Syntaxis mathematica
Claudius Ptolemaeus
Claudius Ptolemaeus. Claudii Ptolemaei Opera quae exstant omnia, Volume 1, Part 1-2. Heiberg, J.L., editor. Leipzig: Teubner, 1898-1903.
Ἐκτεθειμένης δὴ τῆς πηλικότητος τῶν ἐν τῷ κύκλῳ εὐθειῶν πρῶτον ἂν εἴη, καθάπερ εἴπομεν, δεῖξαι, πόσον ὁ λοξὸς καὶ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ἐγκέκλιται πρὸς τὸν ἰσημερινόν, τουτέστιν τίνα λόγον ἔχει ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν ἐκκειμένων πόλων μέγιστος κύκλος πρὸς τὴν ἀπολαμβανομένην αὐτοῦ μεταξὺ τῶν πόλων περιφέρειαν, ἴσην ἀπέχει δηλονότι καὶ τῶν τροπικῶν ἑκατέρου σημείων τὸ κατὰ τὸν ἰσημερινόν. αὐτόθεν δʼ ἡμῖν τὸ τοιοῦτον ὀργανικῶς καταλαμβάνεται διὰ τοιαύτης τινὸς ἁπλῆς κατασκευῆς.
ποιήσομεν γὰρ κύκλον χάλκεον σύμμετρον τῷ μεγέθει τετορνευμένον ἀκριβῶς τετράγωνον τὴν ἐπιφάνειαν, ᾧ χρησόμεθα μεσημβρινῷ διελόντες αὐτὸν εἰς τὰ ὑποκείμενα τοῦ μεγίστου κύκλου τμήματα τξ καὶ τούτων ἕκαστον, εἰς ὅσα ἐγχωρεῖ μέρη· ἔπειτα ἕτερον κυκλίσκον λεπτότερον ὑπὸ τὸν εἰρημένον ἐναρμόσαντες οὕτως, ὥστε τὰς μὲν πλευρὰς αὐτῶν ἐπὶ μιᾶς μένειν ἐπιφανείας, περιάγεσθαι δὲ ἀκωλύτως ὑπὸ τὸν μείζονα δύνασθαι τὸν ἐλάσσονα κύκλον ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ πρὸς ἄρκτους τε καὶ μεσημβρίαν, προσθήσομεν ἐπὶ δύο τινῶν κατὰ διάμετρον τμημάτων τοῦ ἐλάσσονος κύκλου κατὰ τῆς ἑτέρας τῶν πλευρῶν πρισμάτια μικρὰ [*](1 ιβ΄] om. AD. τῆς] corr. ex τῶν D3. 3. εἴπομεν] corr. ex εἴπωμεν B. 4. τῶν] om D. ἐγκέκληται C, corr. C2.) [*](8. ᾗ] ἥ A 9. τό] mut. in τά D3. 10. διαλαμβάνεται D.) [*](12. πε ρὶ κατασκευῆς mg, B, κατασκευῆς mg. C. 14. ᾧ] e corr. B, τῆς περιφερείας ᾡ D. 18. μέν — μιᾶς] bis C, sed corr. Post μένειν del — B. 22. κατά] τῶν κατά D, τῶν ins. B2, 23. κύκλου] κυκλίσκου D πρισμάτια] mut. in πηγμάτια C3, πηγμάτια corr. ex πριγμάτια D3.)
ἔτι δὲ εὐχρηστότερον ἐποιούμεθα τὴν τοιαύτην παρατήρησιν κατασκευάσαντες ἀντὶ τῶν κύκλων λιθίνην ἢ ξυλίνην πλινθίδα τετράγωνον καὶ ἀδιάστροφον, ὁμαλὴν μέντοι καὶ ἀποτεταμένην ἔχουσαν ἀκριβῶς τὴν ἑτέραν τῶν πλευρῶν, ἐφʼ ἧς κέντρῳ χρησάμενοι σημείῳ τινὶ πρὸς τῇ μιᾷ τῶν γωνιῶν ἐγράψαμεν κύκλου τεταρτημόριον, ἐπιζεύξαντες ἀπὸ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου μέχρι τῆς γεγραμμένης περιφερείας τὰς τὴν ὑπὸ τὸ τεταρτημόριον ὀρθὴν γωνίαν περιεχούσας εὐθείας καὶ διελόντες ὁμοίως τὴν περιφέρειαν εἰς τὰς μοίρας καὶ τὰ τούτων μέρη. μετὰ δὲ ταῦτα ἐπὶ μιᾶς τῶν εὐθειῶν τῆς μελλούσης ὀρθῆς τε ἔσεσθαι. πρὸς τὸ τοῦ ὁρίζοντος ἐπίπεδον καὶ πρὸς μεσημβρίαν τὴν θέσιν ἕξειν ἐμπολίσαντες ὀρθὰ καὶ ἴσα πάντοθεν δύο κυλίνδρια μικρὰ κατὰ τὸ ὅμοιον τετορνευμένα, τὸ μὲν ἐπ’ αὐτοῦ τοῦ κατὰ τὸ κέντρον σημείου περὶ αὐτὸ τὸ μέσον ἀκριβῶς, τὸ δὲ πρὸς τῷ κάτω πέρατι τῆς [*](1. σκιασθῇ] σ- euan. A. διεσήμανεν corr in διεσήμη- νεν D3 2. γνωμόνων D. 5. περὶ κατασκευῆς πλινθίδων mg BC. εὐχρηστοτέραν D. 6. λιθήνην B. 7. πληνθίδα BCD, corr. D3. ἀδιάστροφον] A, add. ἐν (om. D) συμμέτρᾳ πλάτει καὶ βάθει πρὸς τὸ βεβηκέναι κατὰ κρόταφον BD, et mg. pro scholio C (οἶμαι σφάλμα add. eadem manu). 8. ἀπο- τε| τεταμένην D. 10. ἔγράψαμεν] ἐγρ- in ras. A. 11. κέν- τρου D. 12. σημείου] corr. ex σημεῖον C. τάς] supra scr A1. 14. διελόντες] corr. ex. διελθόντες B2C. 15. ἐπί] κατά D 16. μελούσης D. τε ἔσεσθαι] τίθεσθαι D. 17. πρός (pr.) — καί] om. B, mg. C3. 18. ἐμπολίσαντες] mut. in ἐνεπολίσα |τες B2, ἐνεπολήσαμεν D. 19. κυλίνδρια] post υ eras. κ D. ὅμοιον] ὅ- ins. D3.)
ἐκ δὴ τῶν τοιούτων παρατηρήσεων καὶ μάλιστα τῶν περὶ τὰς τροπὰς αὐτὰς ἡμῖν ἀνακρινομένων ἐπὶ πλείονας περιόδους τὰ ἴσα καὶ τὰ αὐτὰ τμήματα τοῦ μεσημβρινοῦ κύκλου καὶ κατὰ τὰς θερινὰς τροπὰς καὶ κατὰ τὰς χειμερινὰς τῆς σημειώσεως ὡς ἐπίπαν ἀπὸ τοῦ κατὰ κορυφὴν ἀπολαμβανούσης σημείου κατελαβόμεθα τὴν ἀπὸ τοῦ βορειοτάτου πέρατος ἐπὶ τὸ νοτιώτατον περιφέρειαν, ἥτις ἐστὶν ἡ μεταξὺ τῶν τροπικῶν [*](1. περὶ θέσεως mg BC 3. γραμήν C. 5. κυλίνδρων D, deinde del ἀκριβεῖ τε καί. 6. ἀκλινῆ ] ἀκλινεῖ D. τε] postea ins. D. 7 πάλιν τινῶν B. 8. λεπτῶν] in ras D, λεπτόν BC. περὶ χρήσεως mg. BC. 9. ὡσαύτως] ὁμοίως D.) [*](τὸ κέντρον D 10. κυλίνδρον D. 13. αὐτοῦ] αὐτο seq. ras. 1 litt. D. 14 διασημαῖνον] δ- in ras. A. 17. δή] postea ins. B. 20. κατά] supra scr A. 21 ὡς] supra scr. A. 22 σημείου] corr ex σημεῖον C, supra scr D3. 24. περιφέρειν A.) [*](ἐστί A ἡ] supra scr A τροπικῶν] τ- postea ins. C.)
εὔληπτα δὲ αὐτόθεν ἐκ τῆς προκειμένης παρατηρήσεως γίνεται καὶ τὰ τῶν οἰκήσεων, ἐν αἷς ἂν ποιώμεθα τὰς τηρήσεις, ἐγκλίματα λαμβανομένων τοῦ τε μεταξὺ σημείου τῶν δύο περάτων, ὃ γίνεται κατὰ τὸν ἰσημερινόν, καὶ τῆς μεταξὺ τούτου τε καὶ τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου περιφερείας, ᾗ ἴσην δηλονότι καὶ οἱ πόλοι τοῦ ὁρίζοντος ἀφεστήκασιν.
ιγ΄. Προλαμβανόμενα εἰς τὰς σφαιρικὰς δείξεις.
Ἀκολούθου δʼ ὄντος ἀποδεῖξαι καὶ τὰς κατὰ μέρος γινομένας πηλικότητας τῶν ἀπολαμβανομένων περιφερειῶν μεταξὺ τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τῶν γραφομένων μεγίστων κύκλων διὰ τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ πόλων προεκθησόμεθα λημμάτια βραχέα καὶ εὔχρηστα, διʼ ὧν τὰς πλείστας σχεδὸν δείξεις τῶν σφαιρικῶς θεωρουμένων, ὡς ἔνι μάλιστα, ἁπλούστερον καὶ μεθοδικώτερον ποιησόμεθα.
εἰς δύο δὴ εὐθείας τὰς ΑΒ καὶ ΑΓ διαχθεῖσαι [*](2. δέ] δὲ ἤ D. 3 τῷ] τὸ C. 5. μεταξύ] -ξ- postea ins. C. 13. πόλοι] πολλοί C. 14 ιγ΄] C, γι B, om. AD.) [*](15. ὄντος] -ν- ins. D3. 17. μέσου D. 21. σφαιρικῶν θεωρημάτων D, supra scr. σφαιερικῶς θεωρουμένων D3. 23. εἰς δύο δή] postea ins D. α΄ λῆμμα εὐθύγραμμον κατὰ σύν- θεσιν mg. BC.)
λέγω, ὅτι ὁ τῆς ΓΑ πρὸς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΓΔ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε.
ἤχθω γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Γ Δ παράλληλος ἡ Ε Η. ἐπεὶ παράλληλοί εἰσιν αἱ Γ Δ καὶ Ε Η, ὁ τῆς Γ Α πρὸς Ε Α λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Γ Δ πρὸς Ε Η Eucl. VI, 4. ἔξωθεν δὲ ἡ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Δ πρὸς Ε λόγος συγκείμενος ἔσται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε ὥστε καὶ ὁ τῆς Γ Α πρὸς Α Ε λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε. ἔστιν δὲ καὶ ὁ τῆς Δ Ζ πρὸς Η Ε λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε Eucl. VI, 4 διὰ τὸ παραλλήλους πάλιν εἶναι τὰς Ε καὶ Ζ Δ ὁ ἄρα τῆς Γ Α πρὸς ΑΕ λόγος σύγκειται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Δ πρὸς Δ καὶ τοῦ τῆς Ζ Β πρὸς Β Ε ὅπερ προέκειτο δεῖξαι.
κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δειχθήσεται, ὅτι καὶ κατὰ διαίρεσιν ὁ τῆς Γ Ε πρὸς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Ζ πρὸς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς Δ Β πρὸς Β Α, διὰ τοῦ Α τῇ Ε Β παραλλήλου ἀχθείσης καὶ προσεκβληθείσης ἑπ᾿ αὐτὴν τῆς ΓΔΗ. ἐπεὶ γὰρ πάλιν παράλληλός [*](1. ΓΔ] Δ Γ D. 7 Ε Α] Α Ε D. 9 ἔξωθεν δέ] καὶ ἔξωθεν D. 10 πρός] corr. ex πρό D 11 Δ Ζ] Ζ Δ D.) [*](1. Δ Ζ] Ζ Δ D. Η Ε] Ε Η D. 15. Η Ε] Ε Η D. 16. Η Ε) ΕΗ D. 17 Ζ Β] Β Ζ D 20 Ζ Β] Β Ζ D. 21. β λῆμμα κατὰ διαίρεσιν mg. BC. 23 Δ Ζ] Ζ Δ D. Δ Β] Β Δ D, Δ Β mg. D3. 24 τῇ] seq ras 1 litt B. παραλλήλου] πᾶλλήλου D. 25 Γ Δ Η] corr ex Γ Δ D3)
πάλιν ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ οὗ κέντρον τὸ Δ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ τυχόντα τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, Β Γ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ Α Γ καὶ ΔΕΒ.
[*](1 τῇ] τῆς BC. 2. πρός] bis D. 3 λαμβανομένης] corr. ex λαμβαμομένης B2. προσ D. 6. Δ Ζ] Ζ Δ D. 12. Δ Ζ] Ζ Δ D. Δ Β] Β Δ D, Δ Β mg D3. 14 καί — E A] om. BC. Ε Α (alt )] corr ex D3. 15 ΓΖ — τῆς] mg. 1.)[*](ΓΖ] ΖΓ D. Δ Ζ] Ζ Δ D. 16. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D)[*](17. γʹ λῆμμα κυκλικόν mg. BC 20. τά] om. D 24 λαμ- βανομένων] λ corr. ex ε D. 25. ὅμοιον] αὐτό corr. ex αὐτῶ D.)[*](αἱ] bis C.)λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ οὕτως ἡ Α Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Ε Γ εὐθεῖαν.
ἤχθωσαν γὰρ κάθετοι ἀπὸ τῶν Α καὶ Γ σημείων ἐπὶ τὴν Δ Β ἥ τε Α Ζ καὶ ἡ Γ Η. ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ Α τῇ Γ Η, καὶ διῆκται εἰς αὐτὰς εὐθεῖα ἡ ΑΕΓ, ἔστιν, ὡς ἡ Δ Ζ πρὸς τὴν Γ Η, οὕτως ἡ Α Ε πρὸς Ε Ι Eucl. VI, 4. ἀλλʼ ὁ αὐτός ἐστιν λόγος ὁ τῆς Α πρὸς Γ Η καὶ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ ἡμίσεια γὰρ ἐκατέρα ἑκατέρας· καὶ ὁ τῆς Α Ε ἄρα πρὸς Ε Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
παρακολουθεῖ δʼ αὐτόθεν, ὅτι, κἂν δοθῶσιν ἢ τε Α Γ ὅλη περιφέρεια καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Γ, δοθήσεται καὶ ἑκατέρα τῶν Α Β καὶ Β Γ περιφερειῶν. ἐκτεθείσης γὰρ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἐπεζεύχθω ἡ Α Δ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Δ κάθετος ἐπὶ τὴν Α Ε Γ ἡ Δ Ζ. ὅτι μὲν οὖν τῆς Α Γ περιφερείας δοθείσης ἥ τε ὑπὸ Α Δ Ζ [*](1. τῆς — 2. Β Γ]. mg BC3, τῆς BΓ etiam in textu BC.) [*](3. πρός] supra scr. D3, 6. εὐθεῖα] corr. ex εὐθείας D 8. Ε Γ] τὴν Ε Γ D. ὁ (alt.)] om. D. 9. τῆς (pr)] corr. ex τῆ D3. 10. περιφερείας] supra scr. D. 12. Ε Γ] την Ε Γ D.) [*](13. Β Γ] D. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] supra scr. D3. 14. δʼ] comp. ins. D3. 15. Α Γ] corr. ex Γ Α D3. Post ὅλη del. ἡ D3. 17. τήν] τ- e corr. C. 18. Β Γ] corr. ex Γ Β D3. 19. καί] ins D3. 23. ΑΕΓ] corr ex ΔΕΓ BC2.)
πάλιν ἔστω κύκλος ὁ Α Β Γ περὶ κέντρον τὸ Δ, καὶ ἐπὶ τῆς περιφερείας αὐτοῦ εἰλήφθω τρία σημεῖα τὰ Α, Β, Γ, ὥστε ἑκατέραν τῶν Α Β, ΑΓ περιφερειῶν ἐλάσσονα εἶναι ἡμικυκλίου· καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς δὲ λαμβανομένων περιφερειῶν τὸ ὅμοιον ὑπακουέσθω· καὶ ἐπιζευχθεῖσαι ἥ τε Δ Α καὶ ἡ Γ Β ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ε σημεῖον.
[*](1. δεδομένη] seq. ras. 1 litt. D. 2 τρίγωνον] τρίγωνον ὀρθογώνιον D. δέ] δὲ καί D. 3. ὁ] supra scr. D3. Α Ε] seq. ras. 3 litt. D. 5. Β Γ] Γ Β D. 6. Ζ Ε] Ε Ζ, Ε in ras., D. 7. δεδομένης] alt. δ supra scr. D3. 8. γωνία τοῦ Ε Δ Ζ] om. D. 10. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D. 11. Α Β Γ] Α D. Mg. τρίτον τῶν κυκλικῶν B3. 12. σημεῖα] ση |μεῖα, post η ras. 1 litt, A. 13. ὥστε — 15. ὑπακουέσθω] om. D.)[*](13. Supra Α Γ scr. Β Γ C2. 16. ἐπιζευχθεῖσα D. Γ Β] Β Γ D.)λέγω, ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε εὐθεῖα πρὸς τὴν Β Ε.
ὁμοίως γὰρ τῷ προτέρῳ λημματίῳ, ἐὰν ἀπὸ τῶν Β καὶ Γ ἀγάγωμεν καθέτους ἐπὶ τὴν Δ Α τήν τε ΒΖ καὶ τὴν Γ Η, ἔσται διὰ τὸ παραλλήλους αὐτὰς εἶναι, ὡς ἡ Γ Η, πρὸς τὴν Β Ζ, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β Eucl. VI, 4. ὥστε καί, ὡς ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΓΑ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β, οὕτως ἡ Γ Ε πρὸς τὴν Ε Β ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
καὶ ἐνταῦθα δὲ αὐτόθεν παρακολουθεῖ, διότι, κἂν ἡ Γ Β περιφέρεια μόνη δοθῇ, καὶ ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β δοθῇ, καὶ ἡ Α Β περιφέρεια δοθήσεται. πάλιν γὰρ ἐπὶ τῆς ὁμοίας καταγραφῆς ἐπιζευχθείσης τῆς Δ Β καὶ καθέτου ἀχθείσης ἐπὶ τὴν Β Γ τῆς Δ Ζ ἡ μὲν [*](1. Γ Α] Α Γ D. 2. οὕτως] corr. ex οὕτω A1. 4. γάρ] om. BC. 6. ἔσται] om. D. 7. ὡς] γίνεται ὡς D. ἡ (pr)] ins. D. Β Ζ] Ζ Β D. πρὸς τήν] πρός corr. ex πρό D.) [*](8. ὡς] supra scr. D3. 10. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] ο>: AC, περιφέρειαν comp. B, om. D. 11. ςʹ mg. A. δέ] δʼ D.) [*](12. ἡ] ἥ τε D. δοθῇ] δοθείη D. ὁ (pr.)] om. D. 13 τῆς (pr) — διπλῆν] ins. B3. Γ Α] -Α in ras A. Γ Α — 14. Α Β (pr.)] supra scr. C2. 13. πρὸς τήν] corr. ex πρ ?? D3.) [*](14. Α Β (pr.)] etiam in textu C. δοθῇ] del. B3, δοθήσεται D.) [*](δοθήσεται] om. D.)
τούτων προληφθέντων γεγράφθωσαν ἐπὶ σφαιρικῆς ἐπιφανείας μεγίστων κύκλων περιφέρειαι, ὥστε εἰς δύο τὰς Α Β καὶ Α Γ δύο γραφείσας τὰς Β Ε καὶ Γ Δ τέμνειν ἀλλήλας κατὰ τὸ σημεῖον· ἔστω δὲ ἑκάστη αὐτῶν ἐλάσσων ἡμικυκλίου· τὸ δὲ αὐτὸ καὶ ἐπὶ πασῶν τῶν καταγραφῶν ὑπακουέσθω.
λέγω δή, ὅτι ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ε περιφερείας πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Δ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α.
εἰλήφθω γὰρ τὸ κέντρον τῆς σφαίρας καὶ ἔστω τὸ Η, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὰς Β, Ζ, Ε τομὰς τῶν κύκλων ἥ τε Η Β καὶ ἡ Η Ζ καὶ ἡ Η Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Α Δ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ Η Β ἐκβληθείσῃ καὶ αὐτῇ κατὰ τὸ Θ σημεῖον, ὁμοίως δὲ [*](2. ἄρα] supra scr. D3. 3. ὀρθογώνιον] τρίγωνον D. 5. ὥστε καί, ἐπεί] ὥστʼ ἐπεὶ καί D. 7. ὀρθογωνίου] τριγώνου D.) [*](9. θεώρημα κατὰ διαίρεσιν mg. B. 11. γραφείσας] corr. ex γραφθείσας C2. 12. σημεῖον] om. D 13. ἐλάττων D.) [*](δέ δʼ D. 14 ὑπακουέσθω] ὑπακουέσθω ἡμῖν D. 16. τῆς — 17. διπλῆν] D, mg. A4BC3 κείμενον add. B3. 16 E Α] Ε Δ Β, γρ εα B3. 18 ὑπὸ τήν ( pr.)] bis A. 21. ἀπὸ τοῦ Η] ἀπʼ αὐτοῦ D. Β, Ζ, Ε] Β Ε Ζ D. 22 ἡ ( pr.)] om. BC καί ⟨tert.⟩] ς καί D.)
κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὥσπερ ἐπὶ τῆς ἐπιπέδου καταγραφῆς τῶν εὐθειῶν p. 68, 23 δείκνυται, ὅτι καὶ ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Γ Δ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Δ Ζ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.
Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προεκτεθειμένου ποιησόμεθα πρώτην τὴν τῶν προκειμένων περιφερειῶν ἀπόδειξιν οὕτως.
ἔστω γὰρ ὁ διʼ ἀμφοτέρων τῶν πόλων τοῦ τε ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλος ὁ ΑΒΓΔ καὶ τὸ μὲν τοῦ ἰσημερινοῦ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΓ, τὸ δὲ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τὸ ΒΕΔ, τὸ δὲ Ε σημεῖον ἡ κατὰ τὴν ἐαρινὴν ἰσημερίαν αὐτῶν τομή, ὥστε τὸ μὲν Β χειμερινὸν τροπικὸν εἶναι, τὸ δὲ Δ θερινόν, εἰλήφθω δὲ ἐπὶ τῆς ΑΒ Γ περιφερείας [*](2. τῆς Δ Β — διπλῆν] supra scr. D3. τὴν ὑπό] postea ins. A1. 3. δή] δέ D. καὶ ὥσ-] in ras. A. 4. ὅτι] corr. ex διότι D. 7. διπλῆν (alt.)] -ι- corr. ex η A. 8. Δ Ζ] Ζ Δ D.) [*](9. προέκειτο] corr. ex πρόκειται τό D3. 10. ιδ΄] C, δι B, om. AD. περί — 11. περιφερειῶν] mg D3, 10 τοῦ (pr.)] τοῦ τε D3. 12. δή] om. D. 13. τήν] om. D. 23. τό] καὶ τό D.) [*](εἶναι τροπικόν D.)
ἐπεὶ τοίνυν ἐν καταγραφῇ μεγίστων κύκλων εἰς δύο τὰς Α Ζ καὶ Α Ε περιφερείας γεγραμμέναι εἰσὶ δύο ἥ τε ΖΘ καὶ ἡ Ε Β τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Κ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β p. 76, 3. ἀλλ᾿ ἡ μὲν τῆς Ζ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρπ καὶ ἡ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρκ, ἡ δὲ τῆς Α Β διπλῆ κατὰ τὸν συμπεφωνημένον p. 68, 4. ἡμῖν τῶν πγ πρὸς τὰ ια λόγον μοιρῶν μζ μβ μ, ἡ δʼ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων μη λα νε, καὶ πάλιν ἡ μὲν τῆς Η Ε περιφερείας [*](6. δή] δέ D. 9. εἰσίν] εἰσί in ras. 1 litt. B3. 10. ἤ] supra scr. D3, 11. ἡ — τμημάτων] ὁ μέγιστος κύκλος D.) [*](μεγίστου] mg B, om C. 15. εἰσί] comp B, εἰσίν D. 16. ΕΒ] Β Ε D. 17. πρὸς τήν] πρὸ |στὴν] D, post ό add. σ D3.) [*](19. Θ Ζ] A, Ζ Θ BCD. 24. πρός] corr. ex πρώ C3.)
πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ε Η γίνεσθαι μοιρῶν ρκ, τὴν δὲ ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ργ νε κγ. ἐὰν ἄρα πάλιν ἀπὸ τοῦ τῶν ρκ πρὸς τὰ μη λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ργ νε κγ πρὸς τὰ ρκ, καταλειφθήσεται ὁ λόγος ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς ΖΘ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η ὁ τῶν ρκ πρὸς τὰ μβ α μη. καί ἐστιν ἡ ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ τμημάτων ρκ ὥστε καὶ ἡ ὑπὸ τὴν διπτλῆν τῆς Θ Η τῶν αὐτῶν ἔσται μβ α μη. καὶ ἡ μὲν διπλῆ ἄρα τῆς Θ H περιφερείας μοιρῶν ἐστιν μα ο ιη, ἡ δὲ Θ Η τῶν αὐτῶν κ λ θ· ἅπερ ἔδει δεῖξαι.
[*](2. ρπ] ρ- corr. ex ο D3. ὑπ᾿] ὑπό D. 3. τμημάτων] -ν supra scr. D3. 5. καταλείπεται] λείπεται D. 6. Ζ Θ] corr. ex Ξ Θ D. 7. ιε νζ] corr. ex ιν νε D 8 περιφερείας] ς supra scr. D δέ] δʼ D. 9. τῶν] τόν C. 10. νζ] κζ BC, mg. ν B. 11. νθ] νη D. 12 μ] λθ νθ in ras. D3. ἔγγιστα] in ras. D3. 15. δέ] δʼ D. 18. ὁ (alt.)] corr. ex ὑ C. 19. Θ Η] 6 e corr. D3. 20. πρὸς τά] corr. ex πρὸ στὰ D3. 21. ρκ] ἑκάτων εἴκοσι mut. in ἑκατὸν εἴκοσῖ D3. 24. λ] in ras. A.)τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον καὶ ἐπὶ τῶν κατὰ μέρος περιφερειῶν ἐπιλογιζόμενοι τὰς πηλικότητας ἐκθησόμεθα κανόνιον τῶν τοῦ τεταρτημορίου μοιρῶν παρακειμένας ἔχον τὰς πηλικότητας τῶν ὁμοίων ταῖς ἀποδεδειγμέναις περιφερειῶν· καί ἐστιν τὸ κανόνιον τοιοῦτον·
[*](2. ἐπιλογισάμενοι, sec. -ι- corr. ex -η-, D. 5. περιφε- ρειῶν] περιφερείαις A.)Ἐξῆς δʼ ἂν εἴη συναποδεῖξαι τῶν τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερειῶν τὰς γινομένας πηλικότητας ὑπὸ τῶν γραφομένων κύκλων διά τε τῶν πόλων αὐτοῦ καὶ τῶν διδομένων τοῦ λοξοῦ κύκλου τμημάτων· οὕτω γὰρ ἕξομεν, ἐν ὁπόσοις χρόνοις ἰσημερινοῖς τὰ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων τμήματα διελεύσεται τόν τε μεσημβρινὸν πανταχῆ καὶ τὸν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας ὁρίζοντα διὰ τὸ καὶ αὐτὸν τότε μόνον διὰ τῶν πόλων γράφεσθαι τοῦ ἰσημερινοῦ.
ἐκκείσθω τοίνυν ἡ προδεδειγμένη καταγραφή, καὶ δοθείσης πάλιν τῆς Ε Η περιφερείας τοῦ λοξοῦ κύκλου πρότερον τμημάτων λ δέον ἔστω τὴν Ε Θ τοῦ ἰσημερινοῦ περιφέρειαν εὑρεῖν.
κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ τοῖς ἔμπροσθεν ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Α λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Θ καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Α p. 74, 15. ἀλλʼ ἡ μὲν τῆς Ζ Β περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρλβ ιζ κ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ρθ μδ νγ, ἡ δὲ τῆς Β Α μοιρῶν μζ μβ μ [*](1. ιϛʹ] ςι B, om. ACD. συναναφορῶν D. 22. ἰσημερινοῦ] B C D, ἰσημερινοῦ κύκλου A, κύκλου mg. pro scholio B.C. 5. οὕτως D. 6. -ν ἐν ὁπ-] postea ins. A1. 19. λόγος] -ς in ras D3, seq. ras. 4 litt συνῆπται] σύγκειται D. 20. τῆς (alt.) — 21. Η Θ] supra scr C3. 21. Ζ — Η Θ] mg. B3. πρὸς τήν] καὶ τῆς C3. τῆς Η Θ] etian in textu C, Η Θ in textu B.) [*](καί] καὶ ἐκ D. 22. Θ E] E Θ D. 24. ὑπό] A, ὑπʼ B C D.) [*](25. Β Α] Β Α διπλῆ D. μ] corr ex ζ D.)
πάλιν ὑποκείσθω ἡ Ε Η περιφέρεια μοιρῶν ξ, ὥστε τῶν ἄλλων μενόντων τῶν αὐτῶν τὴν μὲν διπλῆν τῆς Ζ περιφερείας γίνεσθαι μοιρῶν ρλη νθ μρ καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων ριβ κγ νς, τὴν δὲ διπλῆν τῆς Η Θ περιφερείας μοιρῶν μα ο ιη καὶ τὴν ὑπʼ αὐτὴν εὐθεῖαν τμημάτων μβ α μη. ἐὰν ἄρα ἀπὸ τοῦ τῶν ρθ μδ νγ πρὸς τὰ μ λα νε λόγου ἀφέλωμεν τὸν τῶν ριβ κγ νς πρὸς τὰ μβ α μη, καταλειφθήσεται ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ε λόγος πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν [*](1. ὑπό) A, ὑπ᾿ B CD. 2. ρνς μ α] B, ρν ς μα A, ρνς μ β B3, ρνς μα C, ρνς μςβ D. 3. ὑπό] AC, corr. ex ὑπʼ B, ὑπ᾿ D.) [*](4. Η Θ] Η Θ περιφερείας διπλασίων D. ὑπό] AC, ὑπ᾿ B D.) [*](5. ἐάν] bis D, sed corr. ρθ] corr. ex D3. 7. ὁ] in ras. C. 10. καί] καὶ ὁ D. κε] corr. ex νγ D3, νγ in ras. B3.) [*](11. ὑπʼ] corr. ex ἀπʼ C. 13. τμημάτων] supra scr. D3. κε] corr. ex νγ D3. 15. Post μ ras. 1 litt. D. 20. Η Θ] AB3C2D, Ζ Η BC. περιφερείας] om. D. 21. ἄρα] ἄρα πάλιν D. 22. λα] corr. ex λβ D3. λόγουσ, σ eras., D.)
καὶ δέδεικται, ὅτι τὸ μὲν α΄ ἀπὸ τοῦ ἰσημερινοῦ σημείου δωδεκατημόριον τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου συγχρονεῖ τοῖς τοῦ ἰσημερινοῦ κατὰ τὸν ἐκκείμενον τρόπον τμήμασιν κζ ν, τὸ δὲ δεύτερον τμήμασιν κθ νδ, ἐπειδήπερ ἀμφότερα ἀπεδείχθη μοιρῶν νζ μδ· καὶ τὸ τρίτον δὲ δηλονότι δωδεκατημόριον συγχρονίσει ταῖς λοιπαῖς εἰς τὸ τεταρτημόριον μοίραις λβ ις διὰ τὸ καὶ ὅλον τὸ τοῦ λοξοῦ κύκλου τεταρτημόριον ὅλῳ τῷ τοῦ ἰσημερινοῦ συγχρονίζειν ὡς πρὸς τοὺς διὰ τῶν πόλων τοῦ ἰσημερινοῦ γραφομένους κύκλους.
τὸν αὐτὸν δὴ τρόπον τῇ προκειμένῃ δείξει κατακολουθοῦντες ἐπελογισάμεθα καὶ τὰς ἑκάστῃ δεκαμοιρίᾳ τοῦ λοξοῦ κύκλου συγχρονούσας περιφερείας τοῦ ἰσημερινοῦ διὰ τὸ τὰς ἔτι τούτων μικρομερεστέρας μηδενὶ ἀξιολόγῳ διαφέρειν τῶν πρὸς ὁμαλὴν παραύξησιν ὑπεροχῶν. ἐκθησόμεθα οὖν καὶ ταύτας, ἵνα κατὰ τὸ πρόχειρον ἔχωμεν, ἐν ὅσοις χρόνοις αὐτῶν [*](2. ἐστίν] -ν del. C2. κ] D, supra scr. A1, in ras B3. β C. 5. τῶν — 6, Θ Ε] D, om. A, mg. BC. 5. ἐστιν] ἔσται D. 6. ἄρα] D, ἐκ BC. 8. δέδεικται] corr. ex δέ- δεκται C2. τό] supra scr. C2. 10. τοῖς] om. D. 11. δέ] om. BC. 14. συγχρονίσει] BC, συνχρονίσει A, συνχρονήσει A3, συγχρονήσει mut. in συγχρονιεῖ λοιπαῖς] λειπούσαις corr. ex λιπούσαις D. 15 τοῦ] corr. ex τὸ C2. 16. συγχρονεῖν BC.) [*](19. δεκαμοιρίᾳ] corr. ex δεκατημορίᾳ D3. 22. πρός] corr. ex πρὸ| ς D3. 24. προχείροτον D, προχειρότατον D3.)
ἡ μὲν οὖν πρώτη περιέχει χρόνους θ ι, ἡ δὲ δευτέρα χρόνους θ ιε, ἡ δὲ τρίτη χρόνους θ κε, ὥστε τοὺς ἐπὶ τὸ αὐτὸ τοῦ α΄ δωδεκατημορίου συνάγεσθαι χρόνους κζ ν· ἡ δὲ τετάρτη χρόνους θ μ, ἡ δὲ πέμπτη χρόνους θ νη, ἡ δὲ ἕκτη χρόνους ι ις, ὥστε καὶ τοῦ δευτέρου δωδεκατημορίου τοὺς κθ νδ χρόνους συνάγεσθαι· ἡ δὲ ἑβδόμη χρόνους ι λδ, ἡ δὲ ὀγδόη χρόνους ι μζ, ἡ δὲ ἐνάτη χρόνους ι νε, ὡς πάλιν συνάγεσθαι καὶ τοῦ μὲν τρίτου καὶ πρὸς τοῖς τροπικοῖς σημείοις δωδεκατημορίου τοὺς λβ ις χρόνους, ὅλου δὲ τοῦ τεταρτημορίου τοὺς ?? συμφώνως.
καί ἐστιν αὐτόθεν φανερόν, ὅτι καὶ ἡ τῶν λοιπῶν τεταρτημορίων τάξις ἡ αὐτὴ τυγχάνει οὖσα, πάντων καθʼ ἕκαστον τῶν αὐτῶν συμβαινόντων διὰ τὸ τὴν σφαῖραν ὀρθὴν ὑποκεῖσθαι, τουτέστιν τὸν ἰσημερινὸν ἀνέγκλιτον πρὸς τὸν ὁρίζοντα.
[*](3. τὸ ἰσημερινὸν σημεῖον D. δεκαμοιρίας] post pr. -α- ras. 1. litt. D. 5. περιέχει] seq. ras. 1. litt. D. ι ἡ] ι΄|ἡ corr. ex |ιἡ D3. 9. χρόνους (alt.)] -αν- ins. D3. ις] corr. ex ιU+03F2 D. ὥστε] ὡς D. 12. ἐνάτη] θ C, ν supra add. D3. 14. δωδεκατημορίους, -ς eras., D. τούς] om D. 17. οὖσα] om D. 19. τουτέστιν] -ν del. C. ln fine: Κλαυδίου Πτολεμαίου μαθηματικῶν (-ὸν C) α΄ A B C, τέλος τοῦ πρώτου mg. sup. D3.)Τάδε ἔνεστιν ἐν τῷ β΄ τῆς Πτολεμαίου μαθηματικῆς συντάξεως·
αʹ. περὶ τῆς καθόλου θέσεως τῆς καθʼ ἡμᾶς οἰκουμένης.
β΄. πῶς δοθέντος τοῦ τῆς μεγίστης ἡμέρας μεγέθους αἱ ἀπολαμβανόμεναι τοῦ ὁρίζοντος περιφέρειαι ὑπό τε τοῦ ἰσημερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ κύκλου δίδονται.
γ΄. πῶς τῶν αὐτῶν ὑποκειμένων τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου δίδοται καὶ τὸ ἀνάπαλιν.
δ΄, πῶς ἐπιλογιστέον, τίσιν καὶ πότε καὶ ποσάκις ὁ ἥλιος γίνεται κατὰ κορυφήν.
ε΄. πῶς ἀπὸ τῶν ἐκκειμένων οἱ λόγοι τῶν γνωμόνων πρὸς τὰς ἰσημερινὰς καὶ τροπικὰς ἐν ταῖς μεσημβρίαις σκιὰς λαμβάνονται.
ς΄, ἔκθεσις τῶν κατὰ παράλληλον ἰδιωμάτων.
ζ΄. περὶ τῶν ἐπὶ τῆς ἐγκεκλιμένης σφαίρας τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ συναναφορῶν.
η΄. ἔκθεσις κανονίων τῶν κατὰ δεκαμοιρίαν παράλληλον ἀναφορῶν.
[*](1. Β΄] om. AΒC; Κλαυδίου Πτολεμαίου μαθηματικῶν D, β add. D3. 2. τῆς — 3. συντάξεως] βιβλίῳ τῶν Πτολεμαίου μαθηματικῶν D. 6. ὁρίζοντος] ὁρίζοντος καὶ τοῦ D. 11. τίσι D. 15. μεσημβριναῖς σκιαῖς D. 17. ἐγκεκλισμένης AC.)[*](20. κανονίου D. δεκαμοιρίαν] om D. παράλληλον] -λον comp. in ras. B.)θ΄. περὶ τῶν κατὰ μέρος ταῖς ἀναφοραῖς παρακολουθούντων.
ι΄. περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ γινομένων γωνιῶν.
ια΄. περὶ τῶν ὑπὸ τοῦ αὐτοῦ λοξοῦ κύκλου καὶ τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν.
ιβ΄. περὶ τῶν πρὸς τὸν αὐτὸν κύκλον τοῦ διὰ τῶν πόλων τοῦ ὁρίζοντος γινομένων γωνιῶν καὶ περιφερειῶν.
ιγ΄. ἔκθεσις κατὰ παράλληλον τῶν προκειμένων γωνιῶν καὶ περιφερειῶν.
Διεξελθόντες ἐν τῷ πρώτῳ τῆς συντάξεως τά τε περὶ τῆς τῶν ὅλων σχέσεως κατὰ τὸ κεφαλαιῶδες ὀφείλοντα προληφθῆναι, καὶ ὅσα ἄν τις τῶν ἐπʼ ὀρθῆς τῆς σφαίρας χρήσιμα πρὸς τὴν τῶν ὑποκειμένων θεωρίαν ἡγήσαιτο, πειρασόμεθα κατὰ τὸ ἑξῆς καὶ τῶν περὶ τὴν ἐγκεκλιμένην σφαῖραν συμβαινόντων τὰ κυριώτερα πάλιν, ὡς ἔνι μάλιστα, κατὰ τὸν εὐμεταχείριστον τρόπον ἐφοδεῦσαι.
καὶ ἐνταῦθα δὴ τὸ μὲν ὁλοσχερῶς ὀφεῖλον προληφθῆναι τοῦτό ἐστιν, ὅτι τῆς γῆς εἰς τέσσαρα διαιρουμένης [*](1. παρακαλουθόντων D. 7. τῶν ( pr.)] τοῦ B. 8. καί] D, καὶ τῶν AΒC, τῶν del. A3. 10. κατά] τῶν κατά A. γω- νιῶν] τῶν γωνιῶν A. 11. ln fine add. κεφάλαια ιγ D. 12. μαθηματικῶν β supra scr. B. α΄] B, om. ACD. 14. τε] om. BC. 17. τῶν ὑποκειμένων] ὑποκειμένην D. 18. ἡγή- σατο D. 22. τό] τ- in ras. A. ὁλοσχερές B. 23. τοῦτό ἐστιν] τουτέστιν D. τέσσαρα] τέσσερα A, Δ D. )
Προκείσθω δὴ καθόλου τῶν ὑποδειγμάτων ἕνεκεν ὁ διὰ Ῥόδου γραφόμενος παράλληλος τῷ ἰσημερινῷ κύκλος, ὅπου τὸ μὲν ἔξαρμα τοῦ πόλου μοιρῶν ἐστιν λς, ἡ δὲ [*](1. δʼ] δέ D. τε] om. D. τοῦ] ἀπὸ τοῦ D. 3. Post κύκλον add. ἀφέστηκεν mg. A1, ἀφεστη mg. B, α ἀφεστήκασιν mg. C. 4. γίγνεται D. καί] καὶ ποῦ καί D. 5. τοιοῦτον D.) [*](τίνες] τίνες τε D. 9. αὐξομειώσεις] -υ- supra scr. C2, pr. ε ins. A4. νυχθημέρων] corr. ex νυχθημερινῶν D3. 10. συν- ανατολάς] corr. ex συνανατολικάς C2. 12. περί] ὅσα περί D.) [*](Post καί del. κατά D3. 15. β΄] β B, om. ACD. 16. αἱ] α- in ras. C. 19. καθόλου] inter duas ras. 8 et 3 litt. D.) [*](20. Ῥόδου] Ῥ- in ras. A1. παράλληλος] παράλληλος κύκλος D.) [*](κύκλος] κυκλῳ D. 21. μοιρῶν] ras. 3 litt. A.)
ἐπεὶ τοίνυν ἡ τῆς σφαίρας στροφὴ περὶ τοὺς τοῦ ἰσημερινοῦ πόλους ἀποτελεῖται, φανερόν, ὅτι ἐν τῳ αὐτῷ χρόνῳ τό τε Η σημεῖον καὶ τὸ Θ κατὰ τὸν Α Β Γ Δ μεσημβρινὸν ἔσται, καὶ ὁ μὲν ἀπʼ ἀνατολῆς μέχρι τῆς ὑπὲρ γῆν μεσουρανήσεως τοῦ Η χρόνος ὁ περιεχόμενος ἐστὶν ὑπὸ τῆς Θ Α τοῦ ἰσημερινοῦ περιφερείας, ὁ δʼ ἀπὸ τῆς ὑπὸ γῆν μεσουρανήσεως μέχρι [*](4. καί — 6. Α Ε Γ] supra scr. D3. 6. ΑΕΓ] -Γ e corr. C.) [*](13. ἀνατέλλων C. 17. Ε Η — περιφέρειαν] Η Ε περιφέρειαν τοῦ ὁρίζοντος D. 18. εὑρεῖν] add. B2C3. 20. ἀποτελεῖται] -εῖ- corr. ex ε A4. 22. ΑΒΓΔ] corr. ex ΓΔ, ΑΒ D3.) [*](ἔσται] ἔσται δηλονότι κινουμένης τῆς σφαίρας D. ἀπʼ] ἀπὸ D. ἀνατολῆς] -λη- renouat. D3. 23. χρόνος] comp. Β, mut. in χρόνους C2.)
διὰ δὲ τοῦτο καὶ ἡ μὲν Ε Θ περιφέρεια ἡμίσεια οὖσα τοῦ διαφόρου τῆς ἐλαχίστης ἢ μεγίστης ἡμέρας παρὰ τὴν ἰσημερινὴν μιᾶς μὲν ὥρας καὶ δ΄ γίνεται κατὰ τὸν ὑποκείμενον παράλληλον, χρόνων δὲ δηλονότι ιη με, ἡ δὲ λοιπὴ εἰς τὸ τεταρτημόριον ἡ Θ Α τῶν αὐτῶν οα ιε. ἐπειδὴ οὖν κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς ἔμπροσθεν ἀποδεδειγμένοις εἰς δύο μεγίστων κύκλων περιφερείας τὰς Α Ε καὶ Α Ζ δύο γεγραμμέναι εἰσὶν αἱ Ε Β καὶ ΖΘ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Η, ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Ε λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Ζ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Η καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Β πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Β Ε p. 76, 3. ἀλλὰ ἡ μὲν τῆς Θ Α περιφερείας διπλῆ μοιρῶν ἐστιν ρμβ λ καὶ ἡ ὑπὸ αὐτὴν εὐθεῖα τμημάτων ριγ λζ νδ, ἡ δὲ τῆς Α Ε μοιρῶν ρπ καὶ ἡ [*](2. χρόνος] mut. in χρόνους C2. 4. Post περιεχομένου del. ἐπειδὴ περιεχομένου A. 5. τμήματα] corr. ex τμημάτων D3.) [*](6. τῶν] om. D. κύκλωι D. 15. Α Ζ] corr. ex Α Β Ζ D3.) [*](16. Ζ Θ] corr. ex Ζ Η Θ D. 17. Θ Α]-Α supra ras. 1 litt. D3. τῆς ( alt.) — 19. διπλῆν] supra scr. D4. 17. Α Ε] Α Ε CD4. 21. ἀλλʼ B. Post περιφερείας una litt. (ι?) ma- cula del. C. 22. ὑπό] AΒC, ὑπ᾿ C2D. 23 τμημάτων — p. 92, 1. ρκ] bis C, corr. C2. 23. λζ] in repet corr ex λξ C. Α Ε] Α Ε διπλῆ D.)
Προκείσθω δὴ πάλιν τούτου δεδομένου καὶ τὸ ἔξαρμα τοῦ πόλου λαβεῖν, τουτέστιν τὴν Β Ζ περιφέρειαν τοῦ μεσημβρινοῦ. γίνεται τοίνυν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ὁ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν [*](1. τμημάτων ρκ] etiam mg. C2. τῆς] corr. ex τῆ D3. 2. ὑπό] A, ὑπ᾿ B C D. 3. ρλβ] corr. ex ραβ A. ὑπό] AC2, ὑπ᾿ B C D. 5. ρν] -ι- supra ras 1 litt. D. νδ] corr. ex νλ D3. 7. τῆς Η Β] supra scr. C. 8. ργ] post ρ ras. 1 litt. D. κγ] B, κγ A, κς CD: sed cfr. p. 93, 10. 11. κγ] κγ A, κϛ B C D. 12. Β Η] Η Β D. μοῖραι D. 13. καί] corr. ex ἡ D3. 14. ὁρίζων] -ν supra scr. C2. 15. ὅπερ] supra scr. D3. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] ο): ~ AΒC. 16. γ΄] B, om ACD. 18. δὴ πάλιν] corr. ex δηπλην C. δεδομένου] δεο- μένου D. 19. Β Ζ] Ζ B D. 21. Ε Θ] Θ Ε D. )
πάλιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς καταγραφῆς ἀνάπαλιν ἡ μὲν Β Ζ περιφέρεια τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δεδόσθω [*](1. συνημμένος] ὁ συνηγμένος D. 2. Ε Η] Η Β καὶ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Η B C, corr. B2. πρός — Η Β] del. C2.) [*](4. τῆς ( pr.)] bis D. 5. λζ] -ζ im ras. A1. ὑπ᾿ D. αὐτήν] corr. ex τήν C. εὐθεῖα] in ras. C. 6. ὑπό] mut. in ὑπʼ C2. ὑπ᾿ D. 8. Ante ξ ras. 1 litt. A. ὑπό] mut. in ὑπʼ C2. ὑπʼ D. 9. Post ξ del. Η D3. Η Β] -β in ras. B Η Μ C, corrigere uoluit C2. ὑπ᾿ D. 10. ἐὰν ἄρα] bis D, corr. D3.) [*](13. Β Ζ] Ζ Β B. 14. ἐστιν] -ν del. C2, comp. Β. 18. ἔσται 1 μοιρῶν] μοι ἐστιν D. οβ α] α in ras. A, corr. ex β D3.) [*](20. πῶς τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δοθέντος τὸ μέγεθος τῆς μεγίστης ἡμέρας δίδοται mg. pro scholio B. 21. Β Ζ] -Ζ in ras. A, Ζ B D.)
κατὰ τὰ αὐτὰ δὲ δοθήσεται καὶ ἡ Ε Η τοῦ ὁρίζοντος περιφέρεια διὰ τὸ καὶ τὸν τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Α πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Α Β λόγον δεδομένον συνῆφθαι p. 76, 3 ἔκ τε τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ζ Θ πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Θ Η δεδομένου καὶ αὐτοῦ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Η Ε πρὸς τὴν ὑπὸ τὴν διπλῆν τῆς Ε Β, ὥστε καὶ τῆς Ε Β δεδομένης καταλείπεσθαι καὶ τὸ τῆς Ε Η μέγεθος.
φανερὸν δʼ, ὅτι, κἂν μὴ τὸ χειμερινὸν τροπικὸν σημεῖον ὑποθώμεθα τὸ Η, τῶν ἄλλων δέ τι τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου τμημάτων, κατὰ τὰ αὐτὰ πάλιν ἑκατέρα τῶν Ε Θ καὶ Ε Η περιφερειῶν δοθήσεται προεκτιθεμένων τε ἡμῖν διὰ τοῦ τῆς λοξώσεως κανονίου τῶν ἀπολαμβανομένων τοῦ μεσημβρινοῦ περιφερειῶν ὑφʼ ἑκάστου τμήματος τοῦ διὰ μέσων τῶν ζῳδίων κύκλου καὶ τοῦ ἰσημερινοῦ, τουτέστιν τῶν ὁμοίων τῇ Η Θ περιφερείᾳ, καὶ παρακολουθοῦντος [*](3. μέν] om. D. 4. ὅπερ ἔδει δεῖξαι] om. D. 6. πῶς δοθέντος τοῦ ἐξάρματος τοῦ πόλου δίδοται ἡ μεταξὺ τοῦ ἰση- μερινοῦ καὶ τοῦ λοξοῦ ἐπὶ τοῦ ὁρίζοντος περιφέρεια mg. B.) [*](9. -πλῆν — 11. δι-] mg. C2. 10. Ζ Θ] Θ Ζ D. Ζ Θ — 11. τῆς (alt.)] om. B. 10. τῆς] om. A. δεδομένου καὶ αὐτοῦ] om. C2. 11. ἐκ] om. C2. τῆς ( alt.)] om. A. Η Ε] corr. ex Ν Ε C2. 12. Ε Β ( alt.)] Β Ε D. 13. καταλείπτεσθαι] mut. in καταλιπέσθαι D. καί] om. D. 15. ἄλλων] -ν add. D3.) [*](18. προεκτιθεμένων] -ι- mut. in ε C2, προεκτεθειμένων D.) [*](τε] γε D. 20. ὑφʼ] ὑπό corr. ex ὑπʼ D3. τοῦ] om. B, add. C2. 22. τῇ] τῆς C. περιφερείᾳ] περιφερειῶν αἱ D, αἱ del. D3.)
Πρόχειρον δέ ἐστιν τούτων δεδομένων τὸ συνεπιλογίζεσθαι, τίσι καὶ πότε καὶ ποσάκις ὁ ἥλιος κατὰ κορυφὴν γίνεται. φανεροῦ γὰρ ὄντος αὐτόθεν, ὅτι τοῖς μὲν ὑπὸ τοὺς πλεῖον ἀπέχοντας τοῦ ἰσημερινοῦ παραλλήλους τῶν τῆς ὅλης ἀποστάσεως τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ σημείου μοιρῶν κγ νᾱ κ ἔγγιστα οὐδʼ ὅλως ὁ ἥλιος γίνεται κατὰ κορυφήν, τοῖς δὲ ὑπὸ τοὺς αὐτὸ τὸ τοσοῦτον ἀφεστῶτας ἅπαξ ἐν αὐτῇ τῇ θερινῇ τροπῇ, δῆλον γίνεται καί, ὅτι τοῖς ὑπὸ τοὺς ἐλάσσονας τῶν ἐκκειμένων μοιρῶν ἀπέχοντας δὶς γίνεται κατὰ κορυφήν· καὶ τὸ πότε δὲ πρόχειρον ποιεῖ ἡ τοῦ κανονίου τῆς λοξώσεως ἔκθεσις. ὅσας γὰρ ἂν ὁ ἐπιζητούμενος παράλληλος ἀπέχῃ τοῦ ἰσημερινοῦ μοίρας, τῶν ἐντὸς δηλονότι τοῦ θερινοῦ τροπικοῦ, τὰς τοσαύτας εἰσενεγκόντες εἰς τὰ δεύτερα μέρη τῶν σελιδίων τὰς παρακειμένας αὐταῖς ἐκ τοῦ τεταρτημορίου μοίρας ἐν [*](1. ΕΗΘ] Ε- e corr. C. 2. ΕΞ] Ε- e corr. C3, mg. εξ.) [*](ΗΘ] corr. ex ΗΒ D3. 3. Post τῶν del. τοῖς D3. Θ] e corr. D3. καὶ Ξ] corr. ex οξ D3. 5. δ΄] om. AD. τίσι D.) [*](6. γίνεται] γίνε C. 7. ἐστι D. 8. τίσι] corr. ex τίσιν D3.) [*](9. γάρ] del. C2. 10. τοῦ] τούς A. 12. κ] supra scr. AD3. 13. τοῖς] -ι- suppra scr. D3. 14. τό] ins. C2D3. ἀφ- εστῶειν D. 15. δῆλον] D, δηλονότι ABC. καί] D, κατὰ κορυφὴν καί ABC. ἐλλάσσονας D. 16. δίς] corr. ex διό D3.) [*](17. τό] supra scr. AD3. 18. ἄν] D, ἐάν ABC. 19. παρ- άλληλος] pr. λ e corr. A. 21. σελίδων D.)
Ὅτι δὲ καὶ οί προκείμενοι λόγοι τῶν σκιῶν πρὸς τοὺς γνώμονας ἁπλούστερον λαμβάνονται δοθέντων ἅπαξ τῆς τε μεταξὺ τῶν τροπικῶν περιφερείας καὶ τῆς μεταξὺ τοῦ ὁρίζοντος καὶ τῶν πόλων, οὕτως ἂν γένοιτο δῆλον.
ἔστω γὰρ μεσημβρινὸς κύκλος ὁ ΑΒΓΔ περὶ κέντρον τὸ Ε, καὶ ὑποκειμένου τοῦ κατὰ κορυφὴν σημείου τοῦ Α διήχθω ἡ ΑΚΓ διάμετρος, ᾗ πρὸς ὀρθὰς γωνίας ἤχθω ἐν τῷ τοῦ μεσημβρινοῦ ἐπιπέδῳ ἡ ΓΚΖΝ, παράλληλος δηλονότι γινομένη τῇ κοινῇ τομῇ τοῦ τε ὁρίζοντος καὶ τοῦ μεσημβρινοῦ. καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ γῆ σημείου καὶ κέντρου λόγον ἔχει πρὸς αἴσθησιν πρὸς τὴν τοῦ ἡλίου σφαῖραν, ὥστε ἀδιαφορεῖν τὸ Ε κέντρον τῆς τοῦ γνώμονος κορυφῆς, νοείσθω γνώμων μὲν ὁ ΓΕ, ἡ δὲ ΓΚΖΝ εὐθεῖα, ἐφʼ ἣν ἐν ταῖς μεσημβρίαις [*](1. σελιδίων] corr. ex σελίδων D. ἀπέχων] corr. ex ἀπ- ἐχον C2. 2. ὁ ἥλιος] in ras. A, seq. ras. 2 litt. σημεῖον C.) [*](4. ἐκκείμενον] supra scr. D4. 5. ε΄] om. AC. 7. μεσημ- βρίανις D. λαμβάνοντας BC. 8. οἱ] διὰ τῶν D. προ- κείμενοι] -μεν- supra scr. A, προκειμένων οἱ D. 12. γίνοιτο D.) [*](15. ΑΕΓ] Α- in ras. B2, corr. ex ΔΕΓ C2. 16. ΓΚΖΝ] -Ν corr. ex H A. 20. ἀδιαφορεῖν] μὴ διαφέρειν D. Post Ε eras. Ν. Α. 21. γνώμων] corr. ex γνώμον C2. 22. ταῖς] ταῖς ἡ D.)