Synagoge

21 Αὗται δὴ συμπολλαπλασιαζόμεναι ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν ἑκατοντάδων καὶ δεκάδων στερεόν, τουτέστι τὰς προκειμένας μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα, ποιοῦσιν μυριάδας τρισκαιδεκαπλᾶς ρҀϚ΄, δωδεκαπλᾶς τξη΄, ἑνδεκαπλᾶς δω΄. ἐνναπλαῖ γὰρ μυριάδες ἐπὶ μὲν τετραπλᾶς ποιοῦσι τρισχαιδεκαπλᾶς, ἐπὶ δὲ τριπλᾶς γενόμεναι ποιοῦσιν δωδεκαπλᾶς, καὶ ὁμοίως ἐπὶ διπλᾶς πολλαπλασιασθεῖσαι γίνονται ἑνδεκαπλαῖ --- ταῦτα γὰρ πάντα προδέδεικται.

22 Φατέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον

23 Πάλιν δεδόσθω στίχος ὁ ὑποκείμενος

25 Τῶν δὴ ἀναλόγων κβ΄ καὶ μετρουμένων ὑπὸ τετράδος καὶ δυάδος ὑπολειπομένης ὅσαι μονάδες γεγόνασιν μέτρῳ εἰς ε΄, τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν ἐκβάντα διά τε τῶν μονάδων καὶ διὰ τῶν πεπολλαπλασιασμένων πυθμένων ἀριθμόν (λέγω δὲ τοσαυτάκις κατὰ μυριάδων αὔξησιν), ὥστε γίνεσθαι τὸν πρότερον ὑπάρχοντα μυριάδων τετραπλῶν δύο, τριπλῶν αωμθ΄, διπλῶν δυβ΄ καὶ ἁπλῶν εχ΄, νῦν ἐνναπλῶν β΄, ὀκταπλῶν, αωμθ΄, ἑπταπλῶν δυβ΄, ἑξαπλῶν εχ΄.

26 Ὅτι δὲ περιλέλειπται τῶν ἀναλόγων δύο, ἅπερ ἐστὶ τῆς ἑκατοντάδος, τοσαυτάκις αὐξήσομεν τὸν εἰρημένον ἀριθμόν, ὥστε εἶναι μυριάδων ἐνναπλῶν σιη΄, ὀκταπλῶν δϠμδ΄, ἑπταπλῶν σνϚ΄.

27 Ῥητέον οὖν τὸν ἐξ ἀρχῆς στίχον

1 Οἱ τὰ ἐν γεωμετρίᾳ ζητούμενα βουλόμενοι τεχνικώτερον διακρίνειν, ὦ κράτιστε Πανδροσίον, πρόβλημα μὲν ἀξιοῦσι καλεῖν ἐφʼ οὗ προβάλλεταί τι ποιῆσαι καὶ κατασκευάσαι, θεώρημα δὲ ἐν ᾧ τινῶν ὑποκειμένων τὸ ἑπίμενον αὐτοῖς καί πάντως ἐπισυμβαῖνον θεωρείται, τῶν παλαιῶν τῶν μὲν προβλήματα πάντα, τῶν δὲ θεωρήματα εἶναι φασκόντων. ὁ μὲν οὖν τὸ θεώρημα προτείνων συνιδὼν ὁντινοῦν τρόπον τὸ ἀκόλουθον τούτῳ ἀξιοῖ ζητεῖν καὶ οὐκ ἂν ἄλλως ὑγιῶς προτείνοι, ὁ δὲ τὸ πρόβλημα προτείνων ἂν μὲν ἀμθὴς ᾖ καὶ παντάπασιν ἰδιώτης, κἂν· ἀδύνατόν πως κατασκευασθῆναι προστάξῃ, σύγγνωστός ἐστιν καὶ ἀνυπεύθυνος. τοῦ γὰρ ζητοῦντος ἔργον καὶ τοῦτο διορίσαι, τό τε δυνατὸν καὶ τὸ δύνατον, κἂν ᾖ δυνατόν, πότε καὶ πώς καὶ ποσαχῶς δυνατόν. ἐὰν δὲ προσποιούμενος ᾖ τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλων, οὐκ ἔστιν αἰτίας ἔξω. πρῴην γοῦν τινες τῶν τὰ μαθήματα προσποιουμένων εἰδέναι διὰ σοῦ τὰς τῶν προβλημάτων προτάσεις ἀμαθῶς ἡμῖν ὥρισαν. περὶ ὧν ἔδει καὶ τῶν παραπλησίων αὐτοῖς ἀποδείξεις τινὰς ἡμάς εἰπεῖν εἰς ὠφέλειαν σήν τε καὶ τῶν φιλομαθούντων ἐν τῷ τρίτῳ τούτῳ τῆς συναγωγῆς βιβλίῳ. τὸ μὲν οὖν πρῶτον τῶν προβλημάτων μέγας τις γεωμέτρης εἶναι δοκῶν ὥρισεν ἀμαθῶς· τὸ γάρ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ λαβεῖν ἔφασκεν εἰδέναι διʼ ἐπιπέδου [*](1. 2. πάππου ἀλεξανδρέως. συναγωγῶν Γ· περιέχει — στερεά om. A1, add. Α2 (Β, nisi quod huc συναγωγὼν τρίτον), Πάππου ἀλεξανδρέως μαθηματικῶν συναγωγῶν βιβ. Γ S, ΣΥΝΑΓΩΓΗΣ corr. Ηυ 4. κρατίστη πανδρόσιον ABS, Cratiste Co, corr. Hu (conf. indicem) 10. τὸν ἀκόλουθον τοῦτον ABS, consequens eous Co, corr. Hu ὑγειῶς AB, corr. S 11. ἂν μὲν — 12 ἰδιώτης interpolatori tribuit Hu 16. 17, προσποιούμενος ἠσκηκέναι τὰ μαθήματά πως ἀπείρως προβάλλῃ coni. Hu προβάλλων S, πρόβά| λὼν A, προβαλών B 18. τὰς add. Hu 20. ἀποδειξις (sine acc.) A, corr. BS 21. ὠφελίαν A, corr. BS φιλομαθεωρίας,)

2 α΄. Ἔστωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΑΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ Β∠, καὶ κείσθω τῇ ΑΒ· ἴδη ἡ Β∠, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ∠Γ, καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ κατὰ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ Ε τῇ ΑΓ παράλληλος ἡ ΕΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β∠, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ ∠ τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ∠Η, καὶ κείσθωσαν τῇ Β∠ ἴσαι αἱ ∠Ν ΝΛ ΛΞ ΞΚ καὶ διὰ τῶν Ν Λ Ξ Κ σημείων τῇ ΒΕ παράλληλοι αἱ ΝΟ ΛΜ ΞΠ ΚΘ καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΚΡ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΚP κατὰ τὸ Σ, καὶ ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, ὡς δέ ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, οὕτως ἡ ΘΤ πρὸς ΘΦ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΞΠ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΧΞ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΚ καὶ ἡ ΚΦ καὶ ἀπὸ τοῦ Σ τῇ XΦ παράλληλος ἡ ΣΨ, ὑπὸ δὲ τοῦ Ψ τῇ ΚΞ παράλληλος ἡ ΨΩ, καὶ ἔστω ὡς ΛΜ πρὸς ΜΩ, οὕτως ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ. ὡς δὲ ἡ ΩΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως ἡ ΑΜ πρὸς ΜΒ, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ τῆς ΟΝ τῇ ΑΒ ἴση ἡ ΝΓ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΛ καὶ ἡ ΓΒ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Ω τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Ω∠, ἀπὸ δέ τοῦ ∠ τῇ ΛΝ παράλληλος ἡ ΛΕ, καὶ ἔστω ὡς ἡ ∠Η πρὸς ΗΕ, οὕτως ΗΕ πρὸς ΗΖ, ὡς δὲ ἡ ΕΗ πρὸς ΗΖ, οὕτως ἡ ΖΗ πρὸς ΗΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΓ, καὶ ἤχθωσαν τῇ ΘΓ παράλληλοι αἱ ΖΚ ΕΛ, καὶ ἀπὸ τῶν Κ Λ ταῖς ΑΓ B∠ παράλληλοι αἱ ΚΜ ΛΝ δεῖξαι ὅτι τῶν ΑΓ Β∠ υέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΜΚ ΝΛ.

3 Ταῦτα μὲν οὖν ἐκεῖνος γράψας ἐξέδωκεν ἡμῖν μὴ περιέχοντα καὶ τὴν ἀπόδειξιν τοῦ προκειμένου προβλήματος. ἐπειδὴ δὲ καὶ Ἱέριος ὁ φιλύσοφος καὶ ἄλλοι πολλοὶ τῶν αὐτοῦ μὲν ἑταίρων ἐμοὶ δέ γνωρίμων ἠξίωσαν ἀποκρίνασθαί με τέως περὶ τῆς προκειμένης κατασκευῆς, ἐκείνου τὴν ἀπόδειξιν ἐπαγγειλαμένου ποιήσασθαι, τοσοῦτον ἔχω τὸ νῦν εἰπεῖν, ὡς οὖ δεόντως, ἀλλʼ ἀπείρως ἐχρήσατο τῇ κατασκευῇ. διχοτομήσας γάρ τὴν ΡΚ εὐθεῖαν τῷ Σ καὶ ποιήσας ὡς μὲν τὴν ΚΘ εὐθεῖαν πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως τὴν ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, ἐποίησεν ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ καὶ τὴν ΓΘ πρὸς τὴν ΘΦ. πᾶσα δὲ ἀνάγκη μήτʼ ἐκεῖνον εὑρίσκειν τὸ σημεῖον τῆς τομῆς τοῦ τρίτου λόγου, ὡς τὸ Φ, μήθʼ ἡμᾶς. τῆς δέ τοιαύτης ἀπορίας παρά τὴν αὐτοῦ αἰτίαν ἐπακολουθούσης ἐνεφάνισεν ἑαυτὸν μηδέ τοῦτο συνιδόντα τὸ ἀκόλουθον.

4 ἀδυνάτου γὰρ ὄντος ὁρισθῆναι τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ τοῦ τρίτου λόγου, μὴ πρότερον ὑποτεθέντος τοῦ λόγου ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὐ μόνον αὐτὸς πειρᾶται ζητεῖν τὸ ἀδύνατον, ἀλλὰ καὶ ἡμᾶς ἀξιοῖ, ὑποτεθέντος μέντοι τοῦ λύγου τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ, τουτέστιν ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, καὶ δοθείσης τῆς ΚΘ, δέδοται ἡ ἐλάσσων εὐθεῖα τοῦ τρίτου λύγου. καὶ δοθέν ἐστιν τὸ Θ σημεῖον· δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης. καὶ ὅτι ἤτοι μεταξὺ πίπτει τῶν Θ Ρ ἢ μεταξὺ τῶν Ρ Τ δῆλόν ἐστιν. ὅτι γὰρ καὶ τὸ Τ μεταξὺ πίπτει τῶν Ρ Σ δείξομεν, [*](3. post πολλοὶ add. μὲν A1, sed id expunctum 7, δε*όντως A2 ex δεν ὄντως 9. οὕτω AsBS 11. πάση δὲ ἀνάγκη AB, πέσῃ δὲ ἀνάγκῃ Ss, corr. Hu 14. τοῦτο accipiendum est pro τόδε; minime igitur τούτω scribendum 16. ὑπερεκτεθέντος B 17. ΘΡ A1, Κ superscr, A2, unde κρ S, θ*ρ B τοῦ om. BS 18. ἡ Η πρὸς τὴν ΒΑ AB1S, corr. B4 Co 20. τουτέστιν add. B4 V2, τουτέστιν τοῦ ὃν ἔχει mavult Hu 21. δίδοται AS, corr. Β 23. ὅτι add. V2 24, ΘΡ — ΡΤ AS, distinx. B 24. 25. δῆλον ἔσται ABS, corr. Hu ayclore Co 25. ὅτι γὰρ — p. 36, 3. πρὸς τὴν ΘΡ interpolatori tribuit Hu 25 τῶν ΡΣ A, disinx, BS)

5 Ὑποκείσθω γάρ ὁ δοθεὶς λόγος πρότερον διπλάσιος τῆς ΚΘ πρὸς τὸν ΘΡ, τουτέστιν τῆς ΒΕ πρὸς τὴν ΕΑ, ἢ τῆς Β∠ πρὸς ΑΓ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ ὃν ἔχει τὰ β΄ πρὸς τὸ α΄, τουτέστιν ὃν δ΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν δ΄ πρὸς γ΄ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, τουτέστιν ὡς δ΄ πρὸς γ΄, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς γ΄ πρὸς β΄ καὶ δ΄΄. ὡς δὲ καὶ τὰ γ΄ πρὸς τὰ β΄ καὶ δ΄΄, οὔτως αὐτὰ τὰ β΄ δ΄΄ πρὸς ἄλλην ἐάν γένηται, ἔσται πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο μονάδων τῆς ΘΡ, ὥστε τὴν ἐλάσσονα εὐθεῖαν τοῦ τρίτου λόγου καὶ πασῶν ἐλαχίστην ἐλάσσονα εἶναι τῆς ΘΡ, καὶ τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, μεταξὺ πίπτειν τῶν Θ Ρ.

Ἀλλὰ δὴ ὁ δοθεὶς λόγος ἔστω τετραπλάσιος· λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς β΄ καὶ τῆς ΘΚ ἄρα πρὸς ΘΣ λόγος ὃν ἔχει τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄ καὶ ἔστιν ὡς τὰ η΄ πρὸς τὰ ε΄, οὕτως τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ η΄΄· ὡς δέ τὰ ε΄ πρὸς τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄, οὕτως τὰ γ΄ καὶ τὸ η΄΄ πρὸς ἐλάσσονα τῶν δύο, ὥστε πάλιν ἡ τομὴ τοῦ τρίτου λόγου μεταξύ πίπτει τῶν Θ Ρ.

Πάλιν ὑποκείσθω λόγος τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΡ πενταπλάσιος λόγος ἄρα τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ ὃν δέκα πρὸς δύο· καὶ τῆς ΚΘ ἄρα πρὸς τὴν ΘΣ λόγος ἐστὶν ὃν τὰ ι΄ πρὸς τὰ Ϛ΄. καὶ ἔστιν ὡς μὲν τὰ ι΄ πρὸς τά Ϛ΄, οὕτως αὐτὰ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄· ὡς δὲ τὰ Ϛ΄ πρὸς τὰ γ΄ S ι΄΄, οὕτως [*](1. τῶν ΘΡ et 3. τῶν ΡΤ A, distinx. BS 5. τῆς ΚΘ — 6. πρὸς ΑΓ, manifestum interpretamentum, del. Hu 6. ἢ τῆς Β∠ ΑΒ, ἢ τῆς βα S Co 7. τὰ δύο πρὸς τὸ Α τουτέστιν ὃν ∠ πρὸς δύο AB, τὰ δύο πρὸς τὸ ἕν, τουτέστιν ὃν τέσσαρα πρὸς δύο S 8. 9. λόγος ἐστιν ὃν ∠ πρὸς Γ καὶ ἔστιν ὡς ἡ ΗΘ (voluit ΚΘ, πρὸς ΘΣ om. A1, add. A in marg. 10 ὡς prius] ουτω (sine spir et acc.) A, οὕτω B1S, corr. B4 10. 11. δύο καὶ — δύο καὶ ∠ A, δύο καὶ δ΄ utroque loco B, δύο καὶ τέταρτον V2 Sca 11. τὼ Β ∠ AB, τὰ δύο δ S, τὰ δύο δ΄ Sca, τὰ δύο καὶ τέταρτον V2 πρὸς ἄλλην] προσάλληλα AB (S),)

Καὶ δῆλον ὡς πάντες μὲν οἱ ἐλάσσονες τοῦ τετραπλασίου 6 λόγου ποιοῦσιν τὴν τοιαύτην τομὴν μεταξὺ τῶν Ρ Θ, πάντες δὲ οἱ μείζους τοῦ πενταπλασίου ποιοῦσι τὸ σημεῖον τῆς τομῆς μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ὡς καὶ λῆμμα περὶ τῆς τοιαύτης ἀναλογίας χρήσιμον ὑπέταξα.

Ἐπεὶ οὖν ἐδείξαμεν τὸ τῆς τομῆς σημεῖον, ὡς τὸ Φ, 7 ποτὲ μὲν μεταξὺ πῖπτον τῶν Θ Ρ ποτὲ δὲ μεταξὺ τῶν Ρ Τ, τοῦ τοιούτου μηδαμῶς ὑπʼ αὐτοῦ θεωρηθέντος διʼ ἣν εἴπομεν. αἰτίαν αὐτὸς δὲ λέγει δεικνύναι τὸ προκείμενον, ἐάν τε μεταξὺ τῶν Θ Ρ ᾖ τὸ Φ σημεῖον ἐάν τε μεταξὺ τῶν Ρ Τ, ἐκεῖνο χρὴ πρὸ πάντων σκοπεῖν ὅτι, ὅπου ἂν λάβῃ τὸ Φ, ἤτοι κάτω τοῦ Ρ ἢ ἄνω, οὐκ ἔσται ὡς ἡ ΣΘ πρὸς ΘΤ, τουτέστιν ὡς ἡ ΚΘ πρὸς ΘΣ, οὕτως καὶ ἡ ΤΘ πρὸς ΘΡ. ἐὸν οὖν λέγῃ γεγενήσθω ὡς μὲν ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΣ, οὕτως ἡ ΘΣ πρὸς τὴν ΘΤ, καὶ ἡ ΤΘ πρὸς τὴν ΘΡ,” αὐτόθεν ἐλέγχεται τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαβών. ἐκβληθείσης γὰρ τῆς ΞΚ καὶ ἴσης τεθείσης τῇ ΞΚ τῆς ΚΜα, καὶ ἐπιζευχθείσης τῆς ΜαΘ καὶ παραλλήλων ἀχθεισῶν τῇ ΚΜα διὰ τῶν Σ καὶ Τ καὶ Ρ σημείων, γεγονὸς ἔσται τὸ ζητούμενον καὶ δῆλόν πως. ἔσται γὰρ καὶ ὡς ἡ ΚΜα πρὸς ΣΜβ, οὕτως ἡ ΣΜβ πρὸς ΤΜΓ καὶ ἡ ΤΜΓ πρὸς τὴν ΡΜδ. [*](1. αὐτὰ τὰ Hu pro τὰ ἀυτὰ Γ ⌞ ι΄ A (B ut supra) 2. αὐτῶν τῶν Hu pro τῶν αὐτῶν 5, 6. τῶν ΡΘ et 7, τῶν ΡΤ A 10. τῶν ΘΡ — τῶν ΡΤ A itemque posthac, distinx. BS 12. αὐτὸς — 14. τῶν Ρ Τ interpolatori tribuit Hu 15. ἢ] ἣ As Bs S 19. ὡς ante ὁμολ. add. Co 20. τῆς ΞΚ τῆς Κ| Μ AB1, corr. B3 21. τῆς ΜαΘ] minuta littera α atque item posthac β γ δ in ABS ubique super Μ positae sunt 21. 22. τῆς Κ Μ διὰ τὴν Ϲ καὶ Τ καὶ Ρ σημεῖον AB1, corr. B3 (minus feliciter διὰ τὰ — σημεῖα V2) 23. δῆλον πως Λ; vix tamen probabile videtur δῆλον πῶς ἡ ΚΜ AB1S, corr. B3 24. ἡ ΣΜβ Hu, ΕΜ, omisso ἡ, AB1 S, σ pro Ε corr. B3 πρὸς τὴν ΡΜ AB1S, corr. B3V2)

8 διὰ τοῦτο δέ, οἶμαι, καὶ αὐτὸς εἰδὼς ὅτι τὸ ζητούμενον ὁμολογούμενον λαμβάνεται, οὐκ ἐτόλμησεν εἰπεῖν τὸ ἕτερον πέρας τῆς ἐλαχίστης εὐθείας ἔστω τὸ Ρ,” ἀνωτέρω δέ, τουτέστι μεταξύ τῶν Ρ Θ, λαβὼν αὐτὸ κατὰ τὸ Φ, ἀποπληροῖ τὰ λοιπὰ τῆς κατασκευῆς ὡς βούλεται καὶ οὐδὲν ἧττον εἰς τὸ ἐξ ἀρχῆς ἄπορον ἐμπίπτει λανθανόμενος. οὐ γὰρ ἑκὼν ψευδογραφεῖ διὰ πλειόνων εἰς ἀπάτην τῶν ἐντυγχανόντων, ἀλλʼ ἑαυτὸν παραλογιζόμενος, ὡς δείξω πρότερον κατὰ τὸν ὑγιῆ τρόπον ἐφοδεύσας τὸ προκείμενον καὶ ὕστερον ἐλέγχων αὐτοῦ τὴν ὑπόθεσιν μὴ ὑγιῶς εἰλημμένην.

9 Ἐπεὶ τοίνυν δοθείς ἐστιν ὁ τῆς ΚΘ πρὸς ΘΡ λόγος καὶ δοθεῖσά ἐστιν ἡ ΘΚ (τοῦτο γὰρ ὑποκεῖσθαι δεῖ), δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΘΡ καὶ λοιπὴ ἡ ΡΚ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΣΡ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΡΚ· ἦν δὲ καὶ ἡ ΡΘ δοθεῖσα· καὶ ὅλη [*](1. 2, exsprectaveris ἡ δὲ ΚΡ τῇ ΒΑ, ἡ δὲ ΚΘ τῇ Βε; sed in * progressu demonstrationis scriptor ordinem inverlit, ut ex proximis apparet ἡ δὲ ΒΕ τῇ ΚΘ Hu auctore Co, ἡ δὲ ΑΕ τῆι ΚΘ AB1 S, ἡ δὲ αε τῇ ρθ B3V2 2. ΡΜ AB1S, corr. B3V2 item vs. 3 ἡρυσθαι (sine acc.) A (B1), ἡυρήσθαι B4, corr. S 4. τὰς σμ B3V V2, τοὺς | Μ AB1, τὰς μ S 6. 7. τῶν — τὰ ΤΣ Α 8. καὶ τὴν ΤΘ AB3, καὶ τὴν θτ B1S 11. δὲ οἶμαι V2 pro δέομαι 12. ὡς ante ὁμολ. add. Hu 13. ἔστω esse Co; voluit igitur εἰναι 14. τῶν ΡΘ Α i6. ἧττον V2 pro πλέον 17, ἑκὼν ψευδογραφεῖ Hu pro ἐκ τῶν ψευδογραφεῖν 20. καὶ ὕστερον — εἰλημμένην, manifestum interpretamentum, del. Hu μη A 22. επιτοινυν δοθείσης ἐστιν AB, corr. S)

10 διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΜΒ δοθεῖσά ἐστιν, ὥστε καὶ τὸ Β σημεῖον δοθέν ἐστιν, ὅπερ ἔστω ὑποκείμενον, ὅπου βούλεται, ἤτοι μεταξύ τῶν Ϛ Μ, ὡς νῦν ἐστιν, ἢ μεταξὺ τῶν Ϛ Α,. τῆς ϚΛ ἴσης ὑποκειμένης ἑκατέρᾳ τῶν ΚΡ ΑΒ ---. εἰ γὰρ λέγει τὸ Β πίπτειν κατὰ τὸ Ϛ, τὸ ζητούμενον οὐδὲν ἧττον ὡς ὁμολογούμενον λαμβάνει. φαίνεται γὰρ πάλιν ἐπὶ θέσει δεδομένης εὐθείας τῆς MΛ, καὶ σημείου τινὸς ἐν αὐτῇ δοθέντος τοῦ Ϛ, λαβών μεταξύ δύο σημεῖα τὰ Ω Α καὶ ποιήσας ὡς τὴν ΛΜ πρὸς MΩ, τὴν ΩΜ πρὸς τὴν ΜΑ καὶ τὴν ΜΑ πρὸς τὴν ΜϚ, ὅπερ οὐδεὶς αὐτῷ συγχωρεῖ. τοῦτο γὰρ καὶ οἱ παλαιοὶ ζητοῦντες ἠπύρησαν διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεῖν, ὡς καὶ αὐτὸς δείξω παραθέμενος τάς ἐκείνων φωνάς. καὶ αὐτὸς δὲ οὐδὲν ἔχει λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἐὰν λέγωμεν αὐτῷ εἰ τὸ Ϛ ἐξ [*](1. ἡ Μω πρὸς τὴν ωΛ AB1S, corr. B3V2 ἡ ΑΜ πρὸς τὴν Μ Β ABS, lineola sub Α addita erat in B, sed nunc crasa est 2. ἡ Μ Β ABS 3. ἡ ΒΛ ABS, lineolam add. Hu 4. ἐδείχθη — δοθείσῃ del. Hu ἐδίχθη ἴση γὰρ AB1S, ἐδείχθη γὰρ ἴση B3 ἴση γὰρ, deleto ἐδείχθη, V2 5. post καὶ ἡ ΚΘ add. δοθεῖσα ἔσται καὶ ἡ μω V2 8. ἡ Μ Β ABS 9, Β σημεῖον ABS ὅπερ ἔστω cet. non vacant corruptelae suspicione; certe ὅπου ἂν βούληται legenda esse videntur 10. τῶν ϚΜ AS, distinx. B 11. ἢ Hu auctore Co pro ἡ τῶν Ϛἀ A, τῶν Ϛᾳ BS, corr. V2 ἑκατέρας AS, corr. B secundum Waitzii collationem 11. 12. τῶν ΚΡ ΑΒ *** Hu. τῶν ΚΡ ΑΒ ΚΞ ΤΝ AB1, τῶν κραβ χξτν S, τῶν κρ αβ χξ γν B3 V2 Co, τῶν κρ αβ καὶ χξ γν B4, in lacuna excidisse verba ἀδύνατόν ἐστιν τὸ πρόβλημα coniicias collata pat. 40, 10 vel εἰς ἄπορον δηλονότι ἐμπίπτει coll. p. 40, 16 12. τὁ B ABS 16. τὰ Α° Α 17. τὴν ΜΑ° καὶ τὴν ΜΑ Α 19. αὐτοδείξω A, αὐτὸ δείξω B, corr. S 21. τὸ Ϛ] fallitur Co pro Ϛ coniiciens Β)

11 ὁμοίως οὖν τῆς ἀναλύσεως προχωρούσης ἐκ τοῦ δεδόσθαι τὸ ϚΒΓ τρίγωνον τῷ εἴδει καὶ τῷ μεγέθει, κἂν τύ Β τῆς τομῆς σημεῖον μεταξὺ ἦ τῶν Ϛ Α, δεδομένου δὲ καὶ τοῦ ∠ΩΛ τριγώνου, ὁμοίως δὲ τοῖς πρότερον καὶ τῆς ∠Ε δεδομένης, ἔσται δοθεὶς καὶ ὁ τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΗΕ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ, τουτέστιν ὁ τῆς ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ. καὶ οὐδαμῶς πάλιν ὁ τῆς ΔΗ πρὸς τὴν ΗϠ ἴσης ὑποκειμένης καὶ νῦν τῇ ΚΡ, τουτέστιν τῇ ΑΒ, τῆς ∠Ϡ, κἂν τὸ Θ μεταξὺ βούληται πίπτειν τῶν Ζ Ϡ. οὐδὲν γὰρ ἕξει καὶ ὧδε λέγειν ἀνασκευαστικόν, ἀκούων παῤ ἡμῶν δεῖξον ὅτι μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Η μήτε μεταξὺ τῶν Ϡ Ζ πίπτει.”

εἰ δὲ κατὰ συγχώρησιν ἀπλῶς τὸ τῆς τοιαύτης τομῆς σημεῖον εἶναι κατὰ τὸ Ϡ βούλεται, τὸ ζητούμενον καὶ νῦν ὡς ὁμολογούμενον ἔλαβεν. μὴ διδομένου δʼ αὐτῷ τὴν τομὴν εἶναι κατὰ τὸ Ϡ σημεῖον (ἐπεὶ μηδὲ κατὰ τὸ Ρ συνεχωροῦμεν ἐπὶ τῆς ΚΘ ποιούμενοι τὴν δεῖξιν), εἰ καὶ ἄλλο τι μεταξὺ τῶν Ε Η λαβεῖν ἐβούλετο, ὡς τὸ Ζ, αὐτὸς οὐκ οἶδά πως ἀπατηθεὶς τὸ Θ ἔλαβεν. ὡς βούλεται [*](1. δεῖξαν B3 (voluit δεῖξαι 2. τῶν Ϛ Αʼ A 3. τῶν ΜϚ ABsS, distinx. Hu 4. πίπτει — 5. λόγου del. Hu 6. δεδόσθαι Hu pro δίδοσθαι τὸ Ϛ βγ B3 V2, τὸ Ϛ Ρ΄ ι΄ A, τὸ Ϛ βι B1S 6. 7. κὰν τὸ Β A, κἂν τὸ β BS 7. η (sic) τῶν Ϛᾳ A (BS) 8. δὲ add. Hu 9. ∠E Hu pro ΛΕ 10. τουτέστιν ὁ τῆς ΕΗ πρὸς τὴν ΗΖ om. S, unde λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ηε πρὸς ζῃ καὶ τῆς ζη πρὸς τὴν ηθ coni. V2 11. καὶ ante οὐδαμῶς] ἀλλʼ coni. Hu 11. 12. πρὸς τὴν ΗϠ Hu pro ὁ πρὸς τὴν ΗΕ 12. 13. τῆς ΚΡ — τῆς ΑΒ τῆι ∠Ϡ ABS, corr. Hu 13. τῆς ΛϠ] pro Ϡ nota numerali A et hic et infra formam Ϡ habet, quae in codicibus recentioribus aut in ipsum τ ait in formam simillimam abiit (etiam Co τ legit, Waitzius autem recte Ϡ descripsit) τῶν ΖϠ. AB, τῶν ζ τ Ss 15. δεῖξον A1 ex δεῖξων, ut videtur, δεῖξαν B τῶν ϠΗ AB, τῶν τη S 15. 16. τῶν ϠΖ Α, distinx. BS 16. εἰ δὲ S, ηδε (sine spir, et acc.) A, ἥδε B 18. καὶ ante νῦν add. B)

13 μὴ διδομένου δὲ τούτου ἀδύνατον ἔσται τὸ προταθὲν ὑπʼ αὐτοῦ διὰ τῶν ἐπιπέδων εὑρεθῆναι, ὡς καὶ διὰ τῶν ἀριθμῶν αὐτῶν ἀκολούθως τῇ ἀναλύσει τοῖς βουλομένοις ἐξέσται πεισθῆναι, χρωμένοις τῷ Πτολεμαίου κανόνι περὶ τῶν ἐν κύκλῳ εὐθειῶν. ἀλλὰ τοῦτον μὲν ἀπορεῖν ὁμοίως τοῖς ἄλλοις βέλτιον ἦν ἤπερ οὕτως εὑρίσκειν, ἡμεῖς δὲ τὰ ὑπερτεθέντα νῦν δείξομεν.