De utilitate mathematicae

τῶν δὲ ἐπιπέδων καὶ πολυγώνων ἀριθμῶν πρῶτος ὁ τρίγωνος, ὡς καὶ τῶν ἐπιπέδων εὐθυγράμμων σχη- μάτων πρῶτόν ἐστι τὸ τρίγωνον. πῶς δὲ γεννῶνται προείρηται, ὅτι τῷ πρώτῳ ἀριθμῷ τοῦ ἐξῆς ἀρτίου καὶ περιττοῦ προστιθεμένου. πάντες δὲ οἱ ἐφεξῆς ἀριθμοί, ἀπογεννῶντες τριγώνους ἢ τετραγώνους ἢ πολυγώνους, γνώμονες καλοῦνται. τοσούτων δὲ μονάδων ἕκαστον τρίγωνον ἔχει πλευρὰς πάντως, ὅσων καὶ μόνος ἐστὶν ὁ προσλαμβανόμενος γνώμων. οἷον ἔστω πρῶτον ἡ μονάς, λεγομένη τρίγωνον οὐ κατʼ ἐντελέχειαν, ὡς προειρήκαμεν, ἀλλὰ κατὰ δύναμιν· ἐπεὶ γὰρ αὕτη οἷον σπέρμα πάντων ἐστὶν ἀριθμῶν, ἔχει ἐν αὑτῇ καὶ τρι- γωνοειδῆ δύναμιν. προσλαμβάνουσα γοῦν τὴν δυάδα ἀποτελεῖ τρίγωνον, ἔχον πλευρὰς τοσούτων μονάδων, ὅσων ἐστὶν ὁ προσληφθεὶς γνώμων τῆς δυάδος. τὸ δὲ ὅλον τρίγωνον τοσούτων ἐστὶ μονάδων, ὅσων καὶ οἱ συντεθέντες γνώμονες. ὅ τε γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ 〈ὁ〉 τῶν δυεῖν γνώμων τὰ γ΄ ἐποιήσαν, ὥστε καὶ τὸ τρίγωνον [*](7 inscr. περὶ τριγώνων ἀριθμῶν A, κδ in mg. 10 προείρηται: p. 33, 1 11 cf. Nesselmann p. 203 14 τὰς ante πλευρὰς add. A2 πάντως corr. ex πάντων A 17 προ- ειρήκαμεν; p. 33, 6 24 τοσούτων, φησί, μονάδων ἐστὶν ἡ πλευρὰ τοῦ τριγώνου, ὅσων μονάδων ἐστὶν ὁ προστεθεὶς γνώ- μων· τοσαται δέ εἰσιν αἱ τοῦ γνώμονος μονάδες, ὅσοι εἰσὶν οἱ γνώμονες οἱ εἰς τὸ τρίγωνον συνελθόντες mg. A)

ἔσται μὲν τριῶν μονάδων, ἕξει δʼ ἑκάστην πλευρὰν τῶν δυεῖν, ὅσοι καὶ οἱ γνώμονες συνετέθησαν. εἶτα τὸ γ΄ τρίγωνον προσλαμβάνει τὸν τῶν γ΄ γνώμονα, ὃς μονάδι ὑπερέχει τῆς δυάδος, καὶ γίνεται τὸ μὲν ὅλον τρί- γωνον Ϛ΄· πλευρὰς δʼ ἕξει τοσούτων μονάδων καὶ τοῦτο τὸ τρίγωνον, ὅσοι γνώμονες συντέθεινται· ἐκ γὰρ τοῦ ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ συνετέθη ὁ ϛ΄. α α αα αα ααα εἶτα ὁ Ϛ΄ προσλαμβάνει τὸν δ΄· γίνεται τὸ τοῦ ι΄ τρίγω- νον, ἑκάστην πλευρὰν ἔχον δ΄ μονάδων· ὁ γὰρ προσλη- φθεὶς γνώμων ἦν ὁ δ΄, καὶ ἐκ δ΄ δὲ γνωμόνων ἦν τὸ ὅλον, τοῦ τε ἑνὸς καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄. ἔτι ὁ ι΄ προσ- λαμβάνει τὸν ε΄, καὶ γίνεται 〈τὸ τοῦ ιε΄〉 τρίγωνον, πλευρὰν ἔχον ἑκάστην μονάδων ε΄, καὶ ἐκ τῶν ε΄ γνω- μόνων συνέστη. ὁμοίως καὶ οἱ ἓξ γνώμονες . . . . . . . . . . . . τοὺς γνωμονικοὺς ἀριθμοὺς ἀποτελοῦσι.

λέγονται δέ τινες καὶ κυκλοειδεῖς καὶ σφαιροειδεῖς καὶ ἀποκαταστατικοὶ ἀριθμοί· οὗτοι δʼ εἰσὶν οἵτινες ἐν τῷ πολλαπλασιάζεσθαι ἢ ἐπιπέδως ἢ στερεῶς, τουτ- έστι κατὰ δύο διαστάσεις ἢ κατὰ τρεῖς, ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξωνται ἀριθμοῦ ἐπὶ τοῦτον ἀποκαθιστάμενοι. τοιοῦ- τον δέ ἐστι καὶ ὁ κύκλος· ἀφʼ οὗ ἂν ἄρξηται σημείου, [*](2 γνώμονες: ο corr. ex ω A εἶτα corr. ex εἰς A γ΄] τρίτον A, om. apogr. 3 ὃς corr. ex οἳ A 4 τῆς δυάδος corr. ex τὴν δυάδα A 5 τὰς ante πλευρὰς add. A2) [*](9 ἔχον corr. ex ἔχων A 10 γνώμων A2] γνώμω A1 12 τὸ τοῦ ιε΄ add. apogr. 13 γνωμόνω A1 14 ἓξ] ἑξῆς apogr. 16 inscr. περὶ κυκλοειδῶν καὶ σφαιροειδῶν καὶ ἀποκαταστατικῶν ἀριθμῶν A, κδ in mg. 17 οἵ- τινες — ἀποκαθιστάμενοι] scr. οἱ — ἀποκαθισταμενοι aut οἵ- τινες — ἀποκαθίστανται 21 κύκλος 〈ὅς〉?)

ἐπὶ τοῦτο ἀποκαθίσταται· ὑπὸ γὰρ μιᾶς γραμμῆς περι- εχόμενος ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἄρχεται καὶ εἰς ταὐτὸ καταλή- γει. τοιαύτη δὲ καὶ ἐν στερεῷ ἡ σφαῖρα· κύκλου γὰρ κατὰ πλευρὰν περιαγομένου ἡ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ αὐτὸ ἀποκατάστασις σφαῖραν γράφει. καὶ ἀριθμοὶ δὴ οἱ ἐν τῷ πολλαπλασιασμῷ ἐφʼ ἑαυτοὺς καταλήγοντες κυκλικοί τε καλοῦνται καὶ σφαιροειδεῖς· ὧν εἰσιν ὅ τε ε΄ καὶ ὁ Ϛ΄· πεντάκις γὰρ ε΄ κε΄, πεντάκις κε΄ ρκε΄, ἑξά- κις Ϛ΄ λϚ΄, καὶ ἑξάκις λϛ΄ σιϚ΄.