Adversus Mathematicos

καὶ εἰ μὲν σώ- [*](§ 77 ~ M IX 430 || 78– 79 ~ M IX 431 || 79 ~ M IX 432 || 80 ~ M IX 433 –434 || 81 ~ M IX 434–435) [*](1 αἱ om. VC || 6 ἔτι Bekk.: ἔστι G: adhuc Herv. || 10 γε Bekk.: δὲ G || 13 ἢ – 15 περάτων add. Bekk. cl. p. 474, 19 (Bekk.) || 17 δυεῖν ubique EL || 19 ἢ καὶ — 20 οἴνου om. C || 22 μᾶλλον pro μὲν ζ )

εἰ δὲ ἀσώματόν ἐστι τὸ πέρας, ἐπεὶ τὸ ἀσώματον οὐδενὸς δύναται θιγεῖν οὐδὲ θιχθῆναι, τὰ πέρατα οὐχ ἅψεται ἀλ- λήλων, τούτων δὲ μὴ ἁπτομένων οὐδὲ τὰ πεπερατωμένα ἅψεται ἀλλήλων. κἂν δῶμεν οὖν εἶναι μῆκος ἀπλατὲς τὴν γραμμήν, ὁ περὶ τῆς ἐπιφανείας λόγος ἄπορός ἐστιν. οἷς, κἂν ἡμεῖς μὴ λέγωμεν, ἀπόροις οὖσι συναναιρεῖται καὶ τὸ στερεὸν σῶμα, ἐκ τούτων σύνθετον καθεστώς.

Σκοπῶμεν δὲ καὶ οὕτως· εἰ γὰρ σῶμά ἐστιν, ὥς φασιν οἱ γεωμέτραι, τὸ τὰς τρεῖς ἔχον διαστάσεις, μῆκος πλάτος βάθος, ἤτοι χωριστόν ἐστι τούτων τὸ σῶμα, ὥστε ἄλλο μὲν εἶναι τὸ σῶμα ἄλλο δὲ τὸ μῆκος τοῦ σώματος πλάτος τε καὶ βάθος, ἢ ὁ ἀθροισμὸς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα. ἀλλὰ χωρίζεσθαι μὲν τούτων τὸ σῶμα οὐ πιθανόν ἐστιν· ὅπου γὰρ μήτε μῆκός ἐστι μήτε πλάτος μήτε βάθος, ἐκεῖ οὐχ οἷόν τε νοῆσαι σῶμα·

εἰ δὲ ὁ ἀθροισμὸς τούτων νοεῖται σῶμα καὶ ἄλλο παρὰ ταῦτα οὐδὲν ὑπάρχει, ἐξ ἀνάγκης, ἐπεὶ ἕκαστον τούτων ἀσώματόν ἐστι, καὶ ἡ κοινὴ τῶν ἀσωμάτων σύνοδος γενήσεται ἀσώματος. ὥσπερ γὰρ καὶ ἡ σύνθεσις τῶν στιγμῶν καὶ ἡ σύνοδος τῶν γραμμῶν ἀσωμάτων φύσει καθεστηκυιῶν οὐ ποιεῖ στερεὸν καὶ ἀντί- τυπον σῶμα, οὕτω καὶ ἡ τοῦ πλάτους καὶ ἡ τοῦ μήκους ἔτι δὲ καὶ ἡ τοῦ βάθους συνέλευσις ἀσώματος οὖσα οὐκ ἂν ποιήσαι στερεὸν καὶ ἀντίτυπον σῶμα. εἰ δὲ μήτε χωρὶς τούτων ἐστὶ τὸ σῶμα μήτε ταῦτʼ ἐστιν, ἀνεπινόητον, ὅσον ἐπὶ τοῖς γεωμέτραις, γίνεται τὸ σῶμα.

Πρὸς τούτοις, εἴπερ μήκους καὶ πλάτους καὶ βά|θους σύνοδος ποιεῖ σῶμα, ἤτοι πρὶν τῆς συνόδου ἕκαστον τού- των νοεῖται περιέχον ἐν ἑαυτῷ τὴν σωματότητα καὶ τοὺς ὥσπερ σωματικοὺς λόγους, ἢ μετὰ τὴν τούτων συνέλευσιν ἐπισυνέστη τὸ σῶμα. καὶ εἰ μὲν ἕκαστον τούτων πρὶν τῆς συνόδου νοεῖται περιεκτικὸν τῆς σωματότητος, ἔσται τού- των ἕκαστον σῶμα καὶ οὐ μετὰ τὴν σύνοδον αὐτῶν ἐκεῖνο γενήσεται.

εἶτʼ ἐπεὶ τὸ σῶμα οὐ μῆκος μόνον ἐστίν, οὐδὲ πλάτος κατ᾿ ἰδίαν, οὐδὲ βάθος κατὰ περιγραφήν, ἀλλʼ ὁμόσε τὰ τρία, καὶ μῆκος καὶ πλάτος καὶ βάθος, τούτων τε ἕκαστον περιεῖχε τὴν σωματότητα, ἕκαστον αὐτῶν ἕξει τὰ τρία, καὶ τὸ μῆκος οὐ μόνον ἔσται μῆκος ἀλλὰ καὶ πλάτος καὶ βάθος, καὶ τὸ πλάτος οὐ μόνον ἔσται πλάτος ἀλλὰ καὶ μῆκος καὶ βάθος, καὶ τὸ βάθος ὁμοίως ἔσται καὶ πλάτος καὶ μῆκος. ὅπερ τελέως ἐστὶν ἀλογώτατον.

εἰ δὲ συνελθόντων τούτων τότε νοεῖται ἡ σύστασις τοῦ σώματος, ἤτοι συνελθόντων αὐτῶν μένει ἡ ἀρχῆθεν φύοις τοῦ 〈μὲν〉 μήκους ὡς μήκους, τοῦ δὲ πλά- τους ὡς πλάτους, τοῦ δὲ βάθους ὡς βάθους, ἢ μετα- βέβληκεν εἰς τὴν σωματότητα.

καὶ εἰ μὲν μένει ἡ ἀρχῆ- θεν αὐτῶν φύσις, ἐπεὶ ἀσώματά ἐστιν, οὐδὲ διάφορον ποιήσει σῶμα, ἀλλὰ καὶ μετὰ τὴν σύνοδον ἀσώματα με- νεῖ, τὴν φύσιν ὄντα ἀσώματα.

εἰ δὲ συνελθόντα μετα- βάλλει εἰς τὴν σωματότητα, ἐπεὶ τὸ ἐπιδεχόμενον μετα- βολὴν εὐθέως ἐστὶ σῶμα, ἕκαστον τούτων καὶ πρὶν τῆς εἰς ταὐτὸ συνόδου ἔσται σῶμα, οὕτω τε καὶ τὸ ἀσώμα- τον γενήσεται σῶμα. ὥσπερ τε τὸ σῶμα μεταβάλλον ἄλ- λην μὲν ἀντʼ ἄλλης ἔχει ποιότητα, μένει δὲ οὐδὲν ἧσσον σῶμα, οἷον τὸ λευκόν, ἵνα μέλαν γένηται, καὶ τὸ γλυκύ, ἵνα πικρόν, καὶ ὁ οἶνος, ἵνα ὄξος, καὶ ὁ μόλιβδος, ἵνα [*](§ 85 ~M IX 371 || 86 ~M IX 372 || 87 ~ M IX 373 || 88—90 ~M IX 374– 375) [*](14 καὶ μῆκος καὶ πλάτος ζ || 16 τότε – 17 αὐτῶν om. E || 18 μὲν add. Bekk. || 21 ἀσώματος G: corr. Bekk. || 26 ταὐτὸν ELVr || 27 τε om. VC || 29 ὅτι τὸ σῶμα δέχεται μεταβολὴν μένει δὲ οὐδὲν ἧττον σῶμα inf. marg. L )

οὐκ ἐκβαίνει δὲ τοῦ σώματα εἶναι, ἀλ|λὰ καὶ τὸ μέλαν, ὅτε ἐκ λευκοῦ γέγονε μέλαν, καὶ τὸ πικρόν, ὅτε ἐκ τοῦ γλυκέος γέγονε πικρόν, καὶ τὸ ὄξος, ὅτε ἐκ τοῦ οἴνου γέγονεν ὄξος, μένει σώματα, οὕτω καὶ ταῦτα, εἴπερ μεταβάλλει εἰς σώματα, ἄλλα μὲν ἀντʼ ἄλ- λων ἔσται σώματα, σώματα δὲ οὐδὲν ἧττον οὐ γὰρ ἐκβήσεται τὴν ἰδίαν φύσιν. εἰ οὖν οὔτε πρὶν τῆς συνελεύ- σεως τούτων ἔστι νοῆσαι τὸ σῶμα οὔτε μετὰ τὴν συν- έλευσιν αὐτῶν, παρὰ δὲ ταῦτα οὐκ ἔστιν ἄλλως ἐπινοῆ- σαι, οὐδέν ἐστι σῶμα.

πρὸς δὲ τούτοις, εἰ μηδέν ἐστι μῆκος μηδὲ πλάτος μηδὲ βάθος, οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν τούτων νοούμενον ἔσται σῶμα οὐχὶ δέ γε μῆκος ἔστιν οὐδέ πλάτος οὐδὲ βάθος, ὡς διὰ τῶν ἔμπροσθεν παρεμυ- θησάμεθα οὐδὲ τὸ κατὰ μετουσίαν ἄρα τούτων νοούμε- νον ἔσται σῶμα.

Τὰς μὲν οὖν γεωμετρικὰς ἀρχὰς οὕτω συμβέβηκεν ἀν- υποστάτους εἶναι τούτων δὲ ἀναιρουμένων οὐδὲ ἄλλο τι γεωμετρικὸν θεώρημα συστῆναι δύναται. ὁποῖον γὰρ ἂν ᾖ τοῦτο, γραμμικῶς ὀφείλει ἀποδείκνυσθαι, ἐδείξαμεν δὲ ἡμεῖς ὅτι οὐδέν ἐστιν ἡ γενικὴ γραμμή, ᾧ ἀκολουθεῖ μηδὲ τῶν ἐπʼ εἴδοὺς τινὰ ὑπάρχειν, ἐάν τε εὐθεῖάν τις ταύτην ὑποτίθηται ἐάν τε κεκλασμένην ἐάν τε ἄλλως πως ἔχουσαν.

ὅθεν ἤρκει μὲν ἴσως ἐν τούτοις περατοῦν τὴν πρὸς τοὺς γεωμέτρας ἀντίρρησιν ὅμως δὲ ἐπαγωνιζόμε- νοι πειρασόμεθα διδάσκειν ὅτι κἂν τῶν ἀρχῶν ἀποστῶμεν τῶν τῆς γεωμετρίας, οὐ δύνανται θεώρημα συστῆσαι οἱ γεωμέτραι οὐδʼ ἀποδεῖξαι.

καίτοι πρὶν τούτων καὶ πρὸς τὰς ὑποβεβηκυίας αὐτῶν ἀρχὰς οὐκ ὀλίγα δυνατόν ἐστι λέγειν, οἷον ὅταν φῶσιν εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένην. ἵνα γὰρ τὰ ἄλλα παρ- [*](§ 91 ~M IX 375 | 94 φῶσιν Euclid. el. I def. 4) [*](1 ἀπʼ ἄλλῆς G: coar. Bekk. || 3 ἀλλὰ – 5 σώματα om. ζ || 6 εἰς σώματα del. Bury || 7 ἀσώματα, ἀσώματα ci. Heintz, sed cf. p. 464, 16 sqq. (Bekk.) || 10 ἔνεστιν VCBHR, marg. ms. editionis Gen. || 13 [σῶμα] Harder; an σῶμα ἔσται? || 29 ἀποβεβηκυίας AB )

εἶτα καὶ τὸ ἴσον λέγεται διχῶς, κατὰ ἕνα μὲν τρόπον τὸ ἰσομέγεθες καὶ μήτε ὑπερέχον ἐκείνου τοῦ ᾧ λέγεται ἴσον μήτε ὑπερεχόμενον, καθὸ καὶ τὸ πηχυαῖον ξύλον ἴσον εἶναι λέγομεν τῷ πηχυαίῳ, καθʼ ἕτερον δὲ τὸ ἔχον ἐξ ἴσου τὰ μέρη κείμενα, τουτέστι τὸ ὁμαλόν οὕτω γοῦν τὸ ‘ἴσον’ ἔδαφος καλοῦμεν ἀντὶ τοῦ ‘ὁμαλόν’.

διχῶς οὖν τοῦ ἴσου προσαγορευομένου, ὅταν οἱ γεωμέτραι τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν ὑπογράφοντες φῶσιν ‘εὐθεῖά ἐστι γραμμὴ ἡ ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κειμένη’, ἤτοι τὸ κατὰ τὸ πρῶ- τον σημαινόμενον λαμβάνουσιν ἴσον ἢ τὸ κατὰ τὸ δεύτε- ρον. ἀλλʼ εἰ μὲν τὸ κατὰ τὸ πρῶτον, τελέως εἰσὶν ἀνόη- τοι οὐδένα γὰρ ἔχει νοῦν τὸ εὐθεῖαν εἶναι γραμμὴν τὴν ἰσομεγέθη τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι καὶ μήτε ὑπερέχουσαν ταῦ- τα μήτε ὑπερεχομένην ὑπὸ τούτων.

εἰ δὲ τὸ κατὰ τὸ δεύτερον, διʼ αὐτοῦ τοῦ ζητουμένου διδάξουσιν, εἴγε ὅτι μέν ἐστιν εὐθεῖα παριστᾶσιν ἐκ τοῦ ὁμαλῶς τε καὶ ἐπʼ εὐθείας ἔχειν κείμενα τὰ μέρη, τὸ δὲ ἐπʼ εὐθείας τι κεῖ- σθαι οὐκ ἔστι μαθεῖν μὴ ἐπιβαλόντας τῇ εὐθείᾳ.

πολλῷ δὲ ἀτοπώτατοι τυγχάνουσι κἀκείνως ὁριζόμενοι ‘εὐθεῖά ἐστιν ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἑαυτῆς πέρασι στρέφεται’ ἢ οὕ- τως ‘ἥτις περὶ τὰ ἑαυτῆς πέρατα στρεφομένη πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσιν ἅπτεται τοῦ ἐπιπέδου.’ πρῶτον μὲν γὰρ καὶ αὗται αἱ ἀποδόσεις ὑποπίπτουσι ταῖς πρότερον ἡμῖν εἰρημέναις ἀπορίαις· εἶτα, καθὼς καὶ οἱ Ἐπικούρειοί (fr. 273 a p. 351 Us.) φασιν, ἡ τοῦ κενοῦ εὐθεῖα εὐθεῖα μέν ἐστιν, οὐ στρέφεται δὲ διὰ τὸ καὶ αὐτὸ τὸ κενὸν μήτε ὅλον μήτε κατὰ μέρος κίνησιν ἐπιδέχεσθαι.

ἡ μὲν [*](6 ἶσον ELV (ubique) || 8 καθ᾿ ὃν dub. Bekk. || 13 γραφὴν ABR et marg. VC exemplarisque edd. Genevensium || 20 διʼ αὑτοῦ τὸ ζητούμενον Heintz Bury: -μένου〈τὸ ζητούμενον〉 διδ. Theiler | ὅτι edd.: ὁ ELVr: ἡ ζ || 28 καὶ om. ζ | αἱ om. AB || 29 εἰρημέναις ἡμῖν ζ edd.)

Οἷος δέ ἐστιν ὁ περὶ τῆς εὐθείας λόγος, τοιοῦτος γέ- νοιτʼ ἂν καὶ ὁ περὶ τῆς γωνίας. πάλιν γὰρ ὅταν ὑπογρά- φοντες λέγωσιν ὅτι γωνία ἐστὶ δυοῖν εὐθειῶν μὴ κατάλ- ληλα κειμένων τὸ ὑπὸ τὴν κλίσιν ἐλάχιστον, ἤτοι ἐλάχι- στον λέγουσι τὸ ἀμερὲς σῶμα ἢ τὸ κατ᾿ αὐτοὺς σημεῖον καὶ στιγμήν.