Adversus Mathematicos

Ἐπεὶ οἱ γεωμέτραι συνορῶντες τὸ πλῆθος τῶν ἐπα- κολουθούντων αὐτοῖς ἀποριῶν εἰς ἀκίνδυνον εἶναι δοκοῦν καὶ ἀσφαλὲς πρᾶγμα καταφεύγουσι, τὸ ἐξ ὑποθέσεως αἰ- τεῖσθαι τὰς τῆς γεωμετρίας ἀρχάς, καλῶς ἂν ἔχοι καὶ ἡμᾶς τῆς πρὸς αὐτούς ἀντιρρήσεως ἀρχὴν τίθεσθαι τὸν περὶ τῆς ὑποθέσεως λόγον.

καὶ γὰρ ὁ Τίμων (B 75 Diels PPF) ἐν τοῖς πρὸς τοὺς φυσικοὺς τοῦτο ὑπέλαβε δεῖν ἐν πρώτοις ζητεῖν, φημὶ δέ τὸ εἰ ἐξ ὑπσθέσεώς τι ληπτέον. διόπερ καὶ ἡμᾶς οἰκεῖόν ἐστιν ἐκείνῳ στοιχοῦντας τὸ παραπλήσιον ποιεῖν ἐν τῇ πρὸς τοὺς ἀπὸ τῶν μαθημάτων διεξόδῳ.

τάξεως δὲ ἕνεκα προληπτέον ὅτι πολλαχῶς μὲν καὶ ἄλλως ὑπόθεσις προσαγορεύεται, τὰ νῦν δὲ ἀπαρκέσει τριχῶς λέγεσθαι, καθʼ ἕνα μὲν τρόπον ἡ δραματικὴ περι- πέτεια, καθὸ καὶ τραγικὴν καὶ κωμικὴν ὑπόθεσιν εἶναι λέγομεν καὶ Δικαιάρχου τινὰς ὑποθέσεις τῶν Εὐριπίδου καὶ Σοφοκλέους μύθων, οὐκ ἄλλο τι καλοῦντες ὑπόθεσιν ἢ τὴν τοῦ δράματος περιπέτειαν.

καθʼ ἕτερον δὲ σημαι- νόμενον ὑπόθεσις προσαγορεύεται ἐν ῥητορικῇ 〈ἡ〉 τῶν ἐπὶ μέρους ζήτησις, καθὸ καὶ οἱ σοφισταὶ πολλάκις εἰώ- θασιν ἐν ταῖς διατρι | βαῖς λέγειν ῾ θετέον ὑπόθεσιν.ʼ οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ κατὰ τρίτην ἐπιβολὴν ὑπόθεσιν καλοῦμεν ἀρχὴν ἀποδείξεως, αἴτησιν οὖσαν πράγματος εἰς κατα- σκευήν τινος.

οὕτω γοῦν τρισὶν ὑποθέσεσι κεχρῆσθαί φαμεν τὸν Ἀσκληπιάδην εἰς κατασκευὴν τῆς τὸν πυρετὸν [*](§ 5 cf. e. g. Caelius Aurelianus, celerum passionoun l. I, 8. I 106sq.) [*](2 ἀπόρων dub. Bekk. || 9 ἐκεῖνο ?? || 18 ἡ add. Bekk. || 20 θέτε LVr, in marg. θετέον γ L || 21 καὶ om. LVr || 22 ἀποδείξεων G: corr. Harder cl. p. 108, 12 )

Ἀλλὰ γὰρ τοσαυταχῶς νοουμένης [τὰ νῦν] τῆς ὑπσθέ- σεως, πρόκειται τὰ νῦν ζητεῖν οὐ μὰ Δία περὶ τῆς δρα- ματικῆς διατάξεως, οὐδέ περὶ τῆς παρὰ τοῖς ῥήτορσι ζητήσεως, ἀλλὰ περὶ τῆς ἐν τέλει λεχθείσης ὑποθέσεως, ἣν ἀρχὴν ἀποδείξεως συμβέβηκεν εἶναι ταύτην γὰρ καὶ οἱ γεωμέτραι λαμβάνουσι τὴν ὑπόθεσιν, βουλόμενοί τι γεωμετρικῶς ἀποδεῖξαι.

διόπερ εὐθὺς ῥητέον ὅτι καὶ ἐπεὶ οἱ ἐξ ὑπσθέσεως λαμβάνοντές τι καὶ χωρὶς ἀποδείξεως ψιλῇ μόνον ἀρκοῦνται φάσει πρὸς τὴν ταύτης πίστιν, πεύσεταί τις αὐτῶν τοιούτῳ τινὶ χρώμενος ἐπιλογισμῷ.

ἤτοι ἰσχυρόν ἐστι καὶ βέβαιον πρὸς πίστιν τὸ ἐξ ὑπο- θέσεως τι λαβεῖν ἢ ἄπιστόν τε καὶ ἀσθενές. ἀλλʼ εἰ μὲν ἰσχυρόν, καὶ τὸ ἀντικείμενον ἐξ ὑποθέσεως ληφθὲν πι- στὸν γενήσεται καὶ βέβαιον, ὥστε θήσομεν τὰ μαχόμενα. εἰ δὲ ἐπὶ τοῦ τὸ ἐναντίον ἐξ ὑποθέσεως λαμβάνοντος χωρίς ἀποδείξεως ἄπιστόν ἐστιν ἡ ὑπόθεσις, ἄπιστος γενήσεται καὶ ἐπʼ ἐκείνου, ὥστε οὐδέτερον αὐτῶν θήσομεν. οὐ τοίνυν ληπτέον ἐστὶν ἐξ ὑποθέσεως τι.

καὶ μὴν τὸ ὑποτιθέμενον πρᾶγμα ἤτοι ἀληθές ἐστι καὶ τοιοῦτον ὁποῖον αὐτὸ ὑπο- τιθέμεθα ἢ ψεῦδος. ἀλλʼ εἰ μὲν ἀληθές ἐστι, μηδὲ αἰτώ- μεθα αὐτό, εἰς πρᾶγμα ὑποψίας πλῆρες κατα |φεύγοντες, τὴν ὑπόθεσιν, ἀλλʼ αὐτόθεν λαμβάνωμεν, ἐπείπερ οὐθεὶς τἀληθῆ καὶ ὄντα ὑποτίθεται, καθάπερ οὐδὲ τὸ νῦν ἡμέραν εἶναι ἢ ἐμέ διαλέγεσθαι καὶ ἀναπίνεῖν ἡ γὰρ περιφάνεια [*](§ 6 ὑπσθέσεως def. Proclus in Eucl. el. eomm. p. 76 Friedlein 8 cf. M VIII 370 || 9-10 ~ M VIII 371) [*](1.2.4. numeri α, β, γ in marg. L || 3 μέρει G: corr. Fabr. || 5 ἀδιάληπτοί E || 2 [ ] delevi || 19 ἄπιστόν τι καὶ G: corr. Bekk. || 23 ἡ om. LVr )

εἰ δʼ οὔκ ἐστι τοιοῦτο ἀλλὰ ψεῦδος καθέστηκεν, οὐδὲν ὄφελος ἀνακύψει ἐκ τῆς ὑποθέσεως· κἂν γὰρ μυριάκις αὐτὸ ὑπο- τιθώμεθα, σαθροῖς, ὥς φασι, θεμελίοις [οὐκ ] ἀκολουθή- σει τὸ συμπέρασμα τῆς ζητήσεως ἐξ ἀνυπάρκτων ὁρμω- μένης ἀρχῶν.

οὐ μὴν ἀλλʼ εἴ τις οἷς ἄν ὑπσθῆται, τού- τοις τὰ ἀκολουθοῦντα πιστὰ τυγχάνειν ἀξιώσει, μήποτε πᾶσαν ἀναιρεῖ ζήτησιν. εὐθέως γὰρ ὑποθήσεται ἕκαστος ἡμῶν τὸ τὰ τρία τέσσαρα εἶναι, καὶ τούτου δοθέντος συν- άξει ὅτι καὶ τὰ ἓξ ὀκτώ ἐστιν εἰ γὰρ τὰ τρία τέσσαρά ἐστι, τὰ ἕξ ῥκτὼ γενήσεται ἀλλὰ μὴν τὰ τρία τέσσαρά ἐστιν, ῾ος ἡ ὑπόθεσις δίδωσιν τὰ ἄρα ἕξ ὀκτώ ἐστιν. πάλιν τε αἰτήσομεν ὅτι μένει τὸ κινούμενον,

καὶ συγχω- ρηθέντος τοῦ πράγματος συνάξομεν ὅτι ἡ φλὀξ ἠρεμεῖ· εἰ γὰρ τὸ κινούμενον μένει, ἡ φλὸξ ἠρεμεῖ· τὸ δέ γε κινούμενον μένει, 〈ὡς ἡ ὑπόθεσις δίδωσιν〉 ἡ ἄρα φλὸξ ἠρεμεῖ. ἀλλʼ ὃν τρόπον οἱ γεωμέτραι ἀτόπους ἐροῦσιν εἶναι ταύτας τὰς ὑποθέσεις (βέβαιον γὰρ εἶναι δεῖ τὸν θεμέλιον, ἵνα συνομολογηθῇ καὶ τὸ ἀκόλουθον), οὕτω καὶ ἡμεῖς πάντα τὰ ὑποθετικῶς αὐτοῖς λαμβανόμενα οὐ προσ- ησόμεθα χωρὶς ἀποδείξεως.

ἄλλως τε, εἰ βέβαιόν ἐστι καὶ πιστὸν τὸ ὑποτιθέμενον ἧ ὑποτίθεται, μὴ ταῦτα ὑπο- τιθέσθωσαν ἐξ ὧν ἀποδείξουσί τι, ἀλλʼ αὐτὸ τὸ ἀποδεικ- νύμενον, τουτέστι μὴ τὰ λήμματα τῆς ἀποδείξεως ἀλλὰ τὴν ἐπιφοράν ὃ γὰρ δύναται πρὸς πίστιν αὐτοῖς ἐπὶ τῶν ἐκκαλυπτόντων ἡ ὑπόθεσις, τοῦτο δυνήσεται καὶ ?? τῶν ἐκκαλυπτομένων ἐκ τῆς ἀποδείξεως πραγμάτων. | εἰ δʼ ἄπιστόν ἐστι, κἂν πολλάκις ὑποτεθῇ, τὸ τῆς ἀποδείξεως [*](§ 10 σαθροῖς θεμελίοις cf. Lucian. Hermot tim. 74 (vol. I, 384 Jacobitz) || 11 ~ M VIII 372 || 12 ~M VIII 373 || 13 ~ M VIII 374) [*](6 οὐκ del. Heintz || 10 ἀναιρῆ Ϛ || 16 εἰ — 18.19 ἄρα φλὸξ ήρεμεῖ om. E || 18 addidi || 20 εἶναι δεῖ ELVr Gen.: εἶναι δεῖν Herv. Bekk.: εἶναι δοκεῖ δεῖν Ϛ || 22 προησόμεθα ELVr AB || 29 ὑπὸ- δείξεως C || 30 ὑπετέθη G: corr. Bekk. )

νὴ Δίʼ, ἀλλʼ εἴπερ, φασί, τὸ ἀκολου- θοῦν ταῖς ὑποθέσεσιν ἀληθὲς εὑρίσκεται, πάντως καὶ τὰ ὑποτεθέντα, τουτέστιν οἷς ἐπηκολούθησεν, ἀληθῆ γενή- σεται. ὃ πάλιν ἐστὶν εὔηθες πόθεν γὰρ ὅτι τὸ ἀκολου- θοῦν τισιν ἐν ἀποδείξει πάντως ἀληθές ἐστιν; ἢ γὰρ ἐξ αὐτοῦ μαθόντες ἐκείνου τοῦτʼ ἐροῦσιν, ἐκ τῶν οἷς ἠκο- λούθησε λημμάτων.

ἀλλʼ ἐξ αὐτοῦ μὲν οὐκ ἂν εἴποιεν. ἄδηλον γάρ ἐστι, τὸ δὲ ἄδηλον ἐξ αὑτοῦ πιστὸν οὐκ ἔστιν ἀποδεικνύναι γοῦν τοῦτο ἐπιβάλλονται ὡς μὴ ἐν αὑτῷ τὴν πίστιν ἔχον. καὶ μὴν οὐδʼ ἐκ τῶν λημμάτων· περὶ γὰρ τούτων ἐστὶν ἡ πᾶσα διαμάχη, καὶ μηδέπω αὐτῶν πεπιστευμένων οὐδέ τὸ ἀποδεικνύμενον ἐξ αὐτῶν βέβαιον εἶναι δύναται.

ἔτι οὐδʼ ἂν τὸ λῆγον ᾖ ἀληθές, εὐθὺς καὶ τὸ ἡγούμενόν ἐστι τοιοῦτον. ὥσπερ γὰρ τῷ ἀληθεῖ πέ- φυκεν ἀληθές ἐπακολουθεῖν καὶ ψεύδει ψεῦδος, οὕτως ἠξίωται καὶ ψεύδει ἀληθὲς συνεισάγεσθαι, καθάπερ [ἐν] τῷ πέτασθαι τὴν γῆν, ψεύδει ὄντι, τὸ εἶναι τὴν γῆν ἀλη- θὲς ὑπάρχον εἵπετο.

ὅθεν οὐκ εἰ τὸ λῆγόν ἐστιν ἀληθές, πάντως καὶ τὸ ἡγούμενον ἀληθές, ἀλλʼ ἐνδέχεται τοῦ λήγοντος ἀληθοῦς ὄντος τὸ ἡγούμενον ὑπάρχειν ψεῦδος.

Καὶ δὴ ὅτι μὲν οὐκ εὖ ποιοῦσιν οἱ ἀπὸ τῶν μαθημά- των ἐξ ὑποθέσεως λαμβάνοντες τὰς ἀρχὰς τῆς ἀποδεί- ξεως καὶ ἑκάστου θεωρήματος, ἐπιφθεγγόμενοι τὸ ῾δεδό- σθωʼ, διὰ τούτων αὐταρκως κατεσκεύασται·

μετελθόντες δὲ ἑξῆς διδάσκωμεν ὅτι ψευδεῖς καὶ ἀπιθάνους αὐτῶν συμβέβηκεν εἶναι τὰς ἀρχὰς τῆς τέχνης. καὶ δὴ πολλῶν [*](§ 14 ~M VIII375 || 16 ~M VIII376 || 16 ~M VIII 377 | in marg codd. haec figura ?? πετόμενον || 17 ~ M VIII 378 ||) [*](8 ἐξ ὧν G: sec. Herv. corr. Bekk. || 10 ἐξ αὐτοῦ τοῦ π. LVr: ἐξ αὐτοῦ cett. || 14 πεπιστωμένων dub. Bekk. Bury || 18 [ ] Bekk. 25 ἐπιδεδόσθω VC )

Εὐθέως τοίνυν ὡς πρῶτόν τι καὶ στοιχειωδέστατον δι- δάσκουσιν ἡμᾶς ὅτι σῶμα μέν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἔχον διαστάσεις, μῆκος πλάτος βάθος, ὧν πρώτη μὲν διάστα- σίς ἐστιν ἡ κατὰ μῆκος ἄνωθεν κάτω, δευτέρα δὲ ἡ κατὰ πλάτος ἀπὸ δεξιῶν ἐπʼ ἀριστερά, τρίτη δὲ ἡ κατὰ βάθος ἀπὸ τῶν πρόσω εἰς τοὐπίσω. ὥστε 〈ὄν〉των τριῶν τούτων ἓξ γίνεσθαι παρατάσεις, δύο καθʼ ἑκάστην, τῆς μὲν πρώτης τὴν ἄνω καὶ κάτω, τῆς δὲ δευτέρας τὴν ἐν ἀριστερᾷ καὶ ἐν δεξιᾷ, τῆς δὲ τρίτης τὴν πρόσω καὶ ὀπίσω.

Στιγμῆς μὲν γὰρ ῥυείσης γραμμὴν γίνεσθαί φασι, γραμ- μῆς δʼ ἐπιφάνειαν, ἐπιφανείας δὲ στερεὸν σῶμα.

παρὸ καὶ ὑπογράφοντες λέγουσι στιγμὴν μὲν εἶναι σημεῖον ἀμε- ρὲς καὶ ἀδιάστατον ἢ πέρας γραμμῆς, γραμμὴν δέ μῆκος ἀπλατὲς ἢ πέρας ἐπιφανείας, ἐπιφάνειαν δὲ πέρας σώ- ματος ἢ πλάτος ἀβαθές.