Metrica

[*](fol. 89r)

γ. | Ἔστω δὴ στερεὸν παραλληλεπίπεδον μετρῆσαι τὸ ὕψος ἔχον μὴ πρὸς ὀρθὰς τῇ βάσει. ἔστω δὲ λόγου ἕνεκεν ἡ μὲν βάσις αὐτοῦ ἑξάγωνος, ἰσόπλευρος καὶ ἰσογώνιος ἡ ΑΒΓ∠ΕΖ, ἡ δὲ ΑΒ πλευρὰ μονάδων ι, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ἐφέδρας κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον ἔστω μονάδων η· ἡ δὲ ἐφέδρα αὐτοῦ ἔσται ἡ ΗΘΚ ΛΜΝ. καὶ ἀπὸ τῆς ΗΘ ΚΛ ΜΝ κάθετοι ἤχθωσαν ἐπὶ τὸ τῆς ἕδρας ἐπίπεδον αἱ ΗΞ ΘΟ ΚΠ ΛΡ ΜΣ ΝΤ. καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΞΟ ΟΠ ΠΡ ΡΣ ΣΤ ΤΞ· ἔσται ἄρα καὶ τὸ ΞΟΠΡΣΤ ἑξάγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον. ἐπεὶ οὖν τὰ ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως ὄντα στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστὶν, ἴσον ἄρα τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛΜΝ στερεὸν τῷ ΞΟΠΡΣΤΗ ΘΚΛΜΝ στερεῷ. δοθὲν δὲ τὸ ΞΟΠΡΣΤΗΘΚ ΚΛΜΝ. [*](17—18 supplevi)

δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΚ ΛΜΝ. ὥστε δεήσει λαβόντα τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖ ἑξαγώνου πολλαπλασιάσαι ἐπὶ τὴν εἰρημένην κάθετον, τουτέστι τὰς η μονάδας, καὶ τοσούτου τὸ στερεὸν ἀποφήνασθαι. καὶ οἵαν δʼ ἂν ἔχῃ βάσιν τὸ στερεὸν, ὡσαύτως μετρεῖται.

[*](fol. 89v)

δ. | Ἔστω πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ∠ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα. καὶ. ἔστω ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ι, ἡ δὲ ΒΓ μονάδων η, ἡ δὲ ἀπὸ τῆς ΕΖ κορυφῆς κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ ΑΒΓ∠ ἐπίπεδον ἔστω μονάδων ε· εὑρεῖν τὸ στερεὸν τοῦ πρίσματος. συμπεπληρώσθω τὸ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον· τὸ ἄρα ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ στερεὸν παραλληλεπίπεδον διπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΒΓ∠ΕΖΗ ποίσματος. δοθὲν δὲ τὸ στερεὸν παραλληλεπίπεδον·

μένων τὸ τρίτον λαβόντα ἀποφαίνεσθαι τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν.

ϛ. Ἔστω δὴ πυραμίδα κόλουρον μετρῆσαι τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν· ἔσται δὴ καὶ ἡ κορυφὴ αὐτῆς τρίγωνος ὁμοία τῇ βάσει. ἔστω οὖν ἡ μὲν βάσις αὐτῆς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ, ἡ δὲ κορυφὴ τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ὅμοιον τῷ ΑΒΓ. ἔστω δὲ ἡ μὲν ΑΒ μονάδων ιη, ἡ δὲ ΒΓ κδ, ἡ δὲ ΑΓ λϛ, ἡ δὲ ∠Ε ιμ· ὥστε ἔσται ἡ μὲν ΕΖ ιϛ, ἡ δὲ ∠Ζ κδ. ἔστω δὴ καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ τριγώνου κάθετος ἐπὶ τὴν βάσιν μονάδων ι. κείσθω τῇ μὲν ∠Ε ἴση ἡ ΑΗ, τῇ δὲ ΕΖ ἡ ΓΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΘ, καὶ τετμήσθωσν δίχα αἱ ΒΘ ΒΗ τοῖς Κ, Λ σημείοις, καὶ διὰ τοῦ Κ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΛΝ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ξ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ὅμοιά ἐστι τὰ ΑΒΓ ∠ΕΖ τρίγωνα, ὡς ἔστιν ἡ ΑΒ πρὸς ∠Ε, τουτεστι πρὸς ΑΗ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, τουτέστι πρὸς ΓΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΑΓ τῇ ΗΘ. καὶ ἐπεὶ ἴσαι εἰσὶν αἱ ΗΚ ΚΒ καὶ παράλληλοι αἱ ΚΝΜ ΒΘ, ἴση ἄρα καὶ ἡ ΝΗ τῇ ΝΘ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΛ τῇ ΛΘ. παράλληλος ἄρα ἡ ΛΝΞ τῇ ΑΒ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΚΛ τῇ ΗΘ, τουτέστι τῇ ΑΓ. παραλληλόγραμμα ἄρα ἐστὶν τὰ ΑΚΛΞ ΚΛΓΜ καὶ ἴσα ἐστίν· ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσιν καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΗΚ ΛΝ τῷ ΝΚΛΘ ἴσον ἐστί. λοιπὸν τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον τῶ τῷ ΝΘΓΜ παραλληλογράμμῳ ἐστὶν ἴσον. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΗ, τουτέστιν ἡ ΝΞ [*](fol. 90v) τῇ ∠Ε, ἡ δὲ ΓΘ, τουτέστιν ἡ ΜΝ, τῇ ΕΖ | καὶ ἴσας γωνίας περιέχουσιν, ἴση ἄρα ἐστὶν καὶ ἡ ΞΜ τῇ ∠Ζ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΛ ἑκατέρᾳ τῶν ΑΞ ΜΓ, ἴση

ἄρα καὶ ἡ ΑΞ τῇ ΜΓ. συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΑΓ ΜΞ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΓ ∠Ζ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΓΞ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΚΒ τῇ ΚΗ, συναμφοτέρου ἄρα τῆς ΒΑ ΗΑ, τουτέστι συναμφοτέρου τῆς ΑΒ ∠Ε, ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΞΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ συναμφοτέρου τῆς ΒΓ ΕΖ ἡμίσειά ἐστιν ἡ ΛΓ. ἐπεὶ οὖν τὸ στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος σύγκειται ἔκ τε τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν βάσιν μὲν ἔχοντος τὸ ΑΗΝΞ παραλληλόγραμμον, κορυφὴν δὲ τὴν ∠Ε εὐθεῖαν, καὶ τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΘΓ παραλληλόγραμμον, κορυφὴ δὲ ἡ ΕΖ εὐθεῖα, καὶ ἑτέρου πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, καὶ ἔτι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον· ἀλλὰ τῶν μὲν πρισμάτων, ὧν βάσις ἐστὶ τὰ ΑΗΝΞ ΝΘΓΜ παραλληλόγραμμα, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῇ πυραμίδι τὸ στερεόν ἐστιν τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΝΜΘΓ παραλληλογράμμου ἐπὶ τὴν κάθετον, τοῦ δὲ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, τὸ στερεόν ἐστι τὸ ΜΝΞ τρίγωνον ἐπὶ τὴν κάθετον, τῆς δὲ πυραμίδος, ἧς βάσις ἐστὶ τὸ ΒΗΘ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ε σημεῖον, τὸ στερεόν ἐστι τὸ τρίτον τοῦ τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἐμβαδοῦ ἐπὶ τὴν κάθετον, τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΒΗΘ τριγώνου ἓν καὶ τρίτον ἐστὶ τοῦ ΛΝΘ διὰ τὸ ἴσα εἶναι ---, τὸ δὲ τρίτον τοῦ ΛΝΘ τριγώνου τὸ δωδέκατόν ἐστι τοῦ ΒΗΘ τριγώνου· ὥστε τῆς κολούρου πυραμίδος τὸ στερεόν ἐστι τὸ ἐμβαδὸν τοῦ ΞΛΓ τριγώνου προσλαβὸν τὸ ιβʹ μέρος τοῦ ΒΗΘ τριγώνου καὶ πολλαπλασιασθὲν ἐπὶ τὴν κάθετον. καὶ ἔστιν ἡ κάθετος θεῖσα. δεῖξαι ἄρα δεῖ, ὅτι δοθέν ἐστι καὶ τὸ ΞΛΓ τρίγωνον καὶ τὸ ιβʹ τοῦ ΒΗΘ ἐπεὶ οὖν δοθεῖσά ἐστι συναμφότερος ἡ ΑΒ ∠Ε καὶ ἐδείχθη αὐτῆς [*](fol. 91r) ἡμίσεια ἡ ΞΛ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΞΛ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκατέρα τῶν ΛΓ ΓΞ ἐστὶ δοθεῖσα· ὥστε δοθέν ἐστι τὸ ΞΛΓ τρίγωνον. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσά ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΒΑ ΑΗ, δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΒΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΘ. πάλιν ἐπεὶ δοθεῖσα ἑκατέρα τῶν ΑΓ ΜΞ, καὶ λοιπὴ ἄρα συναμφότερος ἡ ΑΞ ΜΓ δοθεῖσα, τουτέστιν ἡ ΗΘ. δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ΗΘΒ τρίγωνον· ὥστε καὶ τὸ ιβʹ αὐτοῦ δοθὲν. συντεθήσεται δὲ οὕτως. σύνθες τὰ ιη καὶ τὰ ιβ· καὶ τῶν γενομένων τὸ ἥμισυ γίγνεται ιε· καὶ τὰ κδ καὶ ιϛ· ὧν ἥμισυ γίγνεται κ. καὶ λϛ καὶ κδ· ὧν ἥμισυ γίγνεται λ. καὶ μέτρησον τρίγωνον, οὗ πλευραὶ ιε, κ, λ· γίγνεται, ὡς ἐμάθομεν, ἔγγιστα ρλα δ΄. καὶ ἄφελε ἀπὸ τῶν ιη τὰ ιβ· λοιπὰ ϛ. καὶ ἀπὸ τῶν κδ τὰ ιϛ· λοιπὰ η. καὶ ἀπὸ τῶν λϛ τὰ κδ· λοιπὰ ιβ. καὶ μέτρησον τρίγωνον, οὗ πλευραὶ ϛ, η, ιβ· ἔσται ὁμοίως, ὡς ἐμάθομεν, κα ἔγγιστα· τούτων τὸ ιβ΄· γίγνεται αU+2220δʹ. πρόσθες ταῖς ρλα δʹ· γίγνονται ρλγ. ταῦτα ἐπὶ τὴν κάθετον, καὶ τοσούτου ἔσται τὸ στερεὸν τῆς ΑΒΓ∠ΕΖ κολούρου πυραμίδος.

ζ. Στερεὸν μετρῆσαι περιεχόμενον ὑπὸ ἐπιπέδων τριγώνους ἔχον βάσεις. ἔστω τὸ εἰρημένον στερεὸν, οὗ βάσις μὲν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ ∠ΕΖ, παράλληλον δὲ τῷ ΑΒΓ τὸυ ∠ΕΖ. ἐπίπεδα δὲ ἔστω τὰ ΑΒ∠Ε ΒΓΕΖ ΑΓ∠Ζ. καὶ δοθεῖσα --- ἑκάστη [*](fol. 91v) τῶν Α --- Α ∠Ε ΕΖ Ζ∠ καὶ ἔτι ἡ ἀ|πὸ τοῦ ∠ΕΖ [*](1 tres litterae foramine evanidae; supplevi 19 αεδ΄: correxi 24 τρίγωνων correxi 26 〈δὲ〉 add. et τοῦ in τὸ)

ἐπιπέδου κάθετος ἀγομένη ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον. ἐπεὶ γὰρ παράλληλός ἐστιν ἡ ΑΓ τῇ ΕΖ καὶ μείζων ἡ ΒΓ. αἱ ἄρα ΒΕ ΓΖ ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται. συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Η. λέγω δὴ ὅτι καὶ ἡ Α∠ ἐκβαλλομένη συμπεσεῖται κατὰ τὸ Η. ὅτι μὲν οὖν ἑκατέρα τῶν ΒΕ ΓΖ συμπίπτει τῇ Α∠, φανερόν διὰ τὸ εἶναι τὴν μὲν ΑΒ μείζονα τῆς ∠Ε, τὴν δὲ ΑΓ τῆς ∠Ζ. λέγω ὅτι κατὰ τὸ Η. ἐπεὶ γὰρ Α∠ σημεῖα ἔν τε τῷ διὰ τῶν ΑΒ ∠Ε ἐστὶν ἐπιπέδῳ καὶ ἐν τῷ διὰ τῶν ΑΓ ∠Ζ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ Α∠Η. ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κάθετος ἐπὶ τὸ ΑΒΓ ἐπίπεδον καὶ ἐμβαλλέτω κατὰ τὸ Θ, τῷ δὲ ∠ΕΖ κατὰ τὸ Κ· καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΘΖΚ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΘ τῇ ΖΚ· ἀλλὰ καὶ ἡ ΒΓ τῇ ΕΖ. ἔσται ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς ΗΖ, τουτέστιν ἡ ΘΗ πρὸς ΗΚ. λόγος δὲ τῆς ΒΓ πρὸς ΕΖ δοθεὶς· δοθεῖσα γὰρ ἐκατέρα. λόγος ἄρα καὶ τῆς ΗΘ πρὸς ΗΚ δοθείς. ὥστε καὶ τῆς ΘΚ πρὸς ΚΗ. καὶ ἔστι δοθεῖσα ἡ ΘΚ ἡ γὰρ ἀπὸ τοῦ ∠ΕΖ ἐπιπέδου κάθετος ἐπὶ τὸ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπίπεδον δοθεῖσά ἐστιν· δοθεῖσα ἄρα καὶ ἡ ΚΗ. ὥστε καὶ ἡ ΗΘ δοθεῖσά ἐστιν. ἐπεὶ οὐν πυραμίδος, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δέδοται ἥ τε βάσις καὶ ἡ ἀπὸ τῆ, κορυφῆς ἐπὶ τὴν βάσιν κάθετος ἡ ΗΘ, δοθὲν ἄρα τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν. κατὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ τῆς πυραμίδος στερεόν, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Η σημεῖον, δοθέν ἐστι. λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΓ∠Ε στερεὸν δοθέν ἐστι. συντεθήσεται δὴ οὕτως. δεῖ τὴν [*](4 τῶ H: correxi 5 ἐκβαλομένη; correx 12 τὸ δὲ correxi 13 ΓΘ〈ΖΚ〉: explevi intercapedinem) ΘΚ ποιῆσαι ὡς τὴν ΒΓ πρὸς ΕΖ προστεθείσης τῆς ΚΗ τὴν ΘΗ πρὸς ΗΚ. καὶ εὑρόντα ἑκατέραν τῶν καθέτων τῶν ΗΘ ΗΚ καθʼ ἑαυτὰς μετρῆσαι ἑκατέραν πυραμίδα, ἧς τε βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον καὶ ἧς βάσις τὸ ∠ΕΖ, κορυφὴ δὲ τὸ σημεῖον, καὶ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν ἀποφαίνεσθαι ἴσην εἶναι τῷ ζητουμένῳ [*](fol. 92r) στερεῷ. | καὶ καθόλου δὲ πᾶσα πυραμὶς κόλουρος βάσιν ἔχουσα οἱανδήποτε ὡσαύτως μετρεῖται· ἐκ γὰρ τοῦ λόγου, οὗ ἔχει μία πλευρὰ τῆς βάσεως πρὸς τὴν ὁμόλογον ἐν τῇ κορυφῇ οὖσαν, λέγω δὲ τῇ ἐφέδρᾳ, εὑρεθήσεται ἡ κορυφὴ τῆς πυραμίδος, ἧς τμῆμά ἐστιν ἡ κόλουρος, καὶ ἡ κάθετος ἐπὶ τὸ τῆς ἐφέδρας ἐπίπεδον. ἔχοντες οὖν καὶ τὴν ἐπὶ τὴν ἐφέδραν καὶ τὸ λοιπὸν ἕξομεν στερεὸν τῆς ἀποτεμνομένης πυραμίδος· ὥστε πάλιν τὴν ὅλην μετρήσαντες πυραμίδα ἀφελοῦμεν τὴν ἀποτεμνομένην καὶ τὸ λοιπὸν ἀποφαινούμεθα στερεὸν τῆς κολούρου πυραμίδος.