Adversus Mathematicos

οὐκ ἄρα ἀφαιρεῖταί τι τινός. ἀσώματον μὲν οὖν ἀπὸ ἀσωμάτου ἀφαιρεθῆναι τῶν ἀδυνάτων ἐστίν· τὸ γὰρ ἀφαιρούμενον ἀπό τινος οὐκ ἔστιν ἀθιγές, τὸ δὲ ἀσώματον ἀθιγὲς ὂν οὐ παρέχει αὑτὸ πρὸς ἀφαίρεσιν καὶ χωρισμόν.

ἔνθεν καὶ ματαιάζουσιν οἱ μαθηματικοί, ὅταν λέγωσι τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν δίχα τεμεῖν. ἡ γὰρ ἡμῖν ἐπὶ τοῦ ἄβακος δεικνυμένη εὐθεία αἰσθητὸν ἔχει μῆκος καὶ πλάτος, ἡ δὲ ὐπ’ αὐτῶν νοουμένη εὐθεῖα γραμμὴ μῆκός ἐστιν ἀπλατές. καὶ ἡ ἐπὶ τοῦ ἄβακος δεικνυμένη οὐκ ἂν εἴη γραμμή, καὶ οἱ ἐπιβαλλόμενοι ταύτην τέμνειν οὐ τὴν οὖσαν γραμμὴν ἀλλὰ τὴν μὴ οὖσαν τέμνουσιν.

ἤ καὶ ἄλλως· ἐπεὶ κατ’ αὐτοὺς ἡ γραμμὴ ἐκ στιγμῶν συνεστῶσα νοεῖται, ἔστω τις εὐθεῖα γραμμή, ἣν λέγουσιν εἰς ἴσα τέμνειν, ἐκ περισσῶν συνεστῶσα στιγμῶν, οἷον ἐννέα. ἀλλὰ ταύτην γε τέμνοντες ἢ τὴν πέμπτην διελοῦσι στιγμήν, φημὶ δὲ τὴν μεταξὺ τῶν τεσσάρων καὶ τεσσάρων νοουμένην, ἢ τῶν τμημάτων τὸ μὲν τεττάρων ποιήσουσι στιγμῶν τὸ δὲ πέντε. τὴν μὲν οὖν πέμπτην στιγμὴν οὐκ ἂν φαῖεν τέμνειν· ἀμερὴς γάρ ἐστι κατ’ αὐτούς, καὶ τὸ ἀμερὲς ἀδύνατον νοεῖν εἰς μέρη διαιρούμενον. λείπεται ἄρα τῶν τῆς γραμ- [*](282—283 ~ adv. math ΙΙΙ 109—111.) [*](21/22 καὶ ὅτι οὐδὲν ἀπ’ οὐδενὸς μετατίθεται om. ς 23 λεγόμενον N 28 ἀφαιρεῖται om. L 3 ματάζουσιν LE (idem p. 719, 18) 14 καὶ <τῶν> τεσσάρων L at cf. p. 720, 4)

ὁ δὲ αὐτὸς καὶ ἐπὶ τοῦ κύκλου λόγος νοείσθω. φασὶ γὰρ κύκλον εἶναι σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον, ἀφ᾿] οὗ πᾶσαι αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἐκβαλλόμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἀλλήλαις. εἶτα ἐπὶ τούτοις πρόβλημά ἐστι τὸν κύκλον δίχα τεμεῖν· ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον. τὸ γὰρ κέντρον, ὅπερ παντὸς τοῦ κύκλου μεσαίτατόν ἐστιν, ἤτοι δίχα τέμνεται κατὰ τὴν τοῦ κύκλου διχοτόμησιν ἢ τῷ ἑτέρῳ προσμερίζεται τμήματι.

ἀλλὰ δίχα μὲν τμηθῆναι τῶν ἀδυνάτων· πῶς γὰρ οἶόν τε τὸ ἀμερὲς ἐπινοεῖν μεριζόμενον; εἰ δὲ τῷ ἑτέρῳ προσμερίζεται τμήματι, ἄνισα γίνεται τὰ τμήματα καὶ ὁ κύκλος οὐ μέσος διαιρεῖται.

τό τε τέμνον τὴν γραμμὴν ἢ τὸν κύκλον ἤτοι σῶμά ἐστιν ἢ ἀσώματον. ἀλλὰ σῶμα μὲν πῶς <ἂν> ἐπινοηθείη; γὰρ καὶ ἀσώματον καὶ ἀνυπόπτωτον ἡμῖν τὸ τεμνόμενον, τουτέστιν ἡ γραμμὴ καὶ ὁ κύκλος. τοιοῦτο δὲ ὂν οὐκ ἂν τμηθείη ὑπὸ σώματος· τὸ γὰρ ὑπὸ σώματος τεμνόμενον παθεῖν δεῖ καὶ θιχθῆναι, τὸ δὲ ἀσώματον οὔτε θιγεῖν οὔτε θιχθῆναι πέφυκεν. ὥστε οὐκ ἔνεστι νοῆσαι] ὑπὸ σώματος τεμνομένην τὴν γραμμὴν καὶ διαιρούμενον τὸν κύκλον ἐπινοῆσαι. καὶ μὴν οὐδὲ ὑπὸ ἀσωμάτου τινός.

εἰ γὰρ ἀσώματόν ἐστι τὸ διαιροῦν τὴν γραμμὴν ἢ τὸν κύκλον, ἤτοι στιγμὴ στιγμὴν τέμνει ἤ γραμμὴ γραμμήν. οὔτε δὲ στιγμὴ τὴν στιγμὴν οὔτε γραμμὴ τὴν γραμμὴν [*](284 cf. adv. math. III 107.) [*](284—285 ~ adv. math. III 112.) [*](286—293 ~ adv. math. ΙΙΙ 113—115.) [*](25 ἀφ’ G: ἐφ’ edd.: delevi 27 ἀλλήλαις εἰσίν ς at cf. p. 719, 18 5 ἂν add. Bekk. 6 ἀνυπόπτωτον Bekk.: ἀνύποπτον G cf. p. 720, 25 7 ὢν RV 10 νοῆσαι del. Bekk. 12 ὑπὸ Bekk.: ἀπὸ G)

ἀλλὰ στιγμὴ μὲν τὴν στιγμὴν οὐκ ἂν τέμοι, ἐπεὶ ἑκατέρα ἐστὶν ἀμερής, καὶ οὔτε ἡ τέμνουσα ἔχει οἷς τεμεῖ οὔτε ἡ τεμνομένη τὰ εἰς ἃ τμηθήσεται.

γραμμὴ δὲ τὴν γραμμὴν πάλιν οὐκ ἂν διαιροίη. ἐάν τε γὰρ πλαγίως ἐπιζευχθῇ, ἐάν τε ὀρθίως ἡ τέμνουσα τῇ τεμνομένη, κατ’ ἀνάγκην ὀφείλει στιγμῇ ἑαυτῆς ἐπιζεύγνυσθαι τῇ κατὰ τὴν διαιρουμένην γραμμὴν στιγμῇ. ἀμεροῦς <μὲν> οὖν οὔσης καὶ τῆς ἐπιζευγνυμένης, δὲ καὶ τῆς ἐν τῇ τεμνομένῃ, οὐ γενήσεταί τις διαίρεσις διὰ τὸ μήτε τὴν τέμνουσαν εὐφυῶς ἔχειν πρὸς τὸ τέμνειν, οὖσαν ἀμερῆ, μήτε τὴν τεμνομένην πρὸς τὸ τέμνεσθαι τῷ παντὸς ἐστερῆσθαι μέρους.

καὶ μὴν οὐδ’ ἔνεστι λέγειν, ὅτι τὸ τέμνον τὴν γραμμὴν μεταξὺ δυεῖν στιγμῶν τῶν ἐν τῇ τεμνομένη γραμμῇ πῖπτον τέμνει τὴν γραμμήν. τοῦτο γὰρ τῶν προειρημένων ἐστὶν ἀτοπώτερον. πρῶτον μὲν γὰρ ἐν συνεχείᾳ γραμμῆς ἀδύνατόν ἐστι μέσον πεσεῖν πέρας, ἀλλ’ ἀνάγκη κατὰ στιγμῆς φερόμενον νοεῖν τὸ τέμνον.

εἶτα κἂν συγχωρηθῇ μεταξὺ δυεῖν στιγμῶν τῶν ἐν τῇ τεμνομένῃ γραμμῇ φερόμενον τὸ τέμνον τέμνειν τὴν γραμμήν, χεῖρόν τι ἀναδύσεται τοῖς γεωμέτραις. αἱ γὰρ συνθετικαὶ τῆς γραμμῆς στιγμαὶ ἤτοι οὕτως εἰσὶ συνεχεῖς ὧς μὴ παραδέχεσθαι μεταξὺ ἀλλήλων ἔξωθέν τινα στιγμήν, ἢ οὐκ ἔσται ἡ ἐξ αὐτῶν σύνθετος συνεχὴς καὶ μία γραμμή.

εἰ δ’ οὕτως εἰσὶ συνεχεῖς ὧς ἀνεπινόητον ἔχειν μεταξὺ ἀλλήλων τόπον στιγμῆς, ἴνα τὸ τέμνον διχάζῃ τὴν γραμμήν, δυεῖν θάτερον, ἢ τὴν στιγμὴν δεῖ τὴν καθ’ ἧς φέρεται νοεῖν διχαζομένην, ἢ τούτου ἀδυνάτου καθεστῶτος τὰς ὑποκειμένας στιγμὰς τῆς γραμμῆς νοεῖν ὑπαναχωρούσας καὶ τόπον καὶ διάστασιν παρεχομένας, τοτὲ μὲν ἐπὶ τόδε τὸ μέρος συστελλομένων, τοτὲ δὲ ἐπὶ τόδε, ὧν ἑκάτερόν ἐστιν ἄτοπον·

οὔτε γὰρ στιγμή, καθὼς προπαρεμυθησάμεθα, τέμνεσθαι δύναται τῷ ἀμετέμνη [*](17 N 18 τεμεῖ LE: τέμνει N: τεμῆ ς τὰ Bekk.: τὸ G ὃ Gen. 23 μὲν add. Bekk. 26 τῶ ς 32 στιγμῆς Bekk.; στιγμὴν G 6 σύνθετος συνεχὴς Bekk.: συνεχὴς σύνθετος G cf. p. 721, 7 8 τόπων NL στιγμῆς Bekk.: στιγμῶν G 13 συστελλομένας Fabr.)

κἂν ἐπὶ τῶν αἰσθητῶν δὲ γραμμῶν καὶ κύκλων, τουτέστι τῶν ἐπὶ τοῦ ἄβακος βλεπομένων, θέλωσι στήσαντες τὸν λόγον οἱ γεωμέτραι διδάσκειν τί τινος ἀφαιρούμενον, οὐ δυνήσονται· οὔτε γὰρ ἀφ’ ὅλης τῆς γραμμῆς ἢ ἀφ’ ὅλου τοῦ κύκλου δύναταί τις ἀφαίρεσις γενομένη νοεῖσθαι οὔτε ἀπὸ μέρους, ὡς μικρὸν ὕστερον προβάντος τοῦ λόγου διδάξομεν (§ 331 sqq.), ὅταν εἰς τὴν περὶ τῶν τεμνομένων σωμάτων ζήτης ἱν συγκαταβαίνωμεν. [*](26a) Νῦν δὲ συντόμως δειχθέντος,

ὅτι οὐδὲν ἀσώματον οὐδενὸς ἀσωμάτου ἀφαιρεῖσθαι δύναται, λείπεται λέγειν ἢ σῶμα ἀπὸ σώματος χωρίζεσθαι ἢ ἀσώματον ἀπὸ σώματος ἢ σῶμα ἀπὸ ἀσωμάτου.

ἀλλὰ σῶμα μὲν ἀπὸ ἀσωμάτου ἀφαιρεῖσθαι αὐτόθεν ἐστὶν ἀδιανόητον, ἀσώματον δὲ ἀπὸ σώματος χωρίζεσθαι τῶν ἀδυνάτων· θιγεῖν γὰρ δεῖ τοῦ ἀφαιρουμένου τὸ ἀφαιροῦν, ἀθιγὲς δέ ἐστι τὸ ἀσώματον καὶ ἀδύνατος δέδεικται ἡ θίξις· ὥστε οὐδὲ ἀσώματον σώματος χωρισθείη ποτ’ ἄν. καὶ ἄλλως· τὸ χωριζόμενόν τινος οἱονεὶ μέρος ἐστὶ τοῦ ἀφ’ οὗ χωρίζεται, τὸ δὲ ἀσώματον τοῦ σώματος οὐκ ἂν εἴη μέρος.

καὶ μὴν οὐδὲ σῶμα σώματος δύναται ἀφαιρεῖσθαι. εἰ γὰρ σῶμα ἀπὸ σώματος ἀφαιρεῖται, ἤτοι τὸ ἴσον ἀπὸ τοῦ ἴσου ἀφαιρεῖται ἢ τὸ ἄνισον ἀπὸ τοῦ ἀνίσου· ἀλλ’ οὔτε τὸ ἴσον ἀπὸ τοῦ ἴσου ἀφαιρεῖσθαι δύναται, ὡς διδάξομεν, οὔτε τὸ ἄνισον ἀπὸ τοῦ ἀνίσου, ὧς ὑπομνήσομέν· οὐκ ἄρα σῶμα ἀπὸ σώματος ἀφαιρεῖται.

ἴσον μὲν οὖν ἀπὸ ἴσου οὐκ ἂν ἀφαιρεθείη, [*](297—307 ~ Hyp. ΙΙΙ 85—88.) [*](16 αἱ om. N 22 γὰρ N (iam addid. Bekk.); om. LEς 25 προβάντος N (iam scrips. Fabr.): προβάντες ς 30 σῶμα μὲν Fabr,: ἀσώματον μὲν G 8 τοῦ om. ς 12 <τοῦ> ἴσου N)

καὶ ἔτι ἤτοι ἀπὸ μένοντος τοῦ πήχεως ποιησόμεθα τὴν ἀφαίρεσιν ἢ ἀπὸ μὴ μένοντος. καὶ εἰ μὲν ἀπὸ μένοντος, διπλασιάσομεν τὸν πῆχυν ἀλλ᾿ οὐκ ἐλαττώσομεν· πῶς γὰρ ἔτι πῆχυς ὑποκείσεται ὁ πῆχυς πήχεως ἐξ αὐτοῦ ἀφαιρεθέντος; εἰ δὲ ἀπὸ μὴ μένοντος, οὐδὲν ἀπολείπομεν τὸ τὴν ἀφαίρεσιν ἐπιδεξόμενον· ἀπὸ γὰρ τῶν μὴ ὄντων ἀμήχανόν τι ἀφαιρεθῆναι. ὥστε ἴσον μὲν ἀπὸ ἴσου οὐκ ἀφαιρεῖται. καὶ μὴν οὐδὲ τὸ ἄνισον ἀπὸ τοῦ ἀνίσου.

εἰ γὰρ τοῦτο, ἤτοι τὸ μεῖζον ἀπὸ τοῦ ἥττονος ἀφαιρεῖται, ὥσπερ ἀπὸ παλαιστοῦ πῆχυς, ἢ ἀπὸ μείζονος τὸ ἧττον, ὡς τὸ παλαιστιαῖον ἀπὸ πηχυαίου.