De utilitate mathematicae

σύνθετοι δέ εἰσι πρὸς ἑαυτοὺς οἱ ὑπό τινος ἐλάτ- τονος ἀριθμοῦ μετρούμενοι, ὡς ὁ Ϛʹ ὑπὸ δυάδος καὶ τριάδος. πρὸς ἀλλήλους δὲ σύνθετοι οἱ κοινῷ ᾡτινιοῦν μέτρῳ μετρούμενοι· ὡς ὁ ηʹ καὶ ὁ Ϛʹ [καὶ ὁ θʹ]· κοινὸν γὰρ ἔχουσι μέτρον δυάδα [καὶ τριάδα]· δὶς γὰρ γʹ Ϛʹ καὶ θὲς δʹ ηʹ [καὶ τρὶς γʹ θʹ]· 〈καὶ ὁ ϛʹ καὶ ὁ θʹ〉 κοινὸν γὰρ αὐτῶν μέτρον ἡ τρίας· καὶ γὰρ τρὶς βʹ ϛʹ καὶ τρὶς γʹ θ΄. οὔτε δὲ ἡ μονὰς ἀριθμὸς, ἀλλὰ ἀρχὴ ἀριθμοῦ, οὔτε ἡ ἀόριστος δυάς, πρώτη οὖσα ἑτερότης μονάδος καὶ μηδὲν αὐτῆς ἐν ἀρτίοις ἀρχικώτερον ἔχουσα. τῶν δὲ συνθέτων τοὺς μὲν ὑπὸ δύο ἀριθμῶν περιεχομένους καλοῦσιν ἐπιπέδους, ὡς κατὰ δύο διαστάσεις θεωρου- [*](4 ἀριθμῶν corr. ex ἀριθμὸν Α 8 β mg. Α 14 καὶ] ὡς Α 15 inscr. περὶ συνθέτου ἀριθμοῦ Α, ζ et in mg.) [*](18 δ mg. Α 23 sqq. οὔτε δὲ — ἔχουσα fort del.)

τῶν δὲ ἀρτίων οἱ μέν εἰσιν ἀρτιάκις ἄρτιοι, οἱ δὲ κεριττάκις ἄρτιοι, οἱ δὲ ἀρτιοπέριττοι. ἀρτιάκις μὲν ἄρ- τιοι [τὸ σημεῖον τοῦτό ἐστιν] οἷς τρία συμβέβηκεν, ἓν τὸ ὑπὸ δύο ἀρτίων ἐπʼ ἀλλήλους πολυπλασιασθέντων γεγενῆσθαι, δεύτερον τὸ πάντα ἄρτια ἔχειν τὰ μέρη μέχρι τῆς εἰς μονάδα καταλήξεως, τρίτον τὸ μηδὲν αὐ- τῶν μέρος ὁμώνυμον εἶναι περιττῷ· ὁποῖοί εἰσιν ὁ λβ΄ ξδʹ ρκηʹ καὶ οἱ ἀπὸ τούτων ἑξῆς κατὰ τὸ διπλάσιον λαμβανόμενοι. τὰ γὰρ λβʹ γέγονε μὲν ἔκ τε δʹ καὶ ηʹ, ἅ ἐστιν ἄρτια· μέρη δὲ αὐτῶν πάντα ἄρτια, ἥμισυ ιϛʹ, τέταρτον ὁ ηʹ, ὄγδοον ὁ δʹ· αὐτά τε τὰ μόρια ὁμώνυμα ἀρτίοις, τό τε ἥμισυ ὡς ἐν δυάδι θεωρούμενον καὶ τέταρτον καὶ ὄγδοον. ὁ δὲ αὐτὸς λόγος καὶ ἐπὶ τῶν λοιπῶν ὁμοίως ἀριθμῶν.