Synagoge

Pappus Alexandrinus

Pappus Alexandrinus. Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt, Volume 1. Hultsch, Friedrich, editor. Leipzig: Weidmann, 1876.

14 β΄. Ἔστω τις εὐθεῖα ἡ ΑΗ τετμημένη εἰς ἴσα κατὰ τὰ B Γ ∠ Ε Ζ· ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΓΒ, ἡ BΓ πρὸςτ τὸ ἥμισυ τῆς ΒΓ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ∠Β. οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Γ καὶ τὸ τρίτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς ΕΒ, οὕτως ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ καὶ τὸ τέταρτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΓ καὶ τὸ πέμπτον τῆς ΓΒ, ὡς δὲ ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ 8Η πρὸς τὴν ΗΓ καὶ τὸ ἕκτον τῆς ΓΒ.

Ἔστι δὲ φανερὸν τῶν ἀριθμῶν παραληφθέντων --- καὶ ἀεὶ οὕτως, ὅτι ὡς ὁ δοθεὶς τῶν ἴσων εὐθειῶν ἀριθμὸς ἀπὸ τοῦ Α πρὸς τὸν μονάδι ἐλάσσονα, οὕτως ὁ μονάδι ἐλάσσων πρὸς τὸν μονάδι αὐτοῦ ἐλάσσονα καὶ τῆς ΓΒ μόριον ὁμώνυμον τῷ δοθέντι πλήθει τῶν ἴσων εὐθειῶν.

[*](1. καὶ A1B, κὰν A2, ut vindetur, unde κἂν S 2. 3. τὰς ΖΚ ΒϠ. διὰ δὲ τῶν ΚΛ A, lineolas addidit et pro Ϡ correxit Λ B3 3. τῆι ΑΓ τὰ ΚΜ Λν Α, τὰς corr. B3S, lineolam sub Α del. Hu, lineolas sub Μ ΛΝ add. B 5. ὑπὸ ΓΘΗ AS, lineolam sub Θ add. B ἀμβλεῖα B3 V2, /////// A, om. B1S 6. τῶν ΗϠ ΑΒ, sed rum Η ln Α litterae)

15 γ΄. Έστωσαν ἴσαι εὐθεῖαι αἱ Α Β, μείζων δὲ ἡ Γ∠ τῆς Ν ἐλάσσων οὖσα ἑκατέρας τῶν Α Β, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠, ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΗΘ, ὡς δὲ ἡ Β πρὸς τὴν Ν, ἡ Ν πρὸς τὴν Π καὶ ἡ Π πρὸς τὴν Ρ· λέγω ὅτι ἡ Ρ ἐλάσσον ἐστὶν τῆς ΗΘ.

Ἐπεὶ γὰρ μείζων ἐστὶν ἡ Γ∠ τῆς Ν, κείσθω τῇ Ν ἴση ἡ ΓΚ ἔστιν ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ Β πρὸς τὴν Ν. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠, ἡ Γ∠ πρὸς ΕΖ, γεγενήσθω ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΕΛ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ Β πρὸς Ν, ἡ Ν πρὸς Π, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α τῇ Β, ἡ δὲ ΓΚ τῇ Ν· διʼ ἴσου ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ Β πρὸς τὴν Π· ἴση ἄρα ἡ ΕΛ τῇ Π. διὰ τὰ αὐτὰ δή ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς τὴν Γ∠, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς ΗΘ, ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ, καὶ ἡ ΕΛ πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΗΘ. ἔστω πρὸς τὴν ΗΜ· ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς μὲν ἡ ΓΚ πρὸς τὴν ΕΛ, ἡ ΕΛ πρὸς τὴν ΗΜ, ὡς δὲ ἡ Ν πρὸς τὴν Π, οὕτως ἡ Π πρὸς τὴν Ρ, καὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ Ν, ἡ δὲ ΕΛ τῇ Π, ἴση ἄρα καὶ ἡ Ρ τῇ ΗΜ· ἐλάσσων ἄρα ἡ P τῆς ΗΘ.

Ἄλλως τὸ αὐτό.

16 δ΄. Ἔστω ἴση ἡ Α τῇ Ε, μείζων δὲ ἡ Β τῆς Ζ, καὶ πεποιήσθω ὡς μὲν ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὺς Γ καὶ ἡ Γ πρὸς ∠, ὡς δὲ ἡ Ε πρὸς τὴν Ζ, ἡ Ζ πρὸς τὴν Η, καὶ ἡ Η πρὸς τὴν Θ ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ ∠ τῆς Θ.

Ἔπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς Ζ, ἴση δὲ ἡ Α τῇ Ε, ἡ Β ἄρα πρὸς τὴν Α μείζονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς τὴν Ε. ἀνάπαλιν ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἥπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Β πρὸς Γ καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχε. ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ. ὡς δὲ [*](1. γ΄ add. S αἱ ΑΒ et 2. τῶν ΑΒ Α, distinx. BS 2. ἐλάσσων — τῶν Α Β interpolatori tribuit Hu 9. ὡς ἡ α B3S, ὡς A AB1 10. 11. ἐστὶν ἡ μὲν Α τῇ Β, ἡ δὲ] ἐστὶν ///////// δὲ Α, om. B1, ἐστὶν ἡ μὲν. τῇ ἡ ἡ δὲ S, corr. B3 Sca 11. ΓΚ τῆς Ν Α, corr. BS 12. ἡ β πρὸς τὴν Β Sca, ///////// A, ἡ . . . . . . . . S 13. οὕτως ἡ ΕΖ} οὕτως ἡ Τ∠ πρὸς τὴν ΕΖ καὶ ἡ ΕΖ voluit Co 21. ∠ A1 in marg. (S), om. B 25. ἡ Β ἄρα — p. 52, 2. ὡς δὲ ἡ Β] pro his nihil nisi)

ἡ Ε πρὸς Ζ, οὕτως ἡ Ζ πρὸς Η· καὶ ἡ Β ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ πρὸς Γ, οὕτως ἡ Γ πρὸς ∠ καὶ ἡ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η. ὡς δὲ ἡ Ζ πρὸς Η, οὕτως ἡ Η πρὸς Θ· καὶ Γ ἄρα πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Η πρὸς Θ. ἐπεὶ οὖν ἡ μὲν Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ, ἡ δὲ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ζ πρὸς Η, ἡ δὲ Γ πρὸς ∠ ἐλάσσονα ἤπερ Α πρὸς Θ, διʼ ἴσου ἄρα ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Ε πρὸς Θ διὰ τὸ ἑξῆς. καὶ ἔστιν ἴση ἡ Α τῇ Ε· μείζων ἄρα ἡ ∠ τῆς Θ, ὅπερ. ~

17 ε΄. Η Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ Γ πρὸς ∠· ὅτι καὶ ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς τὴν ∠

Πεποιήσθω ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε· μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ Ε τῆς ∠. ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς ἡ Α πρὸς Β, οὕτως ἡ Γ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἄρα ὡς ἡ Α πρὸς Γ, οὕτως ἡ Β πρὸς Ε. ἡ δὲ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρύς ∠· καὶ ἡ Α ἄρα πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς ∠.

18 Ϛ΄ Τούτου δειχθέντος ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἐχέτω ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε, ἐχέτω δὲ καὶ ἡ Β πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἤπερ ἡ Ε πρὸς Ζ· ὅτι καὶ διʼ ἴσου ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λύγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ.

Ἐπεὶ γὰρ ἡ Α πρὸς Β ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ε, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς ∠ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ Β πρὸς Ε. διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ἡ Β πρὸς Ε ἐλάσσονα λόγον ἐχει ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ. ἐπεὶ οὖν Α πρὸς ∠ πολλῷ ἐλάσσονα λόγον ἔχι. ἤπερ ἡ Γ πρὸς Ζ, ἐναλλὰξ ἡ Α πρὸς Γ ἐλάσσονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ∠ πρὸς Ζ, ὅπερ ~ .

19 ζ΄. Α μὲν οὖν ἔδει με προειπεῖν ἐστιν ταῦτα, παρεὶς [*](5. ἡ ΓΑ ἄρα AS, ἡ γ * ἄρα B, corr. etiam Sca 6. ἡ aute H om. AB3S (plura om. B1), add. Sca 10. ἴση ἡ α B3 (α in rasura) Sca, ἡ ∠ AS 11. ὅπερ nulla sequente nota compendii A, ὅπερ: ~ B, ὅπερ ἔδει ~ S 12. Ε A1 in marg (S), om. B 17. ἄρα add Hu, item vs. 19 21. Ϛ A1 in marg. om. BS 28. ἐπεὶ οὐν — 29. ἡ Γ)

δὲ κρίνειν σοί τε καὶ τοῖς ἐν γεωμετρίᾳ γεγυμνασμένοις τὰ ὑπʼ ἐκείνου προγραφέντα περὶ τῆς κατασκευῆς καὶ τὰ ὑφ᾿ ἡμῶν ἐπενεχθέντα, καλῶς ἔχειν ἡγοῦμαι καὶ τὰ δόξαντα τοῖς ἀρχαίοις περὶ τοῦ προειρημένου προβλήματος ἐκθέσθαι καὶ πρῶτον εἰπεῖν ὀλίγα περὶ τῶν ἐν γεωμετριᾳ προβλημάτων, ἀρχὴν λαβὼν ἐντεῦθεν.

20 Τῶν ἐν γεωμετρίᾳ προβλημάτων οἱ παλαιοὶ τρία γένη φασὶν εἶναι, καὶ τὰ μὲν αὐτῶν ἐπίπεδα καλεῖσθαι, τὰ δὲ στερεά, τὰ δὲ γραμμικά. τὰ μὲν οὖν διʼ εὐθείας καὶ κύκλου περιφερείας δυνάμενα λύεσθαι λέγοιτο ἂν εἰκότως ἐπίπεδα· καὶ γάρ αἱ γραμμαὶ διʼ ὧν λύεται τὰ τοιαῦτα προβλήματα τὴν γένεσιν ἔχουσιν ἐν ἐπιπέδῳ. ὅσα δὲ προβλήματα λύεται παραλαμβανομένης εἰς τὴν εὕρεσιν μιᾶς τῶν τοῦ κώνου τομῶν ἢ πλειόνων, ταῦτα στερεὰ κέκληται· πρὸς γὰρ τὴν κατασκευὴν ἀναγκαῖόν ἐστι χρήσασθαι στερεῶν σχημάτων ἐπιφανείαις, λέγω δὲ ταῖς κωνικαῖς. τρίτον δʼ ἔτι καταλείπεται γένος ὃ καλεῖται γραμμικόν· γραμμαὶ γὰρ ἕτεραι παρἂ τὰς εἰρημένας εἰς τὴν κατασκευὴν λαμβάνονται ποικιλωτέραν καὶ βεβιασμένην ἔχουσαι τὴν γένεσιν, ὁποῖαι τυγχάνουσιν αἱ ἕλικες καὶ τετραγωνίζουσαι καὶ κοχλοειδεῖς καὶ κισσοειδεῖς, πολλὰ καὶ παράδοξα περὶ αὑτὰς ἔχουσαι συμπτώματα.

21 τοιαύτης δὴ τῆς διαφορᾶς τῶν προβλημέτων οὔσης οἱ παλαιοὶ γεωμέτραι τὸ προειρημένον ἐπὶ τῶν δύο εὐθειῶν πρόβλημα τῇ φύσει στερεὸν ὑπάρχον οὐχ οἷοί τʼ ἦσαν κατασκευάζειν τῷ γεωμετρικῷ λόγῳ κατακολουθοῦντες, ἐπεὶ μηδὲ τὰς τοῦ κώνου τομὰς ῥᾴδιον ἐν ἐπιπέδῳ γράφειν ἦν ὡς δεῖ δύο δοθεισῶν εὐθειῶν ἀνίσων δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ἐν συνεχεῖ ἀναλογίᾳ, τοῖς δὲ ὀργάνοις μεταλαβόντες αὐτὸ θαυμασίως εἰς χειρουργίαν καὶ κατασκευὴν ἐπιτήδειον ἤγαγον, ὡς ἔστιν ἰδεῖν ἀπὸ τῶν φερομένων αὐτοῖς συνταγμάτων, λέγω δʼ ἐν τῷ Ἐρατοσθένους μεσολάβῳ [*](1. τὰ] τά τε coni, Hu 18. εἰς τὴν γένεσιν ABS, εἰς τὴν κατασκευὴν Co, corr. Hu 19, βεβιασμένην AS, sed litterae βεβι vix perspicuae in A, μεταπλασμένην B, κατασκευασμένην cod. Paris, 2369, transmutabilom Co 20. τυγχά ////////////// καὶ Α τυγ. .......... καὶ B1, τυγχάνουσιν αἱ ...... καὶ B3, τυγχάνουσι ....... καὶ S, ἕλικες add. Co κοχλοεισυμφώνως)

καὶ τοῖς Φίλωνος καὶ Ἥρωνος μηχανικοῖς ἢ καταπαλτικοῖς. οὗτοι γὰρ ὁμολογοῦντες στερεὸν εἶναι τὸ πρόβλημα τὴν κατασκευὴν αὐτοῦ μόνον ὀργανικῶς πεποίηνται συμφόνως Ἀπολλωνίῳ τῷ Περγαίῳ ὃς καὶ τὴν ἀνάλυσιν αὐτοῦ πεποίηται διὰ τῶν τοῦ κώνου τομῶν, καὶ ἄλλοι διὰ τῶν Ἀρισταίου τόπων στερεῶν, οὐδεὶς δὲ διὰ τῶν ἰδίως ἐπιπέδων καλουμένων, Νικομήδης δὲ λέλυκε διὰ κοχλοειδοῦς γραμμῆς, διʼ ἧς καὶ τὴν γωνίαν ἐτριχοτόμησεν.

22 ἐκθησόμεθα οὖν τέσσαρας αὐτοῦ κατασκευάς μετά τινος ἐμῆς ἐπεξεργασίας, ὧν πρώτην μὲν τὴν Ἐρατοσθένειον, δευτέραν δὲ τὴν τῶν περὶ Νικομήδη, τρίτην δὲ τὴν τῶν περὶ Ἥρωνα μάλιστα πρὸς τὰς χειρουργίας ἁρμόζουσαν τοῖς ἀρχιτεκτονεῖν βουλομένοις, καὶ τελευταίαν τὴν ὑφ’ ἡμῶν ἀνευρημένην. στερεοῦ γάρ παντὸς ἕτερον στερεόν, ὅμοιον τῷ δοθέντι, κατασκευάζεται πρὸς τὸν δοθέντα λόγον, ἐὰν δύο τῶν δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές ἀνάλογον ληφθῶσιν, ὡς Ἥρων ἐν μηχανικοῖς καὶ καταπαλτικοῖς.

23 Ἔστω οὖν πλινθίον πεπηγὸς τὸ ΑΒΓ∠, καὶ ἐν αὐτῷ τρίγωνα ὀρθογώνια ἴσα τὰ ΑΕΘ ΜΖΚ ΝΗΛ ὀρθὰς ἔχοντα τάς πρὸς τοῖς Ε Ζ Η γωνίας, καὶ τὸ μὲν ΑΕΘ προσπεπηρὸς μενέτω, τὸ δὲ ΜΖΚ τὴν κίνησιν ἐχέτω ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων οὕτως ὥστε τὴν μὲν ΜΖ ἐπὶ τοῦ ΑΒ κανόνος φέρεσθαι ἔχοντος σωλῆνα διʼ ὅλου, τὴν δὲ κορυφὴν τὴν Κ [*](4. — 7. καλουμένων interpolatori tribuit Hu 7. λέλυκε Hu pro καὶ λόγων κοχλοειδοῦς A1 ante rasuram, κογχλοειδοῦς B1, κογχοειδοῦς A2B3S 8. γραμμῆς B et S correctus [incertum an a Scaligero), γραμμικῆς AS1} 10. τὴν ante Ἐρατ. om. AΒ, add. S 11. τὴν περὶ τὸν νικομήδη S 14. στερεοῦ — 17. καταπαλτικοῖς] nec falsum est hoc theorema nec suspecta Heronis, qui citatur, auctoritas, tamen haec interpretamenti loco ab aliena man addita esse apparet 14. στερεοῦ παντὸς interpolator ex ἕτερον suspensa esse voluit (στερεοῦ γὰρ δοθέντος coniecerat Hu, στερεοῦ γὰρ παντὸς δεδομένου Co) 15. τῶν del. Hu 18. τὸ AB Γ∠ A, coniunx. BS 19. ἴσα A2 ex ῖ*α μζκ νηλ B3V2, ΜΖ ΚΜΗΛ Α, μζκ μηδ S. μζκ μηλ B1 20. τὰ πρὸς AB1, corr. B3S 21. ἐπὶ om. AB1S, add. B4V2 V2 Co 23. σωλῆνα Sca, σωληνίσκον Hu, octo fere litterae eyanidae in A, laune in BS)

διὰ τοῦ Γ∠ κανόνος καὶ αὐτοῦ διʼ ὅλου τοῦ μήκους σεσωληνισμένου, παραπλησίως δὲ καὶ τὸ ΝΗΛ τρίγωνον ἐχέτω τὴν κίνησιν ἐπὶ τῶν ΑΒ Γ∠ κανόνων κατὰ τοὺς προειρημένους ὀχετούς. τούτων δὴ οὕτως ὑποκειμένων, ὅτε βούλοιτό τις κύβον κύβου διπλασίονα ποιῆσαι, διπλασίαν ἀπολαμβάνων τὴν ΑΓ τῆς ΛΞ καὶ διιστὰς τὰ ΜΖΚ ΝΗΛ τρίγωνα; μέχρις ἂν κατʼ εὐθεῖαν γένηται τὰ Α Ξ σημεῖα ταῖς τῶν τριγώνων τομαῖς ταῖς Π Ο, ἐπιζεύξει τὴν ΑΠΟΞ συμπίπτουσαν τῇ Γ∠ κατὰ τὸ Ρ (τοῦτο γάρ κατʼ ἀνάγκην ὀφείλει ἐπακολουθεῖν), καὶ οὕτως τὸ προκείμενον αὐτῷ συμβαίνει.

Ἐπεὶ γάρ ἐστιν ὡς ἡ ΑΓ πρὸς ΠΘ, οὕτως ἡ ΑΡ πρὸς ΠΡ, καὶ ἡ ΑΘ πρὸς ΠΚ, καὶ ἡ ΘΡ πρὸς ΡΚ, καὶ ἡ ΠΘ πρὸς ΟΚ, καὶ ἡ ΠΡ πρὸς ΡΟ, καὶ ἡ ΠΚ πρὸς ΟΛ, καὶ ἡ ΚΡ πρὸς ΡΛ, καὶ ἡ ΟΚ πρὸς ΛΞ τῶν ΑΓ ΛΞ ἄρα δύο μέσαι εἰσὶν αἱ ΠΘ ΟΚ κατὰ συνεχῆ ἀναλογίαν. καὶ ἔστι διπλασία ἡ ΑΓ τῆς ΛΞ· διπλάσιος ἄρα καὶ ὁ ἀπὸ τῆς ΑΓ κύβος τοῦ ἀπὸ τῆς ΠΘ κύβου. εἰ δʼ ἄλλον τινὰ λόγον ἔχει ὁ κύβος πρὸς τὸν κύβον, ἐκεῖνον τὸν λόγον ἔδει ἔχειν καὶ τὴν ΑΓ πρὸς ΛΞ καὶ τὰ λοιπά ὁμοίως κατασκευάζειν. καὶ ἐκ τούτου φανεφὸν ὅτε ἀδύνατόν ἐστι τὸ προκείμενον διὰ τῶν ἐπιπέδων λύεσθαι.

24 η΄. Κατὰ δὲ Νικομήδη δύο δοθεισῶν εὐθειῶν τῶν Γ∠ ∠Α δύο μέσαι κατὰ τὸ συνεχές λαμβάνονται τρόπῳ τοιῷδε.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ τετμήσθω δίχα ἑκατέρα τῶν ΑΒ ΒΓ τοῖς Λ Ε σημείοις, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Λ∠ ἐκβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΓΒ [*](1. γδ κανόνος Sca et καὶ αὐτοῦ Hu, //////////// του A, post lacunam τοτ Β, τοῦ Σ 2. γηλ B3 in rasura, ΝΛΜ AS, γλη V2 Sca 3. κατὰ Sca. per Co, καὶ ABS 4. ὅταν βούληταί — 5. ποιῆσαι, ἡμίσειαν ἀπολαμβάνων τῆς ΑΓ τὴν ΛΞ coni. Hu 6. ΜΖ ΚΝΗΛ A, corr. BS 7. τὸ ΛΞ et 8. ταῖς ΠΟ A, distinx. BS 13. πρὸς ΠΚ] πρὸς ΚΗ AS, πρὸς κπ B, corr. V2 Sca 14. πρὸς ΟΚ] πρὸς ΘΚ AB1S, corr. B2V2 Sca πρὸς ΡΟ] πρὸς ΡϹ ABS, corr. B3V2 Sca 16. αἱ ΠΘ ΟΚ] αἱ ΗΘ ΕΚ AS, αἱ πθ εκ B1, corr. B3V2 Sca 19. ἔχοι ὁ κύβος Hu)

ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Η, καὶ τῇ 8Γ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΖ ἴση οὖσα τῇ ΑΛ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΗ, καὶ αὐτῇ παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ γωνίας οὔσης τῆς ὑπὸ τῶν ΚΓΘ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ζ διήχθω ἡ ΖΘΚ ποιοῦσα ἴσην τὴν ΘΚ τῇ ΑΛ ἢ τῇ ΓΖ (τοῦτο γὰρ ὡς δυνατὸν ἐδείχθη διὰ τῆς κοχλοειδοῦς γραμμῆς), καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ∠ ἐτβεβλήσθω καὶ συμπιπτέτω τῇ ΒΑ ἐκβληθείσῃ κατὰ τὸ Μ· λέγω ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς τὴν Α∠.

Ἐπεὶ γάρ ἡ ΒΓ τέτμηται δίχα τῷ Ε καὶ πρόσκειται αὐτῇ ἡ ΓΚ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓρ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΕ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΚ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΕΖ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τῶν ἀπὸ ΓΕΖ, τουτέστιν τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ ΚΕΖ. τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΚΖ. καὶ ἐπεὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, ἡ Μ∠ πρὸς ∠Κ, ὡς δὲ ἡ Μ∠ πρὸς ∠Κ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΓΚ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΜΑ πρὸς ΑΒ, οὕτως BΓ πρὸς ΓΚ. καὶ ἔστιν τῆς μὲν ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΛ, τῆς δέ ΒΓ διπλῆ ἡ ΓΗ· ἔσται ἄρα καὶ ὡς ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΗΓ πρὸς ΓΚ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΓΗ πρὸς ΓΚ οὕτως ἡ ΖΘ πρὸς ΘΚ διὰ τὰς παραλλήλους [*](1 ante τῇ ΒΓ, ut plurimis aliis locis, cogitatione addendum est ἤχθω, quod ne forle in contextum inserendum esse putes, conf. etiam infra IV propos. 24 3. ἡ ante ΓΘ om. A1, add. A2BS 8. τῇ ΑΛ η τῇ ΓΖ] pro η coni. τουτέστιν Hu 10. ἐδείχθη] demonstratum hoc esse a Nicomede, non a se ipso Pappus dicere voluit; aliter autem idem ἐδείχθη infra sonat IV cap. 43 11. κοχλοειδοῦς A1, κογχλοἐπεὶ)

τὰς ΗΖ ΓΘ καὶ συνθέντι ἄρα ὡς ἡ ΜΛ πρὸς ΛΑ, ἡ ΖΚ πρὸς ΚΘ. ἴση δὲ ὑπόκειται καὶ ἡ ΑΛ τῇ ΘΚ ἐπεὶ καὶ τῇ ΓΖ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΛ ἴση ἄρα καὶ ἡ ΜΛ τῇ ΖΚ. ἴσον ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΜΛ τῷ ἀπὸ ΖΚ. καὶ ἔστι τῷ μὲν ἀπὸ ΜΛ ἴσον τὸ ὑπὸ ΒΜΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΛΑ, τῷ δὲ ἀπὸ ΖΚ ἴσον ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΒΚΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΖ, ἧν τὸ ἀπὸ ΑΛ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΖ (ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ τῇ ΓΖ)· ἴσον ἄρα καὶ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΒΜΑ λοιπῷ τῷ ὑπὸ ΒΚΓ· ὡς ἄρα ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, οὕτως ἡ ΓΚ πρὸς ΜΑ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ, ἡ ΓΚ πρὸς ΑΜ. ἔστι δὲ καὶ ὡς ἡ ΜΒ πρὸς ΒΚ, ἡ ΜΑ πρὸς Α∠· καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Γ πρὸς ΓΚ, ἡ ΚΓ πρὸς ΑΜ καὶ ἡ ΜΑ πρὸς Α∠.

25 θ΄. Κατὰ δὲ τοὺς περὶ τὸν Ἥρωνα, πῶς ἐστιν δυνατὸν δύο δοθεισῶν εὐθειῶν δύο μέσας ἀνάλογον λαβεῖν ὀργανικῶς, δείξομεν, ἐπειδήπερ ἐστὶν τὸ πρόβλημα τοῦτο, καθά φησιν καὶ ὁ Ἥρων, στερεόν. ἐκθησόμεθα δέ” φησιν “τῶν δείξεων τὴν μάλιστα πρὸς τὴν χειρουργίαν εὔθετον.”

26 Ἔστωσαν γὰρ αἱ δοθεῖσαι εὐθεῖαι αἱ ΑΒ ΒΓ πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις κείμεναι, ὧν δεῖ δύο μέσας ἀνάλογον εὑρεῖν.

Συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ∠Γ ∠Α, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Β ΓΑ, καὶ παρακείσθω κανόνιον πρὸς τῷ Β σημείῳ καὶ κινείσθω [*](2. καὶ — 3. ἡ ΑΛ interpolata esse putat Hu, quamvis eadem infra IV cap. 43 et apud Eutocium redeant 3. ἡ ΑΛ] ἡ Α∠ AS, corr. B Sca 7. 8. τὸ ἀπὸ ΑΛ A1, tum post exitum versus 𝒢` [i. e. ἴσον) τῶι et ante mutium proximi versus ἀπὸ ΓΖ. ἴση γὰρ ὑπόκειται ἡ ΑΛ adscripsit A2, porro τῆι ΓΖ ἴσον ἄρα καὶ cel. A1 14. Θ A1 in marg. (S), om. B 17. ὃ ante ἐκθησόμεθα add. ABS, del. Hu 20. ἀλλήλαις B3S, ἀλλήλας A, om. B1 21. τὸ ΑΒ ΓΛ Α, coniunx. BS 22. ἐπεζεύχθωσαν BS, in A manui secunda [an alia recentior?) in particula membranarum antiquae Scripturae superducta scripsit ἐπεζεύχθκω, tum initio proximi versus sequitur σαν pr. m. exaratum 22. αἱ ΛΒ Γ∠ Α, corr. BS 23. B σημείῳ] octo decemve litterarui spatium inductum in A, β . . . . . . . B Sca, β σημείω B4, om. S)

τέμνον τὰς ΓΕ ΑΖ, ἄχρις οὗ ἡ ἀπὸ τοῦ Η ἀχθεῖεα ἐπὶ τὴν τῆς ΓΕ τομὴν ἴση γένηται τῇ ἀπὸ τοῦ Η ἐπὶ τὴν τῆς ΑΖ τομήν. γεγονέτω, καὶ ἔστω ἡ μὲν τοῦ κανονίου θέσις ἡ ΕΒΖ, ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ ΗΖ λέγω οὖν ὅτι αἱ ΑΖ ΓΕ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν τῶν ΑΒ ΒΓ.

Ἐπεὶ γὰρ ὀρθογώνιόν ἐστιν τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, αἱ τέσσαρες εὐθεῖαι αἱ ∠Η ΗΑ ΗΒ ΗΓ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ἐπεὶ οὖν ἴση ἡ ∠Η τῇ ΑΗ, καὶ διῆκται ἡ ΗΖ, τὸ άρα ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΖ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΕ. καὶ εἰσὶν ἴσαι αἱ ΗΕ ΗΖ· ἴσον ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ∠ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΗ τῷ ὑπὸ ∠ΕΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΓΗ. ὦν τὸ ἀπὸ ΓΗ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΗΑ· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ ∠ΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ∠ΖΑ· ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ ἡ ΖΑ πρὸς ΓΕ. ὡς δὲ ἡ Ε∠ πρὸς ∠Ζ, ἥ τε ΒΑ πρὸς ΑΖ καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ, ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ, ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ· τῶν ἄρα ΑΒ ΒΓ μέσαι ἀνάλογόν εἰσιν αἱ ΑΖ ΓΕ.

27 ι΄. Κύβος δὲ κύβου διπλάσιος οὐ μόνον εὑρίσκεται διὰ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου καὶ καθʼ ἡμάς, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα.

[*](1. ἀχθεῖσα ἐπὶ τὴν] tot fere litterae inductae in A, η ἐπὶ τὴν Β Sca, om. S, ἀχθεῖσα add. Hu 4. ἴσαι δὲ αἱ ΕΗ ΗΖ abundant, ideoque suspecta videantur; sed similis pleonasmus infra cap. 97 redit 6. ΑΒ Γ∠ A, coniunx. BS 8. τῇ αη BS, τῆι ΑΝ A 10. δὴ BS. ∠Η Α 12. τοῦ ἀπὸ αη B3V2 Sca. τοῦ ἀπὸ ΓΗ AB1S 13. τοῦ ἀπὸ γη B3V2 Sca, τοῦ ἀπὸ ΓΕ AB1S τῷ ἀπὸ ηα B3 Sca, τῶν ἀπὸ ΗΕ AB1S 16—18. ἥτε ΒΑ πρὸς ΑΖ **** ** *** | πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ. ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ ἥ τε ΖΑ πρὸς ΓΕ καὶ η ΓΕ πρὸς ΓΒ Α1 erasis noem ere litteris ab A2; post ἥτε ΒΑ πρὸς ΑΖ add. A2: καὶ ἡ ΕΓ πρὸς ΓΒ· ὥστε ἔσται καὶ ὡς ἡ ΑΒ πρὸς ΑΖ ἥ τε ΖΑ; tum sequuntur, ut modo significatum est, pr. m. seripta πρὸς ΓΕ καὶ ἡ ΓΕ πρὸς ΓΒ; denique ea quae porro A1 habet, ὥστε usque ad πρὸς ΓΒ, del. A2 19. ι΄ om. ABS 19—21. aut negligentissime haec scripta sint a Pappo aut corrupta a librariis et hunc fere in modum restituenda: καθ᾿ ἡμᾶς δὲ διὼ τοῦ ὑποκειμένου ὀργάνου οὐ μόνον εὑρίσκεται κύδος κύβου διπλάσιος, ἀλλὰ καὶ καθόλου λόγον ἔχων τὸν ἐπιταχθέντα)

Κατεσκευάσθω γὰρ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ κέντρου πρὸς ὀρθὰς ἀνήχθω ἡ ∠Β, καὶ κινείσθω κανόνιόν τι περὶ τὸ Α σημεῖον οὕτως ὥστε τὸ μὲν ἓν πέρας αὐτοῦ περικεῖσθαι τυλίῳ τινὶ κατὰ τὸ Α σημεῖον ἑστῶτι τὸ δὲ λοιπὸν μέρος ὡς περὶ κέντρον τὸ τυλάριον κινεῖσθαι μεταξὺ τῶν Β Γ. τούτων δὴ κατεσκευασμένων ἐπιτετάχθω δύο κύβους εὑρεῖν λόγον ἔχοντας πρὸς ἀλλήλους δοθέντα. καὶ τῷ λόγῳ ὁ αὐτὸς πεποιήσθω ὁ τῆς Β∠ πρὸς ∠Ε καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΓΕ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ζ. παραγέσθω δὴ τὸ κανόνιον μεταξὺ τῶν Β Γ, ἕως οὗ τὸ ἀπολαμβανόμενον αὐτοῦ μέρος μεταξὺ τῶν ΖΕ ΕΒ εὐθειῶν ἴσον γένηται τῷ μεταξὺ τῆς ΒΕ εὐθείας καὶ τῆς ΒΚΓ περιφερείας· τοῦτο γὰρ πειράζοντες αἰεὶ καὶ μετάγοντες τὸ κανόνιον ῥᾳδίως ποιήσομεν. γεγονέτω δή, καὶ ἐχέτω θέσιν τὴν ΑΗΘΚ, ὥστε ἴσας εἶναι τὰς ΗΘ ΘΚ. λέγω ὅτι ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Θ κύβον λόγον ἔχει τὸν ἐπιταχθέντα, τουτέστιν τὸν τῆς ∠Β πρὸς ∠Ε.

Νοείσθω γὰρ ὁ κύκλος προσαναπεπληρωμένος καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ Κ∠ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν τῇ Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν μὲν ΚΘ τῇ ΘΗ, τὴν δὲ Κ∠ τῇ ∠Λ. ἐπεζεύχθωσαν δὴ καὶ ἥ τε ΑΛ καὶ ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν ὀρθή ἐστιν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ ἐν ἡμικυκλίῳ καὶ κάθετος ἡ ΑΜ, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, τουτέστιν ὡς ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ (καὶ γὰρ ὡς ἡ ΛΜ πρὸς τὴν ΜΑ, οὕτως ἡ ΜΑ πρὸς τὴν ΜΗ, ὥστε καὶ ὡς τὸ ἀπὸ ΛΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΑ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ, καὶ ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ). κοινὸς προσκείσθω λόγος ὁ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ ἄρα συγκείμενος ἔκ τε τοῦ [*](2. ἡ ∠Β Hu pro ἡ Β∠ collato VIII, 26 et Eutocio 6. τῶν ΒΓ Α, distinx. BS, itme vs. 10 10, ἕως οὗ τὸ in A paene evanuerunt 11, 12. τὸ μεταξὺ A, corr. BSV2 19. ἐπι| ζεύχθω A, corr. BS 21. 22. ἐπεζεύχθω δὴ Pappus infra VIII cap. 26 et Eutocius 23. post ἐν ἡμικυκλίῳ add. γὰρ B3, οὖσα Hu 25. καὶ γὰρ ὡς — 28. ἡ ΓΜ πρὸς ΜΑ om. Pappus VIII cap. 26 et Eutocius 29. ὁ ante λόγος additum in ABS del. Hu τοῦ add. B3)

τῆς ΓΜ πρὸς ΜΑ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ, τουτέστιν ὁ τῆς ΓΜ πρὸς ΜΗ, λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συγκειμένῳ ἔκ τε τοῦ τοῦ. ἀπὸ τῆς ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΜΗ καὶ ἐκ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ. ὁ δὲ συγκείμενος ἐκ τε τοῦ τοῦ ἀπὸ ΑΜ πρὸς τὸ ἀπὸ ΜΗ καὶ τοῦ τῆς ΑΜ πρὸς ΜΗ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ ὃν ἔχει ὁ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύβον καὶ ὁ τῆς ΓΜ ἄρα πρὸς τὴν ΜΗ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ λόγῳ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΜ κύβου πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ΜΗ κύθον. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΓΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Γ∠· πρὸς ∠Ε, τουτέστιν ἡ Β∠ πρὸς ∠Ε, ὡς δὲ ἡ ΑΜ πρὸς ΜΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠Θ, τουτέστιν ἡ ∠Β πρὸς ∠Θ· καὶ ὡς ἄρα ἡ Β∠ πρὸς ∠Ε, τουτέστιν ὡς ὁ δοθεὶς λόγος, οὕτως ὁ ἀπὸ τῆς Β∠ κύβος πρὸς τὸν ἀπὸ τῆς ∠Θ κύβον. ἐὰν οὖν ποιήσωμεν καὶ ὡς τὴν Β∠ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως τὴν ∠Θ πρὸς ἄλλην τινά, οἷον τὴν ∠Ν, ἔσονται τῶν Β∠ ∠Ε δύο μέσαι ἀνάλογον αἱ ∠Θ ∠Ν.

28 ια΄. Τὸ δὲ δεύτερον τῶν προβλημάτων ἦν τόδε.

Ἐν ἡμικυκλίῳ τὰς τρεῖς μεσότητας λαβεῖν ἄλλος τις ἔφασκεν, καὶ ἡμικύκλιον τὸ ΑΒΓ ἐκθέμενος, οὗ κέντρον τὸ Ε, καὶ τυχὸν σημεῖον ἐπὶ τῆς ΑΓ λαβών τὸ ∠, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ πρὸς ὀρθὰς ἀγαγών τῇ ΕΓ τὴν ∠Β, καὶ ἐπιζεύξας τὴν ΕΒ, καὶ αὐτῇ κάθετον ἀγαγὸν ἀπὸ τοῦ ∠ τὴν ∠Ζ, τὰς τρεῖς μεσότητας ἔλεγεν ἀπλῶς ἐν τῷ ἡμικυκλίῳ ἐκτεθεῖσθαι, τὴν μὲν ΕΓ μέσην ἀριθμητικήν, τὴν δὲ ∠Β μέσην γεωμετρικήν, τὴν δὲ ΒΖ ἁρμονικήν.

Ὅτι μὲν οὖν ἡ Β∠ μέση ἐστὶ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ, ἡ δὲ ΕΓ τῶν Α∠ ∠Γ ἐν τῇ ἀριθμητικῇ μεσότητι, φανερόν. ἐστι γὰρ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς ∠Β, ἡ ∠Β πρὸς ∠Γ, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς ἑαυτήν, οὕτως ἡ τῶν Α∠ ΑΕ ὑπεροχή, τουτέστιν ἡ τῶν Α∠ ΕΓ, πρὸς τὴν τῶν ΕΓ Γ∠. πῶς δὲ καὶ ἡ ΖΒ μέση ἐστὶν τῆς ἁρμονικῆς [*](1. τοῦ ante τῆς ΑΜ et 3. ante ἀπὸ τῆς ΑΜ add. Hu 4. τοῦ ante τοῦ ἀπὸ add B3 7. ἄρα πρὸς τὴν B3 Sca, ἄρα πρὸς τῆι A(S), omisit et haec et alia B1 14. ἐὼν οὖν et cetera om. Pappus l. c. et Eutocius 15. τὴν δν B3 V2 pro τὴν ΑΜ (ad DX Co) 16. τῶν ∠Μ AB1S S, corr. B3 Sca Co αἱ ∠Θ ∠Η AB1S, corr. B3 17. ΙΑ)

μεσότητος, ἢ ποίων εὐθειῶν, οὑκ εἶπεν, μόνον δὲ ὅτι τρίτη ἀνάλογόν ἐστιν τῶν ΕΒ Β∠, ἀγνοῶν ὅτι ἀπὸ τῶν ΕΒ Β∠ ΒΖ ἐν τῇ γεωμετρικῇ ἀναλογίᾳ οὐσῶν πλάσσεται ἡ ἁρμονικὴ μεσότης. δειχθήσεται γὰρ ὑφ᾿ ἡμῶν ὕστερον ὅτι δύο αἱ ΕΒ καὶ τρεῖς αἱ ∠Β καὶ μία ἡ BΖ ὡς μία συντεθεῖσαι ποιοῦσι τὴν μείζονα ἄκραν τῆς ἁρμονικῆς μεσότητος, δύο δὲ αἱ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν μέσην, μία δὲ ἡ Β∠ καὶ μία ἡ ΒΖ τὴν ἐλαχίστην.

29 Πρότερον δὲ διαληπτέον περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων καὶ μετὰ ταῦτα περὶ τῶν ἐν ἡμικυκλίῳ, εἶτα περὶ τῶν ἀντικειμένων αὐταῖς ἄλλων τριῶν κατὰ τούς παλαιούς, καὶ ὕστερον περὶ τῶν παρὰ τοῖς νεωτέροις τεσσάρων ἀκολούθως ταῖς γνώμαις αὐτων, καὶ ὡς δυνατόν ἐστιν ἑκάστην τῶν δέκα μεσοτήτων διὰ τῆς γεωμετρικῆς ἀναλογίας εὑρίσκειν, ἵνα καὶ τὸν προκείμενον ἔλεγχον διὰ πλειόνων συστησώμεθα.

Περὶ τῶν τριῶν μεσοτήτων.

30 ιβ΄ Διαφέρει τοίνυν μεσότης ἀναλογίας τῷδε ὅτι εἰ μὲν τί ἐστιν ἀναλογία, τοῦτο καὶ μεσότης, οὐ μὴν καὶ ἀνάπαλιν. μεσότητες γάρ εἰσι τρεῖς, ὧν ἡ μέν ἀριθμητική, ἡ δὲ γεωμετρική, ἡ δὲ ἁρμονική.

Ἀριθμητικὴ μὲν οὖν λέγεται μεσότης, ὅταν τριῶν ὄντων ὅρων ὁ μέσος τῷ ἴσῳ ἑνὸς μὲν τῶν ἄκρων ὑπερέχῃ, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ πρὸς τὸν θ΄ καὶ τὸν γ΄ ἀριθμόν), ἢ ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς αὑτὸν, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν. πρῶτα δὲ ἀκούειν δεῖ τὰ ὑπερέχοντα.

Γεωμετρικὴ δὲ λέγεται μεσότης, τουτέστιν ἀναλογία κυρίως, ὅταν ἦ ὡς ὁ μέσος ὅρος πρὸς ἕνα τῶν ἄκρων, οὕτως ὁ λοιπὸς πρὸς τὸν μέσον (ὡς ἔχει ὁ Ϛ΄ ἀριθμὸς πρός τε τὸν ιβ΄ καὶ τὸν γ΄), καὶ ἄλλως: ὅταν ἦ ὡς ὁ πρῶτος ὅρος πρὸς τὸν δεύτερον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

[*](1. δὲ ὅτι Hu pro διότι 2. τῶν ΕΒ∠ ABS, corr. Hu auctore Co 5. καὶ τρεῖς Hu pro καὶ αἱ τρεῖς 7. μία δὲ Hu auctore Co pro μίαν δὲ 10. καὶ μετά — ἡμικυκλίῳ del. Hu 17. ΙΒ A1 in marg. (S),)

Ἁρμονικὴ δέ ἐστι μεσότης, ὅταν ὁ μέσος ὅρος τῷ αὐτῳ μέρει ὑπερέχῃ μὲν ἑνὸς τῶν ἄκρων, ὑπερέχηται δὲ ὑπὸ τοῦ λοιποῦ (ὡς ἔχει ὁ γ΄ ἀριθμὸς πρὸς τε τὸν β΄ καὶ τὸν Ϛ΄), ἢ ὅταν ᾖ ὡς ὁ πρῶτος ὄρος πρὸς τὸν τρίτον, ἡ πρώτη ὑπεροχὴ πρὸς τὴν δευτέραν.

Τούτων ὑποκειμένων εὑρήσομεν ὁμοῦ τάς τρεῖς μεσότητας ἐν ἐλαχίσταις εὐθείαις πέντε τὸν ἀριθμὸν προγραφέντων τῶνδε.

31 Ἔστω δὴ πρῶτον δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΓ μέσην εὑρεῖν κατὰ τὴν γεωμετρικὴν ἀναλογίαν.

Ἤχθω πρὸς ὀρθὰς ἡ Γ∠, καὶ δίχα τετμήσθω ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γραφεῖσα τεμνέτω τὴν πρὸς ὀρθὰς κατὰ τὸ ∠, καὶ τῇ τὰ Β ∠ ἐπιζευγνυούσῃ ἴση ἀφῃήσθω ἡ ΒΖ, καὶ γίνεται ἡ ζητουμένη μέση ἡ ΒΖ. ἐπιζευχθεῖσα γὰρ ἡ ∠Α ὀρθὴν περιέχει γωνίαν μετὰ τῆς Β∠ διὰ τὸ ἴσην εἶναι ἑκατέραν τῶν ΒΕ ΕΑ τῇ ἐπιζευγνυούσῃ τὰ ∠ Ε. ἔστιν δὲ καὶ ἡ πρὸς τῷ Γ ὀρθή. καὶ ἰσογώνιον ἄρα τὸ ΑΒ∠ τρίγωνον τῷ ΒΓ∠, καὶ διὰ τοῦτο αἱ περὶ τὴν κοινὴν αὐτῶν γωνίαν τὴν πρὸς τῷ Β πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὡς ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ∠Β, ἡ Β∠ πρὸς ΒΓ, καὶ μέση τῶν ΑΒ ΒΓ ἡ Β∠ ἴση τῇ ΒΖ.

32 ιγ΄. Ἔστω δὲ δοθεισῶν τῶν ΑΒ ΒΖ τὴν ἐλάσσονα ἄκραν λαβεῖν.

Τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ε, καὶ περὶ κέντρον τὸ Ε διὰ τοῦ Β περιφέρεια γεγράφθω, καὶ αὕτη τετμήσθω ὑπὸ τῆς διὰ τοῦ Ζ περὶ κέντρον τὸ Β γραφομένης περιφερείας κατὰ τὸ ∠, καὶ κάθετος ἤχθω [*](3. Ϛ B3 pro ∠ (idem tacite corr. Co) 15 τὰ Β∠ AS, distinx. B 19. τὰ ∠Ε ABS, distinx. Hu 24. πλευραὶ B3 pro πλευρὰν (idem tacite corr. Co) 24. ιγ΄ add. Hu ἐλάττονα AB, corr. S 28. αὕτη B, αυτη sine spir. et acc. A, αὐτὴ S 29. διὰ B3 Sca, α A, α S, δ** Bt)

ἡ ∠Γ, καὶ γίνεται τῶν ΑΒ ΒΖ τρίτη ἀνάλογον ἡ ΒΓ. δείκνυται γὰρ ὁμοίως κατὰ τὰ αὐτὰ τοῖς προειρημένοις ἐπὶ τῆς μέσης.

Καὶ φανερὸν ὅτι, ἐὰν μὲν ὁ δοθεὶς τῆς ἀναλογίας λόγος ᾖ διπλάσιος, ὥστε τὴν ΑΒ τῆς ΒΓ τετραπλασίαν εἶναι, ἡ ἴση τῇ ∠Β τιθεμένη διχοτομία ἐστὶν τῆς ΑΒ, τουτέστιν ἡ ΕΒ ἐστὶν, ἐὰν δὲ μείζων ἢ διπλάσιος ὁ λόγος ἦ, ἐλάσσων ἐστὶ τῆς ἡμισείας, ἐὰν δὲ ἐλάσσων ᾖ τοῦ διπλασίου, μείζων ἐστὶν τῆς ΕΒ ἡμισείας.

33 Ἔστω δὲ νῦν δοθεισῶν τῶν ΖΒ ΒΓ τὴν μείζονα ἄκραν εὑρεῖν.

Ἤχθω δὴ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΓΘ, καὶ περὶ κέντρον τὸ Β διά τοῦ Ζ γραφομένη περιφέρεια τεμνέτω αὐτὴν κατὰ τὸ Θ, καὶ τῇ ΒΘ ἐπιζευχθείσῃ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΑΘ· γίνεται δὴ ἡ ΑΒ. τρίτη ἀνάλογον τῶν ΓΒ ΒΖ. καὶ γάρ τοῦτο φανερὸν ἐκ τῶν προδεδειγμένων.