Adversus Mathematicos

ὥστ’ εἰ ἔστι <τι> τοῖς κατὰ ἀναλογίαν νοουμένοις πρὸς τὰ ἀφ’ ὧν νοεῖται, οὐδὲν δὲ ἔχομεν κοινὸν τοῦ τε ἀπλατοῦς καὶ τοῦ σὺν πλάτει μήκους, ἵνα ἀπ’ ἐκείνου ὁρμηθέντες νοήσωμεν τὸ ἀπλατὲς μῆκος, οὐδὲ κατὰ ἀναλογίαν οὖν νοεῖται τὸ τοιοῦτον.

ὅθεν εἰ ἕκαστον τῶν νοουμένων κατά τινα τῶν ἐκκειμένων τρόπων ὀφείλει νοεῖσθαι, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς κατὰ μηδένα αὐτῶν νοεῖσθαι δυνάμενον τὸ ἀπλατὲς μῆκος, λεκτέον ἀνεπινόητον εἶναι τὸ ἀπλατὲς μῆκος.

’Αλλ’ ἴσως τις ἐρεῖ, ὅτι λαβόντες τι μῆκος σὺν ποσῷ πλάτει κατ’ ἐπίτασιν νοοῦμεν τὸ ἀπλατὲς μῆκος· εἰ γὰρ [*](403—406 ~ adv. math. III 51—54.) [*](5 οὐδὲν scr. coll. p. 706, 9: οὐδὲ G 6 τι om. ’ς 7 ὅμοιον <καὶ> N 10 fort. αὐτῷ cf. p. 706, 15 <νοῆσαι> 12/13 ἐναργῶς γιγνωσκομένων scr. coll. p. 706, 18: ἐναργῶν γιγνομένων N: ἐναργῶν καὶ γιγνομένων LEς 18 ἀπ’ αὐτοῦ ς 19 πυγμαῖον RY: πυγωνιαῖον LEAB et RV γρ.: πυγμιαῖον N τι add. Hervetus cf. p. 706, 26 22 ἔνα — 23 μῆκος om. ς 26 αὐτῶν NL: τρόπον Ες cf. p. 707, 2)

ἀλλὰ πρῶτον μὲν ἐδείξαμεν, ὅτι ἡ παντελὴς τοῦ πλάτους ἄρσις καὶ τοῦ μήκους ἐστὶν ἀναίρεσις. ἔπειτα τὸ κατ’ ἐπίτασιν νοούμενον οὐχ ἕτερόν ἐστι τοῦ προνοηθέντος, ἀλλ’ αὐτὸ ἐκεῖνο ἐπιτεταμένον.

ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ ποσὸν ἔχοντος πλάτος κατ’ ἐπίτασιν στενότητος νοῆσαί τι θέλομεν, πάντως τὸ μὲν ἀπλατὲς μῆκος οὐκ ἐπινοήσομεν (ἑτερογενἐς γάρ ἐστιν),

ἀεὶ δὲ καὶ μῆλλον στενώτερον ληψόμεθα πλάτος, ὥστε τὴν κατάληξιν τῆς νοήσεως <ἐν> ἐλαχιστοτάτῳ γίνεσθαι πλάτει, μετὰ δὲ τὴν εἰς τὸ ἑτερογενὲς μετάβασιν συμβαίνειν, τουτέστι τοῦ συναναιρουμένου τῷ πλάτει μήκους.

καθόλου τε, εἰ κατὰ στέρησιν πλάτους νοῆσαι δυνάμεθα μῆκος ἀπλατές, ἐπεὶ πάντα τὰ στερητικὰ οὐκ ἔστιν ἐν ὑποκειμένῳ, οὐδὲ τὸ ἀπλατὲς μῆκος· διὸ οὐδὲ γραμμή. ἵππος μὲν γάρ τι ἔστιν ἐν ὑποκειμένῳ, οὐχ ἵππος δ’ οὐκ ἔστιν, καὶ ἄνθρωπος μὲν ἔστιν, οὐκ ἄνθρωπος δὲ οὐκ ἔστιν. τοίνυν εἰ ἔχομέν τι πλάτος ἤ τι μῆκος, ἐν ὑποκειμένῳ ἔσται· ἀπλατὲς δ’· οὐχ ὑπάρξει.

ὅνπερ οὖν τρόπον οἱ λέγοντες, ὅτι ἕτερον ἑτέρου μέγεθος ὑπερτιθέντες νόησιν λαμβάνουσι τοῦ ἀπείρου μεγέθους ὧς σώματος πλανῶνται, καὶ μέγιστον <μέν> τι καθ’ ὑπέρθεσιν πολλῶν μεγεθῶν οὐκ ἄπειρον δὲ τοῦτο, ἀλλὰ πεπερασμένον (ὃ γὰρ ἔσχατον νενοήκασι, τῇ

διανοίᾳ περιληπτόν ἐστιν, ὃ δὲ περιληπτόν ἐστι διανοίᾳ, πεπέρασται, ἐπείπερ τοι τὸ λοιπὸν οὔπω περιληφθὲν τῇ διανοίᾳ ἐλέγχει τὸ περιληφθὲν ὧς μὴ ὂν ἄπειρον), οὕτω τοίνυν κἀνθάδε ἡ συναίρεσις τοῦ πλάτους, εἰς ἐλάχιστον πλάτος καταληγούσης τῆς διανοίας, πλάτος ἐστὶ καὶ οὐ μῆκος ἀπλατές.

ἄλλως τε· [*](410—411 ~ adv. math. III 55—56.) [*](31 τὴν μείωσιν ς: σημείωσιν N 6 ἀεὶ N: εἰ LEς 7 κατάληξιν Bekk. coll. p. 707, 20: κατάληψιν G 8 ἐν add. Bekk. coll. p. 707, 21 9 δὲ Bekk.: δεῖ G U τι G: τις edd. 20 μέν add. Bekk. 23 xfi ante διανοίᾳ s. s. N fort. m. 24 οὔπω Bekk.: οὕτω G 27 ἔσται N)

καὶ ἐνδέξεται μετὰ ἀντιτύπου ἰδιώματος σῶμα νοήσαντας στερήσει τοῦ ἀντιτύπου ἰδιώματος λαβεῖν ἀναντίτυπον σῶμα. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· τὸ γὰρ ἄτρωτον νοούμενον οὐκ ἔστι σάρξ (σὺν τρωτῷ γὰρ ἰδιώματι ἐνοεῖτο <ἡ> σάρξ), ἀναντίτυπον οὐκ ἔστι σῶμα (σὺν γὰρ τῷ ἀντιτύπῳ ἰδιώματι ἐνοεῖτο τὸ σῶμα). τοίνυν καὶ τὸ νοούμενον χωρὶς πλάτους μῆκος οὐκ ἔστι μῆκος (σὺν ποσῷ γὰρ πλάτει νοεῖται τὸ μῆκος).

Ἀλλ’ ὅ γε Ἀριστοτέλης (fr. 29 Rose) οὐκ ἀδιανόητον ἔλεγεν εἶναι τὸ παρὰ τοῖς γεωμέτραις ἀπλατὲς μῆκος (τό γέ τοι τοῦ τοίχου μῆκος, φησί, λαμβάνομεν χωρὶς τοῦ ἐπιβάλλειν τῷ πλάτει τοῦ τοίχου), πλανώμενος. ὅταν γὰρ τὸ τοῦ τοίχου μῆκος λαμβάνωμεν χωρὶς πλάτους, οὐ χωρὶς παντὸς πλάτους τοῦτο λαμβάνομεν, ἀλλὰ χωρὶς τοῦ περὶ τῷ τοίχῳ πλάτους. ἐνδέχεται γὰρ συγκαταπλέξαντας τὸ τοῦ τοίχου μῆκός τινι πλάτει καὶ οἱῳδήποτε οὖν νόησιν αὐτοῦ ποιεῖσθαι, ὥστε μῆκος λαμβάνεσθαι οὐ χωρὶς πλάτους, ἀλλὰ χωρὶς τοῦδέ τινος πλάτους.

προύκειτο δὲ τῷ Ἀριστοτέλει παραστῆσαι, οὐχ ὅτι τὸ τινὸς πλάτους ἄμοιρον μῆκος ἐνδέχεται νοεῖν, ἀλλ’ ὅτι τὸ παντὸς πλάτους· ὅπερ οὐ παρέστησεν.

Πρὸς τούτοις· εἵπερ οἱ γεωμέτραι οὐ μόνον ἀπλατὲς μῆκός φασι τὴν γραμμήν, ἀλλὰ καὶ πέρας ἐπιφανείας, ὃ μῆκος καὶ πλάτος ἐστὶν ἀβαθές, ἐνέσται κοινότερον περί τε [*](412—413 ~ adv. math. III 57—59.) [*](414—417 ~ adv. math. III 60—64.) [*](1 ἀναντίτυπον LER: ἀντίτυπον NABV 3 ἔσται N ἡ add. Bekk. cf. v. 5. 7. p. 707, 33 4 ἀναντίτυπον E: ἀναντιτύπητον NLABR: ἀντιτύπητον 9 τὸ pr. N: τὸ πλάτος ς 10 φησί N (cf. p. 708, 12): om. LEg 15 καὶ om. N at cf. p. 708, 20 17 προύκειτο Bekk.: προυπέκειτο G 18 ἄμοιρον exp, N, cui substituit in marg. ἄπειρον 21 ὃ — 22 ἀβαθὲς del. Bekk. (qui secutus erat LEg) 22 καὶ πλάτος ἐστὶν ἀβαθές N: ἐστιν ἀπλατές LEς)

καὶ εἰ μὲν μία αἱ παράλληλοι δύο γραμμαὶ γίνονται, ἐπεὶ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, ἡ δὲ ἐπιφάνεια πέρας σώματος, τῶν δυεῖν γραμμῶν μιᾶς γινομένων καὶ αἱ δύο ἐπιφάνειαι μία γενήσονται. οὑτωσὶ δὲ καὶ τὰ δύο σώματα ‘ὲν ἔσται σῶμα, καὶ διὰ τοῦτο ἡ παράθεσις οὐκέτι γενήσεται παράθεσις, ἀλλὰ ἕνωσις. ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον· ἐπὶ τινῶν <μέν> γὰρ παρατιθεμένων ἀλλήλοις σωμάτων ἕνωσις πέφυκεν, ὧς ἐπὶ τῶν ὑγρῶν, ἐπὶ τινῶν δὲ οὐκέτι· λίθος γὰρ λίθῳ καὶ ἀδάμας ἀδάμαντι κατὰ τὴν παράθεσιν οὐχ

ἑνοῦται. ὥστε δύο γραμμαὶ οὐκ ἂν γένοιντο μία. καὶ ἄλλως· ἐὰν δῶμεν μίαν γενέσθαι, καὶ ἕνωσιν διὰ τοῦτο τῶν σωμάτων, δεήσει τὸν χωρισμὸν αὐτῶν μὴ κατὰ τὰ αὐτὰ πέρατα γίνεσθαι, ἀλλὰ κατ’ ἄλλα καὶ ἄλλα μέρη, βιαίως ἀποσπωμένων αὐτῶν. οὐχὶ δὲ τοῦτο· τῶν γὰρ περάτων καὶ πρὶν τῆς παραθέσεως καὶ μετὰ τὸν χωρισμὸν αὐτῶν ἡ αὐτὴ σῴζεται φύσις. οὐκ ἄρα αἱ δύο παράλληλοι γραμμαὶ μία γίνονται. σὺν τούτοις· εἴπερ αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται, τὰ παρατιθέμενα ἀλλήλοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ ἔσται ἐλάσσονα· γεγόνασι γὰρ αἱ δύο γραμμαὶ μία, καὶ ἡ μία κατ’ ἀνάγκην ὲν ἔχειν ἄκρον ὀφείλει. οὐχὶ δέ γε τὰ παρατιθέμενα ἀλλήλοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ γίνεται ἐλάσσονα, ὥστε οὐκ ἂν εἶεν αἱ δύο γραμμαὶ μία.

εἰ δὲ παράλληλοι δύο μένουσιν αἱ γραμμαί, τὸ ἐκ τῶν δυεῖν μεῖζον ἔσται ἰῆς μιᾶς. εἰ δὲ τὸ ἐκ τῶν δυεῖν γινόμενον μεῖζον ἔσται τῆς μιᾶς γραμμῆς, ἕξει ἐκατέρα αὐτῶν πλάτος, ὃ μετὰ τῆς ἑτέρας ταττόμενον μεῖζον ποιεῖ διάστημα, [*](24 ὅ ἐστι del. Bekk. cf. p. 709, 3 29 γινομένων N cf. p. 709, 8: γινομένης LEg 2 μὲν add. Bekk. cf. p. 709, 13 7 τὰ om. N 12 γίνονται Bekk. dubit. coll. p. 709, 26: γίνοιντο G: γένοιντο edd. 14 γεγόνασι — 17 ἐλάσσονα om. Νς (at cf. p. 709, 28 sqq. et ad v. 17) 17 post μία N iterat verba inde a 15 οὐχί)

Προηγουμένως μὲν οὖν ταῦτα ῥητέον πρὸς τὴν παρὰ τοῖς μαθηματικοῖς περὶ σωμάτων τε καὶ περάτων διάταξιν·

μεταβάντες δὲ ἀκολούθως σκοπῶμεν, εἰ καὶ κατὰ τὰς αὐτῶν ἐκείνων ὑποθέσεις δύναται προκόπτειν ὁ λόγος. ἀρέσκει τοίνυν τοῖς γεωμέτραις τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν στρεφομένην πᾶσιν αὐτῆς τοῖς μέρεσι κύκλους γράφειν. τούτῳ δὲ εὐθὺς αὐτῶν τῷ θεωρήματι μάχεται τὸ μῆκος ἀπλατὲς εἶναι τὴν γραμμήν.

ἐπεὶ γὰρ πᾶν μέρος γραμμῆς, ὥς φασι, σημεῖον ἔχει, τὸ δὲ σημεῖον στρεφόμενον κύκλον γράφει, ὅταν εὐθεῖα γραμμὴ στρεφομένη καὶ πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι Κυκλογραφοῦσα καταμετρῇ τὸ διάστημα τῆς ἐπιπέδου τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐξωτάτω περιφερείας, τότε ἤτοι συνεχεῖς εἰσιν οἱ παράλληλοι κύκλοι ἢ διεστᾶσιν ἀπ’ ἀλλήλων.