Synagoge

1 ---γὰρ αὐτοὺς ἐλάσσονας μὲν εἶναι ἑκατοντάδος μετρεῖσθαι δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.

Ἔστωσαν οὖν οἱ ἀριθμοὶ ν΄ ν΄ ν΄ μ΄ μ΄ λ΄· ἔσονται ἄρα οἱ πυθμένες ε΄ ε΄ έ  δ΄ δ΄ γ΄· ὁ ἄρα ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδων Ϛ. καὶ ἐπεὶ τὸ πλῆθος τῶν δεκάδων ἐστὶν Ϛ΄ καὶ μετρούμενον ὑπὸ τετράδος λείπει δύο, ἔσται ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς τῶν δεκάδων μυριάδων ἁπλῶν ἑκατόν. καὶ ἐπεὶ ὁ ἐκ τῶν δεκάδων στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν πυθμένων στερεὸν ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν ἐξ ἀρχῆς στερεόν, αἱ ἄρα μυριάδες ρ΄· ἐπὶ τὰς μονάδας Ϛ γενόμεναι ποιοῦσιν μυριάδας ξ΄ διπλᾶς, ὥστε ὁ ἐκ τῶν ν΄ ν΄ ν΄ μ΄ μ΄ λ΄ στερεός ἐστιν μυριάδων ξ΄ διπλῶν.

2 ιε΄. Ἔστωσαν δὴ πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐφʼ ὧν τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρείσθω δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα τοὺς ἀριθμούς. Γεγονέτω, καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους αὐτῶν μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος, καὶ ὑποκείσθω ὑπὸ ἕκαστον τῶν Β ἑκατοντάς ἡ α΄, καὶ καθὸ μετρεῖται ἕκαστος τῶν Β [*](1. ἐλάσσονος ASV, corr. BV2 2. αυτὸν (sine spir.) A, corr. BS 4. οἱ — μ΄ λ΄ add. Wa 5. οἱ πυθμένες ente 4. ἔσονται ἄρα ABS, transposuit Hu 6. μονάδων BS, μ, A 7. Ϛ΄ Wa pro κϚ 8. τῶν δεκάδων del. Hu 9. τῶν δεκάτων A, corr. BS 11. μονάδας BS, μ A γινόμεναι V1 Wa 12. νννμ μ λ A (S), distinxit B 14. ιε΄ add. Hu, ιϚ΄ Wa δὲ Wa ὅσοι δήποτε οὖν AB, corr. S 18. Γεγονέτω add. Hu 20. τῶν β SWa, τῶν δύο AB utroque loco)

3 Ἀλλ᾿ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος· μετρούμενος ἄρα λείψει δυάδα ἐξ ἀνάγκης (τοῦτο γὰρ προδέδεικται), ὥστε καὶ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενος ὑπὸ τετράδος· τὸ ἄρα πλῆθος τῶν ἑκατοντάδων μετρούμενον ὑπὸ δυάδος λείψει μίαν ἑκατοντάδα. ὁ τοίνυν διὰ τῶν ἑκατοντάδων στερεὸς ἔσται μυριάδων ρ΄ ὁμωνύμων τῷ Ζ, τουτέστι διπλῶν, ὥστε δῆλον ὅτι ὁ διὰ τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μυριάδες εἰσὶν ρ ὁμώνυμοι τῷ Ζ γενόμεναι ἐπὶ τὸν Ε τὰς ρκ΄ μονάδας. γίνονται μυριάς μία δισχίλιαι διπλῶν μυριάδων.

4 ιϚ΄. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ ΑΒ, καὶ ὁ μὲν Α ὑποκείσθω ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, οἷον μονάδες φ΄, ὁ δέ Β ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, οἷον μονάδες μ΄, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν ἀριθμὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς.

Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν οἱ γὰρ ε΄ δ΄ πυθμένες αὐτῶν ὄντες μο. ε΄ καὶ μο. δ΄ πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι μονάδας κ΄, χιλιάκις δὲ ὁ κ΄ ἀριθμὸς ποιεῖ μυριάδας δύο ποιούσας τὸν ὑπὸ τῶν Α Β γινόμενον. τὸ δὲ γραμμικὸν δῆλον ἐξ ὧν ἔδειξεν Ἀπολλώνιος.

5 ιζ΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιη΄ θεωρήματος. Ἔστω πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐχʼ ὧν τὰ Α, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλο πλῆθος ἀριθμῶν τὸ ἐχ’ ὧν τὰ Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν ἐχ᾿ ὧν τὰ Α Β στερεὸν εἰπεῖν μὴ πολλαπλασιάσαντα αὐτούς. Έστωσαν γὰρ πυθμένες τῶν μὲν ἐχʼ ὧν τὰ Α οἱ ἐχʼ ὧν τὰ Η, μονάδες α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ , τῶν δὲ ἐχʼ ὧν τὰ Β οἱ ἐχʼ ὧν τὰ Θ, μονάδες β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄ καὶ ε΄, καὶ ληφθέντες τοῦ ἐκ τῶν πυθμένων στερεοῦ τῶν β΄ γ΄ δ΄ β΄ γ΄ δʼ ε΄, τουτέστιν τοῦ Ε, μονάδων ὄντος βωπ΄, τὸ πλῆθος τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α προσλαβὸν τὸν διπλασίονα τοῦ πλήθους τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Β μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Ζ, μετρεῖ δὲ αὐτούς. καὶ δείκνυσιν ὁ Ἀπολλώνιος τὸν ἐκ πάντων τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α Β στερεὸν μυριάδων τοσούτων, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, ὁμωνύμων τῷ Ζ ἀριθμῷ, τουτέστιν τριπλῶν μυριάδων βωπ΄. μία γὰρ μυριὰς ῥμώνυμος τῷ Ζ, τουτέστιν τριπλῆ, ἐπὶ τὸν Ε, τουτέστιν τά βωπ΄, γενομένη ποιεῖ τὸν ἐκ τῶν στερεῶν ἀριθμὸν τῶν ἐφ᾿ ὧν τὰ Α Β· ὁ ἄρα ἐκ τῶν ἀριθμῶν στερεὸς τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α Β μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται, ὅσαι εἰσὶν ἐν τῷ Ε μονάδες, ὁμώνυμοι τῷ Ζ ἀριθμῷ.

6 Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν ἐχʼ ὧν τὰ Α, προσλαβὸν [*](1. οἱ γὰρ ΕΖ A(BS), corr. Wa 2. μ Ε καὶ μ ∠ A, μονάδες ε καὶ μ΄ δ Β (μονάδων ε καὶ μονάδων δ S), del. Hu 3. μ κ AB post μονάδας κ΄ add. Wa οἱ δὲ ρ΄ καὶ ι΄ πολλαπλασιασθέντες ποιοῦσι χίλια 4. τῶν ΑΒ A, distinx. BS 4. 5. τὸ δὲ — Ἀπολλώνιος om. B1 Savilianus (exstant in A Parisino 2868 SV, in B add. man. 3) 6. ιζ A1 in marg. (BS) ιη΄ add. B2 Wa ἀριθμῶν om. ABS, τῶν ἀριθμὦν add. Wa 8. τῶν ante ἀριθμῶν add. S Wa 9. τὸ (ante ἐφʼ ὧν) Hu pro τῶν,)

7 ιη΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ ιθ΄ θεωρήματος. Ἔστω τις ἀριθμὸς ὁ Α ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ ἐλάσσονες δεκάδος οἷον οἱ Β Γ ∠ Ε, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸν εἰπεῖν.

Ἔστω γὰρ καθʼ ὃν μετρεῖται ὁ Α ὑπὸ τῆς δεκάδος ὁ Ζ, τουτέστιν ὁ πυθμὴν τοῦ Α, καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Ζ Β Γ ∠ Ε στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Η· λέγω ὅτι ὁ διὰ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς δεκάκις εἰσὶν οἱ Η.

Καὶ ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν τοῦ γὰρ Α ὑποκειμένου, φέῤ εἰπεῖν, μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων δ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων ε΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων Ϛ΄, ὁ ἐξ αὐτῶν στερεὸς γίνεται μονάδες ζσ΄. ἀλλὰ καὶ τοῦ Ζ ὄντος μονάδων β΄, ὅς ἐστι πυθμὴν τοῦ Α, ὁ ἐκ τούτου καὶ τῶν Β Γ ∠ Ε στερεὸς δεκάκις γενόμενος ἔσται μονάδες ζσ΄, ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ἑ στερεῷ. τὸ δὲ γραμμικὸν ὑπὸ τοῦ Ἀπολλωνίου δέδεικται.

8 ιθ΄. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ οἱ Α Β, ὧν ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, τῶν δὲ Γ ∠ Ε ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος ἔστω, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸν εἰπεῖν.

Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Ζ Η· λέγω ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς τοῦ ἐκ τῶν Ζ Η Γ ∠ Ε στερεοῦ ἑκατονταπλάσιός ἐστιν.

Φανερὸν δὲ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων λ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων β΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων δ΄ καὶ τοῦ Ζ μονάδων β΄ καὶ τοῦ Η μονάδων γ΄· ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεός ἐστιν μ δυ΄, ὁ δὲ ὑπὸ Ζ Η Γ ∠ Ε μονάδες ρμδ΄, οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ποιεῖ μ δυ΄. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τῶν Ἀπολλωνίου.

9 κ΄. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν τρεῖς ἀριθμοὶ οἱ Α Β Γ, καὶ ἔστω ἕκαστος αὐτῶν ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, ἕκαστος δὲ τῶν ∠ Ε Ζ ἔστω ἐλάσσων δεκάδος, καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ πυθμένες οἱ Η Θ Κ, καὶ εἰλήφθω ὁ ἐκ τῶν Η Θ Κ ∠ Ε Ζ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Ξ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ στερεὸς ἴσος ἐστὶν χιλίοις τοῖς Ξ.

Ἔστι φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος λόγου χάριν μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων λ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων μ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων β΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Ζ μονάδων δ΄, τοῦ δὲ Η μονάδων β΄ καὶ τοῦ Θ μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Κ μονάδων δ΄ ὁ γὰρ ὑπὸ Α Β Γ ∠ Ε Ζ στερεός ἐστιν μυριάδων νζ΄ ἁπλῶν καὶ μονάδων Ϛ, ὁ δὲ ὑπὸ τῶν Η Θ Κ πυθμένων καὶ τῶν ∠ Ε Ζ ἔσται μονάδων φοϚ΄, αὗται δὲ χιλιάκις γενόμεναι, τουτέστιν ἐκ πάντων στερεός, γίνεται μυριάδων ἁπλῶν νζ΄ καὶ μονάδων Ϛ.

10 κα΄. Ἀλλὰ δὴ ἔστωσαν πλείους τριῶν οἱ Α Β Γ ∠ Ε, [*](1. ιθ΄ add. B3S οἱ add. Wa ΑΒ A, distinx. BS ἕκαστος Wa 3. Γ∠Ε ABS et similiter posthac, distinx. Hu 6. ὁ add. Wa 9. μονάδων κ S, μ Κ AB μονάδων λ΄] β Α AS, μ λ B 9—11. μ Β et simliter posthac AB, μον΄΄ β etc. S. 12. μ δυ ὁ δὲ, id eat μυριὰς ἁπλῆ etc., B3 in rasura, μ ∠ δύο δὲ A, μονάδων χι δ δύο δὲ S, μυ-)

Τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ ∠ Ε πρότερον μετρείσθω ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Ο, καὶ ἔστωσαν τῶν Α Β Γ ∠ Ε πυθμένες οἱ Κ Λ Μ Ν Ξ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ζ Η Θ στερεὸς ἴσος ἐστὶν μυριάσιν ὁμωνύμοις τῷ Ο ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ στερεῷ τῷ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ.

Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὑποκειμένου λόγου χάριν μονάδων ι΄ καὶ τοῦ Β μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων λ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων μ΄, καὶ τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων ὄντων μονάδων α΄ καὶ β΄ καὶ γ΄ καὶ δ΄· ὁ ἄρα ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ στερεός ἐστιν ἁπλῶν μυριάδων κδ᾿, ὁ δὲ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ζ Η Θ μυριάδων ἁπλῶν ρμδ΄, ὁ δὲ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν πυθμένων μονάδων κδ΄ οὗτος δὲ γενόμενος ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ, ὄντα μονάδων Ϛ΄, ποιεῖ μονάδας ρμδ΄, ὅσαι μυριάδες ἁπλαῖ εἰσιν τοῦ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ζ Η Θ στερεοῦ, διὰ τὸ καὶ τετράδα ἅπαξ μετρεῖν τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ ∠.

11 Ἀλλὰ δὴ τὸ πλῆθος τῶν Α Β Γ ∠ Ε μὴ μετρείσθω ὑπὸ τετράδος· μετρούμενον δὴ ἤτοι α΄ ἢ β΄ ἢ γ΄ λείψει. εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει, ἔσται ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδων ὁμωνύμων τῷ Ο, ὅσος ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Κ Λ Μ Ν Ξ στερεὸς ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Ζ Η Θ γενόμενος δεκάκις, εἰ δὲ δύο λείψει, ἑκατοντάκις γενόμενος ὁ εἰρημένος στερεός. εἰ δέ τρεῖς λείψει, ὅσων ὁ ἐκ τῶν Κ Α Μ Ν Ξ [*](2. ΖΗΘ ABS 3. ΑΒ Γ∠Ε A, αβγδε BS, item proximo versu 4. 5. καὶ ἔστωσαν — Κ Λ Μ Ν Ξ post δεκάδος vs. 2. transponit Wa 5. ΚΛΜΝΞ ABS ac simliter posthac ὁ add. Wa 6. τῷ Ο Wa pro τῶι σ μοναδες (sine acc.) A(BS) 7. στερεῷ Hu pro ἑτέρωι ἐκ τῶν ΚΛΜ ABS, Ν add. Wa 10—12. μονάδων ubique S, μ A, μ΄ vel μονάδες B 12. ὁ Wa, ὁ ἄρα Hu pro τῶν 13. τῶν ante ἁπλῶν additum in ABS del. Hu μυριάδων S, μ AB, at proximo versu idem plene scriptum in AB (in A sine acc.), item vs. 17 μυριάδες 15. μ AB, item vs. 16 bis 18. 19. τὸ καὶ τὸν Θ αὐτῆς μετρεῖν ΑΒΓ∠ ABS (nisi quod B τοῦ pro τοὺς), τὸ καὶ τὸν ο αὐτοῦ μετρεῖν τοῦ αβγδ B4, τετράδα corr. Hu, reliqua Wa 20. κβ hoc loco add. A1BS (conf.)

12 κβ΄. Ἔστω ὁ μὲν Α ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Β Γ ∠ ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ στερεὸν εἰπεῖν.

Κείσθω γάρ τοῦ μὲν Α πυθμὴν ὁ Ε, ὁ δὲ ἐκ τῶν Ε Β Γ ∠ ὁ Ζ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ στερεὸς ἑκατοντάκις ἐστὶν ὁ Ζ.

Φανερὸν δέ καὶ τοῦτο διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὑποκειμένου, φέῤ εἰπεῖν, μονάδων τ΄ καὶ τοῖ Β μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων δ΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων ε΄· ὁ μὲν γάρ ὑπὸ τῶν Α Β Γ ∠ ἐστὶν μ η, ὁ δέ ὑπὸ τῶν Ε Β Γ ∠ ἐστὶν μονάδων ρπ΄· οὗτος δὲ γενόμενος ἑκατοντάκις ἔσται μ η. τὸ δὲ γραμμικὸν ἐκ τοῦ στοιχείου δῆλον.

13 κγ΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ κδ΄ θεωρήματος. Τοῦ Α ὑποκειμένου λόγου χάριν μονάδων σ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων τ΄ καὶ τοῦ Γ μονάδων β΄ τοῦ δὲ ∠ μονάδων γ΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων δ΄, ὁ στερεὸς ἐξ αὐτῶν ἔσται μυριάδων ἁπλῶν ρμδ΄, ἐπεὶ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἅπαξ κατὰ τὸν Κ, δὲ ὑπὸ τῶν Ζ H πυθμένων καὶ τῶν Γ ∠ Ε ἐστιν μονάδων ρμδ΄ ὁ Θ στερεός ἁπλῶν οὖν μυριάδων ρμδ΄ ἐστὶν ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερέος. Ἐὰν δὲ τὸ διπλάσιον τοῦ πλήθους τῶν Α Β μὴ μετρῆται ὑπὸ τετράδος, δῆλον ὅτι μετρούμενον κατὰ τὸν Κ λείψει δύο τοῦτο γάρ ἀνώτερον ἐδείχθη. διὰ δὴ τοῦτο ἐκ τοῦ λείπεσθαι δύο μυριάδες εἰσὶν ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ Κ, καὶ ἔστιν ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς ὁ Θ ἴσος τῷ [*](1. μονάδων pro μυριάδων restituit et vs. 2 μυριάδων add. Hu 2. τὸ Ο A, corr. BS 4. κβ΄ ex p. 12, 20 huc transponit Hu, κγ΄ add. B 5. δὲ ante ὑπὸ) Wa pro μὲν ΒΓΛΕ et 6. ΑΒΓ∠Ε AB1S, Ε del. B3 Wa 7. ὁ δὲ Wa pro τῶι δὲ 8. ΕΒΓ∠ ABS ac similiter posthac 9. ὁ ζ B, ΟΖ A, εζ S ὅτι add. Hu 10. καὶ om. Wa 11. 12. μονάδων ubique S, μ A, β΄ vel μονάδες B 13. ὑπὸ τῶν (ante Α) om. Wa ΑΒΓ∠Ε ABS, Ε del. B3 Wa μ η (id est μυριάδος ἁπλῆς etc.) B3, μ Η AB1, μονάδων η S, μυριάδες (sic) ᾱ μονάδες η Wa, item)

14 κδ΄. Ἐπὶ δὲ τοῦ κε΄ θεωρήματος. Ἔστω τῶν μὲν Α Ε ἑκάτερος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, ἕκαστος δὲ τῶν Γ ∠ Ε ἔστω ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐξ αὐτῶν στερεὸν εἰπεῖν.

Ἔστωσαν γάρ τῶν Α Β πυθμένες οἱ Θ Κ, καὶ τῷ ἐκ τῶν Θ Κ Γ ∠ Ε στερεῷ ἴσος ἔστω ὁ Λ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεὸς ἴσος ἐστὶν ἑκατὸν τοῖς Λ.

Ἔστι δὲ φανερὸν διὰ τῶν ἀριθμῶν, τοῦ Α ὄντος μονάδων κ΄ καὶ τοῦ Β μονάδων κ΄, καὶ τοῦ Γ μονάδων ε΄ καὶ τοῦ ∠ μονάδων Ϛ΄ καὶ τοῦ Ε μονάδων ζ΄, καὶ τῶν Θ Κ πυθμένων ὄντων μονάδων β΄· ὁ γὰρ ὑπὸ τῶν Θ Κ Γ ∠ Ε γίνεται στερεὸς μονάδων ωμ΄, οὗτος δὲ ἑκατοντάκις γενόμενος ἔσται μυριάδων η΄ μονάδων δ, ἴσος τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεῷ ἀριθμῷ.

15 κε΄. Τὸ δʼ ἐπὶ πᾶσι θεώρημα κϚ΄ πρότασιν ἔχει καὶ ἀπόδειξιν τοιαύτην. Ἔστωσαν δύο ἀριθμοὶ ἢ πλείους οἱ Α Β, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν χιλιάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἄλλοι ἀριθμοὶ ὁσοιδήποτε οἱ Γ ∠ Ε, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μὲν ἑκατοντάδος μετρούμενος δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ ἄλλοι πάλιν ὁσοιδηποτοῦν ἀριθμοὶ οἱ Ζ Η Θ, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, καὶ δέον ἔστω τὸν ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Η Θ στερεὸν εἰπεῖν.

Ἔστωσαν γὰρ τῶν Α Β Γ ∠ Ε πυθμένες οἱ Λ Μ Ν Ξ Ο. ὁ δὴ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ τῶν Γ ∠ Ε ἁπλοῦ ἀριθμοῦ ἤτοι μετρεῖται ὑπὸ τετράδος ἢ οὔ.

Μετρείσθω πρότερον ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ, καὶ ὑποτετάχθωσαν τοῖς μὲν Α Β ἑκατοντάδες αἱ Π Ρ, τοῖς δὲ Γ ∠ Ε δεκάδες αἱ Σ Τ Υ καὶ ὁ διπλάσιος ἄρα τοῦ πλήθους τῶν Π Ρ μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Σ Τ Υ μετρεῖται ὑπὸ τετράδος κατὰ τὸν Κ. καὶ φανερὸν ὅτι ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ ἐπὶ τὸν ἐκ τῶν Λ Μ Ν Ξ Ο ἴσος ἐστὶ τῷ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε στερεῷ. εἰλήφθω δὴ ὁ ἐκ τῶν Α Μ Ν Ξ Ο Ζ Η Θ στερεὸς καὶ ἔστω ὁ Φ· ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται ὁμώνυμοι τῷ Κ ὅσαι μονάδες εἰσὶν ἐν τῷ Φ. τοῦτο δὲ γραμμικῶς Ἀπολλώνιος ἀπέδειξεν.

16 Ἐὰν δὲ ὁ διπλάσιος τοῦ πλήθους τῶν Α Β μετὰ τοῦ πλήθους τῶν Γ ∠ Ε μὴ μετρῆται ὑπὸ τεράδος, μετρούμενος ἄρα κατὰ τὸν Κ λείψει ἢ ἕνα ἢ δύο ἢ τρεῖς. εἰ μὲν οὖν ἕνα λείψει, ὁ ἐκ τῶν Π Ρ Σ Τ Υ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν δέκα ὁμώνυμοι τῷ Κ, εἰ δὲ δύο, μυριάδες ἑκατὸν ὁμώνυμοι τῷ Κ, εἰ δὲ τρεῖς, μυριάδες χίλιαι ὁμώνυμοι τῷ Κ. καὶ δῆλον ἐκ τῶν γεγραμμένων ὅτι ὁ ἐκ τῶν Α Β Γ ∠ Ε Ζ Η Θ στερεὸς μυριάδες εἰσὶν τοσαῦται, ὅσος ὁ δεκαπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ ἀριθμῷ, ἢ ὅσος ὁ ἑκατονταπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ, ἢ ὅσος ὁ χιλιαπλάσιος τοῦ Φ, ὁμώνυμοι τῷ Κ.

17 Τούτου δὴ τοῦ θεωρήματος προτεθεωρημένου πρόδηλον, πῶς ἔστιν τὸν δοθέντα στίχον πολλαπλασιάσαι καὶ εἰπεῖν τὸν γενόμενον ἀριθμὸν ἐκ τοῦ τὸν πρῶτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ πρῶτον τῶν γραμμάτων ἐπὶ τὸν δεύτερον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ δεύτερον τῶν γραμμάτων πολλαπλασιασθῆναι καὶ τὸν γενόμενον ἐπὶ τὸν τρίτον ἀριθμὸν ὃν εἴληφε τὸ τρίτον γράμμα καὶ κατὰ τὸ ἑξῆς περαίνεσθαι μέχρι τοῦ διεξοδεύεσθαι τὸν στίχον, ὃν εἶπεν Ἀπολλώνιος ἐν ἀρχῇ κατὰ τὸν στίχον οὕτως.

Ἀρτέμιδος κλεῖτε κράτος ἔξοχον ἐννέα κοῦραι (τὸ δὲ κλεῖτέ φησιν ἀντὶ τοῦ ὑπομνήσατε).

18 Ἐπεὶ οὖν γράμματά ἐστιν λη΄ τοῦ στίχου , ταῦτα δὲ περιέχει ἀριθμοὺς δέκα τοὺς ρ΄ τ΄ σ΄ τ΄ ρ΄ τ΄ σ΄ χ΄ υ΄ ρ΄, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν χιλιάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ ἑκατοντάδος, καὶ ἀριθμοὺς ιζ΄ τοὺς μ΄ ι΄ ο΄ κ΄ λ΄ ι΄ κ΄ ο΄ ξ΄ ο΄ ο΄ ν΄ ν΄ ν΄ κ΄ ο΄ ι΄, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων μέν ἐστιν ἑκατοντάδος μετρεῖται δὲ ὑπὸ δεκάδος, καὶ τούς λοιποὺς σὺν ταῖς μονάσιν ια΄ τοὺς α΄ ε΄ δ΄ ε΄ α΄ ε΄ ε΄ ε΄ α΄ α΄, ὧν ἕκαστος ἐλάσσων δεκάδος, ἐὼν ἄρα τοὺς δέκα ἀριθμοὺς διπλασιάσωμεν καὶ τοὺς γενομένους κ΄ προσθῶμεν τοῖς εἰρημένοις ἁπλῶς ἀριθμοῖς ἑπτακαίδεκα, τὰ γενόμενα ὁμοῦ λζ΄ ἕξομεν τῶν ὑπ᾿ αὐτοῦ γενομένων ἀναλόγων, κἂν τοῖς μὲν δέκα ἀριθμοῖς ὑποτάξωμεν ἰσαρίθμους δέκα κατὰ τάξιν ἑκατοντάδος, τοῖς δὲ ιζ΄ ὁμοίως ὑποτάζωμεν δεκάδας ιζ΄, φανερὸν ἐκ τοῦ ἀνώτερον λογιστικοῦ θεωρήματος ιβ΄ ὅτι δέκα ἑκατοντάδες μετὰ τῶν ιζ΄ δεκάδων ποιοῦσι μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα. αἱ γάρ δέκα ἑκατοντάδες δὶς γενόμεναι, τουτέστιν κ΄, καὶ προσλαβοῦσαι τὰς ιζ΄ δεκάδας γίνονται λζ΄ ἀναλόγων ὄντα· μερισθέντα δὲ τὰ λζ΄ εἰς τὸν δ΄ ποιεῖ τὸν ἐκ τοῦ μερισμοῦ θ΄ καὶ καταλείπεται α΄, ὡς εἶναι μυριάδας ἐνναπλᾶς δέκα τὰ ἐκ τῶν ἑκατοντάδων δέκα καὶ δεκάδων ιζ΄.

19 Ἐπεὶ δὲ καὶ πυθμένες ὁμοῦ τῶν μετρουμένων ἀριθμῶν ὑπὸ ἑκατοντάδος καὶ τῶν μετρουμένων ὑπὸ δεκάδος εἰσὶν οἱ ὑποκείμενοι κζ΄

20 Ἴσος δὲ τούτῳ συνάγεται καὶ ὁ διὰ τῶν τοῦ στίχου πυθμένων ἅμα ταῖς μονάσιν