Ἁρμονικὰ στοιχεῖα

τούτου πάντα γίγνεται τὰ λοιπὰ ἄχρηστα.

Ἐπεὶ δὲ τῶν διαστηματικύῶν μεγεθῶν τὰ μὲν τῶν συμφώνων ἤτοι ὅλως οὐκ ἔχειν δοκεῖ τόπον ἀλλʼ ἑνὶ μεγέθει ὡρίσθαι, ἢ παντελῶς ἀκαριααῦόν τινα, τὰ δὲ τῶν διωαφώνων πολλῷ ἤττον τοῦτο πέπονθε καὶ διὰ ταύτας τὰς αἰτίας πολὺ μᾶλλον τοῖς τῶν συμφώνων μεγέθεσι πι στεύει ἡ αἴσθησις ἢ τοῖς τῶν διωαφώνων· ἀκριβεστάτη δʼ ἂν εἶη διαφώνου διωαστήματος λῆψις ἡ διὰ συμφωνίας. Ἑὰν μὲν οὖν προσταχθῇ πρὸς τῷ δοθέντι φθόγγῳ λαβεῖν ἐπὶ τὸ βαρὺ τὸ διάφωνον οἷον δίτονον ἢ ἄλλο τι τῶν δυνατῶν ληφθῆναι διὰ συμφωνίας, ἐπὶ τὸ ὀξὺ ἀπὸ τοῦ δοθέντος φθόγγου ληπτέον [*](1 οὐδὲν om, R 2 ὥφελος S 4 τὸ restituit Meibom περὶ τὰς] τὰς περί M V B S 6 δσὶ M V B S ἢ] ἤτοι H 7 ὥσθʼ ex ὅθʼ Mx: ὅθʼ V B 8 ἢ restituit Meibom μὴ om. et τῷ αὐτῷ τόκῳ scrib. Marquard 9 ᾦ] τῷ H 13 ἄχριστα H 14 διαστημάτων B συμφώνων Meibom : συμφωνιῶν codd. 15 ὅλως] 3 in ras. Vb: ἄλλως M : ἀπλῶς Marquard δοκεν in marg. B ἑνί conieci : ἐν codd. : ἢ εἰ Marquard 16 ὡρίσθαι conieci : ὥρισται codd. διαφόναων S 17-19 πόλῳ . . . διαφώνων om. R 19 τοῖς ex τας vel ταῖς in ras. Mb δʼ del. Marquard 20 ἡ in ras. Mb 22 δῦτονον] δί in ras. Mb. fuisse vid. τι vel τε : οἷον τε τόνον in marg. B 23 ἐπὶ δὲ τὸ punctis post ἐπὶ V: δὲ serpsisse vid. Mb, eras. Mc(?) : ἐπὶ δὲ rb S, B (sed punctis in marg. additus))

ὑπαρ||  χουσι μὲν γὰρ οἱ τοῦ διὰ τεσσάρων ὅροι σύμφωνοι· ἀπὸ δὲ τοῦ ὀξυτέρου αὐτῶν λαμβάνεται φθόγγος σύμφωνος ἐπὶ τὸ ὀξὺ διὰ τεσσάρων, ἀπὸ δὲ τοῦ λη| φθέντος ἕτερος ἐπὶ τὸ βαρὺ διὰ πέντε, εἶτα πάλιν ἐπὶ τὸ ὀξὺ διὰ τεσσάρων, εἶτʼ ἀπὸ τούτου ἕτερος ἐπὶ τὸ βαρὺ διὰ πέντε. καὶ πέπτωκε τὸ τελευταῖον σύμφωνον ἐπὶ τὸν ὀξύτερον τῶν τὴν ὑπεροχὴν ὁριζόντων, ὥστʼ εἶναι φα|νερόν, ὅτι, ἐὰν ἀπὸ συμφώνου διάφωνον ἀφαιρεθῇ διὰ συμφωνίας, ἔσται καὶ τὸ λοιπὸν διὰ συμφωνίας εἰλημμένον.

Πότερον δʼ ὀρθῶς ὑπόκειται τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἀρχῇ δύο τόνων καὶ ἡμί|σεος, κατὰ τόνδε τὸν τρόπον ἐξετάσειεν ἄν τις ἀκριβέστατα· εἰλήφθω γὰρ τὸ διὰ τεσσάρων καὶ πρὸς ἑκατέρῳ τῶν ὅρων ἀφορίσθω δίτονον διὰ συμφωνίας. δῆλον δὴ ὅτι ἀναγκαῖον τὰς | ὑπεροχὰς ἴσας εἶναι, ἐπειδήπερ καὶ [*](1 εἶτα] εἴτε H 2 ἔτʼ ἐπὶ B: εἶτ᾿ ἐπὶ in marg. B: εἴ τʼ ἐπὶ S τὸ διὰ πέντε] τὸ supra lin. add. Mb 4 φθόγγος M V S τὸ del. Meibom 7 ante ἀφαιρεθῇ una litt. eras. M : αι in ras. Mc: ε in ras. Mb 8 ἀφηρείσθω M V S: ἀφῃρήσθω BR 9 τοῦ] τῆς H διὰ restituit Marquard 11 διτόνου] post ι litt. a eras. M : διατόνου B 12 γὰρ om. B ὅροι] οι in ras. Mb: ὀρθοὶ R, B in marg. 15 εἶτα . . . τεσσάρων restituit Meibom 17 τὸν Meibom : τὸ codd. 18 τὴν restituit Meibom 19 συμφώνους H διάφωνον] δια in ras. Mb 24 δίτονον Meibom : σύμφωνον codd.)

εἰ δὲ συώμφωνήσουσί διὰ πένςτε τέσσαρὰ, δῆλον ὅτι δύο τόνων καὶ ἡμίσεος ἔσται τὸ διὰ τεσσάρων. ὁ μὲν γὰρ βαρύτατος τῶν ελημμένων φθόγγων διὰ τεσσάρων ρμόσθη σύμφωνον τῷ τὸ βαρύτερον δίτονον ἐπὶ τὸ ὀξὺ ὁρίζοντι, τὸν δʼ ὀξύτατον τῶν εἰλημμένων φθόγγων διὰ πέντε συμ βέβηκε συμμφωνεῶν τῷ βαρυτάτῳ, ὥστε τῆς ὑπεροχῆς οὔσης τοναίας τε καὶ εἰς ἴσα διῃρημένης ὧν ἑκάτερον ἡμιτόνιόν τε καὶ ὑπεροχὴ μὲν τοῦ διὰ τεσσάρων ἐστὶν ὑπὲρ τὸ δίτονον, δώῆλον ὅτι πέντε ἡμιτονίαων συμβαίνει τὸ διὰ τεσσάρων εἶναι. Ὅτι δʼ οἱ τοῦ ληφθέντος συστήματος ἄκροι οὐ συμφωνήσουσιν ἄλλην συμφωνίαν ἢ τὴν διὰ πέντε, ῥάδιον συωιδεῖν· πρῶτον μὲν οὖν ὅτι τὴν διὰ τεσσάραων οὐ συμφωνοῦσι κατανοητέον, ἐπειδήπερ πρὸς τῷ ληφθέντι ἐξ ἀρχῆς διὰ τεσσάρων ὑπεροχὴ πρόσκειται ἐφʼ ἑκάτερα· ἕπεθ’ ὅτι τὴν διὰ πασῶν οὐκ ἐνδέχεται συτμφωνίαν δεικτέον. τὸ [*](3 τὸ βαρύτερον] τὸ om. R βαρύτερον Va R : βαώρύτονον M Vb S B διάτονον R 4 ἕτερον H: ἔvερος rell. 6 κείμεναι coneci : καὶ μὴ ἓν αἱ codd. : καὶ μὴ μία αἱ Marquard προκατασκευασμένων B : προσκατεσκενασμένων H 8 ὁριζόντων M (sed ζόντ in ras. Mc) R H : ὀρινσμῶν Va: ὡρισμένων Vb rell. 10 δηδηλονότι B 11 συμφωνήσωσι M τέσσοαρα del. Marquard 15 δʼ] τέσσαραα M V S B: ππέταρτον R 16 συφωνεν S 17 διῃρημένης ex διηρημένην Mc: διηρημένην V B S 18 μὲν seclusit Merquard 19 ἡμιτονιαίων H τεσσάρων Meibom : πέντε codd. 20 αἱ] ἢ S 25 δεικτέον Marquard : λεκτέον codd.)

φθόγγων μείζω μὲν || συμφωνίαν τῆς διὰ τεσσάρων ἐλάττω δὲ τῆς διὰ πασῶν, ἀναγκαῖον αὐτοὺς διὰ πέντε συμφωνεῖν· τοῦτο γάρ ἐστι μόνον μέγεθος σύμφωνον μεταξὺ τοῦ διὰ | τεσσάρων καὶ τοῦ διὰ πασῶν.

διάζευξιν. δεῖ δʼ ἕτερον πὅτερον τούτων ὑπάρχειν· τοῖς φθόγγοις, ὥστε καὶ τοῖς ἑξῆς τετράχόρδοις ἀναγκαῖον ἕτερον τῶν εἰρημένων ὑπάρ| χειν.

Ἤδη δέ τις ἠπόρησε τῶν ἀκουόντων περὶ τοῦ ἑξῆς· πρῶτον μὲν καθόλου τί ποτʼ ἐστὶ τὸ ἑξῆς, ἔπειτα πότερον κατὰ ἕνα μόνον γίγνεται τρόπον ἢ κατὰ πλείους, τρί| τον δʼ εἰ ἴσως ἀμφότερα ταῦτʼ ἐστὶν ἑξῆς τά τε συνημμένα καὶ τὰ διεζευγμένα. Πρὸς δὴ ταῦτα τοιοῦτοί τινες ἐλέγοντο λόγοι· καθόλου ταῦτα εἶναι συστήματα συνεχῆ ὧν οἱ ὅροι ἤτοι ἑξῆς [*](2—4 ὅταν . . . ὅταν δύο] erat ὅ τε, τʼ ἂν supra lin. add., τε cerr. in δύο, et τε inscr., reliqua in marg. Mc: om. V B, R (sed ‘postea alieno loco interponuntur᾿  v. Herwerden) 2—5 ὅτε pro ὅταν δύο leg., ἑξῆς . . . σχῆμα om. S 5 πότερον om. H 7 τέταρτοι B: δ rell. συμφώνων ὄντες H 9 δεῖ Meibom : τί codd. 12 τάδε post ἑξῆς add. H 14 μόνον Mc (supra lin.), R Η: ὅμον M B S τρόπον] τρόπ e corr. V κατὰ om. H δʼ εἰ Marquard : δὲ codd. 16 δὴ H : δὲ rell. τοιοῦτόν B 17 συστήματα ex συστήμα Mb)

ἤτοι ἁπλῶς μηδὲν εἶ| ναι ἀνὰ μέσον τετράχορδον ἢ μὴ ἀνόμοιον. τῶν μὲν οὖν ὁμοίων κατʼ εἶδος τετραχόρδων οὐ τίθεται ἀνόμοιον ἀνὰ μέσον τετράχορδον, τῶν δʼ ἀνομοίων μὲν ἑξῆς δʼ οὐδὲν τίθεσθαι δυνατὸν ἀνὰ μέσον τετράχορδον. Ἐκ δὲ τῶν εἰρημένων φανερὸν ὅτι τὰ ὅμοια κατʼ εἶδος τετράχορδα κατὰ δύο τρόπους τοὺς εἰρημένους ἑξῆς ἀλλήλων τεθήσεται.|

Ἀσύνθετον δʼ ἐστὶ διάστημα τὸ ὑπὸ τῶν ἑξῆς φθόγγων περιεχόμενον. εἰ γὰρ ἑξῆς οἱ περιέχοντες, οὐδεὶς ἐκλιμπάνει, μὴ ἐκλιμπάνων δʼ οὐκ ἐμπεσεῖται, μὴ ἐμπίπτων δʼ οὐ διαιρήσει, ὃ δὲ μὴ διαίρεσιν ἔχει οὐδὲ σύνθεσιν ἕξει· πᾶν γὰρ [*](Ι εἰσὶν in ras. Ma: om. V Β S ἐπαλλάττουσιν ex ἐπελαττοῦσιν Mb (ut vid.) 2 καθʼ . . . ὅρος restituit Meibom 3 ὀξύτερον B 4 ὀξυτέρου om. B 6 τρόπων Marquard : ὁρῶν B : ὅρων rell. κοινωνοῦσιν H 7 ὅμοιά Meibom: ἀνόμοια  codd. ἐστιν om. H ΙΙ ante ὅμοια 2 litt. eras. M τοιαῦτα Marquard : ταῦτα codd. συμβαίνει B 13 ἢ] ἤτοι H 15 ἢ μὴ Meibom: εἰ μὴ εἰ μὴ B: εἰ μὴ rell. 16 ἀνόμοιον Meibom : ὅμοιον codd. 17 τίθεσθαι H ἀνόμοιον Meibom : ὅμοιον codd. 17 τῶν δʼ . . . τετράχορδον om. R 18 τίθεσθαι ex τίθεται Mc: τίθεται rell. 19 δὲ]  δὴ H 22 διαστήματα R 25 διαίρεσιν ex διαίρησιν vel vice versa M ἕξει] ἕξ B)

τοῖς μεγέθεσι τῶν διαστημάτων εἶναι τὸ ἀσύνθετον ἀλλʼ ἐν τοῖς περιέχουσι φθόγγοις.|

Ἐν δὲ ταῖς τῶν γενῶν διαφοραῖς τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη μόνα κινεῖται, τὸ δʼ ἴδιον τῆς διαζεύξεως ἀκίνητόν ἔστιν. πᾶν μὲν γὰρ διῄρητο τὸ ἡρμοσμένον εἰς συναφήν τε καὶ διάζευξευξιν, ὅ γε συνέστηκεν ἐκ πλειόνων ἢ ἑνὸς τετραχόρδου. Ἀλλʼ ἡ μὲν συναφὴ ἐκ τῶν τοῦ διὰ τεσσάρων μερῶν μόνων ἀσυνθέτων σύγκειται, ὥστʼ ἐξ ἀνάγκης ἔν γε ταύτῃ τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μόνα μέρη κινηθήσεται· ἡ δὲ διάζευξις διον ἔχει παρὰ ταῦτα τὸν τόνον. ἐὰν οὖν δειχθῇ τὸ ἴδιον [*](1 post καὶ ras. M 2 ἀδιαίρετον V S δὲ Marquard : δὴ codd. 4 πώποτε H ἀσύνθετ ον Ma, sed ον supra θετ et acc. et spir. add. Me ὅ γʼ conieci: om. V S B : ἂν rell. 5 πῶς post πάλιν ponit H πάλιν] ιν ras. in Mc: πάλαι V S 6 ἐστὶν post δυνατὸν ponit H δὲ Marquard : δὴ S: δὲ δὴ rell. 12 ὁρίζουσι B 13 post σύνθετον in unc. quad. ἀλλʼ ἐν τοῖς περιέχουσι φθόγγοις S 17 τὸ δʼ . . . ἐστιν seclusi 19 dicit Merquard ‘ post una Iitt. eras. quae ν fuisse vid. M᾿  : sed ego quidem γε fuisse suspicor. Quod si legitur, tum certe verborum translatione nulla opus est: neque, si omittitur, ordinem librorum mutare velim verba . . . τετραχόρδου post ἡρμοσμένον ponit Meibom 20 τῶν τοῦ διὰ addidit Westphal 21 μόνον H ἀσυνθέτων seclusi 23 ἔχει Meibom: ἔχοι codd. παρὰ ταῦτα] παρὰ post ταῦτα eras. et supra lin. add. Mc ταῦτα παρὰ V B S τὸ supra lin. add. Mb (?))

Ἐν ἑκάστῳ δὲ γένει τοσαῦτά ἐστιν ἀσύνθετατὰ πλεῖστα ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε. Πᾶν μὲν γὰρ γένος ἤτοι ἐν συναφῇ μελῳδεῖται ἢ ἐν διαζεύξει, καθάπερ ἔμπροσθεν εἴρηται. δέδεικται δʼ ἡ μὲν συναφὴ ἐκ τῶν τοῦ διὰ τεσσάρων μερῶν μόνων συγκειμένη, ἡ δὲ διάζευξις ἓν προστιθεῖσα τὸ ἴδιον διάστημα, τοῦτο δʼ ἐστὶν ὁ τόνος· προστεθέντος δὲ | τοῦ τόνου πρὸς τὰ τοῦ διὰ τεσσάρων μέρη τὸ διὰ πέντε συμπληροῦται. Ὥστ’ εἶναι φανερὸν ὅτι, ἐπειδήπερ οὐδὲν τῶν γενῶν ἐνδέχεται κατὰ μίαν χρόαν λαμβανόμενον ἐκ πλειόνων ἀσυνθέτων συντε| θῆναι τῶν ἐν τῷ διὰ πέντε ὄντων, δῆλον [*](2 τοῖς om. V B S 3 τὸν restituit Marquard 4 τόνων B R 5 περιεχόντων post βαρύτερον ponit H ὁμοίως δʼ et καὶ seclusit, et δʼ addidit Westphal 7 τὸν restituit Marquard βαρύτερος . . . περιεχόντων in marg. Mc:  om. V B : τόνον περιεχόντων τὸ τὸ βαρύτερον ὀξύτερον τῶν ἐν τῇ δ. S 8 περιεχόντων post τὸ ὀξύτερον ponit H ὀξύτερον ex βαρύτερον Mb : βαρύτερον B 10—13 ὥστʼ . . . εἰρημέναις διαφοραῖς om. R 10 ὅτι supra lin. add. Mc: om. V B S 12 λείποιτʼ] εἴκοιτʼ R κινεῖται B 14 τὰ addidi 16 ἔμπροσθεν om., et πρότερον post εἴρηται add. H 18 μόνων Meibom : μόνη codd. ἓν προστιθεῖσα conieci: ἔμπροσθεν τεθεῖσα codd.: προστιθεῖσα Marquard 22 λαμβάνομεν B in marg. 23 ἐν τῶ ex ἐκ τῶν M : ἐκ τῶν V S B δῆλον ὅτι seclusit Marquard)

Ταράττειν δʼ εἴωθεν ἐνίους καὶ ἐν τούτῳ τῷ προβλήματι πῶς τὰ πλεῖστα προστίθεται καὶ διὰ τί οὐχ ἁπλῶς δείκνυται, ὅτι ἐκ τοσούτων ἀσυνθέτων ἕκαστον τῶν γενῶν συνέστηκεν ὅσα ἐστὶν ἐν τῷ διὰ πέντε. Πρὸς οὓς ταῦτα λέγεται, ὅτι ἐξ ἐλαττόνων ἀσυνθέτων ἔσται ποθʼ ἕκα| στον τῶν γενῶν συγκείμενον ἐκ πλειόνων δʼ οὐδέποτε. Διὰ ταύτην δὲ τὴν αἰτίαν τοῦτο αὐτὸ πρῶτον ἀποδείκνυται, ὅτι οὐκ ἐνδέχεται ἐκ πλειόνων ἀσυνθέτων συντεθῆναι τῶν γε| νῶν ἕκαστον ἢ ὅσα ἐν τῷ διὰ πέντε τυγχάνει ὄντα. ὅτι δὲ καὶ ἐξ ἐλαττόνων ποτὲ συντεθήσεται ἕκαστον αὐτῶν, ἐν τοῖς ἔπειτα δείκνυται.

Πυκνὸν δὲ πρὸς πυκνῷ οὐ μελῳδεῖ|| ται οὔθʼ ὅλον οὔτε