Adversus Mathematicos

εἰ γὰρ ἡ γραμμὴ πέρας ἐστὶν ἐπιφανείας, μῆκος ἀπλατὲς κοθεστῶσα, δῆλον ὡς ὅταν ἐπιφάνεια ἐπιφανείᾳ παρατεθῇ, ἤτοι παράλληλοι γε- νήσονται δύο γραμμαὶ ἢ μία ἀμφότεραι. καὶ εἰ μὲν κία [*](§ 57– 59 ~ M IX 412 || 59 ~ M IX 413 || 60 ~ M IX 414 || 61–62 ~ M IX 415) [*](5 περισκελίας ζ || 11 gloss. οὔτε πλανώμενος οὔτε σοφιζόμενος ἀλλὰ καὶ λίαν ἀληθεύων, ὡς (καὶ L) τοῖς δυναμένοις ἐφιστάνειν ἀπαθῶς, οἶμαι, δόξειεν ἄν marg. Lζ || 12 τὸ 〈τοῦ〉 τοίχου Bekk. || 19 προύκειτο (Bekk.: προϋπέκειτο G) –20 πλάτους om. E, inseruit post v. 21 μῆκος, vocem ἀμοιρεῖ iterans )

ἐπὶ τινῶν μὲν γὰρ σωμάτων δύναται ἡ παρά- θεσις ἕνωσις γίνεσθαι, καθάπερ ὕδατος καὶ τῶν ἐοικότων τούτῳ, ἐπὶ τινῶν δὲ οὐδαμῶς· καὶ γὰρ λίθος λίθῳ παρα- τιθέμενος καὶ σίδηρος σιδήρῳ καὶ ἀδάμας ἀδάμαντι κατὰ γραμμὴν οὐχ ἑνοῦνται. ὥστε οὐκ ἂν γένοιντο αἱ δύο γραμμαὶ μία γραμμή. καὶ γὰρ ἄλλως, εἰ ἕνωσίς ἐστι τῶν δύο γραμμῶν μιᾶς γενομένων καὶ σύμφυσις τῶν σωμά- των, ἐχρῆν τὸν χωρισμὸν γίνεσθαι μὴ κατὰ τὰ αὐτὰ αὐ- τῶν πέρατα ἀλλὰ κατὰ ἄλλα καὶ ἄλλα μέρη ἀποσπωμέ- νων, ὥστε καὶ φθορὰν συμβαίνειν. οὐχὶ δέ γε τοῦτο γινό- μενον θεωρεῖται, ἀλλὰ τὰ πέρατα τῶν σωμάτων καὶ πρὸ τῆς παραθέσεως καὶ μετὰ τὸν χωρισμὸν τοιαῦτά ἐστιν ὁποῖα καὶ ἐν τῇ παραθέσει ὄντα [πρότερον] ἐφαίνετο. οὐ τοίνυν αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται.

οὐ μὴν ἀλλʼ εἴπερ αἱ δύο γραμμαὶ μία γίνονται, δεήσει τὰ παρατιθέμενα ἀλλή- λοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ ἐλάσσω εἶναι· γεγόνασι γὰρ αἱ δύο μία, ἥτις ἓν ἔχειν ὀφείλει πέρας τε καὶ ἄκρον. οὐχὶ δέ γε τὰ παρατιθέμενα ἀλλήλοις σώματα ἑνὶ ἄκρῳ γίνεται ἐλάσ- σονα, ὥστε αἱ δύο γραμμαὶ οὐκ ἂν γένοιντο μία γραμμή.

εἰ δὲ παράλληλοι γίνονται δύο γραμμαὶ κατὰ παράθε- σιν δυοῖν σωμάτων, τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γραμμῶν μεῖζον ἔσται τῆς μιᾶς γραμμῆς. εἰ δὲ τὸ ἐκ τῶν δυοῖν γινόμενον γραμ- μῶν μεῖζόν ἐστι τῆς μιᾶς γραμμῆς, ἔχοι ἂν ἑκατέρα αὐτῶν πλάτος, ὃ μεθʼ ἑτέρας μείζονα ποιεῖ τὴν διάστασιν, καὶ οὕτως οὐκ ἔστιν ἀπλατὲς μῆκος ἡ γραμμή. δυοῖν [*](§ 62 ~ M IX 416 || 63 ~ M IX 416 || 64 ~ M IX 417) [*](2 τῶν μὲν ci. Bekk.: τῶν δὲ G || 3. 4. 6. δυεῖν EL || 9 γενέσθαι VC || 13 εἰ om. VC || 20 [] Harder | ἐφαίνοντο G: corr. dubitans Bekk. Bury || 28.29.32 δυεῖν EL || 29 εἰ — 30 γραμμῆς om. ζ )

Καὶ δὴ ταῦτα μὲν προηγουμένως ῥητέον ἐστὶν ἡμῖν πρὸς τὰς τῆς γεωμετρίας ἀρχάς· μεταβάντες δὲ διδά- σκωμεν ὅτι καὶ κατὰ τὰς ἐκείνων αὐτῶν ὑποθέσεις οὐχ οἷόν τε προβαίνειν τὴν ζήτησιν. ἀρέσκει τοίνυν αὐτοῖς τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ὡς καὶ ἀνώτερον (112, 26) ἐλέγομεν, στρεφομένην πᾶσιν αὐτῆς τοῖς μέρεσι κύκλους γράφειν· ᾧπερ θεωρήματι ὄντι συνεκτικωτάτῳ μαχόμενόν ἐστι τὸ τὴν γραμμὴν μῆκος ἀπλατὲς ὑπάρχειν.

ζητῶμεν δὲ τὸν τρόπον τοῦτον· εἰ γὰρ κατ᾿ αὐτοὺς πᾶν μέρος τῆς γραμ- μῆς ἔχει σημεῖον, τὸ δὲ σημεῖον στρεφόμενον κύκλον γράφει, δεήσει κατ᾿ αὐτούς, ὅταν ἡ εὐθεῖα γραμμὴ στρε- φομένη καὶ πᾶσι τοῖς ἑαυτῆς μέρεσι κυκλογραφοῦσα τὸ διάστημα καταμετρῇ 〈τὸ〉 τῆς ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς ἐξωτάτης περιφερείας ἐπιπέδου, τότε ἤτοι συνεχεῖς ἀλλή- λοις ὑπάρχειν τοὺς καταγραφομένους κύκλους ἢ διεστῶ- τας ἀπʼ ἀλλήλων.

ἀλλʼ εἰ μὲν διεστᾶσιν ἀπʼ ἀλλήλων, ἀκολουθήσει μέρος τι εἶναι τῆς ἐπιπέδου τὸ μὴ κυκλο- γραφούμενον, καὶ τῆς εὐθείας μέρος τὸ κατὰ τούτου μὲν φερόμενον τοῦ διαστήματος, μὴ κυκλογραφοῦν δέ. ὅπερ ἐστὶν ἄτοπον. ἢ γὰρ οὐκ ἔχει κατὰ τοῦτο τὸ μέρος ση- μεῖον ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ ἔχουσα οὐ καταγράφει κύκλον, ὧν ἑκάτερον παρὰ τὸν γεωμετρικόν ἐστι λόγον· καὶ πᾶν γὰρ | μέρος τῆς γραμμῆς σημεῖον ἔχειν φασί, καὶ πᾶν σημεῖον στρεφόμενον κυκλογραφεῖν.

εἰ δὲ συνεχεῖς ἀλλή- λοις ὑπάρχειν οἴονται τοὺς κύκλους, ἤτοι οὕτως εἰσὶ συν- εχεῖς ὡς τὸν αὐτὸν ἐπέχειν τόπον, ἢ ὥστε ἄλλον παῤ ἄλλον τετάχθαι μηδενὸς σημείου μεταξὺ πίπτοντος· πᾶν [*](§ 65 ~ M IX 418–419 || 68 ~ M IX 420 || 67 ~ M IX 421–422 || 68 ~ M IX 423) [*](12 γραμμικῆς EL Vr AB Gen.: γραμμῆς, sed in marg. γρ γραμ- μικῆς VCR || 15 ἑαυτοῖς VCBR || 16 καταμετρῆ τῆ ἀπὸ G: corr. Bekk. || 17 ἐξωτάτω Bekk. 25. 26 γὰρ om. LVr: καὶ γὰρ πᾶν Gen. Fabr. || 26 ἔχει LVr )

εἰ γὰρ ὁ μὲν ἐξωτάτω κύκλος καὶ πρὸς αὐτῇ τῇ περιφερείᾳ μεῖζον ἐπέχει διάστημα καὶ ὁ ἐσωτάτω πρὸς τῷ κέντρῳ κύκλος μικρὸν ἐπέχει διάστημα, πάντες δὲ οἱ κύκλοι τὸν αὐτὸν ἐπέχουσι τόπον, ὁ τὸ μεῖζον ἐπέ- χων διάστημα ἴσος γενήσεται τῷ 〈τὸ〉 ἐλάχιστον ἐπέ- χοντι διάστημα· ὅπερ ἐστὶν ἀπεμφαῖνον. οὐ τοίνυν οὕτως εἰσὶ συνεχεῖς οἱ κύκλοι ὡς τὸν αὐτὸν τόπον ἐπέχειν.

εἰ δὲ παράλληλοι τυγχάνουσιν ὥστε μεταξύ τι μὴ πίπτειν ἀμερὲς σημεῖον, συμπληρώσουσι τὸ ἀπὸ τοῦ κέντρου μέχρι τῆς περιφερείας πλάτος. εἰ δέ γε συμπληρώσουσιν, ἐπέ- χουσί τι πλάτος. ἦσαν δέ γε οὗτοι γραμμαί. αἱ ἄρα γραμ- μαὶ ἔχουσί τι πλάτος καὶ οὐκ ἀπλατεῖς καθεστήκασιν.

Ἀπὸ δὲ τῆς αὐτῆς δυνάμεως ὁρμώμενοι ὁμοιότροπον τῇ προαποδοθείσῃ συνθήσομεν ἐπιχείρησιν. ἐπεὶ γάρ φασι τὴν κυκλογραφοῦσαν εὐθεῖαν γραμμὴν διʼ ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν, συνερωτῶντες αὐτοὺς φήσομεν· εἰ ἡ κυκλογραφοῦοα εὐθεῖα γραμμὴ δι ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφειν πέφυκεν, οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή· ἀλλὰ μὴν ἡ κυκλογραφοῦοα εὐθεῖα γραμμὴ διʼ ἑαυτῆς τὸν κύκλον καταγράφει, ὡς ἐκεῖνοί φασιν· οὐκ ἄρα μῆ- κός ἐστιν ἀπλατὲς ἡ γραμμή, ὡς ἡμεῖς τοῦτο ἀκόλουθον ὂν ἐκείνοις διδάξομεν.

ὅταν γὰρ ἡ ἀπὸ τοῦ κέντρου ἀγο- μένη εὐθεῖα στρέφηται καὶ διʼ ἑαυτῆς καταγράφῃ κύ- κλον, τότε ἤτοι κατὰ πάντων τῶν μερῶν τοῦ ἐντὸς τῆς περιφερείας πλάτους φέρεται ἡ εὐθεῖα γραμμή, ἢ οὐ κατὰ [*](§ 69 ~ M IX 424 || 70 ~ M IX 425 || 71 ~ M IX 426 || 72—73 ~ M IX 427) [*](1.2 καὶ αὐτὸ Bekk. cl. p. 472, 19 (Bekk.): τὸν αὐτὸν G || 5 καὶ om. E || 10 ἶσος EL | τὸ add. dub. Bekk. Bury || 15 συμπληρώσουσι 〈πλάτος〉, ἔχουσί dub. Bekk. || 16 δ᾿ ἄρα E || 21 23 καταγράφειν om. ζ || 25 καταγράφειν ζ )

πλάτος δὲ κατα- μετροῦσα ἕξει πλάτος· τὸ γὰρ τοῦ πλάτους καταμετρη- τικὸν ὀφείλει πλάτος ἔχειν, ᾧ καταμετρεῖ. ἡ ἄρα εὐ- θεῖα γραμμὴ κυκλοφοροῦσα ὅλον καταμετρεῖ τὸ πλάτος, καὶ οὔκ ἐστι μῆκος ἀπλατὲς ἡ γραμμή.

Τὸ δʼ αὐτὸ σαφέστερον δειχθήσεται καὶ ὅταν λέγωσιν οἱ γεωμέτραι τὴν πλάγιον τοῦ τετραγώνου πλευρὰν κατ- αγομένην τὸ παραλληλόγραμμον [καὶ] ἐπίπεδον καταμε- τρεῖν. εἴπερ γὰρ μῆκος ἀπλατές ἐστιν ἡ πλαγία πλευρὰ τοῦ τετραγώνου καταγομένη, οὐ καταμετρήσει τὸ παραλ- ληλόγραμμον ἐπίπεδον τοῦ τετραγώνου διʼ ἑαυτῆς· τὸ γὰρ καταμετρητικὸν πλάτους ὀφείλει πλάτος ἔχειν. εἰ δὲ καταμετρεῖ, πάντως πλάτος ἔχει. ὥστε πάλιν ἢ τοῦτο τὸ θεώρημα ψεῦδος εἶναι τοῖς γεωμέτραις, ἢ μηδὲν ὑπάρ- χειν τὸ νοούμενον μῆκος ἀπλατές.

Τόν τε κύλινδρόν φασι κατ᾿ εὐθεῖαν γραμμὴν ἅπτε- σθαι τῆς ἐπιπέδου καὶ ἐκκυλιόμενον τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖν τὴν ἐπίπεδον. ἀλλʼ εἰ καὶ κατ᾿ εὐθεῖαν ἅπτετοι τῆς ἐπιπέδου ὁ κύλινδρος καὶ κυλιόμενος τῇ ἀνὰ μέρος ἄλλων καὶ ἄλλων εὐθειῶν θέσει καταμετρεῖ τὴν ἐπίπεδον, πάντως καὶ ἡ ἐπίπεδος συνέστηκεν ἐξ εὐθειῶν καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου πά- λιν ἐξ εὐθειῶν πεπλήρωται.

ὅθεν ἐπεὶ ἔχει καὶ ἡ ἐπί- πεδος πλάτος καὶ ἡ ἐπιφάνεια τοῦ κυλίνδρου ὁμοίως καὶ οὐκ ἔστιν ἀπλατής, τὸ δὲ πλάτους ποιητικὸν ὀφείλει καὶ [*](§ 74 ~ M IX 428 || 75– 76 ~ M IX 429) [*](1 κατὰ om. E || 6 ἡ ἄρα G: εἰ ἄρα 〈ἡ〉 Heintz Bury || 7 κυκλο- φοροῦσα G: κυκλογραφοῦσα Heintz Bury: κυκλοποροῦσα dub. Bekk. | τὸ πλάτος 〈καὶ ἔχει πλάτος〉 Bury || 8 καὶ del. Heintz || 11 καὶ del. Fabr. || 12 γὰρ om. LVr πλάγιος Bekk. ante πλαγία an inserendum 〈γραμμή, πάντως καὶ ἡ 〉 dub. Heintz || 13 παρα- μετρήσει L, καταμετρή al. man. suprscr. || 21 ἀλλ᾿ — 24 ἐπίπεδον om. ζ || 28 πλάτος ABVR )

Εἰ δὲ καὶ δοίημεν τὴν γραμμὴν μῆκος εἶναι ἀπλατές, τὰ ἀκόλουθα τούτοις ἔτι τούτων ἀπορώτερα. ὥσπερ γὰρ τὸ σημεῖον ῥυὲν ποιεῖ γραμμήν, οὕτω καὶ ἡ γραμμὴ ῥυεῖσα ποιεῖ ἐπιφάνειαν κατ᾿ αὐτούς, ἥτις ἐστί, φασί, πέ- ρας σώματος δύο ἔχον διαστάσεις, μῆκος καὶ πλάτος.

εἴπερ οὖν ἡ ἐπιφάνεια πέρας ἐστὶ σώματος, τό γε σῶμα πάντως πεπερασμένον ἐστίν καὶ εἰ τοῦτο, ὅτε παρατίθε- ται δύο σώματα ἀλλήλοις, τότε ἤτοι τὰ πέρατα τῶν περά- των ἢ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων ἅψεται 〈ἢ καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων〉, οἷον ἐπὶ τοῦ ἀμφορέως, εἰ νοήσαιμεν πέ- ρας μὲν τὸ ἔξωθεν ὄστρακον πεπερατωμένον δὲ τὸν ἐν αὐτῷ οἶγον.

δυοῖν οὖν ἀμφορέων παραβληθέντων ἀλλή- λοις ἤτοι τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου ἅψεται ἢ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου ἢ καὶ τὸ ὄστρακον τοῦ ὀστράκου καὶ ὁ οἶνος τοῦ οἴνου. καὶ εἰ μὲν τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα ἀλλήλων οὐχ ἅψεται, τουτέστι τὰ σώ- ματα, ὅπερ ἧν ἀπεμφαῖνον. εἰ δὲ τὰ πεπερατωμένα μὲν ἀλλήλων ἅψεται, τουτέστι τὰ σώματα, τὰ πέρατα δὲ ἀλ- λήλων οὐχ ἅψεται, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων περάτων.

εἰ δὲ καὶ τὰ πέρατα τῶν περάτων ἅπτεται καὶ τὰ πεπερατωμένα τῶν πεπερατωμένων, ἐπισυνθήσομεν τὰς ἀπορίας· μὲν γὰρ τὰ πέρατα ἀλλήλων ἅπτεται, τὰ πεπερατωμένα οὐχ ἅψεται ἀλλήλων, ᾗ δὲ τὰ πεπερατω- μένα, ἐκτὸς ἔσται τὰ σώματα τῶν οἰκείων περάτων, ἐπεὶ πέρας μέν ἐστιν ἡ ἐπιφάνεια, πεπερασμένον δὲ τὸ σῶμα. τά τε πέρατα σώματά ἐστιν ἢ ἀσώματα.