Synagoge

1 Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον διακρίνειν, ὦ κράτιστε Πανδροσίον, πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι καλεῖν ἐφʼ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι, θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ ἑπίμενον αὐτοῖς καί πάντως ἐπισυμβαῖνον θεωρείται, τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα, τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων. ὁ μὲν οὖν τὸ θεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς προτείνοι, ὁ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων ἂν μὲν ἀμθὴς ᾖ καὶ παντάπασιν ἰδιώτης, κἂν· ἀδύνατόν πως κατασκευασθῆναι προστάξῃ, σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύθυνος. τοῦ γὰρ ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι, τό τε δυνατὸν καὶ τὸ δύνατον, κἂν ᾖ δυνατόν, πότε καὶ πώς καὶ ποσαχῶς δυνατόν. ἐὰν δὲ προσποιούμενος ᾖ τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλων, οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω. πρῴην γοῦν τινες τῶν τὰ μαθήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν προβλημάτων προτάσεις ἀμαθῶς ἡμῖν ὥρισαν. περὶ ὧν ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμάς εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε καὶ τῶν φιλομαθούντων ἐν τῷ τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν ἀμαθῶς· τὸ γάρ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι διʼ ἐπιπέδου [*](1. 2. πάππου ἀλεξανδρέως. συναγωγῶν Γ· περιέχει — στερεά om. A1, add. Α2 (Β, nisi quod huc συναγωγὼν τρίτον), Πάππου ἀλεξανδρέως μαθηματικῶν συναγωγῶν βιβ. Γ S, ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ corr. Ηυ 4. κρατίστη πανδρόσιον ABS, Cratiste Co, corr. Hu (conf. indicem) 10. τὸν ἀκόλουθον τοῦτον ABS, consequens eous Co, corr. Hu ὑγειῶς AB, corr. S 11. ἂν μὲν — 12 ἰδιώτης interpolatori tribuit Hu 16. 17, προσποιούμενος ἠσκηκέναι τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλῃ coni. Hu προβάλλων S, πρόβά| λὼν A, προβαλών B 18. τὰς add. Hu 20. ἀποδειξις (sine acc.) A, corr. BS 21. ὠφελίαν A, corr. BS φιλομαθεωρίας,)

2 α΄. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ Β∠, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ· ἴδη ἡ Β∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ, καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ∠Η, καὶ κείσθωσαν τῇ Β∠ ἴσαι αἱ ∠Ν ΝΛ ΛΞ ΞΚ καὶ διὰ τῶν Ν Λ Ξ Κ σημείων τῇ ΒΕ παράλληλοι αἱ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΚΡ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΚP κατὰ τὸ Σ, καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, ὡς δέ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΧΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΚ καὶ ἡ ΚΦ καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ XΦ παράλληλος ἡ ΣΨ, ὑπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ, καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ, οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ. ὡς δὲ ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΝΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ καὶ ἡ ΓΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ω τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Ω∠, ἀπὸ δέ τοῦ ∠ τῇ ΛΝ παράλληλος ἡ ΛΕ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ∠Η πρὸς ΗΕ, οὕτως ΗΕ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ, καὶ ἤχθωσαν τῇ ΘΓ παράλληλοι αἱ ΖΚ ΕΛ, καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ ταῖς ΑΓ B∠ παράλληλοι αἱ ΚΜ ΛΝ δεῖξαι ὅτι τῶν ΑΓ Β∠ υέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΚ ΝΛ.

3 Ταῦτα μὲν οὖν ἐκεῖνος γράψας ἐξέδωκεν ἡμῖν μὴ περιέχοντα καὶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου προβλήματος. ἐπειδὴ δὲ καὶ Ἱέριος ὁ φιλύσοφος καὶ ἄλλοι πολλοὶ τῶν αὐτοῦ μὲν ἑταίρων ἐμοὶ δέ γνωρίμων ἠξίωσαν ἀποκρίνασθαί με τέως περὶ τῆς προκειμένης κατασκευῆς, ἐκείνου τὴν ἀπόδειξιν ἐπαγγειλαμένου ποιήσασθαι, τοσοῦτον ἔχω τὸ νῦν εἰπεῖν, ὡς οὖ δεόντως, ἀλλʼ ἀπείρως ἐχρήσατο τῇ κατασκευῇ. διχοτομήσας γάρ τὴν ΡΚ εὐθεῖαν τῷ Σ καὶ ποιήσας ὡς μὲν τὴν ΚΘ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, ἐποίησεν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ τὴν ΓΘ πρὸς τὴν ΘΦ. πᾶσα δὲ ἀνάγκη μήτʼ ἐκεῖνον εὑρίσκειν τὸ σημεῖον τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου, ὡς τὸ Φ, μήθʼ ἡμᾶς. τῆς δέ τοιαύτης ἀπορίας παρά τὴν αὐτοῦ αἰτίαν ἐπακολουθούσης ἐνεφάνισεν ἑαυτὸν μηδέ τοῦτο συνιδόντα τὸ ἀκόλουθον.

4 ἀδυνάτου γὰρ ὄντος ὁρισθῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου, μὴ πρότερον ὑποτεθέντος τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ ἀδύνατον, ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ, ὑποτεθέντος μέντοι τοῦ λύγου τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ, δέδοται ἡ ἐλάσσων εὐθεῖα τοῦ τρίτου λύγου. καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Θ σημεῖον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης. καὶ ὅτι ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ ἢ μεταξὺ τῶν Ρ Τ δῆλόν ἐστιν. ὅτι γὰρ καὶ τὸ Τ μεταξὺ πίπτει τῶν Ρ Σ δείξομεν, [*](3. post πολλοὶ add. μὲν A1, sed id expunctum 7, δε*όντως A2 ex δεν ὄντως 9. οὕτω AsBS 11. πάση δὲ ἀνάγκη AB, πέσῃ δὲ ἀνάγκῃ Ss, corr. Hu 14. τοῦτο accipiendum est pro τόδε; minime igitur τούτω scribendum 16. ὑπερεκτεθέντος B 17. ΘΡ A1, Κ superscr, A2, unde κρ S, θ*ρ B τοῦ om. BS 18. ἡ Η πρὸς τὴν ΒΑ AB1S, corr. B4 Co 20. τουτέστιν add. B4 V2, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει mavult Hu 21. δίδοται AS, corr. Β 23. ὅτι add. V2 24, ΘΡ — ΡΤ AS, distinx. B 24. 25. δῆλον ἔσται ABS, corr. Hu ayclore Co 25. ὅτι γὰρ — p. 36, 3. πρὸς τὴν ΘΡ interpolatori tribuit Hu 25 τῶν ΡΣ A, disinx, BS)

5 Ὑποκείσθω γάρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος τῆς ΚΘ πρὸς τὸν ΘΡ, τουτέστιν τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἢ τῆς Β∠ πρὸς ΑΓ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τουτέστιν ὃν δ΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, τουτέστιν ὡς δ΄ πρὸς γ΄, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς γ΄ πρὸς β΄ καὶ δ΄΄. ὡς δὲ καὶ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄ καὶ δ΄΄, οὔτως αὐτὰ τὰ β΄ δ΄΄ πρὸς ἄλλην ἐάν γένηται, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου καὶ πασῶν ἐλαχίστην ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ, καὶ τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ.

Ἀλλὰ δὴ ὁ δοθεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄ καὶ ἔστιν ὡς τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄, οὕτως τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ η΄΄· ὡς δέ τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄, οὕτως τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄ πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο, ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου μεταξύ πίπτει τῶν Θ Ρ.

Πάλιν ὑποκείσθω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ πενταπλάσιος λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέκα πρὸς δύο· καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ ι΄ πρὸς τὰ Ϛ΄. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ ι΄ πρὸς τά Ϛ΄, οὕτως αὐτὰ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄· ὡς δὲ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄, οὕτως [*](1. τῶν ΘΡ et 3. τῶν ΡΤ A, distinx. BS 5. τῆς ΚΘ — 6. πρὸς ΑΓ, manifestum interpretamentum, del. Hu 6. ἢ τῆς Β∠ ΑΒ, ἢ τῆς βα S Co 7. τὰ δύο πρὸς τὸ Α τουτέστιν ὃν ∠ πρὸς δύο AB, τὰ δύο πρὸς τὸ ἕν, τουτέστιν ὃν τέσσαρα πρὸς δύο S 8. 9. λόγος ἐστιν ὃν ∠ πρὸς Γ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΘ (voluit ΚΘ, πρὸς ΘΣ om. A1, add. A in marg. 10 ὡς prius] ουτω (sine spir et acc.) A, οὕτω B1S, corr. B4 10. 11. δύο καὶ — δύο καὶ ∠ A, δύο καὶ δ΄ utroque loco B, δύο καὶ τέταρτον V2 Sca 11. τὼ Β ∠ AB, τὰ δύο δ S, τὰ δύο δ΄ Sca, τὰ δύο καὶ τέταρτον V2 πρὸς ἄλλην] προσάλληλα AB (S),)

Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετραπλασίου 6 λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν Ρ Θ, πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ σημεῖον τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ὡς καὶ λῆμμα περὶ τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα.

Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, 7 ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ, τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὑπʼ αὐτοῦ θεωρηθέντος διʼ ἣν εἴπομεν. αἰτίαν αὐτὸς δὲ λέγει δεικνύναι τὸ προκείμενον, ἐάν τε μεταξὺ τῶν Θ Ρ ᾖ τὸ Φ σημεῖον ἐάν τε μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σκοπεῖν ὅτι, ὅπου ἂν λάβῃ τὸ Φ, ἤτοι κάτω τοῦ Ρ ἢ ἄνω, οὐκ ἔσται ὡς ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως καὶ ἡ ΤΘ πρὸς ΘΡ. ἐὸν οὖν λέγῃ γεγενήσθω ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ,” αὐτόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών. ἐκβληθείσης γὰρ τῆς ΞΚ καὶ ἴσης τεθείσης τῇ ΞΚ τῆς ΚΜα, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜαΘ καὶ παραλλήλων ἀχθεισῶν τῇ ΚΜα διὰ τῶν Σ καὶ Τ καὶ Ρ σημείων, γεγονὸς ἔσται τὸ ζητούμενον καὶ δῆλόν πως. ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ ΚΜα πρὸς ΣΜβ, οὕτως ἡ ΣΜβ πρὸς ΤΜΓ καὶ ἡ ΤΜΓ πρὸς τὴν ΡΜδ. [*](1. αὐτὰ τὰ Hu pro τὰ ἀυτὰ Γ ⌞ ι΄ A (B ut supra) 2. αὐτῶν τῶν Hu pro τῶν αὐτῶν 5, 6. τῶν ΡΘ et 7, τῶν ΡΤ A 10. τῶν ΘΡ — τῶν ΡΤ A itemque posthac, distinx. BS 12. αὐτὸς — 14. τῶν Ρ Τ interpolatori tribuit Hu 15. ἢ] ἣ As Bs S 19. ὡς ante ὁμολ. add. Co 20. τῆς ΞΚ τῆς Κ| Μ AB1, corr. B3 21. τῆς ΜαΘ] minuta littera α atque item posthac β γ δ in ABS ubique super Μ positae sunt 21. 22. τῆς Κ Μ διὰ τὴν Ϲ καὶ Τ καὶ Ρ σημεῖον AB1, corr. B3 (minus feliciter διὰ τὰ — σημεῖα V2) 23. δῆλον πως Λ; vix tamen probabile videtur δῆλον πῶς ἡ ΚΜ AB1S, corr. B3 24. ἡ ΣΜβ Hu, ΕΜ, omisso ἡ, AB1 S, σ pro Ε corr. B3 πρὸς τὴν ΡΜ AB1S, corr. B3V2)