δεδομένας παράλληλος εὐθεῖα γραμμὴ ἀχθῇ, δέδοται ἡ ἀχθεῖσα τῇ θέσει.

εἰς γὰρ παραλλήλους τῇ θέσει δεδομένας εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἤχθω ἡ ΕΖ, καὶ προσ- [*](2. κατήχθω] διήχθω a. Λ] Α a. 5. τῶν] τήν Vat., del. m. 2. 7. δοθεῖσα] θέσει a. 8. τήν] τῇ a. 9. Η Ε(pr.)] Η supra scr. m. 1 v. ΝΜ] ΜΝ a. 10. ΝΜ] ΜΝ va. 11. ΜΛ] ΛΜ a. λόγος ἐστὶ δοθείς a. 13. ἀλλά] om. a. 17 ληʼ] λθ´ β. 18. εὐθείας τῇ θέσει δεδομένας β (non a). 20. Post πέρατος cum editoribus desidero τῆς προστεθείσης. 21. παρ- άλληλος] εὐθείας β. 22. ἄχθει v, corr. m. 2. ἀχθεῖσα] in hoc uocabulo incipit b; titulus est: εὐκλείδου δεδομένα τῆς θέω- νος ἐκδόσεως, mg. λείπει ἡ ἀρχή.)

εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τῆς ΑΒ δοθὲν σημεῖον τὸ Ν, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ν ἐπὶ τὴν ΓΔ κάθετος εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΜ καὶ διήχθω ἐπὶ τὸ Λ. ἐπεὶ ἀπὸ δεδο- μένου σημείου τοῦ Ν ἐπὶ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΓΔ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΝΜ δεδομένην ποι- οῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ ΝΜΔ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΝΜ. θέσει δὲ καὶ ἡ ΓΔ. δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ν σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ τὸ Ν δοθέν. δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΜ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΖΕ πρὸς τὴν ΕΗ δοθείς, ὡς δὲ ἡ ΖΕ πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως ἡ ΝΜ πρὸς τὴν ΝΛ, λόγος ἄρα καὶ τῆς ΜΛ πρὸς τὴν ΝΛ δοθείς. δοθεῖσα δὲ ἡ ΝΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΝΛ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Λ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Λ. ἐπεὶ οὖν διὰ δεδομένου σημείου τοῦ Λ παρὰ θέσει δεδομένην εὐθεῖαν τὴν ΑΒ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΘΚ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ.

Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ῇ τῷ μεγέθει, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν πλευρῶν δεδομένη ἔστω τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον δέδοται τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ εὐθεῖα τῇ θέσει δεδομένη ἡ ΔΜ, πεπερατωμένη μὲν κατὰ τὸ Δ, ἄπειρος δὲ κατὰ τὸ λοιπόν, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΑΒ ἴση ἡ ΔΕ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΒ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΔΕ· ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ Δ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε· τῇ δὲ ΒΓ ἴση ἡ EΖ· δοθεῖσα δὲ ἡ ΒΓ· δο- θεῖσα ἄρα καὶ ἡ EΖ· ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει· καί ἐστι δοθὲν τὸ E· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ζ· τῃ δὲ ΑΓ ἴση ἡ ΖΗ. δοθεῖσα δὲ ἡ ΑΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΗ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι δοθὲν τὸ Ζ· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Η. καὶ κέντρῳ μὲν τῷ Ε, διαστήματι δὲ τῷ ΕΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΔΚΘ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΔΚΘ. πάλιν κέντρῳ μὲν τῷ Ζ, διαστήματι δὲ τῷ ΖΗ κύκλος γεγράφθω ὁ ΗΚΛ· θέσει ἄρα ἐστὶν ὁ ΗΚΛ· θέσει δὲ καὶ ὁ ΔΘΚ κύκλος· δοθὲν ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ Κ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκά- τερον τῶν Ε, Ζ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΚΕ, EΖ, ΖΚ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΚΕΖ τρίγωνον τῷ εἴδει. καί ἐστιν ἴσον τε καὶ ὅμοιον τῷ ΑΒΓ· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

Ἐὰν τριγώνου ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδομένη ᾗ τῷ μεγέθει, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ ἑκάστη τῶν γωνιῶν δεδο- μένη ἔστω τῷ μεγέθει· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΕ καὶ τοῖς πρὸς αὐτῇ σημείοις τοῖς Δ, Ε τῇ μὲν ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ ἴση γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΕΔΖ, τῇ δὲ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ ἱση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΕΖ· λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ λοιπῇ ἴση τῇ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ ἐστιν. δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Α, Β, Γ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν πρὸς τοῖς Δ, Ε, Ζ. ἐπεὶ οὕν πρὸς θέσει δεδο- μένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΕ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ δεδο- μένῳ τῷ Δ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΔΖ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Δ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΔΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΕΖ θέσει ἐστίν· δοθὲν ἄρα ἐστὶ τὸ Ζ σημεῖον. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ε δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ, ΔΕ, EΖ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τρί- γωνον τῷ εἴδει. καί ἐστιν ὄμοιον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· δέδοται ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ τὴν δεδομένην γωνίαν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἐχέτω γὰρ τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΖ καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΔΖ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ζ τῇ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. δοθεῖσα δὲ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΔΖΕ. ἐπεὶ οὖν πρὸς θέσει δεδομένῃ εὐθείᾳ τῇ ΔΖ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ δεδο- μένῳ σημείῳ τῷ Ζ εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΕ δεδομένην ποιοῦσα γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΔΖΕ, θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΖΕ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΔΖ πρὸς τὴν ΖE δοθείς· δοθεῖσα δὲ ἡ ΔΖ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΖΕ. ἀλλὰ καὶ τῇ θέσει. καί ἐστι τὸ Ζ δοθέν· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ Ε. ἔστι δὲ καὶ ἑκάτερον τῶν Δ, Ζ δοθέν· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἑκάστη τῶν ΔΖ, ΖΕ, ΔΕ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΔΖΕ τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ μίαν γωνίαν μίᾳ γωνίᾳ ἴσην ἔχει, τὴν [*](1. μαʹ] μβʼ b. 2. ἔχῃ] ἔχει v, corr. m. 1. γωνίαν] comp. Vat; 6. τῶν (pr)] om b. ΒΑΓ (alt.)] ΒΑΓ γωνίαν b. 12. BAΓ] Β supra scr. m. 1 b. 13. ἡ (pr.)] γωνία ἡ b. 15. σημείῳ δεδομένῳ b. 24. Ζ] E b. 27. ἕξει b.)

Ἐὰν τριγώνου αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ τοῦ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον δέδοται τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ δεδομένη τῷ μεγέθει εὐθεῖα ἡ Δ. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Δ πρὸς τὴν Ε. δοθεῖσα δὲ ἡ Δ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ε. πάλιν ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς Ε πρὸς τὴν Ζ. δοθεῖσα δὲ ἡ E· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ Ζ. καὶ ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ εἰσιν ἴσαι τρισὶ ταῖς δοθεί- σαις ταῖς Δ, Ε, Ζ, ὧν αἰ δύο τῆς λοιπῆς μείζονές εἰσι πάντῃ μεταλαμβανόμεναι, τρίγωνον συνεστάτω τὸ ΗΘΚ· ὥστε ἴσην εἶναι τὴν μὲν Δ τῇ ΗΘ, τὴν δὲ Ε τῇ ΘΚ, τὴν δὲ Ζ τῇ ΗΚ. δοθεῖσα δὲ ἑκάστη τῶν Δ, Ε, Ζ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἑκάστη τῶν ΗΘ, ΘΚ, ΚΗ τῷ μεγέθει· δέδοται ἄρα τὸ ΗΘΚ τρίγωνον τῷ εἴδει. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Δ πρὸς τὴν Ε, ἴση δὲ ἡ μὲν Δ τῃ ΗΘ, ἡ δὲ Ε [*](1. ΒΑΓ] ΑΒΓ b, item lin. 2 2 ΔΖΕ] ΔEΖ b 6. μβʹ] μγ΄ b 8 τῷ] ἐν τῷ b. 9 ΑΒΓ] ΑΓ b. 10 ἐχέτω- σαν] ἔχουσι b. 12. τῷ μεγέθει] om b. 16. ΑΓ] ΑΒ Vat., BΑ v. 17. τήν] om. b. καί] om. b. 18. Post τριῶν add δή b. τρισί] om b. 19 ταῖς] τῇ b. μείζονες])

Ἐὰν τριγώνου ὀρθογωνίου περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν γωνιῶν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδο– μένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

τριγώνου γὰρ ὀρθογωνίου τοῦ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον- τος τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνίαν, περὶ μίαν τῶν ὀξειῶν αὐτοῦ γωνιῶν τὴν ὑπὸ ΑΒΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΑ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἐχέτωσαν δεδομένον· λέγω, ὅτι δέδοται τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἐκκείσθω γὰρ τῇ θέσει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένη εὐθεῖα ἡ ΔΕ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΔΕ ἡμικύκλιον τὸ ΔΗE· θέσει ἄρα ἐστὶ τὸ ΔΗΕ ἡμικύκλιον. καὶ ἐπεὶ λόγος ἐστὶ τῆς ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ δοθείς, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΔΕ πρὸς τὴν Ζ· λόγος ἄρα καὶ [*](2. ΗΘ] ΔΘ b. τήν] om. b. ἐστιν] om. v. 4. ΘΚ] Κ Vat, add. Θ m 2. 5. ΘΚ] ΚΘ b. 7 ΑΒ] ΒΑ Vat v.) [*](ΑΓ] ΒΓ b. 8. ΗΚ] ΚΘ b. 12 μγʹ] μδ· b. 15 τῷ εἴδει] τῇ θέσει b. 16 τριγώνου — p. 80, 7. ἐπὶ τὴν ΑΓ] eorum loco in ba hic propter transmutationem foliorum (u. praef.) repetuntur, quae legumntur p. 56, 14. γεγράφθω — 20 ἐστιν,)

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν αἱ πλευραὶ πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν ἔχον γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ αἱ πλευραὶ αἱ ΑΒ, ΒΓ λόγον ἐχέτωσαν πρὸς ἀλλήλας δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

μὴ ἔστω δὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία ὀρθή, ἀλλʼ ἔστω πρότερον ὀξεῖα, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΑΓ κάθετος ἡ ΒΔ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ ΒΔΑ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΒΑΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. ἀλλὰ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΒΔ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΔΓ· δέδοται ἄρα τὸ ΒΔΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΓΔ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἐστι δοθεῖσα· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἀλλὰ δὴ ἔστω ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία ἀμβλεῖα, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΑΕ κάθετος ἡ ΒΕ. ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, καὶ ἡ ἐφεξῆς ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ δοθεῖσά ἐστιν. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΕΑ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΑ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΕΒΑ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος [*](1. ἔχον] ἔχων P. 2. δέ] om. a. 6 Ante μή add εἰ μὲν οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ πρὸς τῷ Α γωνία, δέδεικται τὸ ὄνομα δεδομένον τῷ εἴδει a. 8. ἐπεί] om. b. 13 καί — 14 δο- θείς] om. b. 14. BΔΓ γωνία b. 15. ΒΔΓ] ΔΒΓ b. 16. καί — 17. δοθεῖσα] om. v, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ δο- θεῖσά ἐστι mg. m 2. 18. καὶ τὸ Vat., del. καί m. 2. 19. ἀλλὰ δὴ ἔστω] ἀλλʼ ἔστω b. τῶν] om. v. 22. ἡ (alt.)] supra)

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, αἱ δὲ περὶ τὴν δεδομένην γωνίαν πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν γωνίαν δεδομένην ἔχον τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ, περὶ δὲ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γω- νίαν αἰ πλευραί, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ ὡς μία πρὸς τὴν ΓΒ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΓ, ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΔ· καὶ ὡς συναμφότερος ἄρα ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. λόγος δὲ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καί ἐστι δο- [*](1. ΕB] ΒΕ v. 2. καὶ τῆς ΕΒ ἄρα] τῆς δὲ EΒ v. καί — 3 δοθεὶς] om. b. 5. BΓΕ] τῶν ΑΒΓ γωνία b. 6. τῶν BAΓ b. τῶν ΑBΓ b. 13. τό] corr. ex τῷ m. 2 v. 14. μίαν ἔχον γωνίαν δεδομένην b. 15 τῶν] om. b. ὑπὸ τῶν)

Ἐὰν τρίγωνον μίαν ἔχῃ γωνίαν δεδομένην, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν αἱ πλευραὶ συναμφότεραι ὡς μία πρὸς τὴν λοιπὴν λόγον ἔχωσι δεδομένον, δέδοται τὸ τρίγωνον τῷ εἴδει.

ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ μίαν ἔχον γωνίαν δεδο- μένην τὴν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ, περὶ δὲ ἄλλην γωνίαν τὴν ὑπὸ τῶν ΒΑΓ αἱ πλευραί, τουτέστι συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΒΓ λόγον ἐχέτω δεδομένον· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον δέδοται τῷ εἴδει.

τετμήσθω γὰρ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ γωνία δίχα τῇ ΑΔ εὐθείᾳ· ἔστιν ἄρα ὡς συναμφότερος ἡ ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ. λόγος δὲ τοῦ συναμφοτέρου τῆς ΒΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ δοθείς· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΔ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ εἴδει· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΔ γωνία. καί ἐστιν αὐτῆς διπλασίων ἡ ὑπὸ ΒΑΓ· δοθεῖσα ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΓ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΑΓΒ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει.

Τὰ δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

ἔστω δεδομένον εὐθύγραμμον τῷ εἴδει τὸ ΑΒΓΔΕ· λέγω, ὅτι τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον εἰς δεδομένα τρί- γωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΕ, ΕΓ. ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓΔΕ εὐθύγραμμον τῷ εἴδει, δοθεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία. καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΒΑΕ γωνία καί ἐστι λόγος τῆς ΒΑ πρὸς τὴν ΕΑ δοθείς, δέδοται ἄρα τὸ ΒΑΕ τρίγωνον τῷ εἴδει· δο- θεῖσα ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΕ γωνία. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΒΓ δοθεῖσά ἐστιν. καί ἐστι λόγος τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ δοθείς, τῆς δὲ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς τὴν ΒΓ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι δοθεῖσα ἡ ὑπὸ τῶν ΓΒΕ γωνία· δέδοται ἄρα τὸ ΒΓΕ τρίγωνον τῷ εἴδει. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΓΔΕ τρίγωνον τῷ εἴδει δέδοται· τὰ ἄρα δεδομένα εὐθύγραμμα τῷ εἴδει εἰς δεδομένα τρίγωνα διαιρεῖται τῷ εἴδει.

Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο τρίγωνα ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο τρίγωνα [*](2. εἰς δεδομένα τῷ εἴδει τρίγωνα διαιρεῖται b, item lin. 5. 7. ΒE] ΑΒE b. 10. EΑ ] ΑΕ b, item lin. 11. ἐπεί — 12. δοθείς] nescio an interpolata sint. 13. ἔστιν v. 15. τῶν] om. b. ἐστιν] ἐστι v. 17. ΕΒ] ΓΒ b. τήν] om b.)

ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Α, Β σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς αἱ AΕ, ΗΒ καὶ ἐκβεβλήσθωσαν ἐπὶ τὰ Ζ,Θ. καὶ διὰ τῶν Γ Δ σημείων τῇ ΑΒ εὐθείᾳ παράλληλοι ῆχθωσαν αἱ ΕΓΗ, ΖΔΘ. ἐπεὶ δέδοται τὸ ΑΒΓ τρί- γωνον τῷ εἴδει, λόγος ἐστὶ τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ΒΑ δο- θείς. ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ὑπὸ τῶν ΓΑΒ γωνία, ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΒ δοθεῖσα, καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΑΓ ἐστι δοθεῖσα. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ τῶν ΑΕΓ γωνία δοθεῖσα· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ τῶν ΕΓΑ δοθεῖσά ἐστιν· δέδοται ἄρα τὸ ΑΕΓ τρίγωνον τῷ εἴδει· λόγος ἄρα τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΓ δοθείς. τῆς δὲ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ τῆς ΕΑ ἄρα πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· ὥστε καὶ τῆς ΕΑ πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΑΖ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΘΑ· ὥστε καὶ τοῦ ΑΗ πρὸς τὸ ΑΘ λόγος ἐστὶ δοθείς. καί ἐστι τοῦ μὲν ΑΗ ἥμισυ τὸ ΑΒΓ, τοῦ δὲ ΑΘ ἥμισυ τὸ ΑΔΒ· καὶ τοῦ ΑΒΓ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς.

Ἐὰν ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο εὐθύγραμμα, ἃ ἔτυχεν, ἀναγραφῇ δεδομένα τῷ εἴδει, λόγον ἕξει πρὸς ἄλληλα δεδομένον.

ἀπὸ γὰρ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΒ δύο εὐθύ- γραμμα, ἅ ἔτυχεν, δεδομένα τῷ εἴδει ἀναγεγράφθω τὰ ΑΕΓΖΒ, ΑΔΒ· λέγω, ὅτι λόγος ἐστὶ τοῦ ΑΕΓΖΒ πρὸς ΑΔΒ δοθείς.

ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΖ, ΖE· δέδοται ἄρα ἕκα- στον τῶν ΕΓΖ, ΕΖΑ, ΖΑΒ τριγώνων τῷ εἴδει. καὶ ἐπεὶ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΕΖ δύο τρίγωνα δεδο- μένα τῷ εἴδει ἀναγέγραπται τὰ ΕΖΓ, EΖΑ, λόγος ἄρα ἐστὶ τοῦ ΓΕΖ πρὸς τὸ ΖΕΑ δοθείς· καὶ συν- θέντι ἄρα λόγος ἐστὶ τοῦ ΓΕΑΖ πρὸς τὸ ΖEΑ δο- θείς. τοῦ δὲ ΖΕΑ πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς, ἐπειδήπερ ἀπὸ τῆς αὐτῆς εὐθείας τῆς ΑΖ ἀναγέγραπται· καὶ τοῦ ΓEΑΖ ἄρα πρὸς τὸ ΖΑΒ λόγος ἐστὶ δοθείς· καὶ συνθέντι τοῦ ΓΕΒΖΑ πρὸς τὸ ΖΒΑ λόγος ἐστὶ δοθείς. τοῦ δὲ ΖΑΒ πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δο- θείς· καὶ τοῦ ΓEΑΒΖ ἄρα πρὸς τὸ ΑΔΒ λόγος ἐστὶ δοθείς.