De lineis spiralibus

Εἴ κα τᾶς ἕλικος τᾶς ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιψαύῃ, καὶ ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς εὐθεῖα γραμμὰ ἐπιζευχθῇ ἐπὶ τὸ σαμεῖον, ὅ ἐστιν ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἃς ποιεῖ γωνίας ἁ ἐφαπτομένα ποτὶ τὰν ἐπιζευχθεῖσαν, ἀνίσοι ἐσσοῦνται καὶ ἁ μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖα, ἁ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ὀξεῖα.

Ἔστω ἕλιξ, ἐφʼ ἇς τὰ Α, Β, Γ, △, Θ, ἐν τᾷ πρώτᾳ περιφορᾷ γεγραμμένα, καὶ ἔστω τὸ μὲν Α σαμεῖον ἀρχὰ τᾶς ἕλικος, ἁ δὲ ΑΘ εὐθεῖα ἀρχὰ τᾶς περιφορᾶς, ὅ τε πρῶτος κύκλος ὁ ΘΚΗ, ἐπιψαυέτω δέ τις εὐθεῖα γραμμὰ τᾶς ἕλικος ἁ Ε△Ζ κατὰ τὸ △, καὶ ἀπὸ τοῦ △ ἐπὶ τὸ Α ἐπεζεύχθω ἁ △Α. Δεικτέον ὅτι ἁ △Ζ ποτὶ τὰν Α△ ἀμβλεῖαν ποιεῖ γωνίαν.

Γεγράφθω κύκλος ὁ △ΤΝ κέντρῳ μὲν τῷ Α, διαστήματι δὲ τᾷ Α△ ἀναγκαῖον δὴ τούτου τοῦ κύκλου τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις περιφέρειαν ἐντὸς πίπτειν τᾶς ἕλικος, τὰν δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτὸς διὰ τὸ τᾶν ἀπὸ τοῦ Α ποτὶ τὰν ἕλικα ποτιπιπτουσᾶν εὐθειᾶν τὰς μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις μείζονας εἶμεν τᾶς Α△, τὰς δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐλάσσονας. Ὅτι μὲν οὖν ἁ γωνία ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν Α△Ζ οὐκ ἔστιν ὀξεῖα δῆλον, ἐπειδὴ μείζων ἐστὶ τᾶς τοῦ ἡμικυκλίου, ὅτι δὲ ὀρθὰ οὐκ ἔστι δεικτέον οὕτως ἔστω γὰρ, εἰ δυνατόν, ὀρθά ἁ ἄρα Ε△Ζ ἐπιψαύει τοῦ △ΤΝ κύκλου. Δυνατὸν δή ἐστιν ἀπὸ τοῦ Α ποτιβαλεῖν εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν, ὥστε τὰν μεταξὺ τᾶς ἐπιψαυούσας καὶ τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας εὐθεῖαν ποτὶ τὰν ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐλάσσονα λόγον ἔχειν τοῦ ὃν ἔχει ἁ μεταξὺ τᾶς ἁφᾶς καὶ τᾶς ποτιπιπτούσας περιφέρεια ποτὶ τὰν δοθεῖσαν περιφέρειαν, Ποτιπιπτέτω δὴ ἁ ΑΙ τεμεῖ δὴ οὕτα τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Λ, τὰν δὲ τοῦ △ΝΤ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ καὶ ἐχέτω

Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα τᾶς ἕλικος κατὰ τὸ πέρας ἐπιψαύῃ, ὅτι τὸ αὐτὸ συμβήσεται.

Καὶ τοίνυν, εἴ κα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ ἁ εὐθεῖα, τὸ αὐτὸ συμβήσεται.

Ἐπιψαυέτω γὰρ ἁ ΕΖ εὐθεῖα τᾶς ἐν τᾷ δευτέρᾳ περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος κατὰ τὸ △, καὶ τὰ ἄλλα τὰ αὐτὰ τοῖς πρότερον κατεσκευάσθω. Ὁμοίως δὴ τᾶς τοῦ ΡΝ△ κύκλου περιφερείας τὰ μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις τᾶς ἕλικος ἐντὸς πεσοῦνται, τὰ δὲ ἐν τοῖς ἑπομένοις ἐκτός ἁ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ τᾶν Α△Ζ οὐκ ἔστιν ὀρθά, ἀλλὰ ἀμβλεῖα. Ἔστω γάρ, εἰ δυνατόν, ὀρθά ἐπιψαύσει δὴ ἁ ΕΖ τοῦ ΡΝ△ κύκλου κατὰ τὸ △. Ἄχθω δὴ πάλιν ποτὶ τὰν ἐπιψαύουσαν ἁ ΑΙ καὶ τεμνέτω τὰν μὲν ἕλικα κατὰ τὸ Χ, τὰν δὲ τοῦ ΡΝ△ κύκλου περιφέρειαν κατὰ τὸ Ρ, ἐχέτω δὲ ἁ ΡΙ ποτὶ ΡΑ ἐλάσσονα λόγον τοῦ ὃν ἔχει ἁ △Ρ περιφέρεια ποτὶ ὅλαν τὰν τοῦ △ΡΝ κύκλου περιφέρειαν καὶ ποτὶ τὰν △ΝΤ · δέδεικται γὰρ τοῦτο δυνατὸν ἐόν καὶ ὅλα ἄρα ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἢ ἁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν △ΝΤ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας. Ἀλλʼ ὃν ἔχει λόγον ἁ Ρ△ΝΤ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ △ΝΤΡ κύκλου περιφερείας ποτὶ τὰν △ΝΤ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ △ΝΤΡ κύκλου περιφερείας, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΣΗΚΘ περιφέρεια μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ κύκλου περιφερείας τᾶς ΘΣΗΚ ποτὶ τὰν ΗΚΘ περιφέρειαν μεθʼ ὅλας τᾶς τοῦ ΘΣΗΚ κύκλου περιφερείας, ὃν δὲ λόγον ἔχοντι αἱ ὕστερον εἰρημέναι περιφέρειαι, τοῦτον ἔχει τὸν λόγον ἁ ΧΑ εὐθεῖα ποτὶ τὰν Α△ εὐθεῖαν δέδεικται γὰρ τοῦτο ἐλάσσονα ἄρα λόγον ἔχει ἁ ΙΑ ποτὶ τὰν ΑΡ ἢ ἁ ΑΧ ποτὶ τὰν Α△ ὅπερ ἀδύνατον ἴση μὲν γὰρ ἡ ΡΑ τῇ Α△, μείζων δὲ ἡ ΙΑ τῆς ΑΧ. Δῆλον οὖν ὅτι ἀμζλεῖά ἐστιν ἁ περιεχομένα ὑπὸ τᾶν Α△Ζ ὥστε ἁ λοιπὰ ὀξεῖά ἐστι.

Τὰ δʼ αὐτὰ συμζήσεται, καὶ εἴ κα ἁ ἐπιψαύουσα κατὰ τὸ πέρας τᾶς ἕλικος ἐπιψαύῃ.

Ὁμοίως δὲ δειχθήσεται, καὶ εἴ κα τᾶς ἐν ὁποιᾳοῦν περιφορᾷ γεγραμμένας ἕλικος ἐπιψαύῃ τις εὐθεῖα, καὶ εἴ κα κατὰ τὸ πέρας αὐτᾶς, ὅτι ἀνίσους ποιήσει τὰς γωνίας ποτὶ τὰν ἀπὸ τᾶς ἁφᾶς ἐπιζευχθεῖσαν ἐπὶ τὰν ἀρχὰν τᾶς ἕλικος καὶ τὰν μὲν ἐν τοῖς προαγουμένοις ἀμβλεῖαν, τὰν δὲ ἐν ἰοῖς ἑπομένοις ὀξεῖαν.