De animae procreatione in Timaeo

κατὰ σύνθεσιν οὕτως· τὰ δύο καὶ τὰ τρία πέντε γίγνεται, τὰ τέσσαρα καὶ τὰ ἐννέα

τριακαίδεκα, τὰ δʼ ὀκτὼ καὶ εἰκοσιεπτὰ πέντε καὶ τριάκοντα. τούτων γὰρ τῶν ἀριθμῶν οἱ Πυθαγορικοὶ τὰ μὲν εʼ τροφόν, ὅπερ ἐστὶ φθόγγον, ἐκάλουν· οἰόμενοι τῶν τοῦ τόνου διαστημάτων πρῶτον εἶναι φθεγκτὸν τὸ πέμπτον· τὰ δὲ τρισκαίδεκα λεῖμμα, καθάπερ Πλάτων, τὴν εἰς ἴσα τοῦ, τόνου διανομὴν ἀπογιγνώσκοντες· τὰ δὲ πέντε καὶ τριάκοντα ἁρμονίαν, ὅτι συνέστηκεν ἐκ δυεῖν κύβων πρώτων ἀπʼ ἀρτίου καὶ περιττοῦ γεγονότων, ἐκ τεσσάρων δʼ ἀριθμῶν, τοῦ σʼ καὶ τοῦ ηʼ καὶ τοῦ θʼ καὶ ιβʼ, τὴν ἀριθμητικὴν καὶ τὴν ἁρμονικὴν ἀναλογίαν περιεχόντων. ἔσται δὲ μᾶλλον ἡ δύναμις ἐκφανὴς ἐπὶ διαγράμματος. ἔστω τὸ α β γ δ παραλληλόγραμμον ὀρθογώνιον, ἔχον τῶν πλευρῶν τὴν α β πέντε, τὴν δὲ α δ ἑπτά· καὶ τμηθείσης τῆς μὲν ἐλάττονος εἰς δύο καὶ τρία κατὰ τὸ· κ τῆς δὲ μείζονος εἰς τρία καὶ τέτταρα κατὰ τὸ λ, διήχθωσαν ἀπὸ τῶν τομῶν εὐθεῖαι τέμνουσαι, ἀλλήλας, κατὰ τὸ κ μ ν καὶ κατὰ τὸ λ μ ξ, καὶ ποιοῦσαι τὸ μὲν α κ μ λ ἓξ, τὸ δὲ κ β ξ μ ἐννέα, τὸ δὲ λ μ ν δ ὀκτώ, τὸ δὲ μ ξ γ ν δώδεκα τὸ δ̓, ὅλον παραλληλόγραμμον τριάκοντα καὶ πέντε τοὺς τῶν συμφωνιῶν τῶν πρώτων λόγους ἐν τοῖς τῶν χωρίων ἀριθμοῖς, εἰς ἃ διῄρηται, περιέχον. τὰ μὲν οὖν ἓξ καὶ ὀκτὼ τὸν ἐπίτριτον ἔχει; λόγον, ἐν ᾧ τὸ διὰ τεσσάρων τὰ δʼ ἓξ καὶ ἐννέα τὸν ἡμιόλιον, ἐν τὸ.. διὰ πέντε· τὰ δʼ ἓξ καὶ ιβʼ τὸν διπλάσιον, ἐν τὸ διὰ πασῶν. ἔνεστι δὲ καὶ ὁ τοῦ τόνου λόγος ἐπόγδοος ὢν ἐν τοῖς ἐννέα καὶ ὀκτώ· διὰ τοῦτο καὶ ἁρμονίαν τὸν περιέχοντα τοὺς λόγους τούτους ἀριθμὸν ἐκάλεσαν. ἑξάκις δὲ γενόμενος τὸν τῶν δέκα ποιεῖ καὶ διακοσίων ἀριθμόν, ἐν ὅσαις ἡμέραις λέγεται τὰ ἑπτάμηνα τῶν βρεφῶν τελεογονεῖσθαι.

πάλιν δʼ ἀφʼ ἑτέρας ἀρχῆς, κατὰ πολλαπλασιασμὸν ὁ μὲν δὶς γʼ τὸν σʼ ποιεῖ, ὁ δὲ τετράκις

ἐννέα τὸν τριακονταέξ, ὁ δʼ ὀκτάκις κζʼ τὸν σισʼ καὶ ἔστιν ὁ μὲν σʼ τέλειος, ἴσος ὢν τοῖς ἑαυτοῦ μέρεσι καὶ γάμος καλεῖται διὰ τὴν τοῦ ἀρτίου καὶ περιττοῦ σύμμιξιν ἔτι δὲ συνέστηκεν ἔκ τε τῆς ἀρχῆς καὶ τοῦ πρώτου ἀρτίου καὶ τοῦ πρώτου περιττοῦ. ὁ δὲ λσʼ πρῶτός ἐστι τετράγωνος ἅμα καὶ τρίγωνος, τετράγωνος μὲν ἀπὸ τῆς ἑξάδος τρίγωνος δʼ ἀπὸ τῆς ὀγδοάδος· καὶ γέγονε πολλαπλασιασμῷ μὲν τετραγώνων δυεῖν, τοῦ τέσσαρα τὸν ἐννέα πολλαπλασιάσαντος, συνθέσει δὲ τριῶν κύβων τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ εἰκοσιεπτὰ συντεθέντα ποιεῖ τὸν προγεγραμμένον ἀριθμόν. ἔτι δʼ ἑτερομήκης ἀπὸ δυεῖν πλευρῶν, τῶν μὲν δώδεκα τρὶς γινομένων τῶν δʼ ἐννέα τετράκις. ἂν οὖν ἐκτεθῶσιν αἱ τῶν σχημάτων πλευραί, τοῦ τετραγώνου τὰ σʼ καὶ τοῦ τριγώνου τὰ ὀκτὼ καὶ παραλληλογράμμων τοῦ μὲν ἑτέρου τὰ ἐννέα τοῦ δʼ ἑτέρου τὰ ιβʼ, τοὺς τῶν συμφωνιῶν ποιήσουσι λόγους. ἔσται γὰρ τὰ δώδεκα πρὸς μὲν τὰ ἐννέα διὰ τεσσάρων ὡς νήτη πρὸς παραμέσην, πρὸς δὲ τὰ ὀκτὼ διὰ πέντε ὡς νήτη πρὸς μέσην, πρὸς δὲ τὰ σʼ διὰ πασῶν ὡς νήτη πρὸς ὑπάτην. ὁ δὲ τῶν σισʼ κύβος ἐστὶν ἀπὸ ἑξάδος ἴσος τῇ ἑαυτοῦ περιμέτρῳ.

τοιαύτας δὲ δυνάμεις τῶν ἐκκειμένων ἀριθμῶν ἐχόντων, ἴδιον τῷ τελευταίῳ συμβέβηκε, τῷ κζʼ, τὸ τοῖς πρὸ αὐτοῦ συντιθέμενον ἴσον εἶναι πᾶσιν, ἔστι δὲ καὶ περιοδικὸς σελήνης. καὶ τῶν ἐμμελῶν διαστημάτων οἱ Πυθαγορικοὶ τὸν τόνον ἐν τούτῳ τῷ ἀριθμῷ τάττουσι διὸ καὶ τὰ τρισκαίδεκα λεῖμμα καλοῦσιν ἀπολείπει γὰρ μονάδι τοῦ ἡμίσεος. ὅτι δʼ οὗτοι καὶ τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους περιέχουσι, ῥᾴδιον καταμαθεῖν. καὶ γὰρ διπλάσιος λόγος ἐστὶν ὁ τῶν δύο πρὸς τὸ ἓν ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν, καὶ ἡμιόλιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν τριῶν ἐν ᾧ τὸ διὰ πέντε, καὶ ἐπίτριτος ὁ πρὸς; τὰ τρία τῶν τεσσάρων ἐν ᾧ τὸ διὰ τεσσάρων, καὶ τριπλάσιος ὁ πρὸς τὰ τρία τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ διὰ πασῶν καὶ διὰ πέντε, καὶ τετραπλάσιος ὁ πρὸς τὰ δύο τῶν ηʼ ἐν ᾧ τὸ δὶς διὰ πασῶν· ἔνεστι δὲ καὶ ἐπόγδοος ὁ πρὸς τὰ ὀκτὼ τῶν ἐννέα ἐν ᾧ τὸ τονιαῖον.

ἂν τοίνυν ἡ μονὰς ἐπίκοινος οὖσα καὶ τοῖς ἀρτίοις συναριθμῆται καὶ τοῖς περιττοῖς, ὁ μὲν ἄπας ἀριθμὸς τὸ τῆς δεκάδος παρέχεται πλῆθος· οἱ γὰρ ἀπὸ μονάδος μέχρι τῶν δέκα συντιθέμενοι --- πεντεκαίδεκα, τρίγωνον ἀπὸ πεντάδος· ὁ δὲ περιττὸς τὸν τεσσαράκοντα κατὰ σύνθεσιν μὲν ἐκ τῶν δεκατριῶν καὶ τῶν κζʼ γεννώμενον, οἷς τὰ μελῳδούμενα μετροῦσιν εὐσήμως οἱ μαθηματικοὶ διαστήματα, τὸ μὲν δίεσιν τὸ δὲ τόνον καλοῦντες· κατὰ τὸν πολλαπλασιασμὸν δὲ τῇ τῆς τετρακτύος δυνάμει γιγνόμενον τῶν γὰρ πρώτων τεσσάρων καθʼ αὑτὸν ἑκάστου τετράκις λαμβανομένου γίγνεται τέσσαρα καὶ ηʼ καὶ ιβʼ καὶ ισʼ · ταῦτα τὸν μʼ συντίθησι, περιέχοντα τοὺς τῶν συμφωνιῶν λόγους· τὰ μὲν γὰρ ισʼ ἐπίτριτα τῶν δεκαδύο ἐστὶν τῶν δʼ ὀκτὼ διπλάσια, τῶν δὲ τεσσάρων τετραπλάσια· τὰ δὲ ιβʼ τῶν ὀκτὼ ἡμιόλια, τῶν δὲ τεσσάρων τριπλάσια οὗτοι δʼ οἱ λόγοι τὸ διὰ τεσσάρων καὶ τὸ διὰ πέντε καὶ τὸ διὰ πασῶν καὶ τὸ δὶς διὰ πασῶν περιέχουσιν. ἴσος γε μήν ἐστιν ὁ τῶν τεσσαράκοντα δυσὶ τετραγώνοις καὶ δυσὶ κύβοις ὁμοῦ λαμβανομένοις· τὸ γὰρ ἓν καὶ τὰ τέσσαρα καὶ τὰ ὀκτὼ καὶ τὰ κζʼ κύβοι καὶ τετράγωνοι μʼ γίγνονται συντεθέντες. ὥστε πολὺ τῆς Πυθαγορικῆς τὴν Πλατωνικὴν τετρακτὺν ποικιλωτέραν εἶναι τῇ διαθέσει καὶ τελειοτέραν.

ἀλλὰ ταῖς εἰσαγομέναις μεσότησι τῶν ὑποκειμένων ἀριθμῶν χώρας οὐ διδόντων, ἐδέησε μείζονας ὅρους λαβεῖν ἐν τοῖς αὐτοῖς λόγοις· καὶ λεκτέον τίνες εἰσὶν οὗτοι. πρότερον δὲ περὶ τῶν μεσοτήτων· ὧν τὴν μὲν ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν ὑπερέχουσαν ἴσῳ δʼ ὑπερεχομένην ἀριθμητικὴν οἱ νῦν καλοῦσι, τὴν δὲ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων αὐτῶν ὑπερέχουσαν καὶ ὑπερεχομένην ὑπεναντίαν. ὅροι δʼ εἰσὶ τῆς μὲν ἀριθμητικῆς σʼ καὶ θʼ καὶ ιβʼ· τὰ γὰρ ἐννέα τῷ ἴσῳ κατʼ ἀριθμὸν τῶν ἓξ ὑπερέχει καὶ τῶν ιβʼ λείπεται· τῆς δʼ ὑπεναντίας σʼ ηʼ ιβʼ· τὰ γὰρ ὀκτὼ δυσὶ μὲν τῶν σʼ ὑπερέχει τέτταρσι δὲ τῶν ιβʼ λείπεται, ὧν τὰ μὲν δύο τῶν ἓξ τὰ δὲ τέσσαρα τῶν δώδεκα τριτημόριόν ἐστι. συμβέβηκεν οὖν ἐν μὲν τῇ ἀριθμητικῇ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τὸ μέσον ὑπερέχεσθαι καὶ ὑπερέχειν, ἐν δὲ τῇ ὑπεναντίᾳ ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων τοῦ μὲν ἀποδεῖν τὸ δʼ ὑπερβάλλειν ἐκεῖ μὲν γὰρ τὰ τρία τοῦ μέσου τρίτον ἐστὶ μέρος, ἐνταῦθα δὲ τὰ δʼ καὶ τὰ βʼ τῶν ἄκρων ἑκάτερον ἑκατέρου· ὅθεν ὑπεναντία κέκληται. ταύτην δʼ ἁρμονικὴν

ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῖς ὅροις τὰ πρῶτα σύμφωνα παρέχεται, τῷ μὲν μεγίστῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ πασῶν τῷ δὲ μεγίστῳ πρὸς τὸν μέσον τὸ διὰ πέντε, τῷ δὲ μέσῳ πρὸς τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων ὅτι τοῦ μεγίστου τῶν ὅρων κατὰ νήτην τιθεμένου τοῦ δʼ ἐλαχίστου καθʼ ὑπάτην, ὁ μέσος γίγνεται ὁ κατὰ μέσην, πρὸς μὲν τὸν μέγιστον τὸ διὰ πέντε ποιοῦσαν πρὸς δὲ τὸν ἐλάχιστον τὸ διὰ τεσσάρων ὥστε γίγνεσθαι τὰ ὀκτὼ κατὰ τὴν μέσην τὰ δὲ δώδεκα κατὰ νήτην τὰ δʼ ἓξ καθʼ ὑπάτην.

τὸν δὲ τρόπον, ᾧ λαμβάνουσι τὰς εἰρημένας μεσότητας, ἁπλῶς καὶ σαφῶς Εὔδωρος ἀποδείκνυσι. σκόπει δὲ πρότερον ἐπὶ τῆς ἀριθμητικῆς. ἂν γὰρ ἐκθεὶς τοὺς ἄκρους λάβῃς ἑκατέρου τὸ ἥμισυ μέρος καὶ συνθῇς, ὁ συντεθεὶς ἔσται μέσος ἔν τε τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίοις ὁμοίως. ἐπὶ δὲ τῆς ὑπεναντίας, ἐν μὲν τοῖς διπλασίοις ἂν τοὺς ἄκρους ἐκθεὶς τοῦ μὲν ἐλάττονος τὸ τρίτον τοῦ δὲ μείζονος τὸ ἥμισυ λάβῃς, ὁ συντεθεὶς γίγνεται μέσος· ἐν δὲ τοῖς τριπλασίοις ἀνάπαλιν, τοῦ μὲν ἐλάττονος ἥμισυ δεῖ λαβεῖν τοῦ δὲ μείζονος τρίτον· ὁ γὰρ συντεθεὶς οὕτω γίγνεται μέσος. ἔστω γὰρ ἐν τριπλασίῳ λόγῳ τὰ σʼ ἐλάχιστος ὅρος τὰ δʼ ιηʼ μέγιστος· ὁὲν οὖν τῶν σʼ τὸ ἥμισυ λαβὼν τὰ τρία καὶ τῶν ὀκτὼ καὶ δέκα τὸ τρίτον τὰ σʼ συνθῇς, ἕξεις τὸν ἐννέα ταὐτῷ μέρει τῶν ἄκρων ὑπερέχοντα καὶ ὑπερεχόμενον. οὓτω μὲν αἱ μεσότητες λαμβάνονται. δεῖ δʼ αὐτὰς ἐκεῖ παρεντάξαι καὶ ἀναπληρῶσαι τὰ διπλάσια καὶ τριπλάσια διαστήματα. τῶν δʼ ἐκκειμένων ἀριθμῶν οἱ μὲν οὐδʼ ὅλως μεταξὺ χώραν ἔχουσιν οἱ δʼ οὐχ

ἱκανὴν αὔξοντες οὖν αὐτούς, τῶν αὐτῶν λόγων διαμενόντων, ὑποδοχὰς ποιοῦσιν ἀρκούσας ταῖς εἰρημέναις μεσότησι. καὶ πρῶτον μὲν ἐλάχιστον ἀντὶ τοῦ ἑνὸς τὰ ἓξ θέντες, ἐπεὶ πρῶτος ἥμισύ τε καὶ τρίτον ἔχει μέρος, ἅπαντας ἑξαπλασίους τοὺς ὑποτεταγμένους ἐποίησαν, ὡς ὑπογέγραπται, δεχομένους τὰς μεσότητας ἀμφοτέρας καὶ τοῖς διπλασίοις καὶ τοῖς τριπλασίους διαστήμασιν. εἰρηκότος δὲ τοῦ Πλάτωνος ἡμιολίων δὲ διαστάσεων καὶ ἐπιτρίτων καὶ ἐπογδόων γενομένων, ἐκ τούτων τῶν δεσμῶν ἐν ταῖς πρόσθεν διαστάσεσι τῷ τοῦ ἐπογδόου διαστήματι τὰ ἐπίτριτα πάντα συνεπληροῦτο, λείπων αὐτῶν ἑκάστου μόριον, τῆς δὲ τοῦ μορίου ταύτης διαστάσεως λειφθείσης ἀριθμοῦ πρὸς ἀριθμὸν ἐχούσης τοὺς ὅρους σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ διὰ ταύτην τὴν λέξιν ἠναγκάζοντο πάλιν τοὺς ἀριθμοὺς ἐπανάγειν καὶ μείζονας ποιεῖν. ἔδει μὲν γὰρ ἐφεξῆς ἐπόγδοα γίγνεσθαι δύο· τῆς δʼ ἑξάδος οὔτʼ αὐτόθεν ἐπόγδοον ἐχούσης, εἴ τε τέμνοιτο, κερματιζομένων εἰς μόρια τῶν μονάδων, δυσθεωρήτου τῆς μαθήσεως ἐσομένης, αὐτὸ τὸ πρᾶγμα τὸν πολλαπλασιασμὸν ὑπηγόρευσεν, ὥσπερ ἐν ἁρμονικῇ μεταβολῇ τοῦ διαγράμματος ὅλου συνεπιτεινομένου τῷ πρώτῳ τῶν ἀριθμῶν. ὁ μὲν οὖν Εὔδωρος ἐπακολουθήσας Κράντορι πρῶτον ἔλαβε τὸν τπδʼ, ὃς γίγνεται τοῦ ἓξ ἐπὶ τὰ ξδʼ πολλαπλασιασθέντος ἐπηγάγετο δʼ αὐτοὺς ὁ τῶν ξδʼ ἀριθμὸς ἐπόγδοον ἔχων τὸν οβʼ. τοῖς δʼ ὑπὸ τοῦ Πλάτωνος λεγομένοις συμφωνότερόν ἐστιν ὑποθέσθαι τὸ ἥμισυ τούτου γὰρ τὸ λεῖμμα τὸ τῶν ἐπογδόων ἕξει λόγον ἐν ἀριθμοῖς, οὓς ὁ Πλάτων εἴρηκεν σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ πρὸς τρία καὶ μʼ καὶ σʼ, τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πρώτων τιθεμένων. ἂν δʼ ὁ τούτου διπλάσιος τεθῇ πρῶτος, ἔσται τὸ λεῖμμα λόγον μὲν ἔχον τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν δὲ τὸν διπλάσιον, ὃν ἔχει τὰ φιβʼ πρὸς υπσʼ· γίγνεται γὰρ ἐπίτριτα τῶν μὲν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τὰ σνσʼ, τῶν δὲ τπδʼ τὰ φιβʼ. καὶ οὐκ ἄλογος ἡ ἐπὶ τοῦτον ἀναγωγὴ τὸν ἀριθμόν, ἀλλὰ καὶ τοῖς περὶ τὸν Κράντορα παρασχοῦσα τὸ εὔλογον τὰ γὰρ ξδʼ καὶ κύβος ἐστὶν ἀπὸ πρώτου τετραγώνου καὶ τετράγωνος ἀπὸ πρώτου κύβου· γενόμενος δʼ ἐπὶ τὸν γʼ, πρῶτον ὄντα περισσὸν καὶ πρῶτον τρίγωνον καὶ πρῶτον τέλειον ὄντα καὶ ἡμιόλιον, ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο πεποίηκεν, ἔχοντα καὶ αὐτὸν ἐπόγδοον, ὡς δείξομεν.

πρότερον δὲ τί τὸ λεῖμμά ἐστι καί τίς ἡ διάνοια τοῦ Πλάτωνος, μᾶλλον κατόψεσθε, τῶν εἰωθότων ἐν ταῖς Πυθαγορικαῖς σχολαῖς λέγεσθαι βραχέως ὑπομνησθέντες. ἔστι γὰρ διάστημα ἐν μελῳδίᾳ πᾶν τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δυεῖν φθόγγων ἀνομοίων τῇ τάσει· τῶν δὲ διαστημάτων ἓν ὁ καλούμενος τόνος, ᾧ τὸ διὰ πέντε μεῖζόν ἐστι τοῦ διὰ τεσσάρων. τοῦτον οἱ μὲν ἁρμονικοὶ δίχα τεμνόμενον οἴονται δύο διαστήματα ποιεῖν, ὧν ἑκάτερον ἡμιτόνιον καλοῦσιν οἱ δὲ Πυθαγορικοὶ τὴν μὲν εἰς ἴσα τομὴν ἀπέγνωσαν αὐτοῦ, τῶν δὲ τμημάτων ἀνίσων ὄντων λεῖμμα τὸ ἔλαττον ὀνομάζουσιν, ὅτι τοῦ ἡμίσεος ἀπολείπει. · διὸ καὶ τῶν συμφωνιῶν τὴν διὰ τεσσάρων οἱ μὲν δυεῖν τόνων καὶ ἡμιτονίου ποιοῦσιν οἱ δὲ δυεῖν καὶ λείμματος. μαρτυρεῖν δὲ δοκεῖ τοῖς μὲν ἁρμονικοῖς ἡ αἴσθησις τοῖς δὲ μαθηματικοῖς ἡ ἀπόδειξις, ἧς τοιοῦτος ὁ τρόπος ἐστίν· ἐλήφθη διὰ τῶν ὀργάνων θεωρηθέν, ὅτι τὸ μὲν διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει, τὸ δὲ διὰ

πέντε τὸν ἡμιόλιον, τὸ δὲ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον, ὁ δὲ τόνος τὸν ἐπόγδοον. ἔξεστι δὲ καὶ νῦν βασανίσαι τἀληθές, ἢ βάρη δυεῖν ἄνισα χορδῶν ἐξαρτήσαντας ἢ δυεῖν ἰσοκοίλων αὐλῶν τὸν ἕτερον μήκει διπλάσιον τοῦ ἑτέρου ποιήσαντας· τῶν μὲν γὰρ αὐλῶν ὁ μείζων βαρύτερον φθέγξεται ὡς ὑπάτη πρὸς νήτην, τῶν δὲ χορδῶν ἡ τῷ διπλασίῳ κατατεινομένη βάρει τῆς ἑτέρας ὀξύτερον ὡς νήτη πρὸς ὑπάτην τοῦτο δʼ ἐστὶ διὰ πασῶν. ὁμοίως δὲ καὶ τρία πρὸς δύο ληφθέντα μήκη καὶ βάρη τὸ διὰ πέντε ποιήσει καὶ τέσσαρα πρὸς τρία τὸ διὰ τεσσάρων, ὧν τοῦτο μὲν ἐπίτριτον ἔχει λόγον ἐκεῖνο δʼ ἡμιόλιον. ἐὰν δʼ ὡς ἐννέα πρὸς ὀκτὼ γένηται τῶν βαρῶν ἢ τῶν μηκῶν ἡ ἀνισότης, ποιήσει διάστημα τονιαῖον οὐ σύμφωνον ἀλλʼ ἐμμελὲς ὡς εἰπεῖν ἔμβραχυ, τῷ τοὺς φθόγγους, ἂν ἀνὰ μέρος κρουσθῶσι, παρέχειν ἡδὺ φωνοῦντας καὶ προσηνές ἂν δʼ ὁμοῦ, τραχὺ καὶ λυπηρόν· ἐν δὲ ταῖς συμφωνίαις κἂν ὁμοῦ κρούωνται κἂν ἐναλλάξ, ἡδέως προσίεται τὴν συνήχησιν ἡ αἴσθησις. οὐ μὴν ἀλλὰ καὶ διὰ λόγου τοῦτο δεικνύουσιν. ἐν μὲν γὰρ ἁρμονίᾳ τὸ διὰ πασῶν ἔκ τε τοῦ διὰ πέντε σύγκειται καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων, ἐν δʼ ἀριθμοῖς τὸ διπλάσιον ἔκ τε τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου· τὰ γὰρ δώδεκα τῶν μὲν ἐννέα ἐστὶν ἐπίτριτα τῶν δʼ ὀκτὼ ἡμιόλια τῶν δὲ σʼ διπλάσια. σύνθετος οὖν ὁ τοῦ διπλασίου λόγος ἐστὶν ἐκ τοῦ ἡμιολίου καὶ τοῦ ἐπιτρίτου, καθάπερ ὁ τοῦ διὰ πασῶν ἐκ τοῦ διὰ πέντε καὶ τοῦ διὰ τεσσάρων ἀλλὰ κἀκεῖ τὸ διὰ πέντε τοῦ διὰ τεσσάρων τόνῳ κἀνταῦθα τὸ ἡμιόλιον τοῦ ἐπιτρίτου τῷ ἐπογδόῳ μεῖζόν ἐστι. φαίνεται τοίνυν, ὅτι τὸ διὰ πασῶν τὸν διπλάσιον λόγον ἔχει καὶ τὸ διὰ πέντε τὸν ἡμιόλιον καὶ τὸ διὰ τεσσάρων τὸν ἐπίτριτον καὶ ὁ τόνος τὸν ἐπόγδοον.

Ἀποδεδειγμένου δὲ τούτου, σκοπῶμεν εἰ δίχα τέμνεσθαι πέφυκε τὸ ἐπόγδοον· εἰ γὰρ μὴ πέφυκεν, οὐδʼ ὁ τόνος. ἐπεὶ δὲ πρῶτοι τὸν ἐπόγδοον λόγον ὁ θʼ καὶ ὁ ηʼ ποιοῦντες οὐδὲν διάστημα μέσον ἔχουσι, διπλασιασθέντων δʼ ἀμφοτέρων ὁ παρεμπίπτων μεταξὺ δύο ποιεῖ διαστήματα δῆλον ὅτι τούτων μὲν ἴσων ὄντων δίχα τέμνεται τὸ ἐπόγδοον. ἀλλὰ μὴν διπλάσια γίγνεται τῶν μὲν θʼ τὰ ιηʼ τῶν δʼ ηʼ τὰ ισʼ, δέχονται δʼ οὗτοι μεταξὺ τὰ ιζʼ καὶ γίγνεται τῶν διαστημάτων τὸ μὲν μεῖζον τὸ δʼ ἔλαττον· ἔστι γὰρ τὸ μὲν πρότερον ἐφεπτακαιδέκατον τὸ δὲ δεύτερον ἐφεξκαιδέκατον. εἰς ἄνισα τοίνυν τέμνεται τὸ ἐπόγδοον εἰ δὲ τοῦτο, καὶ ὁ τόνος. οὐδέτερον ἄρα γίγνεται διαιρεθέντος αὐτοῦ τῶν τμημάτων ἡμιτόνιον, ἀλλʼ ὀρθῶς ὑπὸ τῶν μαθηματικῶν λεῖμμα προσηγόρευται. καὶ τοῦτʼ ἐστὶν ὅ φησιν ὁ Πλάτων τὰ ἐπίτριτα τοῖς ἐπογδόοις συμπληροῦντα τὸν θεὸν λείπειν ἑκάστου μόριον αὐτῶν, οὗ λόγος ἐστίν, ὃν ἔχει τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ

πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. εἰλήφθω γὰρ τὸ διὰ τεσσάρων ἐν ἀριθμοῖς δυσὶ τὸν ἐπίτριτον λόγον περιέχουσι, τοῖς σνσʼ καὶ τοῖς ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο· ὧν ὁ μὲν ἐλάττων, τὰ ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο, κείσθω κατὰ τὸν βαρύτατον τοῦ τετραχόρδου φθόγγον ὁ δὲ μείζων, τὰ σνσʼ, κατὰ τὸν ὀξύτατον· ἀποδεικτέον ὅτι, τούτου συμπληρουμένου δυσὶν ἐπογδόοις, λείπεται διάστημα τηλικοῦτον, ἡλίκον ὡς ἐν ἀριθμοῖς τὰ σʼ καὶ νʼ καὶ σʼ ἔχει πρὸς τὰ γʼ καὶ μʼ καὶ σʼ. τοῦ γὰρ βαρυτέρου τόνῳ ἐπιταθέντος, ὅπερ ἐστὶν ἐπόγδοον, γίγνεται σισʼ· τούτου πάλιν τόνῳ ἄλλῳ ἐπιταθέντος, γίγνεται σμγʼ· ταῦτα μὲν γὰρ ὑπερέχει τῶν σισʼ τοῖς κζʼ, τὰ δὲ σισʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο τοῖς εἴκοσι καὶ τέσσαρσιν ὧν τὰ μὲν κζʼ τῶν σισʼ ὄγδοά ἐστι, τὰ δὲ κζʼ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο. διὸ γίγνεται τῶν τριῶν τούτων ἀριθμῶν ὅ τε μέγιστος ἐπόγδοος τοῦ μέσου καὶ ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου· τὸ δʼ ἀπὸ τοῦ ἐλαχίστου διάστημα μέχρι τοῦ μεγίστου, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῶν ἑκατὸν ἐνενήκοντα δύο μέχρι τῶν σμγʼ, δίτονον ἐκ δυεῖν συμπληρούμενον ἐπογδόων ἀφαιρουμένου δὲ τούτου, περίεστι τοῦ ὅλου διάστημα λοιπὸν τὸ μεταξὺ τῶν σμγʼ καὶ τῶν σνσʼ, τὰ τρισκαίδεκα διὸ καὶ λεῖμμα τοῦτον τὸν ἀριθμὸν ὠνόμαζον. ἐγὼ μὲν οὖν εὐσημότατα δηλοῦσθαι τὴν Πλάτωνος οἶμαι γνώμην ἐν τούτοις τοῖς ἀριθμοῖς.