De utilitate mathematicae

ἡ μέντοι δεκὰς πάντα περαίνει τὸν ἀριθμόν, ἐμ- περιέχουσα πᾶσαν φύσιν ἐντὸς αὑτῆς, ἀρτίου τε καὶ περιττοῦ κινουμένου τε καὶ ἀκινήτου ἀγαθοῦ τε καὶ κακοῦ· περὶ ἧς καὶ Ἀρχύτας ἐν τῷ περὶ τῆς δεκάδος καὶ Φιλόλαος ἐν τῷ περὶ φύσιος πολλὰ διεξίασιν.

ἐπανιτέον δὲ ἐπὶ τὸν τῶν ἀναλογιῶν καὶ μεσοτή- των λόγον. μεσότητές εἰσι πλείονες, γεωμετρικὴ ἀριθ- μητικὴ ἁρμονικὴ ὑπεναντία πέμπτη ἕκτη. λέγονται δὲ καὶ ἄλλαι πάλιν ἓξ ταύταις ὑπεναντίαι. τούτων δέ φη- σιν ὁ Ἄδραστος μίαν τὴν γεωμετρικὴν κυρίως λέγεσθαι καὶ ἀναλογίαν καὶ πρώτην· ταύτης μὲν γὰρ αἱ ἄλλαι προσδέονται, αὐτὴ δʼ ἐκείνων οὐχί, ὡς ὑποδείκνυσιν ἐν τοῖς ἐφεξῆς. κοινότερον δέ φησι καὶ τὰς ἄλλας μεσότη- τας ὑπʼ ἐνίων καλεῖσθαι ἀναλογίας. τῶν δὲ κυρίως λεγομένων ἀναλογιῶν, τουτέστι τῶν γεωμετρικῶν, αἱ μέν εἰσιν ἐν ῥητοῖς ὅροις τε καὶ λόγοις, ὡς ιβ΄ ϛ΄ γ΄, [*](1 σφαίρεσι A1, σφαίραισι A2, em. apogr. ἰόντα; ν supra vs. A. 2 ἐννέα τῶν περὶ γαῖαν A quae verba del. A2, ταῦτʼ ἐνάτην περὶ γαῖαν Bergk, Ztschr. f. d. AW. 1850 p. 177. cf Theol. arithm. p. 56 σὺν οκτὼ δὴ σφαίρῃσι κυλίνδεται ὁ κυ- κλώων ἐνάτην περιγαίην, Ἐρατοσθένης φησίν 3 θ mg. A.) [*](7 ῑ mg. A ἐνπεριέχουσα A, em. apogr. 11 Φιλόλαος: fr. 13 Mullach. cf. Boeckh Philolaos Lehren p. 27. 146. Schaar- schmidt die angebliche Schriftstellerei des Philolaos p. Zeller l p. 368, 1 φύσεως A 17 ἀνάλογον ut vid. A1. cf. Procl. in Tim. p. 145 C)