De utilitate mathematicae

ἀναλογία δʼ ἐστὶ πλειόνων λόγων ὁμοιότης ἢ ταὐτό- της, τουτέστιν ἐν πλείοσιν ὅροις λόγων ὁμοιότης, ὅταν ὃν ἔχει λόγον ὁ πρῶτος πρὸς τὸν δεύτερον, τοῦτον ὁ δεύτερος πρὸς τὸν τρίτον ἢ ἄλλος τις πρὸς ἄλλον. λέγεται δὲ ἡ μὲν συνεχὴς ἀναλογία, ἡ δὲ διῃρημένη, συνεχὴς μὲν ἡ ἐν ἐλαχίστοις τρισὶν ὅροις, διῃρημένη δὲ ἡ ἐν ἐλαχίστοις τέσσαρσιν. οἷον μετὰ τὴν ἐν ἴσοις ὅροις ἀναλογίαν συνεχὴς ἐν ἐλαχίστοις ὅροις κατὰ μὲν τὸ διαπλάσιον δʹ βʹ αʹ ἔστι γὰρ ὡς δʹ πρὸς β, οὕτως βʹ πρὸς ἕν. διρρημένη δὲ ϛʹ γ δʹ βʹ ἔστι γὰρ ὡς Ϛʹ πρὸς τὰ γ΄, οὕτως δʹ πρὸς τὰ β΄. τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων πολλαπλασίων. ἔστι δὲ τρόπον τινὰ καὶ ἡ συνεχὴς ἐν τέτταρσιν ὅροις, δὶς λαμβανομένου τοῦ μέσου. καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμορίων δὲ ὁ αὐτὸς λόγος· συν- εχὴς μὲν ἀναλογία ἐν λόγῳ ἡμιολίῳ θʹ Ϛʹ δʹ, διῃρημένη δὲ θʹ Ϛʹ ιέ ί. ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων λόγος.

ὁ δὲ Ἐρατοσθένης φησίν, ὅτι τῆς ἀναλογίας [φύσις] ἀρχὴ λόγος ἐστὶ καὶ. . . . . . . . . . . . . πρώτη [*](1 ἐν corr. ex ἕν A 6 inscr. περὶ ἀναλογίας καὶ ἰσότητος ὁ, κζ in mg. δʼ ἔστι corr. ex δὲ ἐστὶ A. 15 ου συνάπτονται γαρ ἐνὶ μέσῳ ὅρῳ κοινῷ οὐ (scr. οἱ) δύο λόγοι, ὥσπερ ἐπὶ τοῦ δ β ᾶ ὁ β μέσος ὅρος ἐστὶ καὶ κοινός· ὡς γὰρ δ πρὸς β οὕτω β πρὸς ᾶ mg. A 18 οἷον ὡς δ πρὸς β, οὕτω β πρὸς ᾱ· ὁ γὰρ μέσος ὁ β θὲς εἴληπται, μετὰ τοῦ δ ὡς ὑποδιπλάσιος, μετὰ δὲ τοῦ ἄ ὡς διπλάσιος mg. A. 22 τρα- τοσθένης A 23 καὶ ante ἀρχὴ add. A2. in iis quae ex- ciderunt aequalitatis commemoratmio fuisse videtur; cf. p. 107, 10 sqq. 111, 12 1 ἀρχή post πρώτη add. A2, πρώτη τῆς γενέ- σεως αἰτία Bull. καὶ ante πᾶσι add. A 4 post καὶ una lit. er. A. 11 μικτοῦ corr. ex μικτὸν A τί ἑκάστου γένους στοιχεῖον καὶ ἀρχὴ καὶ πῶς ἐκ τούτων τοῖς ἐξ αὐτῶν ἡ γένεσις mg. A. 20 ὁ ἐστιν ἕν ante κατὰ del. A)