Synagoge

Pappus Alexandrinus

Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.

8 διὰ τοῦτο δέ, οἶμαι, καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαμβάνεται, οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ Ρ,” ἀνωτέρω δέ, τουτέστι μεταξύ τῶν Ρ Θ, λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ Φ, ἀποπληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανθανόμενος. οὐ γὰρ ἑκὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐντυγχανόντων, ἀλλʼ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος, ὡς δείξω πρότερον κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον καὶ ὕστερον ἐλέγχων αὐτοῦ τὴν ὑπόθεσιν μὴ ὑγιῶς εἰλημμένην.

9 Ἐπεὶ τοίνυν δοθείς ἐστιν ὁ τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ λόγος καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΘΚ (τοῦτο γὰρ ὑποκεῖσθαι δεῖ), δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΡ καὶ λοιπὴ ἡ ΡΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΡΚ· ἦν δὲ καὶ ἡ ΡΘ δοθεῖσα· καὶ ὅλη [*](1. 2, exsprectaveris ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ Βε; sed in * progressu demonstrationis scriptor ordinem inverlit, ut ex proximis apparet ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ Hu auctore Co, ἡ δὲ ΑΕ τῆι ΚΘ AB1 S, ἡ δὲ αε τῇ ρθ B3V2 2. ΡΜ AB1S, corr. B3V2 item vs. 3 ἡρυσθαι (sine acc.) A (B1), ἡυρήσθαι B4, corr. S 4. τὰς σμ B3V V2, τοὺς | Μ AB1, τὰς μ S 6. 7. τῶν — τὰ ΤΣ Α 8. καὶ τὴν ΤΘ AB3, καὶ τὴν θτ B1S 11. δὲ οἶμαι V2 pro δέομαι 12. ὡς ante ὁμολ. add. Hu 13. ἔστω esse Co; voluit igitur εἰναι 14. τῶν ΡΘ Α i6. ἧττον V2 pro πλέον 17, ἑκὼν ψευδογραφεῖ Hu pro ἐκ τῶν ψευδογραφεῖν 20. καὶ ὕστερον — εἰλημμένην, manifestum interpretamentum, del. Hu μη A 22. επιτοινυν δοθείσης ἐστιν AB, corr. S)

ἄρα ἡ ΘΣ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ ὁ λόγος τῆς ΚΘ πρὸς ΘΣ δοθείς ἐστιν. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΘΣ, δοθεῖσα ἄγα ἔσται καὶ ἡ ΤΘ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΦ δοθεῖσα ἔσται, ὥστε καὶ ἡ διαφορά τῶν ΘΡ ΘΦ εὐθειῶν δοθεῖσά ἐστιν. εὑρήσθω οὖν τὸ Φ μεταξὺ τῶν Θ Ρ, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν ἐδείχθη. καὶ ἐπεὶ δέδοται ἡ ΦΡ διαφορὰ καὶ ἡ τὰ Ρ Χ ἐπιζευγνύουσα εὐθεῖα ἴση οὖσα τῇ ΞΚ, δοθέν ἄρα τὸ ΦΧΡ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει. δοθεῖσα ἄρα ἡ ὑπὸ ΡΦΧ γωνία, καὶ ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΚΣΨ ἐκτὸς γωνίᾳ· ἐκβληθείσης ἄρα καὶ τῆς ΩΨ ἐπὶ τὸ Ζ, δοθὲν ἔσται τὸ ΣΖΨ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει. ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει οὕτως: ἐπεὶ γὰρ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΡΚ ΡΧ, δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ ΚΚ καὶ λόγος ἐστὶν δοθεὶς τῆς ΧΚ πρὸς τὴν ΚΨ (ἱ αὐτὸς γάρ ἐστιν τῷ τῆς ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ λόγῳ δοθέντι)· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΚ, ἀλλὰ καὶ ἡ ΨΣ δοθεῖσά ἐστιν, ἐπεὶ καὶ ὡς ἡ ΦΚ πρὸς τὴν ΚΣ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΨΣ· καὶ δοθεῖσα δέδεικται ἡ ΦΧ· δοθεῖσα οὖν ἐστιν καὶ ἡ ΨΣ. ἦν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΨΣΚ γωνία δοθεῖσα, ὥστε καὶ τὸ ΨΣΖ τρίγωνον ὀρθογώνιον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει δεδομένον ἔσται. δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΨΖ, παράλληλος οὖσα τῇ ΞΚ καὶ ἐπʼ εὐθείας τῇ ΨΩ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΩΛ ἴση οὖσα τῇ ΖΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΜΛ, ἐλάσσων δέ ἡ ΩΛ τῆς ΣΚ ἴση γὰρ ἢ ΩΛ τῇ ΚΖ), καὶ ἔστιν ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς τὴν ΘΤ καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΦ, ὡς δὲ ἡ ΛΜ πρὸς ΜΩ, [*](1. 2. πρὸς ΘΣ δοθεῖσα AB1, corr. B3S 4. ἄρα add. Hu auctore Co 6. τῶν ΘΡ Α, distinx. BS 7. καὶ ἐπιδέδοται A, corr. BS ἥ τε ΦΡ coni. Hu 8. τὰ Ρ Χ Hu pro ΤΑ ΡΧ errorem lam indicaverat B4 lineola ducta sub τα 10, ΡΦ γωνία AB1, corr. B4S ΚϹΦ ἐκτὸς AB1, corr. B4 Co, φ et ψ per dittographiam habet S 12, ἀλλὰ καὶ τῷ μεγέθει add. Hu (καὶ μεγέθει pro οὕτως coni. Co) 18. οὕτως — 21, δεδομένον ἔσται interpolatori tribuit Hu: vide adnot. ad Latina 15. αὐτὸς γάρ ἐστιν add. A in rasura (BS) 21. post μεγέθει add. η (sic) A, B1 S, del. B3V V2 22. ξκ B4, ΗΚ B1S S, βκ V2)

ἡ ΜΩ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ ἡ ΑΜ πρὸς τὴν ΜΒ, ἔσται ἄρα μείζων ἡ MΒ τῆς ΘΦ (καὶ τοῦτο γὰρ ἑξῆς δειχθήσεται)· καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΛ τῆς ΦΚ ἐλάσσων. ἐπεὶ οὐν πάλιν δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΩΛ ἐδείχθη ἴση γὰρ τῇ ΖΚ δοθείσῃ, δοθεῖσα δέ καὶ ἡ ΛΜ (ὅτι καὶ ἡ ΚΘ), καὶ λύγος ἄρα τῆς ΛΜ πρὸς ΜΩ δοθείς. καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΩ, καὶ ἡ ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ, καὶ δοθεῖσα ἡ ΩΜ· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΜΑ.

10 διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΒ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον δοθέν ἐστιν, ὅπερ ἔστω ὑποκείμενον, ὅπου βούλεται, ἤτοι μεταξύ τῶν Ϛ Μ, ὡς νῦν ἐστιν, ἢ μεταξὺ τῶν Ϛ Α,. τῆς ϚΛ ἴσης ὑποκειμένης ἑκατέρᾳ τῶν ΚΡ ΑΒ ---. εἰ γὰρ λέγει τὸ Β πίπτειν κατὰ τὸ Ϛ, τὸ ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει. φαίνεται γὰρ πάλιν ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς MΛ, καὶ σημείου τινὸς ἐν αὐτῇ δοθέντος τοῦ Ϛ, λαβών μεταξύ δύο σημεῖα τὰ Ω Α καὶ ποιήσας ὡς τὴν ΛΜ πρὸς MΩ, τὴν ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ τὴν ΜΑ πρὸς τὴν ΜϚ, ὅπερ οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ. τοῦτο γὰρ καὶ οἱ παλαιοὶ ζητοῦντες ἠπύρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, ὡς καὶ αὐτὸς δείξω παραθέμενος τάς ἐκείνων φωνάς. καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ εἰ τὸ Ϛ ἐξ [*](1. ἡ Μω πρὸς τὴν ωΛ AB1S, corr. B3V2 ἡ ΑΜ πρὸς τὴν Μ Β ABS, lineola sub Α addita erat in B, sed nunc crasa est 2. ἡ Μ Β ABS 3. ἡ ΒΛ ABS, lineolam add. Hu 4. ἐδείχθη — δοθείσῃ del. Hu ἐδίχθη ἴση γὰρ AB1S, ἐδείχθη γὰρ ἴση B3 ἴση γὰρ, deleto ἐδείχθη, V2 5. post καὶ ἡ ΚΘ add. δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ μω V2 8. ἡ Μ Β ABS 9, Β σημεῖον ABS ὅπερ ἔστω cet. non vacant corruptelae suspicione; certe ὅπου ἂν βούληται legenda esse videntur 10. τῶν ϚΜ AS, distinx. B 11. ἢ Hu auctore Co pro ἡ τῶν Ϛἀ A, τῶν Ϛᾳ BS, corr. V2 ἑκατέρας AS, corr. B secundum Waitzii collationem 11. 12. τῶν ΚΡ ΑΒ *** Hu. τῶν ΚΡ ΑΒ ΚΞ ΤΝ AB1, τῶν κραβ χξτν S, τῶν κρ αβ χξ γν B3 V2 Co, τῶν κρ αβ καὶ χξ γν B4, in lacuna excidisse verba ἀδύνατόν ἐστιν τὸ πρόβλημα coniicias collata pat. 40, 10 vel εἰς ἄπορον δηλονότι ἐμπίπτει coll. p. 40, 16 12. τὁ B ABS 16. τὰ Α° Α 17. τὴν ΜΑ° καὶ τὴν ΜΑ Α 19. αὐτοδείξω A, αὐτὸ δείξω B, corr. S 21. τὸ Ϛ] fallitur Co pro Ϛ coniiciens Β)

ἀνάγκης τὸ τῆς τομῆς σημεῖον τοῦ τρίτου λόγου, δεῖξον ὅτι οὔτε μεταξὺ τῶν Ϛ Α δύναται πίπτειν οὔτε μεταξὺ τῶν Μ Ϛ.” ἡμεῖς γὰρ ἀπεδείξαμεν ἐν ἀρχῇ καὶ ἄνω τοῦ Ρ καὶ κάτω τὸ σημεῖον πίπτει γὰρ παρὰ τὴν ὑπόθεσιν τοῦ λόγου.

11 ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦ δεδόσθαι τὸ ϚΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει, κἂν τύ Β τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ ἦ τῶν Ϛ Α, δεδομένου δὲ καὶ τοῦ ∠ΩΛ τριγώνου, ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον καὶ τῆς ∠Ε δεδομένης, ἔσται δοθεὶς καὶ ὁ τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ὁ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΗϠ ἴσης ὑποκειμένης καὶ νῦν τῇ ΚΡ, τουτέστιν τῇ ΑΒ, τῆς ∠Ϡ, κἂν τὸ Θ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ Ϡ. οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἀκούων παῤ ἡμῶν δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Η μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ πίπτει.”

εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἀπλῶς τὸ τῆς τοιαύτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ Ϡ βούλεται, τὸ ζητούμενον καὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν. μὴ διδομένου δʼ αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ Ϡ σημεῖον (ἐπεὶ μηδὲ κατὰ τὸ Ρ συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν), εἰ καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν Ε Η λαβεῖν ἐβούλετο, ὡς τὸ Ζ, αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηθεὶς τὸ Θ ἔλαβεν. ὡς βούλεται [*](1. δεῖξαν B3 (voluit δεῖξαι 2. τῶν Ϛ Αʼ A 3. τῶν ΜϚ ABsS, distinx. Hu 4. πίπτει — 5. λόγου del. Hu 6. δεδόσθαι Hu pro δίδοσθαι τὸ Ϛ βγ B3 V2, τὸ Ϛ Ρ΄ ι΄ A, τὸ Ϛ βι B1S 6. 7. κὰν τὸ Β A, κἂν τὸ β BS 7. η (sic) τῶν Ϛᾳ A (BS) 8. δὲ add. Hu 9. ∠E Hu pro ΛΕ 10. τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ om. S, unde λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ηε πρὸς ζῃ καὶ τῆς ζη πρὸς τὴν ηθ coni. V2 11. καὶ ante οὐδαμῶς] ἀλλʼ coni. Hu 11. 12. πρὸς τὴν ΗϠ Hu pro ὁ πρὸς τὴν ΗΕ 12. 13. τῆς ΚΡ — τῆς ΑΒ τῆι ∠Ϡ ABS, corr. Hu 13. τῆς ΛϠ] pro Ϡ nota numerali A et hic et infra formam Ϡ habet, quae in codicibus recentioribus aut in ipsum τ ait in formam simillimam abiit (etiam Co τ legit, Waitzius autem recte Ϡ descripsit) τῶν ΖϠ. AB, τῶν ζ τ Ss 15. δεῖξον A1 ex δεῖξων, ut videtur, δεῖξαν B τῶν ϠΗ AB, τῶν τη S 15. 16. τῶν ϠΖ Α, distinx. BS 16. εἰ δὲ S, ηδε (sine spir, et acc.) A, ἥδε B 18. καὶ ante νῦν add. B)

δέ, κείσθω χωρὶς τοῦ εἶναι κατὰ τὸ Ϡ καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΘΓ, καὶ παραλλήλους ἀγαγών τῇ μὲν ΓΘ τὰς ΖΚ ΕΛ, διὰ δὲ τῶν Κ Λ παραλλήλου; τῇ ΑΓ τὰς ΚΜ ΛΝ δῆλον ποιεῖ μὴ νενοηκέναι τὸ πρόβλημα. παραλλήλου γὰρ μὴ γενομένης τῇ ΕΗ τῆς ΘΓ ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνία ἀμβλεῖα μέν ἐστι τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Η Ϡ πίπτοντος, ὀξεῖα δὲ τοῦ Θ μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ ὄντος· ἡ γὰρ πρὸς τῷ Ϡ γωνία ὀρθή ἐστι, καθʼ ἣν μόνως γίνεται τὸ πρόβλημα, ἐάν τις συγχωρήσῃ, καθὰ πολλάκις εἴπομεν, ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς ∠H, καὶ σημείου δοθέντος τοῦ Ϡ, λαβεῖν δύο σημεῖα ὡς Ε Ζ, ὥστε εἶναι ὡς μὲν τὴν ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ, οὕτως τὴν ΗΕ πρὸς ΗΖ, καὶ τὴν ΗΖ πρὸς τὴν ΗϠ.

13 μὴ διδομένου δὲ τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταθὲν ὑπʼ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεθῆναι, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν αὐτῶν ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισθῆναι, χρωμένοις τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. ἀλλὰ τοῦτον μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως εὑρίσκειν, ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν.

14 β΄. Ἔστω τις εὐθεῖα ἡ ΑΗ τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ τὰ B Γ ∠ Ε Ζ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ BΓ πρὸςτ τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ∠Β. οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Γ καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ καὶ τὸ πέμπτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ 8Η πρὸς τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕκτον τῆς ΓΒ.

Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων --- καὶ ἀεὶ οὕτως, ὅτι ὡς ὁ δοθεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα, οὕτως ὁ μονάδι ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῆς ΓΒ μόριον ὁμώνυμον τῷ δοθέντι πλήθει τῶν ἴσων εὐθειῶν.

[*](1. καὶ A1B, κὰν A2, ut vindetur, unde κἂν S 2. 3. τὰς ΖΚ ΒϠ. διὰ δὲ τῶν ΚΛ A, lineolas addidit et pro Ϡ correxit Λ B3 3. τῆι ΑΓ τὰ ΚΜ Λν Α, τὰς corr. B3S, lineolam sub Α del. Hu, lineolas sub Μ ΛΝ add. B 5. ὑπὸ ΓΘΗ AS, lineolam sub Θ add. B ἀμβλεῖα B3 V2, /////// A, om. B1S 6. τῶν ΗϠ ΑΒ, sed rum Η ln Α litterae)